五元一次不定方程的一个求解公式

五元一次不定方程的一个求解公式
高丽;齐琼
【摘要】讨论了五元一次不定方程的求解方法.得出五元一次不定方程
ax+by+cz+ev+fw=N的一个求解公式.
【期刊名称】《河南科学》
【年(卷),期】2010(028)005
【总页数】2页(P521-522)
【关键词】不定方程;解;公式
【作者】高丽;齐琼
【作者单位】延安大学,数学与计算机科学院,陕西,延安,716000;西北政法大学,经管院,西安,710063
【正文语种】中文
【中图分类】O122.2
不定方程是初等数论的一个重要内容，有许多专家学者致力于不定方程的研究，如文献［1-4］都有不定方程解法的讨论.然而这些方法多是二元一次、三元一次、四元一次不定方程的公式解，在此基础上本文进一步探讨五元一次不定方程的求解方法，得出五元一次不定方程的一个求解公式.
引理 1[1] 设二元一次不定方程 ax+by=c有一整数解：x=x0，y=y0，又设（a，b）=d，a=a1d，b=b1d，a∈z+，b∈z+，则方程ax+by=c的一切解可表示成引理 2[2] 设（a，b，c）=1，（a，b）=g，a=a1g，b=b1g，则不定方程
ax+by+cz=d 的全部解可表示成
其中：x0，y0，z0是方程 ax+by+cz=d 的一组解；u1，u2满足
a1u1+b1u2=1；t1，t2为任意整数.
定理 1 设abcef≠0，（a，b，c，e，f）=1，那么不定方程
的所有整数解是
其中：x0，y0 为 ax+by=1 的一组解；v0，w0为 ev+fw=d2的一组解；d1=（a，b，c）=1，d2=（e，f）；t′，t″满足t′+d2t″=N；m，n，k1，k2为任意整数.
证明因（a，b，c，e，f）=1，所以不定方程（1）有整数解，令
其中：d1=（a，b，c），d2=（e，f），显然（d1，d2）=1，由此知，方程（4）有整数解，由引理 1 知，其所有解是
其中：m 为任意整数；t′，t″满足d1t′+d2t″=N.
因d2=（e，f），所以不定方程（3）有整数解，由引理1知，其全部解为
其中：v0，w0为ev+fw=d2的一组解；n为任意整数.因x0，y0为ax+by=1的一组解，由引理2知，不定方程ax+by+cz=1有整数解，其全部解为
其中 k1，k2为任意整数.因为 ax+by=1，所以（a，b）=1，那么 d1=（a，b，c）=1.则（2）式的所有解是
于是得定理结论成立.
【相关文献】
［1］潘承洞，潘承彪.初等数论［M］.北京：北京大学出版社，2004.
［2］闵嗣鹤，严士健.初等数论［M］.北京：高等教育出版社，2003.
［3］柯召，孙琦.谈谈不定方程［M］.上海：上海教育出版社，1980.
［4］陈景润.初等数论［M］.北京：科学出版社，1988.
［5］冉光华.四元一次不定方程的公式解［J］.铜仁学院学报，2007，1（1）：99－101.。