15-16版:模块检测

一定正确；
D一定正确；当b＝0时C不正确.
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2.设1a＜1b＜0，则在①a2＞b2；②a＋b＞2 ab；③ab＜b2；④a2＋
b2＞|a|＋|.4
解析 对于①，1a＜1b＜0⇒b＜a＜0⇒－b＞－a＞0⇒b2＞a2.∴①错，
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14.若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取
值范围为___(5_,_7_)__.
b－4
b＋4
解析 由|3x－b|＜4，得 3 ＜x＜ 3 ，
即0≤b－3 4＜1， b＋4 3＜ 3 ≤4，
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一、选择题
1.如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中不一
定成立的是( C )
A.ab＞ac
B.c(b－a)＞0
C.cb2＜ab2
D.ac(a－c)＜0
解析 由题意知c＜0，a＞0，则A一定正确；B
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又 1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋1 1＋2k＋1 2＋…＋2k＋1 2k＜12＋k＋2k·21k
＝12＋(k＋1)， 即n＝k＋1时，命题也成立. 由(1)(2)可知，命题对所有n∈N＋都成立.
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∴
1a－1
1b－1
1c－1
＝
b＋ca＋ca＋b abc
≥
2
bc·2 ac·2 abc
ab ＝
8aabbcc＝8.
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5.若 x＞1，则函数 y＝x＋1x＋x12＋6x1的最小值为( B )
A.16
B.8
C.4
D.非上述情况
解析 y＝x＋1x＋x＋161x，令 t＝x＋1x＞2(因 x＞1). ∴y＝t＋1t6≥2 16＝8. 当且仅当 t＝1t6，即 t＝4 时取等号.
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4.设实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，当x＋y＋d≥0恒成立时，d的
取值范围是( )
A.[ 2＋1，＋∞)
B.(－∞， 2－1]
C.[ 2－1，＋∞)
D.(－∞， 2＋1]
解析 运用三角换元法.令x＝cos θ，y－1＝sin θ，
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(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立， 即 1＋2k＜1＋12＋13＋…＋21k＜12＋k， 则当 n＝k＋1 时，
1＋12＋13＋…＋21k＋2k＋ 1 1＋2k＋ 1 2＋…＋2k＋1 2k ＞1＋2k＋2k·2k1＋1＝1＋k＋2 1.
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二、填空题
11. 若 不 等 式 |kx － 4|≤2 的 解 集 为 {x|1≤x≤3} ， 则 实 数 k ＝ ____2____. 解析 |kx－4|≤2⇔－2≤kx－4≤2， ∴2≤kx≤6，由题意知|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
对于②，∵1a＜1b＜0，
∴a＜0，b＜0，∴a＋b＜0，∴②错；
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对于③，1a＜1b＜0⇒b＜a＜0⇒b2＞ab.∴③对； 对于④，例如 a＝－12，b＝－1，则 a2＋b2＝54，|a|＋|b|＝32. ∴④错.
≤4
1－sin
x＋1＋sin 3
x
3
＝
4×
8 27
＝
32 27
.
等
号
成
立
⇔1
－
sin
x＝
1＋sin 2
x ⇔sin
x＝13.
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13.已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是 _(－__∞__，__1_)_. 解析 ∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k＜1时，不等式|x－1|＋ |x|≤k无解，故k＜1.
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又－3≤x≤2，∴1≤x≤2. 当x＞2时，∵原不等式化为(x＋3)－(x－2)≥3⇒5≥3，这显然恒 成立，∴x＞2适合. 故综上知，不等式的解集为 {x|1≤x≤2，或x＞2}，即{x|x≥1}. 答案 B
B. 2
C.4
D.2 3
解析 由柯西不等式，得( 2a＋1·1＋ 2b＋1·1)2≤(2a＋1＋2b＋
1)(1＋1)＝8.
∴ 2a＋1＋ 2b＋1≤2 2.当且仅当 2a＋1＝ 2b＋1“＝”成
立，又 a＋b＝1，
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答案 A
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3.在用数学归纳法证明多边形内角和定理时，第一步应验证( C )
A.n＝1成立
B.n＝2成立
C.n＝3成立
D.n＝4成立
解析 多边形的边数最少是3，即三角形，∴第一步验证n＝3，
故选C.
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32 12.函数y＝cos2x(1＋sin x)的最大值为___2_7____. 解析 y＝(1－sin2x)(1＋sin x)＝(1－sin x)(1＋sin x)·(1＋sin x)＝4(1
1＋sin x 1＋sin x －sin x)· 2 · 2
(2)若fx－2f2x≤k 恒成立，求 k 的取值范围. 解 记 h(x)＝f(x)－2f2x，
1，x≤－1， 则 h(x)＝－4x－3，－1＜x＜－12，
－1，x≥－12，
所以|h(x)|≤1，因此k≥1.
故k的取值范围是[1，＋∞).
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ab＋bc＋bc＋ac＋ac，
∴1a＋1b＋1c≥3＋2＋2＋2＝9，则a＋1a＋b＋1b＋c＋1c≥9＋1＝10.
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8.已知 a＞0，b＞0，且 a＋b＝1，则 2a＋1＋ 2b＋1的最大值为
()
A.2 2
17.设x＋y＋z＝1，求函数u＝2x2＋3y2＋z2的最小值.
解
根据已知条件和柯西不等式，我们有
1＝x＋y＋z＝
1 2·
2x
＋
1 3·
3y＋1·z≤12＋13＋1
1 2
1
(2x2＋3y2＋z2) 2
＝
11 6·
u，
故 u≥161.而等号成立的条件是： 2x＝ λ2， 3y＝ λ3，z＝λ， 即 x＝2λ，y＝3λ，z＝λ，代入条件 x＋y＋z＝1 得 λ＝161，
6.不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为( )
A.{x|1≤x≤2，或x＞3}
B. {x|x≥1}
C.{x|0≤x≤2，或x＞3}
D.{x|x＞3}
解析 当x＜－3时，∵原不等式化为－(x＋3)＋(x－2)≥3⇒
－5≥3，
这显然不可能，∴x＜－3不适合.
当－3≤x≤2时，∵原不等式化为(x＋3)＋(x－2)≥3⇒x≥1，
＋3c)1a＋21b＋31c
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≥33 a·2b·3c·3 31a·21b·31c＝9，当且仅当 a＝2b＝3c＝13时取等号.
因此1a＋21b＋31c的最小值为 9
答案 D
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18.用数学归纳法证明 1＋n2≤1＋12＋13＋…＋21n≤12＋n (n∈N＋). 证明 (1)当 n＝1 时，左边＝1＋12，右边＝12＋1， ∴32≤1＋12≤32，命题成立. 当 n＝2 时，左边＝1＋22＝2；右边＝12＋2＝52， ∴2＜1＋12＋13＋14＜52，命题成立.
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(2)1a＋2b＋4c≥18. 证明 ∵a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，∴a＋b＋c≥33 abc，1a
＋2b＋4c≥3 3 a8bc，∴1a＋2b＋4c＝1·1a＋2b＋4c ＝(a＋b＋c)1a＋2b＋4c≥33 abc·3 3 a8bc＝18.
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此时，x＝131，y＝121，z＝161， 故当 x＝131，y＝121，z＝161时， 函数 u＝2x2＋3y2＋z2 的最小值是161.
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∴x＋y＝sin θ＋cos θ＋1＝ 2sinθ＋π4＋1，
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从而 1－ 2≤x＋y≤1＋ 2， 故 d≥－(x＋y)恒成立，必有 d≥－(1－ 2)＝ 2－1. 答案 C
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16.已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}. (1)求a的值； 解 由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2. 又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}， 所以当a≤0时，不合题意. 当 a＞0 时，－4a≤x≤2a，得 a＝2.
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所以当 a＝b＝12时， 2a＋1＋ 2b＋1的最大值为 2 2. 答案 A
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9.已知 a，b，c∈R＋且满足 a＋2b＋3c＝1，则1a＋21b＋31c的最小值
为( )
A.7
B.8
C.11
D.9
解析 ∵a，b，c∈R＋且满足 a＋2b＋3c＝1，1a＋21b＋31c＝(a＋2b
解得 5＜b＜7.
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三、解答题
15.已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：
(1)1a－1·1b－1·1c－1≥8； 证明 ∵a，b，c∈R＋， ∴a＋b≥2 ab，a＋c≥2 ac，b＋c≥2 bc. 又∵a＋b＋c＝1，
1－rn＋1
10.用数学归纳法证明 1＋r＋r2＋…＋rn＝
(n∈N，r≠1)，在
1－r
验证 n＝0 时，左端计算所得项为( A )
A.1
B.r
C.1＋r
D.1＋r＋r2
解析 用数学归纳法证明：
1－rn＋1
“1＋r＋r2＋…＋rn＝
”，
1－r
在验证n＝0时，把当n＝0代入，左端＝1.故选A.
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7.已知 a，b，c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，则a＋1a＋b＋1b＋c＋1c的
最小值为( C )
A.3
B.8
C.10
D.9
解析 ∵a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝(a＋b＋c)·1a＋1b＋1c＝3＋ba＋