高三下期3月月考.docx

高中数学学习材料
唐玲出品
2016年重庆一中高2016级高三下期3月月考
数学试题卷（文科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分．
1.已知集合{}
{}22|20,|log 1M x x x N x x =+-<=<则M N =（ ）
A ．(2,1)-
B ．(1,2)-
C ．(0,1)
D ．(1,2) 2.若纯虚数z 满足(1)1i z ai -=+，则实数a =（ ） A ．0 B ．-1或1 C ．-1 D ．1 3.已知变量,x y 的取值如下表所示：
x 4 5 6
y 8 6 7
如果y 与x 线性相关，且线性回归方程为ˆˆ2y
bx =+，则ˆb 的值为（ ） A ．1 B ．
32 C ．45 D ．5
6
4.已知倾斜角为θ的直线l 与直线:230m x y -+-垂直，则sin 2θ=（ ） A ．
54 B ．45 C ．45- D ．54
-
6.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若535a a =，则
9
5
S S =（ ） A ．
185 B ．5 C ．9 D ．925
7.过抛物线2
:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A B 、两点，若A 到抛物线的准线的距离为4，则弦长AB 的值为（ ） A ．8 B ．
163 C ．13
3
D ．6 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．
5
6
B ．6
C ．33+
D ．932+
9.我国古代数学名著《九章算术》中的更相减损法的思路与上图相似．执行该程序框图，若输入的,a b 分别为14，18，则输出的a =（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8
10.如图，为了测量A C 、两点间的距离，选取同一平面上B D 、两点，测出四边形ABCD 各边的长度（单位：km ）：5,8,3,5A B B C
C D D A ====，且B ∠与D ∠互补，则AC 的长为（ ）km ．
A ．7
B ．8
C ．9
D ．
6
11.如图，12F F 、分别是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两
支分别交于点A B 、．若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）
A ．4
B ．7
C ．
23
3
D ．3 12.已知ABC ∆的三个顶点,,A B C 的坐标分别为(0,1),(2,0),(0,2)-，O 为坐标原点，动点P 满足
1CP =，则OA OB OP ++的最小值是（ ）
A ．31-
B ．111-
C ．31+
D ．111+
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.已知函数2
()ln f x x ax =-在点(2,(2))f 处的切线的斜率是3
2
-
，则a =________． 14. ,x y 满足条件3560231500x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-的最小值是_________．
15.已知函数2()lg(142)1f x x x =+++，则1
(lg3)(lg )3
f f +=________．
16.已知在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AB AC PA ===，且在ABC ∆中，0
120BAC ∠=，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
各项均为正数的数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*
n N ∈，有22n n n S a a =+．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 是首项和公比为2的等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和n T ． 18.（本小题满分12分）
某高校从2015年招收的大一新生中，随机抽取60名学生，将他们的2015年高考数学成绩（满分150分，成绩均不低于90分的整数）分成六段[)[)
[)90,100,100,110140,150，后得到如图所示的频率分布直
方图．
（1）求图中实数a 的值；
（2）若该校2015年招收的大一新生共有960人，试估计该校招收的大一新生2015年高考数学成绩不低于120分的人数；
（3）若用分层抽样的方法从数学成绩在[)90,100与[]140,150两个分数段内的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[)90,100内的概率． 19.（本小题满分12分）
如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PAB ∆为等边三角形，,//AD AB AD BC ⊥，
平面PAB ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．
（1）证明：BE PA ⊥；
（2）若224AD BC AB ===，求点D 到平面PAC 的距离．
20.（本小题满分12分）已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4． （1）求椭圆的方程；
（2）过点(1,0)E -且不与坐标轴垂直的直线l 交此椭圆于,C D 两点，若线段CD 的垂直平分线与x 轴交于点0(,0)M x ，求实数0x 的取值范围． 21.（本小题满分12分）
已知函数2
1()(1)ln ()2
f x ax a x x a R =-
++-∈． （1）0a >时，求函数()f x 的单调递减区间；
（2）当0a =时，设函数()()(2)2g x xf x k x =-++．若函数()g x 在区间1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上有两个零点，求实数k 的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）
如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，BAC ∠的平分线AD 交圆O 于点D ，DE AC ⊥，交AC 的延长线于点E ，OE 交AD 于点F ．
（1）求证：DE 是圆O 的切线；（2）若25AC AB =，求
AF
DF
的值． 23.（本小题满分10分）
在直角坐标系中曲线M 的参数方程为2
3cos sin 23sin cos 2sin 2
x y ααααα⎧=+⎪
⎨=-+⎪⎩（α为参数）．若以直角坐标系中
的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为2
sin()4
2
t π
ρθ+=
． （1）求曲线M 的普通方程和曲线N 的直角坐标方程； （2）若曲线M 与曲线N 有公共点，求实数t 的取值范围． 24.（本小题满分10分）
设函数()22,f x x x x R =++-∈，不等式()6f x ≤的解集为M ． （1）求M ；
（2）当,a b M ∈时，求证：33a b ab +≤+．
参考答案
一．选择题（每小题5分，共60分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12
答案 C D A C B C B D A A B
A
二．填空题（每小题5分，共20分） 13．
1
2
14．-3 15．2 16．2053π
三．解答题：（共75分） 17．（本小题满分12分）
解：（1）由22n n n S a a =+ ①得：1
2
112n n n S a a +++=+，②
（2）2n n b =，∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯+
+，
23412222322n n T n +=+⨯+⨯+
+⨯，
所以23
1
112(12)22222
2(1)2212
n n n n n n T n n n +++--=+++
+-=-⨯=----
所以1
(1)22n n T n +=-+．
18．（本小题满分12分）
解：（1）(0.0050.0120.020.025)101a +⨯+++⨯=，∴0.03a = （2）(0.030.0250.01)10960624++⨯⨯=（人） （3）
93
155
= 19．（本小题满分12分）
（1）证：取PA 中点F ，因平面PAB ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，故AD ⊥平面PAB ，故AD PA ⊥；而//EF AD ，故PA EF ⊥；因为PAB ∆为等边三角形，故BF PA ⊥，故PA ⊥面BEF ，故BE PA ⊥．
（2）解：取AB 的中点H ，则由平面PAB ⊥平面ABCD 知PH ⊥平面ABCD 又3123,42422ACD PH S ∆=
⨯==⨯⨯=，所以14333
P ACD ACD V S PH -∆==， 由（1）知PA ⊥平面BCEF ，所以PA FC ⊥，又437FC BE ==
+=
所以1
7272
PAC S ∆=
⨯⨯=，设点D 到平面PAC 的距离为d ，由P ACD D PAC V V --=得4217d =． 20．（本小题满分12分）
解：（1）设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>．
由已知得2
2
2222222411
b c a a
b c c a b c
=⎧⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，∴所求椭圆方程为：2212x y +=
（2）由题意知直线l 的斜率存在且不等于0，
设直线l 的方程为1122(1),(,),(,)y k x C x y D x y =+，由22
(1)
12
y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩消去y 得关于x 的方程；
2222(12)4220,(0)k x k x k k +++-=≠，∵(1,0)E -
在椭圆内部，∴直线l 与椭圆恒有两交点，设线段CD
的中点为(,)N N N x y ．又由韦达定理得2122412k x x k +=-+，∴22212N k x k =-+，2
(1)12N N
k
y k x k =+=+， 所以线段CD 的垂直平分线是：1
()N N y y x x k
-=-
-， 令0y =，∴2
02
,(0)21
N N k x x ky k k =+=-≠+， ∴01
(,0)2
x ∈-
． 21．（本小题满分12分）
解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，(1)(1)
()(0)ax x f x a x
--'=-
>．
②
当1a =时，恒有()0f x '≤，∴()f x 的单调递减区间为(0,)+∞
②(0,1)a ∈时，
11a >．由()0f x '<，得1
x a
>或1x <．
∴当(0,1)x ∈，1(,)x a
∈+∞时，()f x 单调递减． ∴()f x 的单调递减区间为1(0,1),(,)a
+∞． ③当(1,)a ∈+∞时，
11a <，由()0f x '<，得1x >或1x a
< ∴当1(0,)x a
∈，(1,)x ∈+∞时，()f x 单调递减，∴()f x 的单调递减区间为1
(0,),(1,)a
+∞， 综上，当1a =时，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞； 当(0,1)a ∈时，()f x 的单调递减区间为1(0,1),(,)a
+∞； 当(1,)a ∈+∞时，()f x 的单调递减区间为1(0,),(1,)a
+∞．
（2）2
()ln (2)2g x x x x k x =--++在1,2x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭
上有零点，即关于x 的方程2ln 22x x x k x -+=+在
1,2x ⎡⎫
∈+∞⎪⎢⎣⎭上有两个不相等的实数根．令函数2ln 21(),,22x x x h x x x -+⎡⎫=
∈+∞⎪⎢+⎣⎭． 则2232ln 4()(2)x x x h x x +--'=+，令函数2
1()32ln 4,,2p x x x x x ⎡⎫=+--∈+∞⎪⎢⎣⎭
． 则(21)(2)()x x p x x -+'=
在1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭上有()0p x '≥．
故()p x 在1,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增．∵(1)0p =
∴当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
时，有()0p x <即()0h x '<，∴()h x 单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，有()0p x <即()0h x '>，∴()h x 单调递增． ∵19ln 2()2105h =
+，10210ln 210210231
(1)1,(10)()121232
h h h --==>=>，
∴k 的取值范围为9ln 21,105⎛⎤
+ ⎥⎝⎦
． 22．解：（1）
连接OD ，可得ODA OAD DAC ∠=∠=∠，∴//OD AE ， 又AE DE ⊥，∴OD DE ⊥，又OD 为半径，∴DE 是圆O 的切线． （2）过D 作DH AB ⊥于点H ，连接BC ，则有HOD CAB ∠=∠，
2
cos cos 5
OH AC HOD CAB OD AB ∠=
=∠==， 设5OD x =，则10,2AB x OH x ==，∴7AH x =，
由AED AHD ∆≅∆可得7AE AH x ==，又由AEF DOF ∆≅∆，可得7
5
AF AE DF DO == ． 23．解：（1）由3cos sin x αα=
+得222(3cos sin )2cos 23sin cos 1x ααααα=+=++，
又由223sin cos 2sin 2y ααα=-+得2
23sin cos 2sin 2y ααα=+-，所以曲线M 的普通方程为
21x y =+，即21y x =-，
又易知[]2,2x ∈-，∴曲线M 的普通方程为2
1y x =-，[]2,2x ∈-．
由2sin()4
2t π
ρθ+
=
得222sin cos 222
t ρθρθ+=， 所以sin cos t ρθρθ+=，所以曲线N 的直角坐标方程为x y t +=．
（2）当直线N 过点(2,3)时，与曲线M 有公共点，此时5t =，从该位置向左下方平行移动直到与曲线M
相切总有公共点，联立2
1
x y t y x +=⎧⎨
=-⎩得2
10x x t +--=， 14(1)t ∆=++，令14(1)0t ++=，解得54t =-．∴554t -≤≤．∴所求实数t 的取值范围是5,54⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
．
24．（本小题满分10分）
解：（1）226x x ++-≤等价于
226x x ≤-⎧⎨
-≤⎩或2246x -≤≤⎧⎨≤⎩或2
26x x ≥⎧⎨≤⎩
，解得33x -≤≤，∴[]3,3M =-．
（2）证明：当,a b M ∈，即33b -≤≤时，要证33a b ab +≤+，即证22
3()(3)a b ab +≤+． ∵
2222222222223()(3)3(2)(69)339(3)(3)0a b ab a ab b a b ab a b a b a b +-+=++-++=+--=--≤，
∴33a b ab +≤+．。