(压轴题)高中数学必修四第一章《三角函数》检测卷(含答案解析)(1)

一、选择题
1．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2
π
ϕ<）的部分图像如图所示，则
()f x 的解析式为（ ）
A ．()2sin 26f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
B ．()2sin 26f x x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
C ．()3sin 26f x x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
D ．1
()3sin 2
6f x x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭ 2．函数()2cos 3⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
πf x x 在[]0,π的单调递增区间是（ ） A ．20,
3π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
B ．2,33ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
C ．,3ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
D ．
2π
,π3
3．已知函数()cos2sin 2f x x x =-，将()y f x =的图象向左平移a （0a >）个单位长度可以得到一个奇函数的图象，将()y f x =的图象向右平移b （0b >）个单位长度可以得到一个偶函数的图象，则a b -的最小值等于（ ） A ．0
B ．
8
π C ．
4
π D ．
2
π 4．设函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ是常数，0,0A ω>>）.若()f x 在区间[,]32
ππ
上具有单调性，且()(),23f f ππ=-2()(
)2
3
f f π
π
=，则ω=（ ） A ．6 B ．3 C ．2
D ．1
5．设函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=++><
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，其图象关于直线
3
x π
=
对称，则下列说法正确是（ ）
A ．()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
； B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递减； C ．()f x 的一个对称中心是7,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
； D ．将()f x 的图象向左平移
1
2
ϕ个单位长度得到函数3sin 21y x =+ 的图象. 6．我国著名数学家华罗庚先生曾倡导“0.618优选法”，0.618是被公认为最具有审美意义的比例数字，我们称为黄金分割．“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应
用，华先生认为底与腰之比为黄金分割比5151
0.61822⎛⎫--≈ ⎪ ⎪⎝⎭
的黄金三角形是“最美三角形”，即顶角为36°的等腰三角形．例如，中国国旗上的五角星就是由五个“最美三角形”与一个正五边形组成的．如图，在其中一个黄金ABC 中，黄金分割比为BC
AC
．试根据以上信息，计算sin18︒=（ ）
A ．
51
2
B ．
51
4
C ．
51
4
D ．
35
2
7．已知函数sin()0,0,||2y A x b A πωϕωϕ⎛⎫
=++>><
⎪⎝
⎭
的图象上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫
⎪⎝⎭，,018π⎛⎫
⎪⎝⎭，则函数()f x 的单调增区间为（ ） A ．222,3
939k k ππππ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈ B ．242,3
939k k ππππ⎛⎫
--
⎪⎝⎭，k Z ∈
C ．227,318318k k ππππ⎛⎫
++
⎪⎝⎭
，k Z ∈ D ．272,318318k k ππππ⎛⎫
--
⎪⎝
⎭，k Z ∈
8．使函数())cos(2)f x x x θθ=+++是偶函数，且在0,4⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
π上是减函数的θ的
一个值是（ ） A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π
9．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2C
B ．把1
C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23
π个单位长度，得到曲线2C
C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
12π个单位长度，得到曲线2C
D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
12π
个单位长度，得到曲线2C
10．已知函数()[][]sin cos cos sin f x x x =+，其中[]
x 表示不超过实数x 的最大整数，则（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．π2π33f f ⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．()f x 的一个周期是π
D ．()f x 的最小值小于0
11．将函数()3sin()2f x x =--图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1
3
，再向右平移
29π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间,18πθ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1，则θ的最小值为（ ）
A ．
12
π
B ．6
π
C ．
3
π D ．
18
π
12．已知函数2()[sin()])cos()f x x x x ωωω=+(0)>ω在[0,]π上有且只有四个零点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．5[,2]3
B ．5(,2)3
C ．5[,2)3
D ．5(,2]3
二、填空题
13．若函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
，则6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值是___________. 14．2020年是苏颂诞辰1000周年，苏颂发明的水运仪象台被誉为世界上最早的天文钟.水运仪象台的原动轮叫枢轮，是一个直径约3.4米的水轮，它转一圈需要30分钟.如图，当点P 从枢轮最高处随枢轮开始转动时，退水壶内水面位于枢轮中心下方1.19米处.此时打开退水壶出水口，壶内水位以每分钟0.017米的速度下降，将枢轮转动视为匀速圆周运动，则点P 至少经过______分钟（结果取整数）进入水中.（参考数据：cos
0.9815
π
≈，
2cos
0.9115π≈，cos 0.815
π
≈）
15．已知函数()()π
sin (00)2
f x M x M ωϕωϕ=+>><
，的部分图象如图所示，其中()23A ，(点A 为图象的一个最高点)502B ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
，则函数()f x =___________.
16．如图，以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形，则阴影部分面积的最大值是___________.
17．已知()()sin 03f x x πωϕω⎛⎫
=++> ⎪⎝
⎭
同时满足下列三个条件：①T π=；
②3y f x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
是奇函数；③()06f f π⎛⎫
<
⎪⎝⎭
.若()f x 在[)0,t 上没有最小值，则实数t 的取值范围是___________. 18．如图，某公园要在一块圆心角为
3
π
，半径为20m 的扇形草坪OAB 中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若//EF AB ，则文化景观区域面积的最大值为______2m .
19．已知如下变换：
①将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变； ②将图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标保持不变； ③将图像整体向右平移3
π
个单位长度； ④将图像整体向右平移6
π
个单位长度； ⑤将图像整体向左平移3
π
个单位长度； ⑥将图像整体向左平移
6
π
个单位长度； 要得到函数sin(2)3
y x π
=-
的图象，只需将函数sin y x =的图象经过变换____________
（填上你认为正确的一种情况即可，注意编号顺序）
20．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωπϕπ=+>>-<<的部分图象如下图所示，则ϕ=________.
三、解答题
21．已知函数()()2sin 0,22x f x ωϕωπϕ=≥<
⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
的图像向右平移
6
π
个单位长度得到()g x 的图像， ()g x 图像关于原点对称，()f x 的相邻两条对称轴的距离是
2
π. （1）求()f x 在[]0,π上的增区间; （2）若()230f x m -=+在0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上有两解，求实数m 的取值范围. 22．函数()()()sin 0,0,0πf x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）求函数()f x 的单调递增区间，并求()f x 取最小值时的自变量x 的集合. 23．长春某日气温()C y ︒
是时间t (024t ≤≤，单位：小时)的函数，下面是某天不同时间
的气温预报数据： t (时)
3 6 9 12 15 18 21 2
4 ()C y ︒ 15.7
14.0
15.7
20.0
24.2
26.0
24.2
20.0
15.7
cos()y A t b ωϕ=++的图象.
（1）根据以上数据，试求cos()y A t b ωϕ=++(0A >，0>ω，0ϕπ<<)的表达式； （2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23C ︒.根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段(用区间表示)将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？(忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下哦，奥力给!) 24．如图，有一矩形空地ABCD ，240AB BC ==米，现计划种植甲、乙两种蔬菜，已知单位面积种植甲蔬菜的经济价值是种植乙蔬菜经济价值的3倍，但种植甲蔬菜需要有辅助光照．AB 边中点O 处处恰有一可旋转光源满足甲蔬菜生长的需要，该光源照射范围是
60EOF ∠=︒，其中E 、F 分别在边BC ，CD 上．
（1）若30BOE ∠=︒，求四边形OECF 的面积； （2）求该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积． 25．已知sin(3)
(),cos x f x x R x
π-=
∈
（1）若α为第三象限角，且3
sin 5
α=-，求()f α的值． （2）若,34x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦
，且2
1
()2()1cos g x f x x =++，求函数()g x 的最小值，并求出此时对应的x 的值．
26．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
（1）这个港口的水深与时间的关系可用函数（，）近似描述，试求出这个函数解析式；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5米，安全条例规定至少要有1.25米的安全间隙（船底与洋底的距离），利用（1）中的函数计算，该船何时能进入港口？在港口最多能呆多久？
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 本题首先可根据33π44T 求出ω，然后根据当43
x π=时函数()f x 取最大值求出ϕ，最后代入30,2⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
，即可求出A 的值. 【详解】
因为4π7π3π3124，所以33π
44T ，T π=，
因为2T π
ω
=，所以2ω=，()sin(2)f x A x ϕ=+，
因为当43
x π
=时函数()sin(2)f x A x ϕ=+取最大值， 所以()42232
k k Z ππϕπ⨯
+=+∈，()26k k Z π
ϕπ=-+∈，
因为2
π
ϕ<
，所以6
π
ϕ=-
，()sin 26f x A x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
， 代入30,2⎛
⎫- ⎪
⎝⎭，3sin 26A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
，解得3A =，()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故选：C. 【点睛】
关键点点睛：本题考查根据函数图像求函数解析式，对于()sin()f x A x ωϕ=+，可通过周期求出ω，通过最值求出A ，通过代入点坐标求出ϕ，考查数形结合思想，是中档题.
2．C
解析：C 【分析】
先求出函数的单调增区间，再给k 取值即得解. 【详解】 令22223
+<+<+π
πk πx πk π(k ∈Z ) ∴
42233
+<<+ππk πx k π(k ∈Z )， 所以函数的单调递增区间为4[2,2]3
3
π
π
k πk π++(k ∈Z )， 当1k =-时，5233
ππx -<<- 当0k =时，
43
3
x π
π
<<
又∵[]0,x π∈， 故选：C 【点睛】
方法点睛：求三角函数()cos()f x A wx ϕ=+的单调区间，一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.
3．A
解析：A 【分析】
先整理函数，再根据平移后函数的奇偶性得到a ,b 的值，即可得结果. 【详解】
解：函数()cos 2sin 224f x x x x π⎛
⎫=-=+ ⎪⎝
⎭，
函数()24f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭的图象向左平移a 个单位得到
(
)224g x x a π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，又因为函数为奇函数，则242a k πππ+=+（k Z ∈），
整理得28
k a ππ
=
+（k Z ∈）； 函数(
)24f x x π⎛
⎫=
+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移b 个单位得到
(
)224h x x b π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭，由于得到的函数的图象为偶函数，2=4b k ππ-+-，
=
,()8
2
k b k Z π
π
+
∈； 当0k =时，min 0a b -= 故选：A. 【点睛】
本题考查了三角函数的平移变换和奇偶性，属于中档题.
4．B
解析：B 【分析】 由2()(
)2
3f f π
π=求出函数的一条对称轴，结合()f x 在区间[,]32
ππ
上具有单调性，且()()23f f ππ
=-，可得函数的四分之一周期，即可求出ω的值．
【详解】
解：由2()()23
f f π
π=，可知函数()f x 的一条对称轴为2723212
x ππ
π+==， 则2
x π=
离最近对称轴距离为
712212
πππ
-=． 又()()23
f f ππ
=-，则()f x 有对称中心5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
， 由于()f x 在区间,32ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上具有单调性， 则
12
3
2T π
π
-
，所以3T π≥，从而7512124T ππ-=，所以23
T π=，因为2T πω=，所以3ω=．
故选：B 【点睛】
本题考查()sin()f x A x ωϕ=+型函数图象的应用，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力．
5．D
解析：D 【分析】
先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上可判断A ，求得函数的单调区间及对称中心即可判断选项BC ，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可判断D. 【详解】
函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=++>< ⎪⎝
⎭
的最小正周期是π 所以22π
ωπ
=
=，则()()3sin 21f x x ϕ=++，
()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线3
x π
=
对称,
对称轴为2,2
x k k Z π
ϕπ+=+∈,代入可得2,3
2
k k Z ππ
ϕπ⨯+=
+∈，
解得,6k k Z π
ϕπ=-
+∈，因为,22ππϕ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，所以当0k =时, 6πϕ=-， 则()3sin 216f x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
， 对于A,当0x =时,()31
03sin 11622
f π
=-+=-+=- ，所以错误； 对于B,()3sin 216f x x π⎛
⎫
=-
+ ⎪⎝
⎭
的单调递减区间为3222,262
k x k k π
ππ
ππ+-+∈Z ≤≤， 解得
5,3
6k x k k Z π
πππ+≤≤
+∈，因为123ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上不是减函数,所以错误； 对于C ，773sin 213sin 11012126f π
πππ⎛⎫⎛
⎫=⨯-+=+=≠
⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭，所以7,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x 的一个对称中心，所以错误；
对于D ，1212πϕ=，将()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭的图象向左平移12π个单位长度得到可
得3sin 213sin 21126y x x ππ⎡⎤
⎛
⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
，所以能得到3sin 21y x =+的图象,所以正确. 故选: D.
【点睛】
本题考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，关键点是根据已知条件先求出正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.
6．B
解析：B 【分析】
先由ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，作其底边上的高，再利用
sin18sin DAC ︒=∠，结合腰和底之比求其结果即可. 【详解】
依题意可知，黄金ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，如图，
5
1
,
BC AB AC AC -==
，36BAC ∠=︒，过A 作AD BC ⊥于D ，则AD 也是三角形的中线和角平分线，
故
1
151512sin18sin 2BC
DC DAC AC AC --︒=∠====
. 故选：B. 【点睛】
本题解题关键在于读懂题意，将问题提取出来，变成简单的几何问题，即突破结果.
7．A
解析：A 【分析】
由最大值点和对称中心的坐标可以求出()f x 的解析式，利用三角函数的性质，整体代换得出该复合函数的单调增区间. 【详解】
图像上相邻的一个最大值点与对称中心分别为2,39π⎛⎫
⎪⎝⎭，,018π⎛⎫
⎪⎝⎭
， 3A ∴=，0b =
且
124918T ππ
=-，可得23
T π=， 23T
π
ω∴=
=， 3sin(3)y x ϕ∴=+
将2,39π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入可得3sin(3)3y x ϕ=+=， 可得
22,32k k Z ππϕπ+=+∈，且2
πϕ<， 6
π
ϕ∴=-
，
可得()3sin(3)6f x x π
=-，
令6
232,2
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+∈，
可得
222+9393k x k ππππ-≤≤， 故选：A. 【点睛】
方法点睛：根据图像求函数()sin()f x A x k ωϕ=++的解析式，根据最高点和对称中心的
纵坐标可求出A 和k ，根据横坐标可求出周期T ，进而求出ω.求该函数的单调区间时，用整体代换的思想，借助正弦函数的单调区间，用解不等式的方法求复合函数的单调区间.
8．B
解析：B 【解析】
1
())cos(2))cos(2))2sin(2)26
f x x x x x x πθθθθθ=+++=+++=++,由于()f x 为偶函数，则(0)2sin()26f π
θ=+
=±，sin()1,662
k πππ
θθπ+=±+=+，3
k π
θπ=+
，当0k =时，3
πθ=
，
()2sin(2)2sin(2)362f x x x π
ππ=+
+=+2cos2x =，当[0,]4
x π∈时，2[0,]2x π
∈，
()2cos2f x x =为减函数，符合题意，所以选B.
9．C
解析：C 【分析】
由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛
⎫
==- ⎪⎝
⎭
，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】
已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象，
再把得到的曲线向左平移 12
π
个单位长度，得到曲线
2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛
⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的图象，故选C ．
【点睛】
本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．
10．D
解析：D 【分析】
利用奇函数的性质判断A ，分别求3f π⎛⎫
⎪⎝⎭和23
f π
⎛⎫
⎪⎝⎭
判断大小，取特殊值验证的方法判断C ，分区间计算一个周期内的最小值，判断选项D 。

【详解】
A.()[][][][]0sin cos0cos sin0sin 1cos 0sin110f =+=+=+≠，所以函数()f x 不是奇函数；
B.sin cos cos sin sin 0cos 01333f πππ⎛⎫⎡⎤⎡⎤
=+=+=
⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣
⎦，()222sin cos cos sin sin 1cos 01sin13
33f π
ππ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+=-+=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦
，所以233f f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故B 不正确； C. ()[][][][]sin cos cos sin sin 1cos 01sin1f
πππ=+=-+=-，()()0f f π≠，所以函数()f x 的一个周期不是π，故C 不正确；
D.()()()()2sin cos 2cos sin 2f x x x f x πππ+=+++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以函数的周期2T π=, 当0x =时，[][]cos01,sin00==()0sin1cos01sin1f =+=+ 当0,2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭时，[][]cos 0,sin 0x x ==，()sin0cos01f x =+=， 当2
x π=
时， cos
0,sin 122ππ⎡⎤
⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦，sin 0cos1cos12f π⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭
， 当,2x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，[][]cos 1,sin 0x x =-=，()()sin 1cos01sin1f x =-+=-， 当x π=时，[][]cos 1,sin 0ππ=-=，()()sin 1cos01sin1f π=-+=-，
当3,
2
x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，[][]cos 1,sin 1x x =-=-，()()()sin 1cos 1cos1sin1f x =-+-=-，
当32x π=
时，33cos 1,sin 122ππ⎡⎤⎡⎤
=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()3sin 1cos 1cos1sin12
f π⎛⎫
=-+-=- ⎪⎝⎭
， 当3,22x ππ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，[][]cos 0,sin 1x x ==-，()()sin0cos 1cos1f x =+-=， 综上可知，一个周期内的最小值是cos1sin1-，因为1,42ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以cos1sin1<， 即cos1sin10-<，所以()f x 的最小值小于0. 故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题是三角函数新定义，难点是读懂题意，判断最后一个选项的关键是求出函数的周期，并利用三角函数的性质，在一个周期内分区间段讨论函数值.
11．D
解析：D 【分析】
由题先求出()3sin 323g x x π⎛⎫
=+
- ⎪⎝
⎭，可得3,3363x πππθ⎡⎤
+∈+⎢⎥⎣⎦
，要满足题意，则33
2
π
π
θ+
≥
，即可求出.
【详解】
将()f x 横坐标缩短为原来的
13
得到3sin(3)2y x =--，再向右平移29π个单位得到
()23sin 323sin 3293g x x x π
π⎡⎤⎛⎫⎛
⎫--
-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦=，
,18x πθ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，则3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，
要使()g x 在区间,18πθ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为1，则332ππθ+≥，即18πθ≥，
则θ的最小值为18
π
. 故选：D. 【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是通过图象变化得出
()3sin 323g x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质求解.
12．C
解析：C 【分析】
先化简函数的解析式，然后利用x 的范围求出26x πω⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
的范围，根据题意列不等式求解ω.
【详解】
2
2
1cos 21
()[sin()])cos()2sin(2)2262
ωπωωωωω-=+=+=-+
x f x x x x x x ，因为[0,]x π∈，得2,2666πππωωπ⎛
⎫⎡⎤-∈-- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦x ，因为函数在[0,]π有且只有四个零
点，则
19232666πππωπ≤-<，解得5
23
ω≤<. 故选：C. 【点睛】
关于三角函数中求解ω的取值范围问题，一般要先求解出整体的范围，即x ωϕ+的范
围，然后根据题意，分析x ωϕ+范围所在的区间，列不等式求解，即可求出ω.
二、填空题
13．4或-4【分析】由题意可得故函数的周期为求得；在中令求得从而求得的值【详解】∵函数对任意的都有∴故函数的周期为∴所以∴在中令可得：即∴则故答案为：4或-4【点睛】求三角函数解析式的方法：(1)求A 通
解析：4或-4. 【分析】 由题意可得()23
f x f x π⎛⎫+
= ⎪⎝
⎭
，故函数()f x 的周期为23π
，求得=3ω；在()3f x f x π⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭中，令=0x ，求得sin 0ϕ=，从而求得
6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值. 【详解】
∵函数()()()4sin 0f x x ωϕω=+>对任意的x 都有()3f x f x π⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭
， ∴()23
f x f x π⎛⎫+= ⎪⎝
⎭
，故函数()f x 的周期为23π， ∴
22=
3
π
π
ω
，所以=3ω.
∴()()4sin 3f x x ϕ=+. 在()3f x f x π⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭中，令=0x ，可得：()03f f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 即()4sin =4sin πϕϕ+，∴sin =0ϕ.
则=4sin()4cos 462f ππϕϕ⎛⎫
+==± ⎪
⎝⎭
. 故答案为： 4或-4. 【点睛】
求三角函数解析式的方法： (1)求A 通常用最大值或最小值； (2)求ω通常用周期；
()求φ通常利用函数上的点带入即可求解.
14．【分析】根据题意作出示意图结合枢纽中心到初始水平面的高度水面下降的高度刚进入水面时枢纽中心到水面的高度这三者间的关系列出关于运动时间的方程结合所给数据分析的取值即可【详解】设至少经过分钟进入水中如下 解析：13
【分析】
根据题意作出示意图，结合枢纽中心到初始水平面的高度、水面下降的高度、P 刚进入水面时枢纽中心到水面的高度这三者间的关系，列出关于运动时间x 的方程，结合所给数据分析x 的取值即可. 【详解】
设至少经过x 分钟，P 进入水中，如下图P '为刚好进入水中的位置，
由条件可知： 1.7, 1.19OP OA '==，P 转过的角度为
23015
x
x ππ⋅=，所以
15
x
P OB ππ'∠=-
，
因为OA AB OB +=，所以1.170.017 1.7cos 15x x ππ⎛⎫
+=-
⎪⎝
⎭
，所以70100cos 15x x ππ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭（*），
根据所给数据可知：当12x =时，（*）的左边82=，右边81=，此时左边>右边，说明
P 还未进入水中，
当13x =时，（*）的左边83=，右边91=，此时左边<右边，说明P 已经进入水中， 当14x =时，（*）的左边84=，右边98=，此时左边<右边，说明P 已经进入水中， 由上可知：x 的取值介于12和13之间，又因为x 的结果取整数，所以13x =， 故答案为：13. 【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是通过示意图寻找到枢纽中心到水面的高度与水面下降高度之间的等量关系，通过所给的数据去分析方程的解也是很重要的一步.
15．【分析】由点的坐标可得的值由图象可求得函数的图象可得该函数的最小正周期可求得的值再将点的坐标代入函数的解析式结合的取值范围可求得的值可得出函数的解析式【详解】由于函数的图象的一个最高点为则由图象可知
解析：π
π3sin 3
6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【分析】
由点A 的坐标可得M 的值，由图象可求得函数()y f x =的图象可得该函数的最小正周期，可求得ω的值，再将点A 的坐标代入函数()y f x =的解析式，结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，可得出函数()y f x =的解析式． 【详解】
由于函数()y f x =的图象的一个最高点为()2,3A ，则3M =，
由图象可知，函数()y f x =的最小正周期为452632T ⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭，
23T ππω∴=
=，()3sin 3x f x πϕ⎛⎫
∴=+
⎪⎝⎭
， 将点A 的坐标代入函数()y f x =的解析式得()223sin 33f πϕ⎛⎫
=+=
⎪⎝⎭
，可得2sin 13πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
， 2
2
π
π
ϕ-
<<
，则
276
36π
ππϕ<
+<，232
ππϕ∴+=，解得6π
ϕ=-，
()3sin 36x f x ππ⎛⎫
∴=- ⎪⎝
⎭
故答案为：()3sin 36x f x ππ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查利用三角函数图象求解函数解析式，考查计算能力，属于中等题.
16．【分析】设等腰三角形底角为阴影面积为根据正弦函数的图象与性质即可得到结果【详解】设等腰三角形底角为则等腰三角形底边长为高为阴影面积为：当时阴影面积的最大值为故答案为【点睛】本题考查平面图形的面积问题
解析：2+
【分析】
设等腰三角形底角为θ，阴影面积为2sin2θ2cos2θ2++，根据正弦函数的图象与性质即可得到结果. 【详解】
设等腰三角形底角为θ，则等腰三角形底边长为2cos θ，高为sin θ， 阴影面积为：()2
1422cos θ2sin2θ2cos2θ22
cos sin θθ⨯
⨯⨯+=++
224πθ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭,
当8
π
θ=
时，阴影面积的最大值为2+
故答案为2+ 【点睛】
本题考查平面图形的面积问题，考查三角函数的图象与性质，解题关键用等腰三角形底角为θ表示等腰三角形的底边与高.
17．【分析】由周期公式可得由三角函数的中心对称可得结合即可得为奇数即可得由可得进而可得即可得解【详解】由可得由是奇函数可得函数的图象关于中心对称所以即又所以所以为奇数由可得因为在上没有最小值所以即故答案
解析：511,612ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
【分析】
由周期公式可得ω，由三角函数的中心对称可得,3k k Z π
ϕπ=+∈，结合()06f f π⎛⎫
< ⎪⎝⎭
即可得k 为奇数，即可得()sin 23πf x x ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
，由[)0,x t ∈可得2,2333x t π
π
π⎡⎫-
∈--⎪⎢⎣⎭，进而可得432332
t πππ<-≤，即可得解.
【详解】 由T π=可得22T π
ω==，()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭
由3y f x π⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
是奇函数可得函数()f x 的图象关于,03π⎛-
⎫
⎪⎝⎭
中心对称， 所以2,33k k Z ππϕπ⎛⎫⨯-
++=∈ ⎪⎝⎭
，即,3k k Z πϕπ=+∈， 又()06f f π⎛⎫< ⎪
⎝⎭
，所以2sin sin 33ππϕϕ⎛⎫⎛
⎫
+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以,3k k π
ϕπ=
+为奇数，()sin 2sin 2333f x x k x ππππ⎛⎫⎛
⎫=+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
由[)0,x t ∈可得2,2333x t π
π
π⎡⎫-
∈--⎪⎢⎣⎭
， 因为()f x 在[)0,t 上没有最小值，所以432332t πππ<-≤即511,612t ππ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
. 故答案为：511,612ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
. 【点睛】
本题考查了三角函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，牢记知识点是解题关键，属于中档题.
18．【分析】取中点连结交于点交于点连结设推导出和从而得出文化景观区域面积利用三角函数的性质解出面积最大值【详解】取中点连结交于点交于点连结设则文化景观区域面积：当即时文化景观区域面积取得最大值为故答案为 解析：()
40023-
【分析】
取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，设
DOM ϕ∠=，推导出DC 和CF ，从而得出文化景观区域面积，利用三角函数的性质，
解出面积最大值． 【详解】
取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，
设DOM ϕ∠=，则20sin DN CN ϕ==，40sin DC ϕ∴=，
20cos 20cos tan 30PF
CF DE PN ON OP ϕϕϕ===-=-=-︒
，
∴文化景观区域面积：
()
4020EFCD S sin cos ϕϕϕ=-矩形
400sin 2cos 2)ϕϕ=--
800sin(2)3π
ϕ=+-
∴当23
2
π
π
ϕ+
=
，即12
π
ϕ=
时，文化景观区域面积取得最大值为2400(2)m -．
故答案为：400(2-． 【点睛】
本题考查文化景观区域面积的最大值的求法，考查扇形、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19．②④或③②(填一种即可)【分析】利用三角函数图象变换可以先平移后伸缩也可以先伸缩后平移即可得到结论【详解】经过变换②可得到再经过变换④可得;或者经过变换③可得到再经过变换②可得故答案为:②④或③②(
解析：②④或③②(填一种即可) 【分析】
利用三角函数图象变换,可以“先平移，后伸缩”,也可以“先伸缩，后平移”即可得到结论. 【详解】
sin y x =经过变换②可得到sin 2y x =,再经过变换④可得sin(2)3
y x π
=-;
或者sin y x =经过变换③可得到sin()3
y x π
=-,再经过变换②可得sin 2y x =.
故答案为: ②④或③②(填一种即可). 【点睛】
本题考查三角函数图象变换,分辨清“先平移，后伸缩”,还是“先伸缩，后平移”是解题的关键,熟练掌握无论是哪种变换,切记每一个变换总是对x 而言,属于中档题.
20．【分析】根据图象得出函数的最小正周期可得出的值再将点代入函数解析式结合的取值范围可求出的值【详解】由图象可知函数的最小正周期则将点代入函数解析式得即因为函数在附近单调递减则得故答案为：【点睛】本题考 解析：6
π
【分析】
根据图象得出函数()y f x =的最小正周期T ，可得出ω的值，再将点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
代入函数
解析式，结合ϕ的取值范围，可求出ϕ的值. 【详解】
由图象可知，函数()y f x =的最小正周期11521212T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭
，
222T ππωπ
∴=
==， 则()()sin 2f x A x ϕ=+， 将点5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭代入函数解析式得55sin 201212f A ππϕ⎛⎫⎛⎫
=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即5sin 06πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
， 因为函数()y f x =在512
x π=附近单调递减，则()526k k Z π
ϕππ+=+∈， 得()26k k Z πϕπ=+∈，πϕπ-<<，0k ∴=，6
π=ϕ.
故答案为：6
π
. 【点睛】
本题考查利用图象求三角函数解析式中的参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
三、解答题
21．（1）70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦；（2）12⎛ ⎝⎦
. 【分析】
（1）由()f x 的相邻两条对称轴的距离是
2
π
，可得函数的周期，从而得出ω的值，由平移得出()g x 的解析式，根据()g x 图像关于原点对称，可求出ϕ的值，从而可求()f x 单调增区间,得出答案.
（2）令23
t x π
=+
则4,33t ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，则[2s n 2]i t ∈，根据()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-有两解，从而可得答案. 【详解】
解:由()f x 的相邻两条对称轴的距离是
2
π，则22T π
πω==，1,ω∴= ()()2sin 2f x x ϕ∴=+
()2sin 2sin 2326x g x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎥⎝⎣⎦
⎭⎭
函数()g x 的图像关于原点对称，3
k π
ϕπ-
+=，,2
π
ϕ<
所以3
π
ϕ=
()2sin 23f x x π⎛
⎫∴=+ ⎪⎝
⎭
（1）由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
，k Z ∈
得51212
k x k π
πππ-
≤≤+，k Z ∈ 令0k =得51212
x π
π-
≤≤ 1k =得
7131212
x ππ≤≤ ()f x ∴在[]0,π增区间是70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
()2令23t x π=+，
0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
则4,33t ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦
所以[2s n ,2]i 3t ∈-
若()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-在4,33t ππ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
上有两解， 由2sin y t =的图象可得，3322m ≤-<，即1233m <≤-
133
22
m -∴<≤
m ∴的取值范围是133,22⎛⎤- ⎥ ⎝⎦
【点睛】
关键点睛：本题考查求正弦型函数的单调增区间和根据方程的解个数求参数的范围问题，
解答本题的关键是设23
t x π
=+
，由0,
,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
所以[2s n 2]i t ∈若()230f x m -=+有两解，即2sin 32t m =-在4,33t ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上有两解，然后数形结合求
解，属于中档题.
22．（1）()22sin 23
f x x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭；（2）递增区间为7,,1212ππππ⎡⎤
-+-+∈⎢⎥⎣⎦
k k k Z ，x 的集合为5,12x x k k Z π
π⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭
【分析】
（1）先求出2A =，根据图形得出周期，可求出2ω=，再代入,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
可求出ϕ；
（2）令2222,2
32
k x k k Z π
ππ
ππ-
+≤+
≤+∈可求出增区间，当2322,32x k k Z ππ
π+
=+∈时可得最小值. 【详解】
（1）由图可知，2A =， 46124T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即T π=，22πωπ
∴==， 则()()2sin 2f x x ϕ=+，
2sin 2066f ππϕ⎛⎫⎛⎫
=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即,3k k Z πϕπ+=∈，
则,3
k k Z π
ϕπ=-
∈，0πϕ<<，23
πϕ∴=
， ()22sin 23f x x π⎛
⎫∴=+
⎪⎝
⎭
； （2）令2222,2
32
k x k k Z π
ππ
ππ-
+≤+
≤+∈，解得2
7,121ππ
ππ-
+≤≤-+∈k x k k Z ， 故()f x 的单调递增区间为7,,1212ππππ⎡⎤
-+-+∈⎢
⎥⎣⎦
k k k Z ， 当2322,32x k k Z πππ+
=+∈，即2
5,1π
π=+∈x k k Z 时，()f x 取得最小值为2-，
此时x 的集合为5,12x x k k Z π
π⎧⎫=
+∈⎨⎬⎩⎭
. 【点睛】
方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x =+ωϕ部分图象求解析式的方法： （1）根据图象的最值可求出A ； （2）求出函数的周期，利用2T π
ω
=求出ω；
（3）取点代入函数可求得ϕ. 23．（1）36cos 2012
4y t ππ⎛⎫
=+
+ ⎪⎝⎭
，[0,24]t ∈；（2）[11,19]t ∈，8小时. 【分析】
（1）由表中数据列方程求出b 、A 的值，再求出T 、ω和ϕ的值即可； （2）令23y ，利用余弦函数的性质求出t 的取值范围，即可得出结论． 【详解】
（1）根据以上数据知，26
14A b A b +=⎧⎨-+=⎩
，解得20b =，6A =；
由
153122T
=-=，解得24T =，所以212
T ππω==； 由3x =时14y =，即36cos(
)201412
π
ϕ++=， 解得cos()14πϕ+=-，即24k π
ϕππ+=+，k Z ∈；
所以324
k π
ϕπ=
+，k Z ∈； 由0ϕπ<<，解得34
πϕ=
； 所以36cos()20124
y t ππ
=++，[0t ∈，24]；
（2）令36cos()2023124y t ππ=++，得31
cos()1242
t ππ+，
即3223
12
4
3
k t k π
π
ππ
π
π-
++
+，k Z ∈；
解得1324524k t k -+-+，k Z ∈； 当1k =时，1124t ，
所以一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在[11t ∈，19]时间段将该种商品放在室外销售，
且单日室外销售时间最长不能超过19118-=（小时）． 【点睛】
方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生
活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
24．（1）4003
-平方米；（2）200平方米． 【分析】
（1）四边形OECF 的面积OBCF BOE S S S =-△；
（2）设[0BOE α∠=∈︒，45]︒，过点F 作FM AB ⊥于点M ，利用三角函数的知识可得EOF S △；设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m ，该空地产生的经济价值为y ，可用含
α的式子表示出y ；令()cos sin(120)f ααα=⋅︒-，结合三角恒等变换公式和余弦函数
的图象与性质求出()f α取得最小值时，α的值，再将其代入EOF S △的表达式中即可得解． 【详解】
解：（1）由60EOF ∠=︒，30BOE ∠=︒，可知⊥OF OB ，O 为AB 中点，
2AB BC =，OB BC ∴=，∴四边形FOBC 为正方形．
在Rt BOE △中，30BOE ∠=︒，20OB =米，BE ∴=
，
∴四边形OECF 的面积为12020204002OBCF BOE S S -=⨯-⨯=△平方
米．
（2）设[0BOE α∠=∈︒，45]︒，则120AOF α∠=︒-，过点F 作FM AB ⊥于点
M ，
在Rt OBE △中，cos OB BOE OE ∠=，20
cos cos OB OE BOE α
∴==∠，
在Rt OMF △中，sin FM
AOF OF
∠=
，20sin sin(120)FM OF AOF α∴==∠︒-．
112020·sin sin 6022cos sin(120)EOF S OE OF EOF αα∴=∠=⨯⨯⨯︒=
︒-△，
设单位面积种植乙蔬菜的经济价值为m ，该空地产生的经济价值为y ，
则()
3EOF EOF ABCD y mS m S S =+-△△矩形
3(2040m m =+⨯
[800]cos sin(120)
m αα=+
⋅︒-．
令21
()cos sin(120)sin cos 2
f αααααα=⋅︒-=
-
cos 2111sin 2cos(230)242ααα+=
-⨯=+︒+
．
[0α∈︒，45]︒，230[30α∴+︒∈︒，120]︒，1
cos(230)[2
α∴+︒∈-．
若该空地产生的经济价值y 最大，则()f α应取得最小值，为1
2
-，此时0α=︒，
200
cos sin(120)cos0sin120EOF S αα∴=
===⋅︒-︒⋅︒△平方米． 故该空地产生最大经济价值时种植甲种蔬菜的面积为200平方米． 【点睛】
本题考查函数的实际应用，还涉及三角恒等变换与三角函数的图象与性质，选择适当的函数模型是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 25．(1) 34- (2) 函数()g x 的最小值为1，此时4
x π= 【分析】
(1)先化简函数解析式得()tan f x x =-，则由条件可得3
tan 4
α=
，得出答案.
(2)由条件可得()2
tan 2tan 2g x x x =-+，则由,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，设tan t x ⎡⎤=∈⎣⎦，根据二次函数()2
22211y t t t =-+=-+即可得出答案. 【详解】 由已知有sin(3)sin(3)sin ()tan cos cos cos x x x
f x x x x x
ππ---=
==-=-
（1）若α为第三象限角，且3sin 5α=-
，则4cos 5
α=-，则3
tan 4α= ()3
tan 4
f αα=-=-
（2）()()2222
cos sin 21tan 2tan 2cos x x
g x f x x x x +=++=-+
,34x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，设tan t x ⎡⎤=∈⎣⎦
即()2
22211y t t t =-+=-+，当1t =，即4
x π
= 时，有最小值1
所以当4
x π
=时，函数()g x 有最小值1.
【点睛】
关键点睛：本题考查根据三角函数求值和将函数化为tan α的二次式求最值，解答本题的
关键是由()()222
2
cos sin 21tan 2tan 2cos x x g x f x x x x +=++=-+将函数化为二次式，根
据tan α⎡⎤⎣⎦∈求最小值，属于中档题.
26．（1） 2.5sin(
)56
y x π
=+；（2）该船1：00至5：00和13：00至17：00期间可以
进港，在港口最多能呆4个小时. 【分析】
（1）由表格中数据可得， 2.5,5,12A B T ===，26
T ππ
ω=
=，取3x =代入可得2,k k Z ϕπ=∈，则解析式可得；
（2）由（1）得计算2.5sin()5 6.256
x π
+≥解x 范围即可得结果.
【详解】
解：（1）由表格中数据可得， 2.5,5,12A B T ===. 因为0>ω，所以22126
T πππ
ω=
==. 因为3x =时y 取得最大值，所以32,6
2
k k Z π
π
ϕπ⨯+=
+∈，解得2,k k Z ϕπ=∈.
所以这个函数解析式为 2.5sin(
)56
y x π
=+
（2）因为货船的吃水深度为5米，安全间隙至少要有1.25米， 所以2.5sin()5 6.256
x π
+≥， 即1sin()56
2
x π
+≥
， 所以
522,666
m x m m N ππ
π
ππ+≤
≤
+∈，
解得112512,m x m m N +≤≤+∈.
取0,1,m m ==得15,1317x x ≤≤≤≤.
答：该船1：00至5：00和13：00至17：00期间可以进港，在港口最多能呆4个小时. 【点睛】
已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝
2T
π
即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要。