2021届高考数学二轮考前复习第二篇破解中档大题保提分必须锤炼的7个热点专题专题3立体几何中的证明与

【解析】(1)因为BC⊥SD,BC⊥CD,SD∩CD=D,SD,CD⊂平面SDC, 所以BC⊥平面SDC, 又AD∥BC,所以AD⊥平面SDC, 因为SC⊂平面SDC, 所以SC⊥AD, 又在△SDC中,SC=SD=2,DC=AB=2 2, 故SC2+SD2=DC2, 所以SC⊥SD, 因为SD∩AD=D,SD,AD⊂平面SAD, 所以SC⊥平面SAD.
高考演兵场·检验考试力
1.(线面平行)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AB的中点. (1)证明:BC1∥平面A1CD; (2)若△ABC是边长为2的正三角形,且BC=BB1,∠CBB1=60°,平面ABC⊥平面BB1C1C, 求三棱锥A-DCA1的体积.
【解析】(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,连接AC1交CA1于E,连接DE, 因为D是AB的中点,E是AC1的中点,所以DE∥BC1. 因为BC1⊄平面A1CD,DE⊂平面A1CD, 所以BC1∥平面A1CD.
(2)设G为矩形ABCD的对角线的交点,则AG=BG=CG=DG= 3 , 作SO⊥CD于O,
因为BC⊥平面SDC,BC⊂平面ABCD,
所以平面ABCD⊥平面SDC,
又平面ABCD∩平面SDC=CD,SO⊂平面SDC,
故SO⊥平面ABCD,
因为OG⊂平面ABCD,所以OG⊥SO,
连接OG,SG,则SG= SO2 GO2 2 1 3,
所以B1C1∥EF,所以EF∥BC,
又因为BC⊥平面A1AMN,
所以EF⊥平面A1AMN,
因为EF⊂平面EB1C1F,
所以平面EB1C1F⊥平面A1AMN.
…………6分
(2)过M作PN的垂线,交点为H,
如图,
因为AO∥平面EB1C1F, AO⊂平面A1AMN,平面A1AMN∩ 平面EB1C1F=NP,所以AO∥NP, 又因为NO∥AP,所以AO=NP=6,
因为BE=1,所以E是BF的中点.
又因为O是BD的中点,所以OE= 1 DF=
2
3.
在Rt△POE中,PE2=OE2+PO2=3+PO2.
在△ABE中,由余弦定理得
AE2=AB2+BE2-2AB·BEcos 120°=21.
因为PA⊥PE,所以PA2+PE2=AE2.
所以12+PO2+3+PO2=21.所以PO= 3 .
3
【解析】(1)因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD,
因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE,又BD∩BE=B,故AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.
(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC3 = x,GB=xGD= .
因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=3 x.
=90°,EA∥FC.
(1)证明:BF∥平面ADE.
(2)设 BC =λ,问是否存在正实数λ,使得三棱锥A-BDF的高恰好等于 6 BC?若
AB
存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
6
【解析】(1)因为AD∥BC,AD⊂平面ADE,BC⊄平面ADE,所以BC∥平面ADE, 因为EA∥FC,AE⊂平面ADE,FC⊄平面ADE,所以FC∥平面ADE, 又BC∩FC=C,所以平面ADE∥平面BCF, 故BF∥平面ADE.
5.求点到平面的距离 (1)垂线段法:①作:作点到平面的垂线段; ②找:找出垂线段所在的三角形; ③求:通过解直角三角形求出垂线段的长度. (2)等积法:当过点的垂线段不容易找时, ①利用同一个三棱锥变换顶点及底面的位置,其体积相等的方法求解.可以将该 点转化为其他点到相应平面的距离;②当直线与平面平行时,该直线上任一点到 平面的距离相等.
BC AM
AM 3 3
所以
由(1)S知四边,形四EB边1C1F形 EEBF1+CB11CF1为N梯P 形 2, 6 6 24,
所以 VBEB1C1F 所以 =
1 3
2
………2 …10分
S四边形EB1C1F
·h,3
h为M到P1 N的距离MH=2
3
·sin
=3,
3
【深度解读】
测试目标
(1)直接运用定理证明(推断)命题;(2)通过线面垂直, 四棱锥体积求解
DF2－
32
a2 b2－1 b2 a 1 1 2，
2
2
a 1 1 2 6 b 1 1 3 ab2 1 1 2，
2 6 323
2
即 1 1 2 3，所以 2，
2
所以存在正实数λ=2,使得三棱锥A-BDF的高恰好等于 6 BC.
6
4.(线面垂直)如图,四棱锥S-ABCD中,四边形ABCD为矩形,AB=2 2 ,BC=SC=SD=2, BC⊥SD. (1)求证:SC⊥平面SAD; (2)求四棱锥S-ABCD外接球的体积.
2
2
所以三棱锥C-MBD的体积V1= 4 ×1 ×BD×CD·d=1
32
6
= 6a3.
× 2a×
a2×
a6
4
12
6.(面面垂直)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD,
(1)证明:平面AEC⊥平面BED; (2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为 6 ,求该三棱锥的侧面积.
(2)取BC的中点H,连接B1H,CB1, 因为BC=BB1,∠CBB1=60°,所以△CBB1是等边三角形, 所以B1H⊥BC, 又因为平面ABC⊥平面BB1C1C, 平面ABC∩平面BB1C1C=BC,B1H⊂平面BB1C1C, 所以B1H⊥平面ABC, 所以B1H是三棱柱的高,B1H= 3 , 因为△ABC是边长为2的正三角形,
【解析】(1)因为四边形ABCD是菱形,所以BD⊥AC,O是AC的中点. 因为BD⊥PA,PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC. 因为PO⊂平面PAC,所以BD⊥PO. 因为PA=PC,O是AC的中点,所以PO⊥AC. 因为AC⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,AC∩BD=O, 所以PO⊥平面ABCD.
专题3 立体几何中的证明与计算
真题再研析·提升审题力
【典例】(12分)(2020·全国Ⅱ卷)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角 形,侧面BB1C1C是矩形,M,N分别为BC,B1C1的中点,P为AM上一点.过B1C1和P的平面 交AB于E,交AC于F.
(1)证明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F; (2)设O为△A1B1C1的中心,若AO=AB=6,AO∥平面EB1C1F,且∠MPN= ,求四棱锥
2
2
由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形2,可得BE=2 x.
由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=13
×1
2
AC·2GD·BE=6
24
x3
6,故x=2,
3
在Rt△ABE中,AE= AB2 BE2 22
2
2 6,
在Rt△EBD中,DE= BE2 BD2 22 22 6,
所以BD⊥平面SCD,BD⊂平面MBD,
所以平面MBD⊥平面SCD.
(2)过点S作SH⊥CD,交CD的延长线于点H,连接AH.
则∠SDH为SD与底面ABCD所成的角,即∠SDH=60°.
由(1)可得:SD=CD=2 a,所以在Rt△SHD中,SD=2 a,HD=2 a,SH= 6 a.
所以点M到平面ABCD的距离d=6 a.
又因为侧面BB1C1C为矩形, 所以BC⊥BB1,因为MN∥BB1,MN⊥BC, 由MN∩AM=M,MN,AM⊂平面A1AMN, 所以BC⊥平面A1AMN, …………4分
又因为B1C1∥BC,且B1C1⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,所以B1C1∥平面ABC,
又因为B1C1⊂平面EB1C1F,且平面EB1C1F∩平面ABC=EF,
所以S△ABC= 3 ,
1
13
1
VADCA1
VA1 -ADC
S 3
ADC
3 32
3 . 2
2.(线面垂直)如图,四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是边长为4的菱 形,PA=PC,BD⊥PA,E是BC上一点,且BE=1,设AC∩BD=O. (1)证明:PO⊥平面ABCD; (2)若∠BAD=60°,PA⊥PE,求三棱锥 P-AOE的体积.
(2)存在.因为∠BAE=90°,所以AE⊥AB,又EA∥FC,CD∥AB,所以CF⊥CD,
因为BC⊥CF,BC∩CD=C,所以CF⊥平面ABCD,设AB=a,BC=b,则b=λa,
在矩形ABCD和△BCF中,有
BD=DF= a2 b2 = a 1 2 ,BF= 2 b,
所以在△BDF中,BF边上的高h= 又所以S△A,B由D= 等12体ab积=法12得λa12,1 a2 b
【阅卷点评】 1.步骤分:(1)由平行线的传递性证明线线平行;通过线线垂直证得线面垂直,由 线面垂直证得面面垂直. (2)由线面垂直求得高的长度,再求出底面的面积,由棱锥体积公式求出体积. 2.关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如第二问中,要求高的长度, 必须先证线面垂直,如果没有证明,则不给分. 3.计算分:计算准确是根本保证. 4.区分公式:区分棱锥体积公式与棱柱体积公式.
3
B-EB1C1F的体积.
【审题·逆向思维】
(1)平面A1AMN⊥平面EB1C1F⇐EF⊥
平面A1AMN⇐BC⊥平面A1AMN.
(2)求 VBEB⇐1C锥1F 体体积公式⇐
S四和边形MEB1C到1F PN的距离.
【标准答案】
(1)因为M,N分别为BC,B1C1的中点, 所以MN∥BB1,又AA1∥BB1, 所以MN∥AA1 …………2分 在等边△ABC中,M为BC的中点,则BC⊥AM,
因为S△AOE=S△ABC-S△ABE-S△COE
= 1 ×4×4×sin 120°- ×14×1×sin 120°- ×3×1 = ,3 3 3
2
2
所以VP-AOE= 1 S△AOE·PO= 1 × 3 3×
3=
3.
2
2
3
32
2
3.(线面平行)如图,四边形ABCD为矩形,△BCF为等腰三角形,且∠BAE=∠DAE
逻辑推理:利用公式直接证明; 测试目标 直观想象:想象出各种要素的空间性质;
数学运算:通过四棱锥体积公式求解问题
【考场秘技】 1.平行关系之间的转化
转化方向视题目的具体条件而定,不可过于“模式化”.
2.垂直关系之间的转化 证明平面⊥平面,先寻找平面的垂线,若不存在,则可通过作辅助线来解决.
3.求空间几何体的体积 (1)规则几何体:直接利用柱体、锥体或台体公式进行求解.其中,等积转换法多 用来求三棱锥的体积. (2)不规则几何体:通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解. (3)注意“公式法”“换底法”“割补法”的应用,等体积法可以用来求点到面 的距离、多面体内切球的半径等. 4.求几何体的表面积 注意几何体表面的构成,特别是组合体中重合以及由于切割新形成的表面等,切 忌遗漏或重复.
(2)若∠SDC=120°,求三棱锥C-MBD的体积.
【解析】(1)取BC中点E,连接DE,则AB=AD=a,BC=2a.由题意可得:四边形ABED为
正
2
方形,且BE=DE=CE=a,BD=CD= a.
所以BD2+CD2=BC2,则BD⊥CD,
又平面SCD⊥平面ABCD,平面SCD∩平面ABCD=CD,
因为O为△A1B1C1的中心,
所以ON=1
3
A1C1sin3
= 1 ×6×sin
3
故ON=AP3= ,则AM=3AP3=3 ,
=
3
,
3
因为平面EB1C1F⊥平面A1AMN,平面EB1C1F∩平面A1AMN=NP,MH⊂平面
A1AMN,
所以MH⊥平面EB1C1F, …………8分
又因为EF在等A边P△，A即BECF中,EAFP∥BBCC, 3 6 2，
(2)由四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,
得△ABD和△BCD都是等边三角形,
所以BD=AB=4.因为O是BD的中点,所以BO=2.
在Rt△ABO中,AO= AB2 BO2 2 3. 在Rt△PAO中,PA2=AO2+PO2=12+PO2.
取BC的中点F,连接DF,则DF⊥BC.
所以在Rt△BDF中,DF= BD2 BF2 2 3.
所以G为四棱锥S-ABCD外接球的球心,且球的半径为 3 ,
故所求的球的体积为V= 4
3
3 4 3.
3
5.(面面垂直)如图,在四棱锥S-ABCD中,侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面 ABCD,CD=SD,点M是SA的中点,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=AD= 1 BC=a.
2
(1)求证:平面MBD⊥平面SCD;