中考数学总复习 第1部分 教材同步复习 第五章 四边形 课时20 正方形及特殊四边形的综合权威预测

及特殊四边形的综合权威预测
第一部分第五章课时20
我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．
(1)若点A(x，y)是“完美点”，且满足x＋y＝4，求点A的坐标；
(2)如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标为(0,4)，连接OB，点E从点O向点B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t.
①求证：不管t为何值，E点总是“完美点”；
②如图2，连接AE，过点E作PQ⊥x轴分别交AB，OC于P，Q两点，过点E作EF ⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．
(1)解：∵点A(x，y)是“完美点”，∴x＝y.
∵x＋y＝4，∴x＝2，y＝2，∴点A的坐标为(2,2)．
(2)①证明：∵四边形OABC是正方形，点A的坐标为(0,4)，
∴AO＝AB＝BC＝4，∴B(4,4)．
设直线OB的解析式y＝kx，∴4＝4k，解得k＝1，
∴直线OB的解析式为y＝x.
设点E的坐标(x，y)，
∵点E在直线OB上移动，∴x＝y，
∴不管t为何值，E点总是“完美点”．
②解：∵E点总是“完美点”，∴EQ＝OQ.
∵∠BAO＝∠AOC＝90°，PQ⊥x轴，
∴四边形AOQP是矩形，∴AP＝OQ，AO＝PQ＝4，
∴AP＝EQ.
及特殊四边形的综合权威预测∵AE⊥EF，
∴∠AEP＋∠FEQ＝90°，∠EAP＋∠AEP＝90°，
∴∠FEQ＝∠EAP.
∵AP＝EQ，∠FEQ＝∠EAP，∠APE＝∠EQF＝90°，
∴△APE≌△EQF，∴PE＝FQ.
∵S四边形AFQP＝AP＋FQ·AO
2
＝
EQ＋PE2
2
＝
PQ2
2
＝8，
∴当E点运动时，四边形AFQP的面积不变，面积为8.
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