高中数学(新人教A版)选择性必修一：用空间向量研究距离问题【精品课件】

解题小结
求点到平面的距离的四步骤
合作探究
如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为线段DD1
的中点，F为线段BB1的中点.
D1
C1
(1)求点A1到直线B1F的距离；
(2)求直线FC1到直线AE的距离；
A
1
(3)求点A1到平面AB1E的距离；
B1
E
(4)求直线FC1到平面AB1E的距离.
线线距
转化为点线距
行直线之间的距离．
→
设平面α的法向量为 n ，P∉ α，A∈α， PQ⊥α，AP 在直线 l 上的
点面距
→
|AP·n|
→
投影向量为AQ ，则 P 点到平面α的距离 PQ＝
|n|
小结
线面距（前提 转化为点 如果一条直线 l 与一个平面α平行，可在直线 l 上任取一点 P，
是线面平行）
用空间向量研究距离问题
课程标准
在空间向量语言的基础上
（1）推导得到空间中点到直线、点到平面、两条平行直线、
两个平行平面距离公式。
（2）运用公式解决相关的距离问题。
（3）总结解决立体几何问题的三部曲，提升直观想象与数学
运算能力。
复习回顾
直线
方向向量
平面
法向量
回忆下：我们中学学习几何主要是研究它的哪些量？
两条平行直线之间的距离．
A
Q
u

新知探究
探究二 利用向量的方法求平面外的一点P到平面的距离。
新知讲解
如图, 已知平面的法向量为n, A是平面内的定点, P是
平面 外一点. 过点P 作平面的垂线l , 交平面 于点Q , 则n
是直线l的方向向量, 且点P到平面的距离就是 AP在直线l
小结
分类
图示
向量求法
→
→
u 为直线 l 的单位方向向量，P∉ l，A∈l，Q∈l，AP ＝a，AP 在直
→
线 l 上 的 投 影 向 量 为 AQ ＝ (a·
u)u ， 则 PQ ＝
点线距
a2－（a·u）2
→
→
|AP|2－|AQ|2 ＝
.
在其中一条直线上取定一点，则该点到另一条直线的距离即为两条平
3
2
2
套公式
1

(2) 因为FC EC1 1, , 0 , 所以FC / / EC1 , 所以FC / / 平面AEC1 ,
2

所以点F 到平面AEC1的距离即为直线FC 到平面AEC1的距离.
设平面AEC1的法向量为n ( x , y , z ),
1
n AE 0
线外一点,如何利用这些条件求点P到直线l的距离?
如图，向量在直线上的投影向量为,则△APQ
是直角三角形,因为A、P都是定点,所以||,与的
夹角∠PAQ是确定的于是可求||,再利用勾股定理，
可以求出点P到直线l的距离PQ。
A
u
P
Q

概念生成
点线距
P
直线的单位方向向量为
设 AP a ,Байду номын сангаас则向量 AP在直线l上的投影向量
(2)如何求平面到平面的距离？
(3)如何求两条异面直线的距离？
点到平面的距离
在直线（平面）上取定一点，则该点到另一条直线的距
离即为直线到平面的距离、平面到平面的距离、两条异面直
线的距离！
点面距
新知讲解
异面直线 a，b 间的距离
求出与两条直线的方向向量都垂直的法向量 n，在
两条直线上分别取 A 和 B，则 在法向量 n 上的投影
1
1
C1 (0,1, 0), E 1, , 0 , F 1, ,1
2
2
1
1


所以 AB (0,1, 0), AC1 ( 1,1, 1), AE 0, , 1 , EC1 1, , 0 ,
2
2


l
上的投影向量QP 的长度, 因此
n
P

A
Q
概念生成
l
用向量法求一个点到平面的距离，可以分以下几
步完成：
(1)求出该平面的一个法向量；
(2)找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应
的向量；
(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值
再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
n
P

A
Q
合作探究
(1)如何求直线到平面的距离？
5
(1)
3
2
(3)
3
(2)
1
(4)
3
30
3
D
A
F
C
B
新知讲解
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及
的点、直线、平面，把立体几何向题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们
之间的距离和夹角等问题；
（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
∥ ， ⊥ ，,
新课导入
导
教学目标
教学
目标
重点
一
理解点到直线、点到平面的距离公式及其
推导
二
了解利用空间向量求点到直线、点到平面、
两平行直线、直线到平面、两平行平面的
难点
距离的思想
三
能利用距离公式解决相关的距离问题，归
重点
纳总结解决立体几何问题的“三部曲”
新知讲解
问题1 空间中距离包括哪些具体的内容？
面距
将线面距离转化为点 P 到平面α的距离求解．
如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点 P，
面面距（前提 转化为点
是面面平行）
面距
可将两个平行平面的距离转化为点 P 到平面β的距离求解．
坐标点、直线的方向向量和平面的法向量，
再利用有关公式，通过坐标运算得出相应
的距离．
A
z
F
C
B
y
D1
A1
x
E
C1
B1
以D1为原点, D1 A1 , D1C1 , D1 D所在直线分别为
x轴、y轴、z轴, 建立如图1.4 18所示的空间
直角坐标系, 则A(1, 0,1), B(1,1,1), C (0,1,1),
2 y z 0
x z
则


n EC1 0 x 1 y 0 y 2 z

2
取z 1, 则x 1, y 2.
求法向量
所以, n (1, 2, 1)是平面AEC1的一个法向量.
1
又因为 AF 0, , 0 ,
我们该如何用空间向量解决这些距离？
接下来我们一起探
究这些距离公式及
推导
新知探究
探究一 利用向量的方法求直线l外的一点P到直线l的距离。
追问：我们该如何用向量研究距离？
向量的模
空间向量的模
空间中还有其他的向量长度吗？
向量的
投影
新知讲解
问题2 已知直线的单位方向向量为,A是直线上的定点,P是直
2
1
AF n 0, 2 , 0 (1, 2,1)
6
所以点F 到平面AEC1的距离为


.
6
6
n
套公式
解题小结
点线距
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：
(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段．
(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点．
(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
AQ (a u)u.
在Rt△APQ中, 由勾股定理, 得
PQ
2
2
2
AP AQ a (a u)
A
2
Q
u

新知讲解
问题3 类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的
距离？
请大家思考一下，它的思路是怎样的？
P ’
在其中一条直线上取定一点，
则该点到另一条直线的距离即为
1

1
FC 1, , 0 , AF 0, , 0 .
2

2
建系
设点
取向量
AC1
3
(1) 取 a AB (0,1, 0), u

( 1,1, 1),
3
AC1
1
6
所以, 点B到直线AC1的距离为 a (a u) 1
.
3
向量的长度即为异面直线 a，b 的距离
所以距离为
.
新知探究
探究3 利用公式在立体图形中求对应的距离！
课堂练习
1.如图，在棱长为 1 的正方体中，E 为线段 A 1B1 的中点，F 为线
段 AB 的中点.
D
（1）求点 B 到直线 AC 1 的距离；
（2）求直线 FC 到平面 AEC 1 的距离.
分析：根据条件建立空间直角坐标系，用