初中数学知识点整理表格版

初中数学教材知识梳理·系统复习
第一单元数与式第1讲实数
有理数
正实数
负有理数
实数 0
实数
无
负实数
无理数
环小数
(1)几何意义：数轴上表示的点到原点的距离
(2)运算性质：
(a < 0). (a<b)
(3)非负性：≥0,若²=0,则0
第2讲整式与因式分解
运算
6.混合运算注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、
代入替换、计算，
例：(1)²-(3)(3)-102.
知识点五：因式分解
式分解(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式
(2)常用方法：①提公因式法：++=m(a+b+c)
②公式法：a²-b²=(a+ b)(a-b);a²±2+b²= (a±b)²
(3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式
法分解；③检查各因式能否继续分解.
(1)因式分解要分解到最后结果不能再分
解为止，相同因式写成幂的形式；
(2)因式分解与整式的乘法互为逆运算.
第3 讲分式
知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例
1.分式
的概
念(1)分式：形如是整式，且B中
含有字母，B≠0)的式子.
(2)最简分式：分子和分母没有公因式的
分式.
在判断某个式子是否为分式时，应注意：(1)判
断化简之间的式子；(2)π是常数，不是字母.
例：下列分式：①;②;③;④,其中是分式是②
③④;最简分式③.
2 . 分式
的意
义(1)无意义的条件：当B=0时，分式无意
义；
有意
义；
(3)值为零的条件：当A=0,B≠0时，分式
失分点警示：在解决分式的
值为0,求值的问题时，一定
要注意所求得的值满足分母
不为0
例：当的值为0时，则x=-1.
3.基本性质(1)基本性质：(C≠0).
(2)由基本性质可推理出变号法则为：
由分式的基本性质可将分式
进行化简：
(2)有意义的条件：当B≠0时，分式合
7.因
例：化简：知识点三：分式的运算
4.分式
的约
分和
通分(1)约分(可化简分式):把分式的分子和分母
中的公因式约去，
即；
(2)通分(可化为同分母):根据分式的基本性
质，把异分母的分式化为同分母的分式，
即
分式通分的关键步骤是找出
分式的最
简公分母，然后根据分式的
性质通分.
例：分式和的最简公分母为
x(x²-1).
5.分式的加减法(1)同分母：分母不变，分子相加减.即±=;
(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，
再加减.即±=.
例：=-1.
6.分式的乘除法(1)乘法：·=;(2)除法：: (3)乘方，(n为正整数)
7.分式
的混合运算(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先
分解后约分.
(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，
再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的
失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化
简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入
数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到
整体代入.
第4 讲二次根式
关键点拨及对应举例
知识点一：二次根式
1.有关概
念(1)二次根式的概念：形如(a≥0)的式子.
(2)二次根式有意义的条件：被开方数大
于或等于0.
(3) 最简二次根式：①被开方数的因数是
整数，因式是整式(分母中不含根号);
②被开方数中不含能开得尽方的因数
或因式
失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复
合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都
有意义，即分母不为0,被开方数大于等于0
等.例：若代数式有意义，则x的取值范围是x
>1.
2.二次根式的性质(1)双重非负性：
①被开方数是非负数，即a≥0;
②二次根式的值是非负数，即√a≥0.
注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、
偶幂、算式平方根、二次根式.
利用二次根式的双重非负性解题：
(1)值非负：当多个非负数的和为0时，可得
各个非负数均为0.如√a+1√b-10
则1,1.
(2)被开方数非负：当互为相反数的两个数同
时出现在二次根式的被开方数下时，可得
这一对相反数的数均为0.如已知
√a-1 √1-a,则10
(2)两个重要性质：
①O²=a(a≥0);②==;
(3)积的算术平方根：√ab=√a· √b(a≥0,
b≥0);
(4)商的算术平方根：
例：计算：
V3.14²= 3.14; √(-2)²=2;
√24=;=2
知识点二:二次根式的运算
3.二次根式的加
减法先将各根式化为最简二次根式，再合并被
开方数相同的二次根式.
例：计算：√2-√8+√32=3√2.
4.二次根(1)乘法：√a·√b=√ab(a≥0,b≥0);注意：将运算结果化为最简
第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组)
第6讲一元二次方程
第7讲分式方程
第8 讲一元一次不等式(组)
知识点一：不等式及其基本性质
关键点拨及对应举
例
1.不等式的相关概念
(1)不等式：用不等号(>,≥,<,≤或≠)表
示不等关系的式子
(2)不等式的解：使不等式成立的未知数的值.
(3)不等式的解集：使不等式成立的未知数的取
值范围.
例：“a与b的差不大
于1”用不等式表示为
a—b≤1
2.不等式的基本性质性质1:若a>b,则a±c>b±c;
性质2:若a>>0,则>,
性质3:若a><0,则<,.
牢记不等式性质3,注
意变号.
如：在不等式一2x>4
中，若将不等式两边同
时除以-2,可得X<
2
知识点二：一元一次不等式
3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知
数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫
做一元一次不等式.
例：若mx"+²+3>0是关于x的一
元一次不等式，则m的值为-1.
4.解法
(1)步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项
系数化为1. 失分点警示
系数化为1时，注意系
a≤x<b
是a<1.知识点四：列不等式解决简单的实际问题
8 . 列不
等式
解应
用题(1)一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关
系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.
(2)应用不等式解决问题的情况：
a.关键词：含有“至少(≥)”、“最多(≤)”、
“不低于(≥)”、“不高于(≤)”、“不大(小)
于”、“超过(>)”、“不足(<)”等；
b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等
方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最
佳方案
注意：
列不等式解决实际问
题中，设未知数时，不
应带“至少”、“最多”
等字眼，与方程中设未
知数一致.
第9讲平面直角坐标系与函数
知识点一：平面直角坐标系
关键点拨及对应
举例
1.相关概今
小(1)定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系.
(2)几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x,y)的关系是一一对应。

点的坐标先读横坐标(x轴),
再读纵坐标(y轴),
2.点的坐
标特
征
( 1 ) 各象限内点的坐标的符号特征 ( 如图所示) :
点P ( ) 在第一象限⇔x ≥0,y ≥0;
点 P O 在第二象限⇔x ≤0,y ≥ 0
点 P ( ) 在第三象限⇔x < 0,y < 0
点P ( ) 在第四象限⇔x ≥ 0,y ≤ 0.
第二象限
(一，十)
-2
第三象限
( 一，一)
3
y
2
O
-3
第一象限
(+,+)
x
3
第四象限
(十，一)
(1)坐标轴上的点不属于任
何象限.
(2)平面直角坐标系中图形
的平移，图形上所有点的
坐标变化情况相同.
(3)平面直角坐标系中求图
形面积时，先观察所求图形
是否为规则图形，若是，再
进一步寻找求这个图形面积
的因素，若找不到，就要借
助割补法，割补法的主要秘( 2 ) 坐标轴上点的坐标特征：
①在横轴上⇔y = 0 ; ②在纵轴上⇔x = 0 ; ③原点⇔x = 0 , y = 0
( 3 ) 各象限角平分线上点的坐标
①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；
②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数
( 4 ) 点P ( ) 的对称点的坐标特征：
2
第10讲一次函数
第11讲反比例函数的图象和性质
图 象
特征
4 . 待 定 系 数 法
只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数
k 即可.
例：已知反比例函数图象过点(一3, 一1),则它的解析式是3.
知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合
5.系数k 的 几 何 意 义
(1)意义：从反比例函数y=(k≠0)图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线
与坐标轴所围成的矩形面积为，以该点、 一个垂足和原点为顶点的三角形的 面积为1/2. (2)常见的面积类型：
失分点警示
已知相关面积，求反比例函数的表达 式，注意若函数图象在第二、四象限，
则 k < 0
例：已知反比例函数图象上任一点作坐
标轴的垂线所围成矩形为3,则该反比 例函数解析式为：或
| A
C X
O D
A
x
A
BCx
SEAmox=|k l Soco=lk l Soc=lkl(OA=AC)
6 . 与 一 次 函
数 的 综合
(1)确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为(),则根据中心对称性， 可得另一个交点坐标为(). 【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思
想求解.
(2)确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函 数解析式中求解
(3)在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系， 可采用假设法，分k>0和k<0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可 也可逐一选项判断、排除
(4)比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方 的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围。

涉及与面积有关的问题时，①要善于把 点的横、纵坐标转化为图形的边长，对 于不好直接求
的面积往往可 分割转化为较
好求的三角形
面积；②也要注意系数k 的几何意义. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按 从小到大的顺序排列为：Saa>Sa:
知识点三：反比例函数的实际应用
7 . 一 般
步骤
(1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
(2设出函数表达式； (3)依题意求解函数表达式；
(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.
第12讲 二次函数的图象与性质
知识点一：二次函数的概念及解析式
A
O B X
SAon=2k
y
关键点拨与对应
举例
dc2 D
O y
B
O 切 y+
o
y
1.一次 函 数 的 定 义
形如y=²++c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二
次函数.
例：如果函数(a —1)x²是二次 函数，则a 的取值范围是a≠0.
2 . 解析
式
(1)三种解析式：①一般式：2;②顶点式：)²(a≠0), 其中二次函数的顶点坐标是();③交点式：()(2) 其中xi ₂为抛物线与x 轴交点的横坐标.
(2)待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知 条件，得到关于待定系数的方程(组);解方程(组), 求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.
若已知条件是图象上的三个 点或三对对应函数值，可设一 般式；若已知顶点坐标或对称 轴方程与最值，可设顶点式； 若已知抛物线与x 轴的两个交 点坐标，可设交点式
知识点二:二次函数的图象与性质
3.二次 函 数
的 图
象 和
性质
图
象
y=ax²+bx+c(a>0)
(1)比较二次函数函数值大 小的方法：①直接代入求值 法；②性质法：当自变量在对 称轴同侧时，根据函数的性质
判断；当自变量在对称轴异侧 时，可先利用函数的对称性转 化到同侧，再利用性质比较； ④图象法：画出草图，描点后 比较函数值大小. 失分点警示
(2)在自变量限定范围求二 次函数的最值时，首先考虑对 称轴是否在取值范围内，而不 能盲目根据公式求解. 例：当0≤x≤5时，抛物线²+27 的最小值为7
开
口
向上
向下
对
称
轴
顶 点 坐 标
增 当
时，y 随x 的增
时，y 随x 的增大而减小；
*y
x
O
y=ax²+bx+c(a<0)
减性
大而增大；当时，
y随x的增大而减小
当时，y随x的增大而增大
最
值
, y最小=.
3.系数
a、b、C d
决定抛物线的开口方
向及开口大小
当a>0时，抛物线开口向上；
当a<0时，抛物线开口向下.
某些特殊形式代数式的符号：
① a±即为士1时，}
的值；②4a±2即为士2时，
y的值
③ 2的符号，需判断对称
轴2a与1的大小.若对称轴在
直线1的左边，则2a>1,再
根据a的符号即可得出结果.
④2的符号，需判断对称轴与
-1的大小
d、
决定对称轴(2a)的位
置
当a,b同号，2a<0,对称轴在y轴左边；
当b=0时，20,对称轴为y轴；
当a,b异号，2a>0,对称轴在y轴右边.
C
决定抛物线与y轴的交
点的位置
当c>0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；
当c=0时，抛物线经过原点；
当c<0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.
b²
-4
决定抛物线与x轴的交
点个数
b²-4>0时，抛物线与x轴有2个交点；
b²-4=0时，抛物线与x轴有1个交点；
b²-4<0时，抛物线与x轴没有交点
知识点三：二次函数的平移4 . 平移
与解
析式的关系注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因
此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平
移后的函数解析式
失分点警示：
抛物线平移规律是“上加下减，左
加右减”,左右平移易弄反.
例：将抛物线²沿x轴向右平移2
个单位后所得抛物线的解析式是
(x-2)2.
知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式
5 . 二次函数与一元二次方程二次函数²++c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是
一元二次方程20的根.
当4=b²-4>0,两个不相等的实数根；
当4=b²-4=0,两个相等的实数根；
当A=b²-4<0,无实根
例：已经二次函数
2-3(m为常数)的图
象与x轴的一个交
点为(1,0),则关
第13讲二次函数的应用
第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线
A
8
C
第15讲一般三角形及其性质
的
5.三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①,平分∠,上，则
如图②,、分别是∠、∠的平分线，则有
如图③,、分别为∠、∠、∠的平分线，则
如图④,、分别为∠、∠的平分线，则
对于解答选择、填
空题，可以直接通
过结论解题，会起
到事半功倍的效
果 .
知识点二:三角形全等的性质与判定
6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等.
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相
等 .
(3)全等三角形的周长等、面积等.
失分点警示：运用
全等三角形的性质
时，要注意找准对
应边与对应角.
7.三角形全等的判定般
三
角
形
全
等
(三边对
应相等)
(两边和
它们的夹
角对应相
等)
( 两角和
它们的夹
角对应相
等)
( 两角和
其中一个
角的对边
对应相等)
失分点警示
如图，和不能判定
两个三角形全等. 直(1)斜边和一条直角边对应相等()
4
B C
4
O
O
B C D
图③
A
Q
B C
图②
D E C
图①
A
B
E
D
O
图④
角
三
角
形
全
等
(2)证明两个直角三角形全等同样可以用和.
8 . 全等三角形的运用
(1)利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：
将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过
证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意
公共角、公共边、对顶角等银行条件.
(2)全等三角形中的辅助线的作法：
①直接连接法：如图①,连接公共边，构造全等.
②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②,
由可得△≌△,则.在△中，>,即>2.
③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、
例：
如图，在△中，已知∠1=∠2,,
5 , 2 , 则3
④.
D
A
B
图①
C
图②图③
第16讲等腰、等边及直角三角形
A
E
C B
D
图④
A
C
,D
E
B
A
B. C
E
,D
②三个角都相等(均为60°)的三角形是等边三
角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.
即若=,且∠B=60°,则△是等边三角形. 知识点二:角平分线和垂直平分线
平分线
(1)性质：角平分线上的点到角的两边的
距离相等.即若
例：如图，△中，∠90°,∠30°,
的垂直平分线交于D,交于E,2,
则6 .
C
D
A* E B Z1=∠2,⊥,工，则=.
(2)判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角
的角平
分线上.
平:分
线
图
形
(1)性质：线段的垂直平分线上的点到这
条线段的两端点距离相等.即若垂直且平
分，则=.
C
o B (2)判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
知识点三：直角三角形的判定与性质
角三
(1)两锐角互余.即∠A+∠B=90°;
2)30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B=
30°则=;
( 1 ) 直角三角形的面积
1/21/2(其中为直角边，c为斜边
h是斜边上的高),可以利用这一
公式借助面积这个中间量解决与
高相关的求长度问题.
A
0*
B
P c
4 . 垂直
5 . 直3 . 角
B
B
角
形
的
性
质
(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半.即若是中线， (2)已知两边，利用勾股定理求 长度，若斜边不明确，应分类讨 论 .
(3)在折叠问题中，求长度，往 往需要结合勾股定理来列方程解 决 .
贝
·
(4) 勾股定理：两直角边a 、b 的平方和等于
斜边c 的平方.即 a²+b²=c² .
b
C
角
形 的 判 定
(1)有一个角是直角的三角形是直角三角
形.即若∠C=90°,则△是△;
(2)如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，则这
个三角形是直角三角形.即若==,则△是△ (3) 勾股定理的逆定理：若a²+b²=c²,则△是△ .
第17讲 相似三角形
知识点一：比例线段 关键点拨与对应举例 1.比
例
在四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等 于c 与d 的比，即，则这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，简称比例线段
列比例等式时，注意四条 线段的大小顺序，防止出 现比例混乱.
线
段 6 . 直 B
例的基本性质(1)基本性质：⇔=;(b、d≠0)
(2)合比性质：;(b、d≠0)
(3)等比性质：
=k.(b、d、…、n≠0)
已知比例式的值，求相关字母代数式的值，
常用引入参数法，将所有的量都统一用含同
一个参数的式子表示，再求代数式的值，也
可以用给出的字母中的一个表示出其他的
字母，再代入求解.如下题可设35k,再代入
所求式子，也可以把原式变形得3/5b代入求
解 .
例：若，
3. 平行线分线段成比例定理
(1)两条直线被一组平行线所截
所得的对应线段成比例.即如图所
示，若l₃//l₄//ls,则.
利用平行线所截线段成比
例求线段长或线段比时
注意根据图形列出比例等
式，灵活运用比例基本性
质求解.
例：如图，已知D,E分别
是△的边和上的点，2,3,
要使/,则：应等于登(2)平行于三角形一边的直线截其
他两边(或两边的延长线),所得的
对应线段成比例
即如图所示，若//,则.
A B
C D
(3)平行于三角形一边的直线和其
他两边相交，所构成的三角形和原
三角形相似.
如图所示，若//,则△∽△.
金分割点C把线段分成两条线段和，如果=≈0.618,
则线段被点C黄金分割.其中点C叫做线段的
黄金分割点 , 与的比叫做黄金
比 . A C B
例：把长为10的线段进行
黄金分割，则较长线段长
为5( √5-1)
A
D, E
C
2
A/ D
4
ls
EN
B
C
4. 黄2. 比
E D
知识点二：相似三角形的性质与判定
似三
角形的判定(1)两角对应相等的两个三角形
相似).
如图，若∠A=∠D,∠B=∠E,则△∽△.
判定三角形相似的思路：①条件中若有平行
线，可用平行线找出相等的角而判定；②条
件中若有一对等角，可再找一对等角或再找
夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中
若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件
中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证
明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有
等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等
或找底、腰对应成比例
(2)两边对应成比例，且夹角
相等的两个三角形相似. 如
图，若∠A=∠D,,则△∽△.
(3)三边对应成比例的两个三
角形相似.如图，若，则△∽
△.
6. 相似
三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例.
(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比
的平方.
(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比
和对应中线的比等于相似比
例：(1)已知△∽△,△的周长为3,△的周
长为2,则△与△的面积之比为9:4
(2)如图，/,上，已知S△△1:4,则1:2
7.相似三角形的基本模型
(1)熟悉利用利用相似求解问题的基本图
形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.
(2)证明等积式或者比例式的一般方法：经
常把等积式化为比例式，把比例式的四条
线段分别看做两个三角形的对应边.然后
通过证明这两个三角形相似，从而得出结
果 .
第18讲解直角三角形
5. 相
知识点一：锐角三角函数的定义
关键点拨与对应举例
1.锐角 三角函
数
正 弦 ： = = 余 弦 ： = =
正切： ==.
B
a
C
C b
A
根据定义求三角函数值 时， 一定根据题目图形来 理解，严格按照三角函数 的定义求解，有时需要通 过辅助线来构造直角三角 形 .
2 . 特 殊
角的三
角函数 值
度数
三 角 函
数
30° 45°
60°
1
√3
知识点二 :解直角三角形
3.解直 角 三 角 形 的 概 在直角三角形中，除直角外， 一共有五个元素， 即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角 外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做 解直角三角形.
科学选择解直角三角形的 方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、
余弦很方便；
1)图形记化法；如图①、2所水
2 60°
图π
①
B
图②
smb0=cd 0²=号：sa6o 30 s045**od5 ;0:
P
水
.线
图②图③
为中介在两个三角形中依
次求边，或通过公共边相
等，列方程求解.
6 . 解直角三角形实际应用的一般步
寸取
水(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，
建立数学模型；
(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之
间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合
实际意义，从而得到问题的解.
第五单元四边形
第19讲多边形与平行四边形
知识点一：多边形
关键点拨与对
应举例
1.多边形的相关概念
(1)定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成
的封闭图形叫做多边形.
(2)对角线：从n边形的一个顶点可以引(n—3)条对
角线，并且这些对角线把多边形分成了(n—2)个三
角形；n边形对角线条数为.
多边形中求度
数时，灵活选择
公式求度数，解
决多边形内角
和问题时，多数
列方程求解.
例：
(1)若一个多边
形的内角和为
2.多边形的内角和、外角和(1)内角和：n边形内角和公式为(n-2)·180°
(2)外角和：任意多边形的外角和为360°
3.正多边(1)定义：各边相等，各角也相等的多边形.
(2)正n边形的每个内角为
,每一个外角为360°:卑争理
5.平行四
边形的性质
边形中的几个解题模型(2)平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三
角形，如图②中△≌△;
两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角
形，如图②中△≌△,△≌△;
根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中
心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置
的三角形全等，如图②△≌△.图②中阴影部分的
面积为平行四边形面积的一半.
(3) 如图③,已知点E为上一点，根据平行线间的
距离处处相等，可得S
(4) 根据平行四边形的面积的求法，可得·.
D 4 D
分
+
B E
+
图② 图③图④
等来解题.
(3)过平行四
边形对称中心
的任一直线等
分平行四边形
的面积及周长.
例：
如图，□中，过
对角线的交点
O,
4,
3,1.3,则四边
形的周长为9.6
知识点三:平行四边形的判定
7.平行四边形的
判定
(1)方法一(定义法):两组对边分别平行的四边形
是平行四边形.
即若//,//,则四边形是□.
(2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边
形 .
即若=,=,则四边形是口
(3)方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行
例：如图四边形
的对角线相交
于点，请你添加
一个条件或//
或/L(只添加一
个即可),使四
边形为平行四
D E
Q
B
F C
图①
C
A
四边形 .
即若=,//,或//,则四边形是□.
(4)方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形
即若=,=,则四边形是□
(5)方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边
形
若∠=∠,∠=∠,则四边形是□.
边形 .
第20讲 特殊的平行四边形
知识点一：特殊平行四边形的性质与判定
关键点拨及对应
举例
1.性
质
(具有平 行四边形
的一切性 质，对边平 行且相等)
矩 形
菱 形
正方形
(1)矩形中△≌△≌△≌△;两 对全等的等腰三角形.所以经常结 合勾股定理、等腰三角形的性质解 题 .
(2)菱形中，有两对全等的等腰 三角形：△≌△≌△≌△;若∠ 60°,则△和△为等边三角形，
且四个直角三角形中都有一个
30°的锐角. (3)正方形中有8个等腰直角三
角形，解题时结合等腰直角三角形 的锐角为45°,斜边=直角边.
D
B
(1)四个角都是直角 (2)对角线相等且互 相平分.即
(3)面积=长×宽
=2SA4S
(1)四边相等
(2)对角线互相垂直、平分，
一条对角线平分一组对角 (3)面积=底×高
=对角线乘积的一半
(1)四条边都相等，四个角都是 直角 (2)对角线相等且互相垂直平分 (3)面积=边长×边长
=2S =4S△
2.判
定
(1)定义法：有一个 角是直角的平行四
边形
(2)有三个角是直角 (3)对角线相等的平 行四边形
(1)定义法：有一组邻边相 等的平行四边形 (2)对角线互相垂直的平行 四边形
(3)四条边都相等的四边形
(1)定义法：有一个角是直角 且有一组邻边相等的平行四 边形
(2)一组邻边相等的矩形 (3)一个角是直角的菱形 (4)对角线相等且互相垂直、 平分
例 ：判断正误
邻边相等的四边形为菱形.( )
有三个角是直角的四边形式矩形. ( ) 对角线互相垂直平分的四边形是
菱形 ( )
对边相等的矩形是正方形.( )。