小学数学与数学思想方法(王永春)
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从小学到中学，数学知识呈现一个由易到难、从简到 繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过 程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁 难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂 的数学问题。因此，化归既是一般化的数学思想方法，具 有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的 法宝之一，具有重要的意义和作用。
理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间 的区别和联系。
掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境。 运用：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决 问题。 经历：在特定的数学活动中，获得一些感性认识。
体验：参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征， 获得一些经验。
探索：独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出 问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象 的区别和联系，获得一定的理性认识。
如果说符号化思想更注重数学抽象和符号表达，那么模 型思想更注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题， 尤其是现实中的各种问题；当然，把现实情境数学结构化 的过程也是一个抽象的过程。
2011版课程标准与原课程标准相比有了较大变化，在课 程内容部分中明确提出了“初步形成模型思想”，并具体 解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外 部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从 现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立 方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化 规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有 助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用 意识”。
(1) 演绎推理。 三段论，有两个前提和一个结论的演绎推理，叫做三
段论。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提—— 已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论— —根据一般原理，对特殊情况做出的判断。例如：一切奇 数都不能被２整除，(２³＋１)是奇数，所以(２³＋１)不能 被２整除。
选言推理，分为相容选言推理和不相容选言推理。这 里只介绍不相容选言推理：大前提是个不相容的选言判断， 小前提肯定其中的一个选言支，结论则否定其它选言支； 小前提否定除其中一个以外的选言支，结论则肯定剩下的 那个选言支。例如：一个三角形，要么是锐角三角形，要 么是直角三角形，要么是钝角三角形。这个三角形不是锐 角三角形和直角三角形，所以，它是个钝角三角形。
中国数学教育的一些优势是明显的，上海参加PISA 测试名列前茅。2014年5月召开的首届华人数学教育会 议，评价认为我国数学教育主要有三个弱项：
独立思考、问题解决、创造性
学（生）本课堂的重要体现是培养独立思考能力、自学 能力、问题解决能力、创造性： 是什么？ 为什么？ 如何运用、应用？
概念等 判断推理等 运算、问题解决
百分数问题转化为分数问题举例。
案例3:2006年广州市中考题。
目前广州市小学和初中在校生共有约１２８万人，其中小学 生在校人数比初中生在校人数的２倍多１４万人。 （１）求目前广州市在校小学生人数和初中生人数。 （２）假设今年小学生每人需交杂费５００元，初中生每人需 交杂费１００元，而这些费用全部由广州市政府拨款解决，则 广州市要为此拨款多少？
2. 模型思想的应用。 数的表示，自然数列：0,1,2,…用数轴表示数 用数字和图形表示排列规律
数的运算a+b=c，c－a =b, c－b＝a， a×b＝c(a≠0,b≠0)，c÷a=b, c÷b＝a 用字母表示运算定律，方程ax+b=c 数量关系：时间、速度和路程：s=vt
数量、单价和总价：a=np 正比例关系：y/x=k 反比例关系：xy=k 用表格表示数量间的关系用图象表示数量间的关系
一、抽象的思想
1. 对抽象思想的认识。 数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式
的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性，用 数学语言表达进而形成数学理论的过程。数学抽象 思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。
(1) 数学抽象在数学教学的过程中无处不在。 任何一个数学概念、法则、公式、规律等的学习，
2．解决问题中的化归策略。 （1）化抽象问题为直观问题。
从数的认识到计算，直观操作帮助理解算理算法； 解决问题中画线段图表等帮助理解数量关系，进行 推理； 用图表进行推理； 函数图像直观地表示变量间的关系； 统计图表直观地表示数据。
（2）化繁为简的策略。 有些数学问题比较复杂，直接解答过程会比较繁琐，如
都要用到抽象概括。
(2) 数学抽象是有层次的。 随着数学的发展呈现出了逐步抽象的过程。
例如，数的发展，从结绳记数得到1，2，3，…等有 限的自然数，再通过加法的运算，得到后继数，形成 了无限的正整数序列： 1，2，3，…，n, … 在此基 础上形成了正整数集合N。
再如，整数 →小数 → 分数 → 有理数→实数 算术中的数（1等）→代数中的常量（a）→变量(χ)
果在结构和数量关系相似的情况下，从更加简单的问题入 手，找到解决问题的方法或建立模型，并进行适当检验， 如果能够证明这种方法或模型是正确的，那么该问题一般 来说便得到解决。 案例：快速口算85×85＝，95×95＝，105×105＝
分析：仔细观察可以看出，此类题有些特点，每个算 式中的两个因数相等，并且个位数都是5。不妨从简单的 数开始探索，如15×15＝225, 25×25＝625, 35×35＝1225。 通过这几个算式的因数与相应的积的特点，可以初步发现 规律是：个位数是5的相等的两个数的乘积分为左右两部 分：左边为因数中5以外的数字乘比它大1的数，右边为25 （5乘5的积）。所以85×85＝7225，95×95＝9025， 105×105＝11025，实际验证也是如此。
2. 抽象思想的应用。 抽象思想在数学中无处 不在。一年级上册，10 的认识，11-20的认识。
在教学10的认识时，多数教师会结合计数器、点子 图、小棒等直观教具认识到9添上1是10，然后再进一 步学习10的组成及加减法；没有引导学生思考：10与 前面学习的0～9这些数有什么不同？这里实际上隐含 一个非常重要的思想方法—数学抽象，它比8和9的抽 象水平更高，因为10不仅是对任何数量是10的物体的
度地整合丰富多彩的问题。
以s＝vt为例，模型结构图如下，a是常数。请老师 自己编题。
案例1：甲地到乙地原来运行的是动车，上午8时出发 中午12时到达，运行路程是700千米。现在运行的是 高铁，每小时比动车快105千米，上午8时出发，几时 到达？
分析： (1)此题是生活中的实际问题，属于时间、速度、路程 的问题，要解决的问题是求高铁的运行时间, t=s÷v。 (2)S不变，v比原来大，可用t1=s÷(v+a)的数学模型。 (3)根据题中的信息, v=700 ÷4=175，a=105。
用字母表示周长、面积和体积公式
用图表示空间和平面结构
用统计图表描述和分析各种信息
用分数表示可能性的大小。
一下，找规律
六下，找规律， 建模
下面讨论以数学模型为核心的问题解决的教学。
传统上应用题的结构是与四则运算、混合运算相匹 配，包括有连续两问的应用题、相似应用题的比较， 现在有问题串，这些都是很好的做法和经验，是知识 结构的基础。这种结构是线性的。以基本模型和问题 为核心，构建问题链，可以是网状结构，从而最大限
把教材中哪些内容体现什么数学思想，进行具体描述， 便于老师们把握。为了让广大教师更好地理解有关数学 思想的理念、落实数学思想的教学目标，建议采用《标 准（2011）》中的行为动词来描述数学思想的教学目 标。
5
教学目标要具体、全面、用词准确、便于落实和检测。
了解：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据 对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。
数学思想方法对于小学数学教学的意义 （一）有利于建立现代数学教育观、落实新课程理念 学生数学素养的内涵、数学的价值要更新 （二）有利于提高教师专业素养、提高教学水平 学本课堂，教师要提高专业素养，否则无法授人以渔 （三）有利于提高学生的思维水平、培养“四能” 不能让学生单纯地认为学数学就是考试拿分的工具
（3）化未知问题为已知问题。 对于学生而言，学习的过程是一个不断面对新知识的过
程，有些新知识通过某些载体直接呈现，如面积和面积单 位，通过一些物体或图形直接引入概念；而有些新知识可 以利用已有知识通过探索，把新知识转化为旧知识进行学 习。如平行四边形面积公式的学习，通过割补平移，把平 行四边形转化为长方形求面积。这种化未知为已知的策略， 在数学学习中非常常见。
小学数学与数学思想方法
人民教育出版社小学数学室 王永春
对数学思想方法的认识
《义务教育数学课程标准》（2011年版） 总体目标 通过义务教育阶段的数学学习，学生能： 1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础 知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
基本思想作为第三基，不再是附属品，而是实实在在的难易程度进行不同 程度的体现。
所以v+a=175+105=280。则t1=700÷280＝2.5。 (4)高铁8时出发，10:30 到达。
三、化归思想
1. 对化归思想的认识。 人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或
不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式， 把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问 题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。
在到处是情境的数学教育时代，往往容易忽略抽象。
二、模型思想
1. 对模型思想的认识。 数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事 物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义 角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、 数量关系式、图表、程序等都是数学模型。数学的模型思 想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学 符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相通之处， 同样具有普遍的意义。不过，也有很多数学家对数学模型 的理解似乎更注重数学的应用性,即把数学模型描述为特 定的事物系统的数学关系结构。如通过数学在经济、物理、 农业、生物、社会学等领域的应用，所构造的各种数学模 型。为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显地区分 开来，主要从侠义的角度讨论数学模型，即重点分析小学 数学的应用及数学模型的构建。
分析：上题与人教版 小学五上Ｐ７8例4相 比，稍复杂。
四、推理思想
1. 对推理思想的认识。 推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断 的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所 得到的判断叫结论。推理分为两种形式：演绎推理和 合情推理。演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑 规则）推出特殊性命题的推理。演绎推理的特征是： 当前提为真时，结论必然为真。演绎推理的常用形式 有：三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。合 情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过 归纳和类比等推测某些结果。合情推理的常用形式有： 归纳推理和类比推理。当前提为真时，合情推理所得 的结论可能为真也可能为假。
数学思想方法
《标准（2011）》在教学建议中强调让学生感悟数 学思想。教科书中的很多内容都渗透了各种数学思想， 有些是明显的，有些是隐藏的。如二上第一单元长度单 位体现了符号思想，用字母符号“cm”“m”来表示 长度单位厘米和米，是非常明显的；而在第4和6单元 表内乘法中体现了函数思想，就是隐藏的。
假言推理， 假言推理的分类较为复杂，这里简单介绍
一种充分条件假言推理：前提有一个充分条件假言判断， 肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如： 如果一个数的末位是０，那么这个数能被５整除；这个数 的末位是０，所以这个数能被５整除。这里的大前提是一 个假言判断，所以这种推理尽管与三段论有相似的地方， 但它不是三段论。
抽象，进一步地它已经不再用新的数字计数了而是采 用了伟大的十进位值制计数原理。
在11-20的认识时，就要引导学生思考：10与9的不同？ 11中的两个1有什么不同？
3. 数学抽象思想的教学。 具体 → 抽象 → 具体
↓
↓↓
情境 → 模型 → 应用
注：这里的模型是广义的，数学概念、法则、公式、 数量关系、规律等都可以理解为模型。
理解：描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间 的区别和联系。
掌握：在理解的基础上，把对象用于新的情境。 运用：综合使用已掌握的对象，选择或创造适当的方法解决 问题。 经历：在特定的数学活动中，获得一些感性认识。
体验：参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征， 获得一些经验。
探索：独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出 问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象 的区别和联系，获得一定的理性认识。
如果说符号化思想更注重数学抽象和符号表达，那么模 型思想更注重数学的应用，即通过数学结构化解决问题， 尤其是现实中的各种问题；当然，把现实情境数学结构化 的过程也是一个抽象的过程。
2011版课程标准与原课程标准相比有了较大变化，在课 程内容部分中明确提出了“初步形成模型思想”，并具体 解释为“模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外 部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从 现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立 方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化 规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有 助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用 意识”。
(1) 演绎推理。 三段论，有两个前提和一个结论的演绎推理，叫做三
段论。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提—— 已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情况，结论— —根据一般原理，对特殊情况做出的判断。例如：一切奇 数都不能被２整除，(２³＋１)是奇数，所以(２³＋１)不能 被２整除。
选言推理，分为相容选言推理和不相容选言推理。这 里只介绍不相容选言推理：大前提是个不相容的选言判断， 小前提肯定其中的一个选言支，结论则否定其它选言支； 小前提否定除其中一个以外的选言支，结论则肯定剩下的 那个选言支。例如：一个三角形，要么是锐角三角形，要 么是直角三角形，要么是钝角三角形。这个三角形不是锐 角三角形和直角三角形，所以，它是个钝角三角形。
中国数学教育的一些优势是明显的，上海参加PISA 测试名列前茅。2014年5月召开的首届华人数学教育会 议，评价认为我国数学教育主要有三个弱项：
独立思考、问题解决、创造性
学（生）本课堂的重要体现是培养独立思考能力、自学 能力、问题解决能力、创造性： 是什么？ 为什么？ 如何运用、应用？
概念等 判断推理等 运算、问题解决
百分数问题转化为分数问题举例。
案例3:2006年广州市中考题。
目前广州市小学和初中在校生共有约１２８万人，其中小学 生在校人数比初中生在校人数的２倍多１４万人。 （１）求目前广州市在校小学生人数和初中生人数。 （２）假设今年小学生每人需交杂费５００元，初中生每人需 交杂费１００元，而这些费用全部由广州市政府拨款解决，则 广州市要为此拨款多少？
2. 模型思想的应用。 数的表示，自然数列：0,1,2,…用数轴表示数 用数字和图形表示排列规律
数的运算a+b=c，c－a =b, c－b＝a， a×b＝c(a≠0,b≠0)，c÷a=b, c÷b＝a 用字母表示运算定律，方程ax+b=c 数量关系：时间、速度和路程：s=vt
数量、单价和总价：a=np 正比例关系：y/x=k 反比例关系：xy=k 用表格表示数量间的关系用图象表示数量间的关系
一、抽象的思想
1. 对抽象思想的认识。 数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式
的真实材料进行加工、提炼出共同的本质属性，用 数学语言表达进而形成数学理论的过程。数学抽象 思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。
(1) 数学抽象在数学教学的过程中无处不在。 任何一个数学概念、法则、公式、规律等的学习，
2．解决问题中的化归策略。 （1）化抽象问题为直观问题。
从数的认识到计算，直观操作帮助理解算理算法； 解决问题中画线段图表等帮助理解数量关系，进行 推理； 用图表进行推理； 函数图像直观地表示变量间的关系； 统计图表直观地表示数据。
（2）化繁为简的策略。 有些数学问题比较复杂，直接解答过程会比较繁琐，如
都要用到抽象概括。
(2) 数学抽象是有层次的。 随着数学的发展呈现出了逐步抽象的过程。
例如，数的发展，从结绳记数得到1，2，3，…等有 限的自然数，再通过加法的运算，得到后继数，形成 了无限的正整数序列： 1，2，3，…，n, … 在此基 础上形成了正整数集合N。
再如，整数 →小数 → 分数 → 有理数→实数 算术中的数（1等）→代数中的常量（a）→变量(χ)
果在结构和数量关系相似的情况下，从更加简单的问题入 手，找到解决问题的方法或建立模型，并进行适当检验， 如果能够证明这种方法或模型是正确的，那么该问题一般 来说便得到解决。 案例：快速口算85×85＝，95×95＝，105×105＝
分析：仔细观察可以看出，此类题有些特点，每个算 式中的两个因数相等，并且个位数都是5。不妨从简单的 数开始探索，如15×15＝225, 25×25＝625, 35×35＝1225。 通过这几个算式的因数与相应的积的特点，可以初步发现 规律是：个位数是5的相等的两个数的乘积分为左右两部 分：左边为因数中5以外的数字乘比它大1的数，右边为25 （5乘5的积）。所以85×85＝7225，95×95＝9025， 105×105＝11025，实际验证也是如此。
2. 抽象思想的应用。 抽象思想在数学中无处 不在。一年级上册，10 的认识，11-20的认识。
在教学10的认识时，多数教师会结合计数器、点子 图、小棒等直观教具认识到9添上1是10，然后再进一 步学习10的组成及加减法；没有引导学生思考：10与 前面学习的0～9这些数有什么不同？这里实际上隐含 一个非常重要的思想方法—数学抽象，它比8和9的抽 象水平更高，因为10不仅是对任何数量是10的物体的
度地整合丰富多彩的问题。
以s＝vt为例，模型结构图如下，a是常数。请老师 自己编题。
案例1：甲地到乙地原来运行的是动车，上午8时出发 中午12时到达，运行路程是700千米。现在运行的是 高铁，每小时比动车快105千米，上午8时出发，几时 到达？
分析： (1)此题是生活中的实际问题，属于时间、速度、路程 的问题，要解决的问题是求高铁的运行时间, t=s÷v。 (2)S不变，v比原来大，可用t1=s÷(v+a)的数学模型。 (3)根据题中的信息, v=700 ÷4=175，a=105。
用字母表示周长、面积和体积公式
用图表示空间和平面结构
用统计图表描述和分析各种信息
用分数表示可能性的大小。
一下，找规律
六下，找规律， 建模
下面讨论以数学模型为核心的问题解决的教学。
传统上应用题的结构是与四则运算、混合运算相匹 配，包括有连续两问的应用题、相似应用题的比较， 现在有问题串，这些都是很好的做法和经验，是知识 结构的基础。这种结构是线性的。以基本模型和问题 为核心，构建问题链，可以是网状结构，从而最大限
把教材中哪些内容体现什么数学思想，进行具体描述， 便于老师们把握。为了让广大教师更好地理解有关数学 思想的理念、落实数学思想的教学目标，建议采用《标 准（2011）》中的行为动词来描述数学思想的教学目 标。
5
教学目标要具体、全面、用词准确、便于落实和检测。
了解：从具体实例中知道或举例说明对象的有关特征；根据 对象的特征，从具体情境中辨认或者举例说明对象。
数学思想方法对于小学数学教学的意义 （一）有利于建立现代数学教育观、落实新课程理念 学生数学素养的内涵、数学的价值要更新 （二）有利于提高教师专业素养、提高教学水平 学本课堂，教师要提高专业素养，否则无法授人以渔 （三）有利于提高学生的思维水平、培养“四能” 不能让学生单纯地认为学数学就是考试拿分的工具
（3）化未知问题为已知问题。 对于学生而言，学习的过程是一个不断面对新知识的过
程，有些新知识通过某些载体直接呈现，如面积和面积单 位，通过一些物体或图形直接引入概念；而有些新知识可 以利用已有知识通过探索，把新知识转化为旧知识进行学 习。如平行四边形面积公式的学习，通过割补平移，把平 行四边形转化为长方形求面积。这种化未知为已知的策略， 在数学学习中非常常见。
小学数学与数学思想方法
人民教育出版社小学数学室 王永春
对数学思想方法的认识
《义务教育数学课程标准》（2011年版） 总体目标 通过义务教育阶段的数学学习，学生能： 1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础 知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
基本思想作为第三基，不再是附属品，而是实实在在的难易程度进行不同 程度的体现。
所以v+a=175+105=280。则t1=700÷280＝2.5。 (4)高铁8时出发，10:30 到达。
三、化归思想
1. 对化归思想的认识。 人们在面对数学问题，如果直接应用已有知识不能或
不易解决该问题时，往往将需要解决的问题不断转化形式， 把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问 题得到解决，把这种思想方法称为化归（转化）思想。
在到处是情境的数学教育时代，往往容易忽略抽象。
二、模型思想
1. 对模型思想的认识。 数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事 物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义 角度讲，数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、 数量关系式、图表、程序等都是数学模型。数学的模型思 想是一般化的思想方法，数学模型的主要表现形式是数学 符号表达式和图表，因而它与符号化思想有很多相通之处， 同样具有普遍的意义。不过，也有很多数学家对数学模型 的理解似乎更注重数学的应用性,即把数学模型描述为特 定的事物系统的数学关系结构。如通过数学在经济、物理、 农业、生物、社会学等领域的应用，所构造的各种数学模 型。为了把数学模型与数学知识或是符号思想明显地区分 开来，主要从侠义的角度讨论数学模型，即重点分析小学 数学的应用及数学模型的构建。
分析：上题与人教版 小学五上Ｐ７8例4相 比，稍复杂。
四、推理思想
1. 对推理思想的认识。 推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断 的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所 得到的判断叫结论。推理分为两种形式：演绎推理和 合情推理。演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑 规则）推出特殊性命题的推理。演绎推理的特征是： 当前提为真时，结论必然为真。演绎推理的常用形式 有：三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。合 情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过 归纳和类比等推测某些结果。合情推理的常用形式有： 归纳推理和类比推理。当前提为真时，合情推理所得 的结论可能为真也可能为假。
数学思想方法
《标准（2011）》在教学建议中强调让学生感悟数 学思想。教科书中的很多内容都渗透了各种数学思想， 有些是明显的，有些是隐藏的。如二上第一单元长度单 位体现了符号思想，用字母符号“cm”“m”来表示 长度单位厘米和米，是非常明显的；而在第4和6单元 表内乘法中体现了函数思想，就是隐藏的。
假言推理， 假言推理的分类较为复杂，这里简单介绍
一种充分条件假言推理：前提有一个充分条件假言判断， 肯定前件就要肯定后件，否定后件就要否定前件。例如： 如果一个数的末位是０，那么这个数能被５整除；这个数 的末位是０，所以这个数能被５整除。这里的大前提是一 个假言判断，所以这种推理尽管与三段论有相似的地方， 但它不是三段论。
抽象，进一步地它已经不再用新的数字计数了而是采 用了伟大的十进位值制计数原理。
在11-20的认识时，就要引导学生思考：10与9的不同？ 11中的两个1有什么不同？
3. 数学抽象思想的教学。 具体 → 抽象 → 具体
↓
↓↓
情境 → 模型 → 应用
注：这里的模型是广义的，数学概念、法则、公式、 数量关系、规律等都可以理解为模型。