【数学】安徽省皖东名校联盟2019届高三上学期第二次联考试题(理)(扫描版)(解析版)

安徽省皖东名校联盟2019届高三上学期第二次联考
数学试题（理）
【参考答案】
1.【解析】 由题意知，{}
13B x x =<<，=B C R {}
31≥≤x x x 或，=)(B C A R (]2,1-. 2.【解析】若复数bi a +-1是纯虚数，必有.0,1≠=b a 所以由p 能推出q .但若1=a ,不能推出复数bi a +-1是纯虚数. 所以由q 不能推出p . 因此p 是q 充分不必要条件. 3.【解析】因为4747)2
1(22
2
≥+
+=++a a a ，所以)2(2++a a f )4
7(f ≥. 4.【解析】显然原函数是偶函数，立即排除B ，D.取0=x ，则1-=y .排除A. 5.【解析】由图象可知，23,==m n .
1
()f x dx ⎰
.65
)22331()23(1
232
1
=+-=+-=⎰
x x x dx x x
6.【解析】)(),()()3(x f y x f x f x f =∴=--=+ 的周期是
3.于是
000)1()0()2020()2019(=+=+=+f f f f .
7.【解析】设),(y x Q 是函数)(x g y =的图象上任意一点，其函数)1(log )(2+=x x f 图象上关于原点对称的点是P ),(y x --.因为点P ),(y x --在函数2()log (1)f x x =+的图象上，所以2log (1),y x -=-+即2()log (1).g x x =--故选D.
8.【解析】由y x 22
=得，221x y =，则x y ='.抛物线在点)2
,(2
a a 处的切线方程是
).(2
2
a x a a y -=-令0=x ，则;212a y -= 令0=y ，则2a x =. 于是
,82
21212=⋅⋅a
a 解得.4=a 所以切线方程是.084=--y x 故选B.
9.【解析】()1242(2)22.x x x x f x b b +=-+=-⋅+设,2t x =则()222(1)1f x t t b t b =-+=-+-.因为[],1,1-∈x 所以.2,21⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈t 当1=t 时，()min 1f x b =-；当2=t 时，()max 3f x =，即
.3,311==-+b b 于是()min 2.f x =
10.【解析】因为
121
<<a ， 所以,021*******>-+=-+a
a a a a ,0221
)21(22221)1(2122
>+
-=+-=--a
a a a a a a 所以，p m <.n p <故选D. 11.【解析】因为a x x a x x x f ---=--='sin 4)sin 21(2sin 42cos 2)(2
224sin 4sin 2(2sin 1)30x x a x a =--+-=-++-≤,在R 上恒成立,因此
23(2s i n 1)a x ≥-+,3a ≥.故选B.
12．【解析】由题意知，2()(2)2x f x x m x m e '⎡⎤=+--⎣⎦x e m x x ))(2(-+=.
由0)(='x f 得，.,221m x x =-=因为2->m ，所以函数()f x 在区间(),2-∞-和),(+∞m 内单调递增，在区间),2(m -内单调递减. 于是函数()f x 的极小值为0)(=m f ，即
,02)(22=+--m e m m m m ,0)2(=-m e m 解得0=m 或.2ln =m 当0=m 时，()f x 的极
大值为()2
24f e --=.当2ln =m 时，()f x 的极大值为2ln 2)2ln 4()2(2++=--e f .
13．【答案】若βα≤，则.sin sin βα≤ 14．【答案】
.2
2
ln 20182018ln 20192019ln << 【解析】因为2
ln 1)(x x
x f -=
'，在),0(e 内单增，在),(+∞e 内单减，所以2
2
ln 44ln 20182018ln 20192019ln =
<<. 15.【答案】
12
3-e
【解析】当e x ≥时，,01
1)ln (>-
='-x
x x 此时函数)(x f 在[)+∞,e 上单增，值域是[)+∞-,1e .当e x <时，m x +-2
1是减函数，其值域是⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞+-,2
m e .
因此⊆⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞+-
,2m e [)+∞-,1e .于是,12-≥+-e m e 解得123-≥
e m ，即实数m 的最小
值是
12
3-e . 16. 【答案】5
【解析1】由0133123=+-⋅-x x x 得，x
x x -=+-31323.
令=)(x g ,1323+-x x 则2,0063)(212===-='x x x x x g ，.)(x g 在[]2,0上单减，在
[]32，上单增. 1)0(=g ，,3)2(-=g 1)3(=g .则)(x g 在[]3,0上的图象草图如下，与函数
x y )3
1
(=的图象有5个交点.
【解析2】由0133123=+-⋅-x x x 得，x x x -=+-31323.令=)(x g ,132
3+-x x 则
2,0063)(212===-='x x x x x g ，.)(x g 在[]2,0上单减，在[]32，
上单增. 1)0(=g ，,3)2(-=g 1)3(=g ，.83)21(=g 令=)(x h x x x )31(1323-+-，其中⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∈21,0x 。

则
=')(x h 3ln )31(632x x x +-，='')(x h .0)3(ln )31(662<--x x )(x h '在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡21,0上单减，且
03ln 3
1
433)21(,03ln )0(<++-='>='h h ，所以存在唯一的∈0x )21,0(，使得
0)(0='x h 。

因此函数)(x h '在[]0,0x 上单增，在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡21,0x 上单减。

又因为
03383)21(0)0(<-==h h ，,所以)(x h 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡21,0上有两个零点。

而)(x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21上的
图象与函数x
y )3
1
(=的图象有3个交点.故正确答案是5.
17.解：（Ⅰ）当2=a 时，x
x f 2)(=042≥⋅-x ,
即,2
21
2+≥x x .1,12-≤+≥x x x 故实数x 的取值范围是(].1,-∞- ……………………4分
（Ⅱ）1)(->x f 在x (]1,∞-∈上恒成立,
即])2
1
()41[(2x x a a +->-在x (]1,∞-∈上恒成立.
因为函数x
x
)2
1()41(和在x (]1,∞-∈上均为单减函数，
所以－])21()41[(x
x
+在(]1,∞-上为单增函数，最大值为])21()41[(1
1
+-4
3
-
=. ………………………………………………………………………………………………………………………8分
因此,432
->-a a 解得2
321<<-a .故实数a 的整数值是1,0. ……………………10分
18．解：先证充分性. 若0a ≤，则0=a 或.0<a
（1）当0a =时，x x f -=)(在)0,(-∞内单减. ……………………………………3分 （2）当0a < 时，x ax x f --=2
)(，在)21
,(a
-
-∞内单减， 所以()f x 在)0,(-∞内单减. 因此0a ≤时，()f x 在)0,(-∞内单减. ………………6分 再证必要性.
若函数)1()(+=ax x x f 在区间)0,(-∞内单调递减，
分0a =、0a <和0a >三类讨论.上面已证0a ≤时，()f x 在)0,(-∞内单减. …8分 当0a > 时，()f x 在11(,),(0)2a a
-∞--
，内单减，在)21,1(a a --内单增，不满足在)
0,(-∞内单减. 因此函数)(x f 在区间)0,(-∞内单调递减，则0a ≤.
综上可知，函数)1()(+=ax x x f 在区间)0,(-∞内单调递减的充要条件是0a ≤……12分 19. 解：（Ⅰ）略
（Ⅱ）命题q 为真，即)(x f 的值域是R ，
等价于1)1()1(g(x)2
2+-+-=x a x a 取遍所有的正数，即值域为),0(∞+，
等价于1-=a 或，⎪⎩⎪⎨⎧≥---=>-0
)1(4)1(Δ0
12
22
a a a 解得135-≤≤-a ．……8分 若
q p ∨为真命题，且q p ∧为假命题，则“p 真q 假”或“p 假q 真”，
即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧->-<≥-<135135a a a a 或或或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤-<≤-1
35135a a ，解得1-≤a 或1≥a .
故实数a 的取值范围是(][).,11,∞+-∞- ………………………12分 20.解：（Ⅰ）
法1（图象法）：在同一坐标系下作出函数x e x f =)(和1)(+=x x g 的图象，两图象均经过定点)1,0(，且1)0(='f ，即直线1)(+=x x g 是曲线x e x f =)(在定点)1,0(处的切线，因
此R x x e x
∈+≥（
1，当且仅当0=x 时等号成立）. …………………………………6分 法2（导数法）：令,1)(g --=x e x x 则.1)(-='x e x g 显然)(x g 在)0,(-∞内单减，在),0(+∞内单增， 因此).0()(min g x g =于是0)0()(=≥g x g ，即)(1R x x e x ∈+≥，当且仅当0=x 时等号成立. …………………………………………………………6分
（Ⅱ）0)(≥x ϕ就是1-≤x
e tx .当0=x 时，等号成立, .R t ∈
当0>x 时，x e t x 1-≤.由灵魂不等式)0(1>+≥x x e x
得，
11>-x
e x .因此1≤t . ……………………………………………………………………9分
当0<x 时，x e t x 1-≥.由灵魂不等式)0(1<+≥x x e x
得，
11<-x
e x .因此1≥t . 综上可知，实数t 的值是1. ……………………12分 21. 解：（Ⅰ）]100010[)(，的定义域是x
f y =，值域是(]90，
，(]2.00，∈x
y
. …………………………………………………………………4分 （Ⅱ）当2150x y =
+时，12150y x x =+的最大值是2.0150
31>， 不符合要求. 当4lg 3y x =-时， 在定义域上为增函数，最大值为9.…………………………………7分
.02.02.0≤-⇔≤x y x y
令x x x g 2.03lg 4)(--=，则010
ln 510ln 20)('<-=x x x g 所以,01)10()(<-=≤g x g 即2.0≤x
y
.故函数4lg 3y x =-符合公司要求.………12分
22. 解：（Ⅰ）由题意知，函数()f x 的定义域为),0(+∞.
()2(ln 1)1a x f x x -'=
+，(1)11f a '∴=-=-，解得2a =.2ln ()x
f x x x
∴=-+， ()2
2(ln 1)
1x f x x -'=
+. 当(),x e ∈+∞时，ln 1x >，则()0f x '>恒成立， 故函数()f x 在区间(),e +∞上单调递增. ……………………………4分
（Ⅱ）函数)(x F 的定义域为),0(+∞.若函数2
()()4a F x f x x =+在),0(+∞内有两个零点，即
方程2
ln 204a x a x a x x -+-++=恰有两个不相等的正实根， 也就是方程2
2
ln (2)04
a a x x a x -+--+=恰有两个不相等的正实根. 令22
()ln (2)4a g x a x x a x =-+--+， ()()()()2
2221()22x a x a x a x a g x x a x x x
----+'∴=---==．…………………6分 当0≤a 时，)(x g '＞0恒成立，函数)(x g 在()0,+∞上是增函数， ∴函数)(x g 最多一个零点，不合题意，舍去. ……………………7分 当0a >时，由()0g x '>得2a x >
；由()0g x '<得2
0a
x <<. 所以函数)(x g 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
内
单调递减，在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,2a 内单调递增. ………………………10分 所以)(x g 的最小值是02a g ⎛⎫< ⎪⎝⎭
，即22
ln +(2)02424a a a a
a a ---⨯+<，
ln
02a
a a -+<. 0a >，ln 12
a ∴>，解得2a e >. 因为,
04
342)-(1)1(2
2>+-=+-=a a a a g 所以在)2
,1(a 内有一个零点. 因为1ln -≤x x ，所以4
)2(ln )(2
2
a x a x x a x g +--+-= 4
)1(24)2()1(22
22
a a x a x a x a x x a +
+--=+--+--≥。

于是,04
54)1(44)2(2
22>+=++--=a a a a a a a a g 所以在)2,2(a a
内有一个零点.
故实数a 的取值范围是()2,e +∞. …………………………12分。