数学_2012-2013学年江苏省镇江市某校高三(上)期末数学模拟试卷(含答案)

2012-2013学年江苏省镇江市某校高三（上）期末数学模拟试卷
一、填空题：
1. 若复数z 满足iz ＝2+3i （i 是虚数单位），则z ＝________．
2. 已知α为锐角，cosα=
√5
5，则tan(π4
+α)=________．
3. 设a →
，b →
，c →
是单位向量，且a →
=b →
+c →
，则向量a →
，b →
的夹角等于________． 4. 从标有数字1到4的四张卡片中任取2张，则积为偶数的概率为________．
5. 如图是一程序框图，则其输出结果为________．
6. 在△ABC 中，∠C 为直角，且AB →
⋅BC →
+BC →
⋅CA →
+CA →
⋅AB →
=−25，则AB 的长为________． 7. 已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆
x 2a 2
+
y 2b 2
=1(a >b >0)的焦点与顶点，若双曲线的
两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为________．
8. 已知圆O:x 2+y 2=9，过圆外一点P 作圆的切线PA ，PB （A ，B 为切点），当点P 在直线2x −y +10=0上运动时，则四边形PAOB 的面积的最小值为________． 9. 设函数f(x)＝x|x −a|，若对于任意的x 1，x 2∈[2, +∞)，x 1≠x 2，不等式f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2
>0
恒成立，则实数a 的取值范围是________．
10.
如图，点P 是单位圆上的一个顶点，它从初始位置P 0开始沿单位圆按
逆时针方向运动角α(0<α<π2
)到达点P 1，然后继续沿单位圆逆时针方向运动π3
到达点P 2，若点P 2的横坐标为−4
5，则cosα的值等于________．
11. 在△ABC 中有如下结论：“若点M 为△ABC 的重心，则MA →
+MB →
+MC →
=0→
”，设a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，点M 为△ABC 的重心．如果aMA →
+bMB →
+
√3
3
cMC →=0→
，则内角A 的大小为________．
12.
将首项为1，公比为2的等比数列的各项排列如表，其中第i 行第j 个数表示为a ij (i, j ∈N ∗)，例如a 32=16．若a ij =22011，则i +j =________．
13. 已知函数f(x)=mx 3+nx 2的图象在点(−1, 2)处的切线恰好与直线3x +y =0平行，若f(x)在区间[t, t +1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．
14. 已知函数f(x)=|1−1
x |，若0<a <b ，且f(a)=f(b)，则2a +b 的最小值为________．
二、解答题：
15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列． （1）若AB →
⋅BC →
=−3
2，b =√3，求a +c 的值； （2）求2sinA −sinC 的取值范围．
16. 如图，在四棱锥E −ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面
ABE ，∠AEB =90∘，BE =BC ，F 为CE 的中点，求证： （1）AE // 平面BDF ；
（2）平面BDF ⊥平面ACE ．
17. 如图，某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分
为曲线段ABC ，该曲线段为函数y =Asin(ωx +φ)(A >0, ω>0, π
2<φ<π)，x ∈[−3, 0]的图象，且图象的最高点为B(−1, 3√2)；赛道的中间部分为√3千米的水平跑到CD ；赛道
的后一部分为以O 圆心的一段圆弧DE
̂． （1）求ω，φ的值和∠DOE 的值；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图所示，矩形的一边在道路AE 上，一个顶点在扇形半径OD 上．记∠POE =θ，求当“矩形草坪”的面积最大时θ的值．
18. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n=pa n−2n，n∈N∗，其中常数p>2．（1）证明：数列{a n+1}为等比数列；
（2）若a2=3，求数列{a n}的通项公式；
（3）对于（2）中数列{a n}，若数列{b n}满足b n=log2(a n+1)(n∈N∗)，在b k与b k+1之间插入2k−1(k∈N∗)个2，得到一个新的数列{c n}，试问：是否存在正整数m，使得数列{c n}的前m项的和T m=2011？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
19. 圆锥曲线上任意两点连成的线段称为弦．若圆锥曲线上的一条弦垂直于其对称轴，我们将该弦称之为曲线的垂轴弦．已知点P（
x0，y0)、M(m, n)是圆锥曲线C上不与顶点重合的任意两点，MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，直线MP，NP分别交x轴于点E(x E, 0)和点F(x F, 0)．
（1）试用x0，y0，m，n的代数式分别表示x E和x F；
（2）已知“若点P(x0, y0)是圆C:x2+y2=R2上的任意一点（
x0⋅y0≠0)，MN是垂直于x轴的垂轴弦，直线MP、NP分别交x轴于点E(x E, 0)和点
F(x F, 0)，则x E⋅x F=R2”．类比这一结论，我们猜想：“若曲线C的方程为x2
a2+y2
b2
=1(a>
b>0)（如图），则x E⋅x F也是与点M、N、P位置无关的定值”，请你对该猜想给出证明．
20. 已知：二次函数f(x)=ax2+bx+1，其中a，b∈R，g(x)=ln(ex)，且函数F(x)= f(x)−g(x)在x=1处取得极值．
（1）求a，b所满足的关系；
（2）若直线l:y=kx(k∈R)与函数y=f(x)在x∈[1, 2]上的图象恒有公共点，求k的最小值；
（3）试判断是否存在a∈(−2, 0)∪(0, 2)，使得对任意的x∈[1, 2]，不等式(x+
a)F(x)≥0恒成立？如果存在，请求出符合条件的a的所有值；如果不存在，说明理由．
2012-2013学年江苏省镇江市某校高三（上）期末数学模拟试卷答
案
1. 3−2i
2. −3
3. π
3
4. 5
6
5. 6
7
6. 5．
7. √22
8. 3√11
9. (−∞, 2]． 10.
3√3−4
10 11. π6
12. 122
13. [−2, −1] 14. 3
2+√2
15. 解：（1）∵ A ，B ，C 成等差数列， ∴ B =π
3． ∵ AB →
⋅BC →
=−3
2
，
∴ accos(π−B)=−3
2， ∴ 1
2
ac =3
2
，即ac =3．
∵ b =√3，b 2=a 2+c 2−2accosB ，
∴ a 2+c 2−ac =3，即(a +c)2−3ac =3． ∴ (a +c)2=12，所以a +c =2√3．
（2）2sinA −sinC =2sin(2π
3−C)−sinC =2(√3
2cosC +1
2sinC)−sinC =√3cosC ． ∵ 0<C <
2π3
，
∴ √3cosC ∈(−
√3
2
, √3)． ∴ 2sinA −sinC 的取值范围是(−
√3
2
, √3)． 16. 证明：（1）设AC ∩BD =G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点，∵ F 是EC 中点，由三角形
中位线的性质可得 FG // AE ，
∵ AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ，∴ AE // 平面BFD ． （2）∵ 平面ABCD ⊥平面ABE ，BC ⊥AB ，
平面ABCD ∩平面ABE =AB∴ BC ⊥平面ABE ，又∵ AE ⊂平面ABE ，∴ BC ⊥AE ， 又∵ AE ⊥BE ，BC ∩BE =B ，∴ AE ⊥平面BCE ，∴ AE ⊥BF ．
在△BCE 中，BE =CB ，F 为CE 的中点，∴ BF ⊥CE ，AE ∩CE =E ，∴ BF ⊥平面ACE ，
又BF⊂平面BDF，∴ 平面BDF⊥平面ACE．
17. 解：（1）依题意，得A=3√2，T
4=2，因为T=2π
w
，所以ω=π
4
，所以y=3√2sin(π
4
x+
φ)．
当x=−1时，3√2sin(−π
4+φ)=3√2，由π
2
<φ<π，得−π
4
+φ=π
2
，所以φ=3π
4
．
又x=0时，y=OC=3，因为CD=√3，所以∠COD=π
6，从而∠DOE=π
3
．
（2）由（1）可知OD=OP=2√3，矩形草坪的面积
S=(2√3sinθ)(2√3cosθ−2sinθ)=4√3(√3sinθcosθ−sin2θ)
=4√3(√3
2sin2θ+1
2
cos2θ−1
2
)=4√3sin(2θ+π
6
)−2√3，
其中0<θ<π
3，所以当2θ+π
6
=π
2
，即θ=π
6
时，S最大．
18. 解：（1）∵ 2S n=pa n−2n，∴ 2S n+1=pa n+1−2(n+1)，∴ 2a n+1=pa n+1−pa n−2，
∴ a n+1=p
p−2a n+2
p−2
，∴ a n+1+1=p
p−2
(a n+1)，
∵ 2a1=pa1−2，∴ a1=2
p−2
>0，∴ a1+1>0
∴ a n+1+1
a n+1=p
p−2
≠0，∴ 数列{a n+1}为等比数列．
（2）由（1）知a n+1=(p
p−2)n，∴ a n=(p
p−2
)n−1
又∵ a2=3，∴ p
p−2×p
p−2
−1=3，∴ p=4，∴ a n=2n−1
（3）由（2）得b n=log22n，即b n=n，(n∈N∗)，
数列C n中，b k（含b k项）前的所有项的和是：(1+2+3+⋯+k)+(20+21+22+⋯+ 2k−2)×2=k(k+1)
2
+2k−2
当k=10时，其和是55+210−2=1077<2011
当k=11时，其和是66+211−2=2112>2011
又因为2011−1077=934=467×2，是2的倍数，
所以当m=10+(1+2+22++28)+467=988时，T m=2011，
所以存在m=988使得T m=2011．
19. （1）解：因为MN是垂直于x轴的一条垂轴弦，所以N(m, −n)，
则l MP:y−n=y0−m
x0−m
(x−m)…
令y=0，则x E=my0−nx0
y0−n
…
同理可得：x F=my0+nx0
y0+n
，…
（2）证明：由（1）可知：x E⋅x F=my0−nx0
y0−n ×my0+nx0
y0+n
=m2y02−n2x02
y02−n2
，…
∵ M ，P 在椭圆C:x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)上， ∴ n 2
=b 2
(1−m 2
a
2)，y 02=b 2
(1−
x 0
2a 2
)，…．
∴ x E ⋅x F =
m 2y 02−n 2x 0
2y 0
2−n 2=b 2(m 2−x 02)b 2a 2
(m 2−x 0
2)=a 2（定值）．
∴ x E ⋅x F 是与MN 和点P 位置无关的定值．…
20. 解：（1） 由已知，∵ f(x)=ax 2+bx +1，g(x)=ln(ex)， ∴ 函数F(x)=f(x)−g(x)=ax 2+bx +1−ln(ex) ∴ F′(x)=
2ax 2+bx−1
x
(x >0)，
∵ F(x)=f(x)−g(x)在x =1处取得极值 ∴ F′(1)=0，∴ b =1−2a ， ∴ F′(x)=2a(x+
1
2a
)(x−1)x
，
∴ −
12a
≠1，∴ a ≠−1
2
（2）由题意得：方程kx =ax 2+(1−2a)x +1在x ∈[1, 2]时总有解， ∴ k =
ax 2+(1−2a)x+1
x
，即k =ax +1
x +1−2a ，
∵ 当a <0时，k =ax +1
x +1−2a 在x ∈[1, 2]时单调递减，∴ k ≥3
2，
当0<a <1
4时，由k′=a −1
x 2<0，k =ax +1
x +1−2a 在x ∈[1, 2]时单调递减，∴ k ≥3
2， 当1
4≤a ≤1时，由ax +1
x +1−2a ≥2√a +1−2a （当且仅当x =√a
时，取“=”）得k ≥
2√a +1−2a ，
当a >1时，k =ax +1
x +1−2a 在x ∈[1, 2]时单调递增，∴ k ≥2−a ．
∴ 要使得直线l:y =kx(k ∈R)与函数y =f(x)在x ∈[1, 2]上的图象恒有公共点 实数k 应取3
2(a <0)、2√a +1−2a(1
4≤a ≤1)，2−a(a >1)三者中的最大值， ∵ 2√a +1−2a =−2(√a −1
2)2+3
2≤32(1
4≤a ≤1)，又2−a <1(a >1)， ∴ k 的最小值为3
2．
（3）∵ F(x)=ax 2+(1−2a)x +1−lnx ，
当a ∈(0, 2)时，∵ x ∈[1, 2]，∴ 由(x +a)F(x)≥0得F(x)≥0， ∵ F′(x)=
2a(x+
1
2a
)(x−1)x
，
∴ x ∈[1, 2]时，F′(x)>0，函数y =F(x)单调递增，∴ F(x)min ≥F(1)=1−a ≥0， ∴ a ∈(0, 1]时成立．…
当a ∈[−1, 0)且a ≠−1
2时，∵ F(1)=1−a ≥0，F(2)=2−ln2≥0，类似地由单调性证
得F(x)≥0，
又x +a ≥0，∴ (x +a)F(x)≥0成立，
当−2<a <−1时，(x +a)F(x)≥0等价于{−a <x ≤2F(x)≥0或{1≤x ≤−a
F(x)≤0．
由上可知，此时不成立．
综上，存在符合条件的a ，其所有值的集合为[−1, −1
2
)∪(−1
2
,0)∪(0,1]。