山西省长治二中2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)试题

【全国百强校】山西省长治二中2020-2021学年高二上学期
期末考试数学（理）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知命题p ：13x <<，q ：31x >，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不
必要条件
2． 双曲线2228x y -=的实轴长是
A ．2
B ．
C ．4
D ． 3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )
A ．
16
B ．
13
C ．
23
D ．1
4．已知函数()x f x xe =的导函数为()f x '，则()0f x '>的解集为( ) A ．(,1)-∞- B ．(0,)+∞ C ．(1,)-+∞
D ．(,0)-∞
5． 函数y ()y ()f x f x ==，
的导函数的图像如图所示，则函数y ()f x =的图像
可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
6．直线10ax y +-=平分圆2224130x y x y +-+-=的面积，则a =( )
A ．1
B ．3
C D ．2
7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =，且与椭
圆22
1123x y +=有公共焦点.则C 的方程为（ ） A ．22
1810
x y -=
B ．22
145
x y -=
C ．22
154x y -=
D ．22
143
x y -=
8．若f(x)=2
1ln(2)2
x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是( ) A ．[-1，+∞]
B ．（-1，+∞）
C ．（-∞，-1]
D ．（-∞，-1）
9．如图，已知直线与抛物线()2
20y px p =>交于A ，B 两点，且OA⊥OB,OD⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标（4，2），则p=( )．
A ．3
B ．
54
C ．
52
D ．4
10．函数的()32
1122132
f x ax ax ax a =+-++图像经过四个象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．3
16
a >-
B ．63
516
a -≤≤- C ．6
5
a >- D ．63516
a -
<<- 11．已知椭圆：22
221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12F F 、，P 为椭圆上的一点
2PF 与椭圆交于Q 。

若1PF Q ∆的内切圆与线段1PF 在其中点处相切，与PQ 切于2F ，
则椭圆的离心率为( )
A ．
2
B C ．
3
D 12．已知函数()f x 在R 上 可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：当1x ≠时，
()()()1x f x f x ⎡⎤-+⎣'⎦
>0，()()222x
f x e f x -=-，则下列判断一定正确的是 ( ) A ．()()10f f < B ．()()4
40e f f < C ．()()
20ef f >
D ．()()3
30e f f >
二、填空题
13．命题0:?p x R ∃∈，使得2
010x +≤”的否定为____。

14．函数()ln f x x x =的极值点是____。

15．已知F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，点P 为双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>右支
上的一点，满足120PF PF ⋅=，且12|||PF PF =，则该双曲线离心率为 ． 16．已知a 、b 、c 是实数，方程320x ax bx c +++=的三个实数根可以作为椭圆、双曲线、抛物线的离心率，则22a b +的取值范围是____。

三、解答题
17．已知命题:p “方程22
191
x y k
k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆”，命题:q “方程
22
12x y k k
+=-表示双曲线”.
（1）若p 是真命题，求实数k 的取值范围； （2）若“p 或q ”是真命题，求实数k 的取值范围.
18．如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，AB =AD =2，CA CB CD BD ====
（1）求证：AO ⊥平面BCD ；
（2）求异面直线AD 与BC 所成角的余弦值的大小；
19．已知圆C 的圆心为(1，1)，直线40x y +-=与圆C 相切. （1）求圆C 的标准方程；
（2）若直线过点(2，3)，且被圆C 所截得的弦长为2，求直线的方程.
20．已知函数32
()f x x bx ax d =+++的图象经过点()0,2P ，且在点()
()
1,1M f --处的切线方程为670x y -+=. （1）求函数()y f x =的解析式； （2）求函数()y f x =的单调区间
21．在平面直角坐标系xoy 中，已知A(1,0)，点B 在直线x=－1上，M 点满足MB OA ，
MA AB MB BA ⋅=⋅，M 点的轨迹为曲线C ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）斜率为-1的直线l 与曲线C 交于P 、Q 两点，曲线C 上是否存在定点N ，使得NP 与NQ 的倾斜角互补，若存在，求点N 的坐标，若不存在请说明理由． 22．已知函数()ln a
f x x x
=-
，()()6ln g x f x ax x =+-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）设函数2
()4h x x mx =-+，当2a =时，若1(0,1)x ∃∈，2[1,2]x ∀∈，总有
12()()g x h x ≥成立，求实数m 的取值范围．
参考答案
1．A 【解析】
分析：根据题意，求得:0q x >，即可利用集合之间的关系，判定得到结论. 详解：由题意可得31x >，解得0x >，
则“:13p x <<”是“:0q x >”成立的充分不必要条件， 即“:13p x <<”是“:31x q >”成立的充分不必要条件，故选A.
点睛：本题考查了充分不必要条件的判定，其中正确求解命题q ，利用集合之间的大小关系是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力. 2．C 【解析】
试题分析：双曲线方程变形为22
148
x y -=，所以28b b =∴=2b =
考点：双曲线方程及性质 3．B 【解析】
由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则111
=112=323
V ⋅⋅⋅⋅，选B. 【考点定位】三视图与几何体的体积 4．C 【解析】 【分析】
计算导函数，解不等式，即可。

【详解】
计算导函数得到,()'0x
x
f x e xe =+>,解得x 的范围为()1,-+∞，故选C 。

【点睛】
本道题考查了导函数计算方法，考查了不等式的计算，难度较小。

5．D 【解析】
原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．
【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．
6．B 【解析】 【分析】
直线平分圆，说明该直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程，计算a ，即可。

【详解】
该直线平分圆，说明直线过圆的圆心，将圆方程转化为标准方程，为
()()
22
1218x y -++=，圆心坐标为()1,2-，代入直线方程，得到210a --=
3a =，故选B 。

【点睛】
本道题考查了直线与圆的位置关系，考查了参数计算方法，难度较小。

7．B 【分析】
根据已知可得2
b a =
，双曲线焦距26c =，结合,,a b c 的关系，即可求出结论. 【详解】
因为双曲线的一条渐近线方程为y x =
，则b a =
.① 又因为椭圆22
1123
x y +=与双曲线有公共焦点，
双曲线的焦距26c =，即c ＝3，则a 2＋b 2＝c 2＝9.②
由①②解得a ＝2，b C 的方程为22
145
x y -=.
故选：B. 【点睛】
本题考查椭圆、双曲线的标准方程以及双曲线的简单几何性质，属于基础题. 8．C 【解析】
由题意可知()02
b
f x x x +
'=-<+，在(1,)x ∈-+∞上恒成立，即(2)b x x <+在(1,)x ∈-+∞上恒成立，由于1x ≠-，所以1b ≤-，故Ｃ为正确答案．
9．C 【分析】
结合D 点坐标,计算直线方程,代入抛物线方程,建立一元二次方程,结合0OA OB ⋅=,建立等式,结合根与系数的关系,代入,计算p ，即可． 【详解】
设出该直线方程为()24y k x -=-，得到240kx y k -+-=因为D ()4,2 O
点到该直线的距离为OD =，结合点到直线距离公式，得到
224155k k k =-+=+解得2k =-，()()1122,210,,210A x x B x x -+-+
将直线方程代入抛物线方程，得到()2
220500x x p -++=，解得
121220,252
p
x x x x ++=
=，结合0OA OB ⋅=得到 ()12125201000x x x x -++=，得到()22510200p -+=,解得5
2
p =,故选C.
【点睛】
本道题考查了直线与抛物线位置关系，考查了直线方程计算，难度偏难． 10．D 【分析】
本道题计算导函数，结合a 取不同范围，判定()f x 是否满足条件，进而得出a 的范围，结合导函数与原函数的单调性关系，结合题意，判定极值满足的条件，进而得出a 的确定范围，即可． 【详解】
求导得到()()()2
'221f x ax ax a a x x =+-=+-
()()516
11,2163
f a f a =
+-=+. 若0a >则()f x 在()()1,,2+∞-∞-和递增，在()2,1-递减，可知()()10,20f f >->， 故函数()f x 不会经过第三、四象限，
因而0a <,得到()f x 在()2,1-递增，在其他区间递减，要使得()f x 经过四个象限，则要求
()()10,20.f f >-<得到a 的范围是63
516
a -<<-，故选D ．
【点睛】
本道题考查了导函数与原函数的单调性关系，难度偏难． 11．D 【解析】 【分析】
结合题意,证明得到三角形1PF Q 为等边三角形,对三角形12PF F 运用余弦定理,计算离心率,即可. 【详解】
结合题意可知1=,PM MF 结合内切圆的性质,可得2=PM PF ,结合椭圆的性质
212PF PF a +=,而2112PF PF =
,所以2124
,33
PF a PF a ==,结合内切圆的性质,可以得出112,3FC F M a ==结合椭圆的性质,可得2
2
3QC QF a ==,由此可知1PF Q ∆为等边三角形,进而得出0
160F PQ ∠=,对三角形12F PF 运用余弦定理,得到
()22
20
242422cos603333a a a c a ⎛⎫⎛⎫+-=⋅⋅ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,解得3c e a ==,故选D. 【点睛】
本道题考查了椭圆基本性质,考查了余弦定理,难度偏难. 12．D 【分析】
构造函数()()x
g x f x e =,结合导函数,判定()g x 的单调性,()()g 2x g x 由，-=得()g x 的
对称轴,对选项判断即可. 【详解】
构造函数()()x g x f x e =,计算导函数得到()'
g x =()()x e f x f x +'⎡⎤⎣⎦，由()
1x -()()f x f x +'⎡⎤⎣⎦>0,得当x 1>,()()f x f x '+>0,当x 1<时,()()f x f x '+<0.所以()
g x 在()1,∞+单调递增,在(),1∞-单调递减,而
()()()()()2x 2x x 22x
f x
g 2x f 2x e e f x e g x e
----=-=
⋅==,所以()g x 关于x 1=对称,故
()()()()()3g 3e f 3g 1g 00f ==->=,得到()()3e f 3f 0>,
故选:D. 【点睛】
本题考查了由导数研究函数的单调性及对称性等基本方法，恰当构造函数是解题的关键，属于难题．
13．x R ∀∈都有210x
【解析】 【分析】
∀改为∃，≤改为>，即可。

【详解】
∀改为∃，≤改为>，故命题的否定为x R ∀∈都有210x +>
【点睛】
本道题考查了命题的否定改写，关键抓住∀改为∃，≤改为>，属于较容易的题。

14．
1e
【解析】 【分析】
令导数为0，计算x ，即可。

【详解】
()'ln 10f x x =+=解得1
x e
=
【点睛】
本道题考查了函数导数计算方法，关键抓住()'0f x =，即可，难度较容易。

15．13+. 【解析】
试题分析：21PF PF ⊥ ，在21F PF Rt ∆中，设3321==PF PF ， 则2221==F F c ，131
32
22+=-===
a c a c e . 考点：双曲线的离心率. 16．(5，+∞) 【解析】 【分析】
本道题结合题意，得出c 与a,b 的关系，结合题意，构造不等式，转化为线性规划的题，计算最值，计算范围，即可。

【详解】
构造函数()3
2
f x x ax bx c =+++,因为一个根为抛物线的离心率,可知
10a b c +++=,解得1c a b =---,因为三个实数根分别为椭圆、
双曲线和抛物线的离心率，可知一个根1x 大于0，小于1，一个根2x 大于1，一个根3x 为1，绘制图像
计算导函数()2
'32f x x ax b =++设导函数为0时两个根为m,n ，依据图像可知 01,1m n <，所以得到()()0,110mn m n >-⋅-<且()010f c a b ==---<而 2,33
a b m n mn +=-=，建立不等式得到 1010230a b b a b a ---<⎧⎪++>⎨⎪++<⎩
，绘制可行域，可得
而22a b +可以看成点(),a b 到()0,0距离的平方和，所以A ()2,1-可以使得取得最小值， 所以最小值为2222215a b +=+=，故225a b +>写成集合的形式为()5,+∞
【点睛】
本道题考查了线性规划问题，关键在于结合题意，建立不等式，转化为线性规划进行解决，难度偏难。

17．（1）15k <<（2）k 0<或1k >
.
【解析】
试题分析：
(1)由题意得到关于实数k 的不等式组9110
k k k ->-⎧⎨->⎩，求解不等式组有15k <<. (2)由题意可得，命题,p q 至少一个是真命题，即一真一假或全为真.据此得到关于实数k 的不等式组，求解不等式组可得实数k 的取值范围是0k <或1k >. 试题解析：
（1）命题p ：“方程22191x y k k +=--表示焦点在x 轴上的椭圆”，则9110
k k k ->-⎧⎨->⎩，解得15k <<.
（2）命题:q “方程2212x y k k
+=-表示双曲线”，则()20k k -<，解得2k >或0k <. 若“p 或q ”是真命题，则,p q 至少一个是真命题，即一真一假或全为真. 则1502k k <<⎧⎨≤≤⎩或1502k k k k ≤≥⎧⎪⎨⎪⎩
或或或1520k k k <<⎧⎨><⎩或， 所以12k <≤或0k <或5k ≥或25k <<.
所以0k <或1k >.
18．（1）详见解析（2
）
4 【分析】
(1)分别证明AO 垂直OC,垂直BD,结合直线与平面垂直判定,即可.(2)建立空间坐标系，分别计算各点坐标，结合向量数量积公式，计算，即可．
【详解】
解：（1）连接OC ，∵BO=DO，AB=AD ，∴AO⊥BD，
∵BO=DO，BC=CD ，∴CO⊥BD，
在△AOC 中，由题设知
2
CO =
=
∴AO 2+CO 2=AC 2，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC，
∵AO⊥BD，BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD ；
（2）结合题意,建立坐标系,以OB 为y 轴，以OC 为x 轴，以AO 为z 轴，则
(())()
,,,A D B
C
()((
AD =--=,())()
0,BC =-=
2,22,2cos AD BC AD BC AD BC θ==⋅==⋅⋅解得cos 4
θ=. 【点睛】
本道题考查了直线与平面垂直判定，考查了空间向量数量积计算公式，难度中等．
19．（1）22(1)(1)2x y -+-=；（2）3460x y -+=或2x =． 【分析】
（1）利用点到直线的距离可得：圆心(1,1)C 到直线40x y +-=的距离d ．根据直线40x y +-=与圆C 相切，可得r d =．即可得出圆的标准方程．
（2）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程：3(2)y k x -=-，即：
320kx y k -+-=，可得圆心到直线l 的距离d ，又212d +=，可得：k ．即可得出直线l 的方程．②当l 的斜率不存在时，2x =，代入圆的方程可得：2
(1)1y -=，解得y 可得弦长，即可验证是否满足条件．
【详解】
（1）圆心(1,1)C 到直线40x y +-=的距离
d =
=．
直线40x y +-=与圆C 相切，r d ∴==．
∴圆的标准方程为：22(1)(1)2x y -+-=．
（2）①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程：3(2)y k x -=-，
即：320kx y k -+-=，
d =212d +=，1d ∴=． 解得：34
k =． ∴直线l 的方程为：3460x y -+=．
②当l 的斜率不存在时，2x =，代入圆的方程可得：2(1)1y -=，解得11y =±，可得弦长2=，满足条件．
综上所述l 的方程为：3460x y -+=或2x =．
【点睛】
本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（1）f （x ）=x 3﹣3x 2﹣3x+2；（2）f （x ）的单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣,1+）.
【详解】
分析：（1）求出导函数
'()f x ，题意说明(0)2f =，()11f -=，'(1)6f -=，由此可求
得,,a b d ；
（2）解不等式'()0f x >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间.
详解：（1）∵f （x ）的图象经过P （0，2），∴d=2，
∴f （x ）=x 3+bx 2+a x+2，f'（x ）=3x 2+2bx+a ．
∵点M （﹣1，f （﹣1））处的切线方程为6x ﹣y+7=0
∴f'（x ）|x=﹣1=3x 2+2bx+a =3﹣2b+a =6①，
还可以得到，f （﹣1）=y=1，即点M （﹣1，1）满足f （x ）方程，得到﹣1+b ﹣a+2=1②
由①、②联立得b=a =﹣3 故所求的解析式是f （x ）=x 3﹣3x 2﹣3x+2．
（2）f'（x ）=3x 2﹣6x ﹣3．令3x 2﹣6x ﹣3=0，即x 2﹣2x ﹣1=0.解得x 1=1- ,x 2=1+. 当x<1-,或x>1+时，f'（x ）>0；当1-<x<1+时，f'（x ）<0.
故f （x ）的单调增区间为（﹣∞,1﹣），（1+,+∞）；单调减区间为（1﹣,1+）
点睛：（1）过曲线()y f x =上一点00(,())x f x 处的切线方程是
000()'()()y f x f x x x -=-；（2）不等式'()0f x >解集区间是函数()f x 的增区间，不等式'()0f x <的解集区间是()f x 的减区间.
21．（1）24y x =（2）（1，2）
【分析】
（1）设出M,B 的坐标，结合MA AB MB BA ⋅=⋅，建立方程，得出曲线C 的方程，即可．（2）设出N 的坐标，设出PQ 的方程，代入抛物线方程，分别表示10,k k ，求和，即可．
【详解】
解：（1）设M 点的坐标为(),x y 则()1,B y -
则()()1,02,MB x BA y ，
=--=- ()()1,,2,MA x y AB y =--=-
由于MA AB MB BA ⋅=⋅
()()22121x x y -+=---
即2
4y x =
所以曲线C 的方程是24y x = （2）假设满足条件的点N 存在，设200,4y N y ⎛⎫ ⎪⎝⎭
设PQ 的方程为221212,,,,44y y y x b A y B y ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
24y x b y x
=-+⎧⎨=⎩联立消去x 得2440y y b +-=
12124,4y y y y b +=-=-
则NP NQ ⋅的斜率分别为
101220
110444
y y k y y y y -==+-同理0204k y y =+ ()()()100101020102048440y y y k k y y y y y y y y +++=
+==++++ 12022
y y y +=-= 2004144
y x === 点N 的坐标是（1，2）
【点睛】
本道题考查了直线与抛物线位置关系，考查了抛物线方程求解，难度偏难．
22．（1）在()0,a -上单调递减，(),a -+∞上单调递增（2）[)85ln 2,-+∞
【分析】
（1）计算导函数，结合导函数与原函数单调性关系，判定单调性，即可．（2）结合()g x 的导函数，结合导函数与原函数单调性，判定最大值，结合题意，建立不等式，计算m 的范围，即可．
【详解】
解：（1）()f x 的定义域为()0,∞+，且()2'x a f x x
+= 01当0a ≥时，()()'0,f x f x >在()0,∞+上单调递增；
02当0a <时，由()'0,f x >得;x a >-由()'0,f x <得x a <-；
故()f x 在()0,a -上单调递减，在(),a -+∞上单调递增
（2）当2a =时，()225ln g x x x x =--，()22252x x g x x
-+'= 由()0g x '=得12
x =或2x =
当10,2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '≥；当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0g x '<. 所以在()0,1上，()max 135ln22g x g ⎛⎫==-+
⎪⎝⎭ 而“()10,1x ∃∈，[]21,2x ∀∈，总有()()12g x h x ≥成立”等价于 “()g x 在()0,1上的最大值不小于()h x 在[]1,2上的最大值” 而()h x 在[]1,2上的最大值为()(){}
max 1,2h h 所以有()()112122g h g h ⎧⎛⎫≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭
⎩ ()852352585ln2135282115ln22m ln ln m m ln m m ≥-⎧-+≥-⎧⎪⇔⇔⇔≥-⎨⎨-+≥-≥-⎩⎪⎩
所以实数m 的取值范围是[)85ln2,-+∞
【点睛】
本道题考查了导函数与原函数的单调性关系，考查了利用导函数计算最值，难度偏难．。