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2 2 7 2
I ← 1
While I < 7
S ← 2 I + 1 I ← I + 2 End While Print S
江苏省兴化中学 2021 届高三寒假测试二
数学试题
命题人：韦 伟
一、填空题（每小题 5 分） 1. （1）若集合 A = {x |1< x < 3} ， B = {x | -1 < x < 2}，则 A B =
(2)命题“ ∃x 0 ∈(0,+∞)，ln x 0 = x 0 -1 ”的否定是 (3)已知公差不为 0 的等差数列{a n } ，前n 项和为 S n ，满足 S 3 - S 1 = 10 ，且 a 1,a 2 ,a 4 成等比数列，则a 3 = .
(4) 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为v （单位：m / s ），
鲑鱼的耗氧量的单位数为Q . 科学研究发现v 与log Q
成正比. 当v = 1m / s 时，鲑鱼的耗氧量的单位数 3
100
为900 . 当v= 2m / s 时，其耗氧量的单位数为 (5)2019 年第十三届女排世界杯共 12 支队伍参加，中国女排不负众望荣膺十冠王.将 12 支队伍的积分制成茎叶图如图所示，则这组数据的平均数分别为
(6)执行如图所示的伪代码，则输出的结果为
(7) 甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为 0.8，乙不输的概率为 0.7，则两人下成和棋的概率为 (8)已知一个正四棱锥的底面边长为 ，侧棱与底面所成的角为 60°，则该棱锥的体积为 ．
2.(1)已知正数 a ，b 满足 a 2-ab+1=0，则 8a+b 的最小值为 ．
(2)在平面直角坐标系
xOy 中，点 M (x 0 , y 0 ) 是椭圆C ： x 2 + y 2 =
6 3 1在第一象限上的一点，从原点O 向 圆 M ： (x - x )2 + ( y - y )2
= 2 作两条切线l ， l ，若l ⊥ l ，则圆 M 的方程是
1
2
1
2
(3)定义：如果函数 y = f (x )在区间[a , b ]上存在 x (a < x < b )，满足 f (x
) = f (b ) - f (a ) ，则称 x 是
b - a 0
函数 y = f (x )在区间[a , b ]上的一个均值点，已知函数 f (x )
= 4x
- 2x +1
- m 在区间[0,1]上存在均值点，
则实数m 的取值范围是
.
(4)设点 M 、 N 、 P 、Q 为圆 x 2 + y 2 = r 2 (r > 0) 上四个互不相同的点，若 MP ⋅ PN = 0 ，且(PM +
PN ) ⋅ PQ = 2 ，则 PQ = .
(5)在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A (cos α ，sin α) ， B (cos β ，sin β ) 是直线
y = tan(α + β ) 的值为 ．
3x + 上的两点，则 (6)已知∆ABC 中， AB = 3 ， AC = 1 ，且 λ AB + 3(1- λ ) AC (λ ∈ R )的最小值为 3 3
，若 P 为边 AB 上
2
任意一点，则 PB ⋅ PC 的最小值是
二、解答题（3-5 每题 14 分，6-8 每题 16 分）
3.已知 tan α＝2，cos β＝－ （1）求 cos2α的值； （2）求 2α－β的值．
，且α，β∈(0，π)，
OA 3 F 2 A
m -1 4.如图，在四棱锥 P －ABCD 中，已知底面 ABCD 为矩形，且
AB ＝ 2，BC ＝1，E ，F 分别是 AB ，PC 的中点，PA ⊥DE ． （1）求证：EF ∥平面 PAD ；
（2）求证：平面 PAC ⊥平面 PDE ．
5.如图是一“T”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北方向渠宽为 3 3 m ，深为 2 m ，东西方向渠宽 1 m ，深为 3 m （从拐角处，即图中 A , B 处开始），假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．水的流向为从南向北，再东、西分流，且东、西方向分流量相同． （1）若南北方向水的流速为 5 m/min （不包括南北与东西的公共区域），求东西向水渠内水的流速；
6.设椭圆 x 2 + y 2
= > > 的左、右焦点分别为 F (-c ， 0) 、 F (c ， 0) ，点 P 在椭圆上， O 为原
a
2
b
2
1(a b 0)
1 2
点.
⑴若 PO = c ， ∠F OP = π
2
3
，求椭圆的离心率； 1 ⑵若椭圆的右顶点为 A ，短轴长为 2，且满足
+ 1 = e
(e 为椭圆的离心率）. ①求椭圆的方程；
②设直线l ： y = kx - 2 与椭圆相交于 P 、Q 两点，若∆POQ 的面积为 1，求实数k 的值.
7.设常数λ > 0 ， a > 0 ， f (x ) = x 2
λ + x
- a ln x .
（1）当a = 3
λ 时，若 f (x ) 的最小值为0 ，求λ 的值；
4
（2）对于任意给定的正实数λ 、a ，证明：存在实数 x 0 ，当 x > x 0 时， f (x ) > 0 .
1
8.已知等差数列{a n }的前 n 项和 S n = 2
n(1+n)+t,等比数列{b n }的通项公式为 b n =3n (n ∈N *),且{b n }的前 n 项和为 T n
(1)求数列{a n }的通项公式;
4T n + 3
41
(2)若 c n =(-1)n+1
n ×
T n +1
,且对于任意的正整数 n,c 1 +c 2 + ......+ c n < -m+ 12
恒成立,求实数 m 的取值范
围;
a n
(3)设 e n = n
OF 2 T b。