2014高考数学解析几何难点专练3圆的方程

圆的方程
1.点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25内弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( C )
A ．x ＋y －1＝0
B ．2x ＋y －3＝0
C ．x －y －3＝0
D ．2x －y －5＝0
解析：由圆的方程知圆心坐标为(1,0)，圆心与P 点的连线的斜率为－1，所以直线AB 的斜率为1，又过点P (2，－1)，所以直线AB 的方程为x －y －3＝0，故选C.
2.在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则实数a 的取值范围为( D )
A ．(－∞，－2)
B ．(－∞，－1)
C ．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0，
即(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4表示以(－a,2a )为圆心，2为半径的圆，当－a <－2且2a ＞0，即a >2时，曲线C 上所有的点均在第二象限内，故选D.
3.已知A 、B 、C 是圆O ：x 2＋y 2＝1上不同的三个点，且OA →·OB →＝0，存在实数λ，μ
满足OC →＝λOA →＋μOB →，则点(λ，μ)与圆的位置关系是( B )
A ．在单位圆外
B ．在单位圆上
C ．在单位圆内
D ．无法确定
解析：因为点A 、B 、C 在单位圆上，
故|OC |＝1，于是有|OC |2＝1，
即(λOA →＋μOB →)2＝1，展开得λ2＋μ2＝1，
所以点(λ，μ)在圆x 2＋y 2＝1上，故选B.
4.圆心在原点且与直线x ＋2y ＝4相切的圆的方程是 x 2＋y 2＝165 .
解析：由题意，半径R ＝41＋22＝4
5，
所以圆的方程为x 2＋y 2
＝165，故填x 2＋y 2＝165.
5.以抛物线y 2＝4x 上的点(x 0,4)为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 (x －4)2＋(y －4)2＝25 .
解析：抛物线的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，
根据点(x 0,4)在抛物线上知42＝4x 0，解得x 0＝4，
所以圆心为(4,4)，半径为x 0＋1＝5，
故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝25.
6.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 (x －2)2＋(y ＋1)
2＝1 .
解析：设圆上任一点为Q (s ，t )，PQ 的中点为A (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4＋s 2
y ＝－2＋t 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ s ＝2x －4t ＝2y ＋2，
将其代入圆的方程，
得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，
整理得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.
7.若x 2＋y 2－4x ＋2my ＋m ＋6＝0与y 轴的两交点位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是 m >3或－6<m <－2 .
解析：圆方程配方，得(x －2)2＋(y ＋m )2＝m 2－m －2，
则⎩⎨⎧ m 2－m －2>0－2＋＋m 2>m 2－m －22<m 2－m －2，
解得m >3或－6<m <－2.
8.已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程．
解析：由已知求得AB 的垂直平分线l ′的方程为x －3y －3＝0.
圆心C 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪
⎧ x －3y －3＝0x －y ＋1＝0
的解， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3
y ＝－2.
半径r ＝|AC |＝＋2＋＋2＝5.
故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.
9.在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＋4＝0相切．
(1)求圆O 的方程；
(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA →|，|PO →|，|PB →|成等比数列，求PA →·PB
→的取值范围．
解析：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＋4＝0的距离，即r ＝4
1＋3＝2.
所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.
(2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2.
由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)．
设P (x ，y )，由|PA →|，|PO →|，|PB →|成等比数列，
得x ＋2＋y 2·x －2＋y 2＝x 2＋y 2，
即x 2－y 2＝2.
PA →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )
＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．
由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2<4
x 2－y 2＝2，由此得y 2<1. 所以PA →·PB →的取值范围为[－2,0)．。