2016高考数学(理)二轮复习检测：大题专项强化练 七 含答案

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大题专项强化练七
立体几何(A组）
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1.如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4,AB=6，BC=3。

点E是CD边的中点,点F，G分别在线段AB,BC上，且AF=2FB,CG=2GB.
(1)证明：PE⊥FG。

(2）求二面角P-AD—C的正切值.
(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值。

【解题指南】(1）可先证线面垂直，PE⊥平面ABCD，进而得到线线垂直。

(2)可以找出二面角的平面角，然后再求解.（3）利用等角定理将两条异面直线所成角问题转化到一个三角形中去解决。

【解析】(1）因为PD=PC且点E为CD的中点,
所以PE⊥DC，又平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，
所以PE⊥平面ABCD,又FG⊂平面ABCD，
所以PE⊥FG。

（2)因为四边形ABCD是矩形,
所以AD⊥DC，又平面PDC⊥平面ABCD，且平面PDC∩平面ABCD=CD，AD⊂平面ABCD，
所以AD⊥平面PCD，又CD，PD⊂平面PDC，
所以AD⊥DC，AD⊥PD,
所以∠PDC即为二面角P—AD—C的平面角,
在Rt△PDE中，PD=4，DE=AB=3，PE==，
所以tan∠PDC==，即二面角P—AD-C的正切值为。

（3）如图所示，连接AC,
因为AF=2FB，CG=2GB即==2，
所以AC∥FG，
所以∠PAC为直线PA与直线FG所成角或其补角,
在△PAC中,PA==5,
AC==3,
由余弦定理可得cos∠PAC=
==,
所以直线PA与直线FG所成角的余弦值为。

2。

已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2,∠ACB=，点D是线段BC的中点.
（1）求证：A1C∥平面AB1D。

(2）当三棱柱ABC—A1B1C1的体积最大时，求直线A1D与平面AB1D 所成角θ的正弦值.
【解析】（1）如图，设A1B∩AB1=O，连接OD,则OD为三角形A1BC 的中位线，所以A1C∥OD，OD⊂平面AB1D,A1C⊄平面AB1D,所以A1C∥平面AB1D.
(2）当三棱柱ABC—A1B1C1的底面积最大时，体积最大,因为4=AB2=
AC2+BC2-2AC·BC·cos≥2AC·BC—AC·BC=AC·BC，所以当AC=BC时，即三角形ABC为正三角形时面积取最大值，以D为原点建立如图所示坐标系,
则D（0,0,0), A（,0,0)，B1(0，- 1，2)，
A1（,0，2），所以=（,0,0）,=(0，-1,2），=（，0，2），
设平面AB1D的法向量为n=（x,y，z), 取z=1，得y=2.所以n= （0，2,1），则直线A1D与平面AB1D所成角θ。