湖南省永州市高三下学期第三次高考模拟数学(理)试题 扫描版含答案
2024届湖南省永州市高三下学期三模数学试题及答案
永州市2024年高考第三次模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共150分，考试时量120分钟．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．3．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一3． 已知非零数列}{n a 满足02221=-++n n n n a a ，则20212024a a=A ．8B ．16C ．32D ．644． 61tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x θ的展开式中第四项的系数为540，则θ2cos 的值为A ．3735-B ．3735C ．54-D ．545． 为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则不同的分法总数为7． 已知函数2sin )(+-+-=-x x e e x f x x ，其中e 是自然对数的底数.若4)3()(log 21>+f t f ，则实数t 的取值范围是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛810，B ．18⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．），（80D ．），（∞+88． 已知1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，点O 为坐标原点，过1F 的直线分别交双曲线左、右两支于A ,B 两点，点C 在x 轴上，A F CB 23=，2BF 平分BC F 1∠，其中一条渐近线与线段AB 交于点P ,则=∠2sin POF A ．741B ．742C ．743D ．7112二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9． 下列说法正确的是A ．已知随机变量),2(~2σN X ，若(02)0.4P X <<=，则(4)0.1P X >=B ．设0>a ，0>b ，则“3log 3log a b >”成立的充要条件是“1>>b a ”C ．已知21)|(=A B P ，83)(=AB P ，则163)(=A P D ．若()61=AB P ，31)(=A P ，41)(=B P ，则事件A 与B 相互独立10．已知抛物线y x C 2:2=的焦点为F ，过点F 且倾斜角为锐角的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点（点A 在第一象限），过点A 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为M ，直线l 与抛物线C 的准线相交于点N ，则A ．BF AF +的最小值为2 B ．当直线l 的斜率为3时，8=AB C ．设直线BM ，MF 的斜率分别为1k ，2k ，则2121=k k D ．过点B 作直线AM 的垂线，垂足为Q ，BQ 交直线MF 于点P ，则PQ BP =11．在平面四边形ABCD 中，2==AB ,AD AB ⊥,BCD ∆为等边三角形，将ABD∆沿BD 折起，得到三棱锥BCD A -1，设二面角C BD A --1的大小为α．则下列说法正确的是A ．当︒=150α时，M ，N 分别为线段BD ，C A 1上的动点，则MN 的最小值为1421B ．当︒=120α时，三棱锥BCD A -1外接球的直径为313C ．当︒=90α时，以C A 1为直径的球面与底面BCD 的交线长为π33D ．当︒=60α时，AD 绕D 点旋转至D A 1所形成的曲面面积为π32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知复数i )65(221+--=m m m z ，i )3(1022m m z --=，若21z z <（z 为z 的共轭复数），则实数m 的取值范围为 ．13．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C c A b B a cos 2cos cos -=+，87)62sin(=+πA ，则=-)cos(B A ．14．已知函数)(x f 的定义域为R ，1)1()(=-+x f x f ，)7(2)(xf x f =，且对于1021≤≤≤x x ，恒有)()(21x f x f ≤，则=)20241(f ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分13分）绿化祖国要扩绿、兴绿、护绿并举．某校植树节分别在甲，乙两块不同的土地上栽种某品种树苗各500株．甲地土质含有M 元素，乙地土质不含有M 元素，其它土质情况均相同，一段时间后，为了弄清楚该品种树苗的成活情况与M 元素含量是否有关联，分别在甲，乙两块土地上随机抽取树苗各50株作为样本进行统计分析．经统计，甲地成活45株，乙地成活40株．（1）根据所给数据，完成下面的2⨯2列联表（单位：株），并判断依据小概率值α=0.10的独立性检验，能否认为该品种树苗成活与M 元素含量有关联？（2）若将频率视为概率，从样本中不成活的树苗中随机抽取3株，其中取自甲地的株数为X ，求X 的分布列及方差．参考公式：()()()()()22,n ad bc n a b c da b c d a c b d χ-==+++++++参考数据：16．（本题满分15分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 为直角梯形，CD AB //，BC AB ⊥，ABCD EC 平面⊥，442===AB BC CD ．（1）证明：AE BD ⊥；（2）若BF EC 2=，EC BF //，且多面体ABCDEF 的体积为311，求直线AC 与平面AEF 所成角的正弦值．2⨯2列联表类别树苗成活情况合计成活不成活含M 元素不含M 元素合计17．（本题满分15分）已知函数x b x x f ln 33|13|---=）（.（1）当1=b 时，求)(x f 在），（∞+31的单调区间及极值.（2）若0)(≥x f 恒成立，求b 的取值范围.18．（本题满分17分）已知数列}{n a 为等比数列，}{n b 为等差数列，且211==b a ,588a a =,84b a =．（1）求}{n a ，}{n b 的通项公式；（2）数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-21)42sin(2211n n b ππ）（的前n 项和为n S ，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥⋅⋅=*++N n t a n b S n A n n n ,224共有5个元素，求实数t 的取值范围；（3）若数列}{n c 中，11=c ，)2(1log 2412≥-=n b a c nnn ，求证：112123c c c c c c +⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅1232n c c c c +⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅<．19．（本题满分17分）已知O 为坐标原点，动点M 在椭圆12:22=+y x C 上，动点N满足ON =N 的轨迹为E ．（1）求轨迹E 的方程；（2）在轨迹E 上是否存在点T ，使得过点T 作椭圆C 的两条切线互相垂直？若存在，求点T 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点M 的直线)0(≠+=m m kx y 交轨迹E 于A ，B 两点，射线OM 交轨迹E 于点P ，射线MO 交椭圆C 于点Q ，求四边形APBQ 面积的最大值．永州市2024年高考第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题题号12345678答案ADDCCA CB二、多项选择题题号91011答案ADBCDACD三、填空题12．}3{13．8714．1617.解析：0cos 11cos 21cos )(≥+=-+⋅≥-++='--x x e e x e e x f x x x x ．)(x f ∴在R 上单调递增．令2)()(g -=x f x ，)(x g 为奇函数，)(g x ∴在R 上单调递增，2)()(+=x g x f ．则4)3()(log 21>+f t f 化为42)3(2)(log 21>+++g t g ．3log )3()(log )3()(log 212121->⇔->⇔->t g t g g t g ．解得80<<t ．)8,0(∈∴t ．8.解析：如图A F CB 23= ，BC F AF F 121~∆∆∴,c F F 2||21=，c CF 4||2=设t AF =||1，则t BF 3||1=，t AB 2||=2BF 平分BC F 1∠,2||||||||2121==∴F F C F BF BC ,t BF BC 6||2||1==，t BC AF 2||31||2==,由双曲线定义可知a t AF AF 2||||12==-，a BF BF 2||||21=-,a AB AF BF 4||22===∴，B CAO2F 1F0260=∠ABF ,在21BF F ∆中，由余弦定理知aa c a a B F B F F F B F B F BF F 462)2()4()6(||||2||||||cos 22221221222121⋅⋅-+=⋅-+=∠化简得a c 7=，由222c b a =+得742=c b ，abPOF =∠2tan ，742sin 2==∠∴c b POF .11.解析：当M 为BD 中点且C A MN 1⊥时，MN 长度最短，由等面积法求得最小值为1421．故A 对．半径为313．故B 错．如图，过1A 作BD E A ⊥1，连接EC ，过球心O 作EC OO ⊥1则1O 为EC 的中点，且211=OO ，又球半径为1，球与BCD ∆的一交点为H ，则23=OH ，又过1O 作BC F O ⊥1，431=F O ，球与底面BCD ∆的交线如图，交线长为ππ333332=⋅，故C 对．转过的曲面为圆锥的一部分侧面积，该圆锥母线长为2，底面圆半径为1，故面积为πππ32312=⋅⋅．故D 对．EODO 1A 1F HC B060DBO 1C FH14.解析：)7(2)71(21)1(1)(x f x f x f x f =--=--=，217()71(=+-∴x f x f 21)71()0(=+f f ，1)1()0(=+f f ，2171()1(=-∴f f ，71(2)71(21)1(f f f =+=21)71(=f ，∴当)21,71(∈x 时，21)(=x f ，而），（21712024343∈161)2024343(81)202449(4120247(21)20241(====∴f f f f .四、解答题15．（本题满分13分）解：（1）依题意可得2⨯2列联表如下：…………………2分零假设为0H :该品种树苗成活与M 元素含量无关联．…………………3分根据列联表中的数据，10.022706.2961.15110015855050)5401045(100x =<≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ．…………………5分根据小概率值10.0=α的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为该品种树苗成活与M 元素含量无关联．…………………6分（2）由题意知，不成活的树苗共有15株，甲地不成活的树苗有5株，X 的可能取值为0，1，2，3…………………7分故9124)0(31531005===C C C X P ，9145)1(31521015===C C C X P ，类别树苗成活情况合计成活不成活含M 元素45550不含M 元素401050合计85151009120)2(31511025===C C C X P ，912)3(31501035===C C C X P ．故X 的分布列为…………………11分（一个概率1分）期望19123912029145191240)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E （另解：易知X 服从超几何分布，则11553)(=⨯=X E ）…………………12分方差74)13(912)12(9120)11(9145)10(9124)(2222=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=X D ．…………………13分16.（本题满分15分）解：（1）在BCD Rt ∆中，21tan ==∠CD BC BDC ，…………………1分在ABC Rt ∆中，21tan ==∠BC AB ACB ，ACB BDC ∠=∠∴，…………………2分︒=∠+∠=∠+∠∴90ACD ACB ACD BDC ，…………………3分∴BD AC ⊥，…………………4分又⊥EC 平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，∴BD EC ⊥，又C EC AC = ，AC ⊂平面AEC ，EC ⊂平面AEC ，…………………5分⊥∴BD 平面AEC ，…………………6分又AE ⊂平面AEC ，AE BD ⊥∴．……………7分（其他方法酌情给分）（2）设多面体ABCDEF 的体积为V ，x BF EC 22==．X0123P912491459120912则311423131313131=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆--x x S EC S AB V V V ACD BCEF ACD E BCEF A 四边形求得1=x ．…………………9分如图，以C 为坐标原点，CD ，CB ，CE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，…………10分则)0,2,1(A ，)2,0,0(E ，)1,2,0(F ，)0,0,0(C )1,2,0(-=EF ，)1,0,1(-=AF ，)0,2,1(--=AC …………11分设平面AEF 的法向量),,(z y x n =，则有0AF n EF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即⎩⎨⎧=-=+-020z y z x ，令2=z ，则2=x ，1=y ，即)2,1,2(=n …………………12分设直线AC 与平面AEF 所成角为θ，那么1554354|,cos |sin =⋅==><=n AC θ．…………………15分17．（本题满分15分）解：（1）当1=b ，31>x 时，4ln 33ln 3313)(--=---=x x x x x f …………………1分xx x x f )1(333)(-=-='…………………2分令0)(>'x f ，解得1>x ，令0)(<'x f ，解得131<<x ，…………………4分)(x f ∴的单调递减区间为)1,31(，单调递增区间为),1(+∞)(x f ∴在1=x 处取得极小值1)1(-=f ，无极大值．…………………7分（2）依题意x b x x f ln 3313)(---=，对任意),0(+∞∈x ，0)(≥x f 恒成立，即x x b ln 3133--≤，…………………8分令x x x g ln 313)(--=，yxzEDF CBA当]31,0(∈x 时，x x x g ln 331)(--=，)(x g 单调递减．…………………9分当）+∞∈,31(x 时，x x x g ln 313)(--=，x x x x g 3333)(-=-='，…………………10分令0)(>'x g ，解得1>x ，令0)(<'x g ，解得131<<x ，…………………11分综上所述，)(x g 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增…………………13分因此2)1()(min ==g x g ，23≤∴b ，即32≤b 故b 的取值范围为]32，（∞-．…………………15分18．（本题满分17分）解：（1）设数列}{n a 公比的为q ，数列}{n b 公差的为d则由588a a =,283=∴=q q ，n n n q a a 211==∴-，…………………2分1684==b a ，即216728=∴=+=d d b ，n n b n 22)1(2=-+=∴．………………4分（2）设21)42sin(2211nn n b d ⋅-=⎥⎦⎤⎣⎡+-ππ）（则48128234224214243424144-=--+=+++------n b b b b d d d d n n n n n n n n ………………6分2)8048128()(414243443214+-=++++⋅⋅⋅++++=∴---n n d d d d d d d d S n n n n n ）（(6416)n n =+…………………7分nn n n n n n n n a n b S 2)2)(832(22216642224++=+⋅+=⋅⋅∴+++）（）（…………………8分令nn n n f 2)2)(832()(++=，则112)42)(832(2)3)(4032()()1(++++-++=-+n n n n n n n f n f nn n n n n 2)114(4288832212+--=+--=+，可得)()4()3()2()1(n f f f f f >⋅⋅⋅>>><，故当2=n 时，)(n f 最大.…………………11分60)1(=f 且，4147)5(=f ，25)6(=f ，∴414725≤<t ，即t 的取值范围为]414725，（．…………………12分（3）由11=c ，)2()1)(1(12≥-+=-=n n n nn n c n ，则当2≥n 时，)1(543)1)(1(423312121+⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+-⨯⋅⋅⋅⨯⋅⨯⋅⨯=⋅⋅⋅n n n n n n c c c n 2111122(1)!(1)!!(1)!n n n n n n ⎡⎤⎡⎤+-===-⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦…………………14分当1=n 时，11=c 也满足上式）（*∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⋅⋅⋅∴N n n n c c c n )!1(1!1221…………………15分nc c c c c c c c c c ⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+∴3213212112)!1(22)!1(1!131212112<+-=⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n ！！！故原不等式成立.…………………17分19．（本题满分17分）解：（1）设),(00y x M ，）（y x N ,，则(,)ON x y =,00(,)OM x y =．由ON得00(,),)x y x y =，即30x x =，30y y =，…………………2分又),(00y x M 在椭圆C 上，所以122020=+y x .代入化简得22163x y +=所以点N 的轨迹E 的方程为22163x y +=．…………………4分（2）当两条切线的斜率存在时，设过00(,)T x y 点的切线为()00y y k x x -=-联立()002212y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()()2220000124220k x k y kx x y kx ++-+--=则由判别式()22008120k y kx ⎡⎤∆+--=⎣⎦=…………………6分得()22200002210x k x y k y --+-=，设两条切线的斜率分别为1k ，2k ，依题意得201220112y k k x -⋅==--，即22003x y +=，…………………7分又点T 在轨迹E 上，2002163x y ∴+=解得000x y ==，T ∴或…………………8分当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得不合题意．…………………9分综上，存在满足条件的点T ，且点T的坐标为或．…………10分（3）设()()1122,,,A x y B x y 将y kx m =+代入轨迹E 的方程，可得()222124260k x kmx m +++-=由222222164(12)(26)8(63)0k m k m k m ∆=-+-=+->，可得2236m k <+①且2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++…………………12分所以12212x x k -=+…………………13分因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为()0,m所以OAB ∆的面积01212S m x x =⋅-==…………………14分将y kx m =+代入椭圆C 的方程可得()222124220k x kmx m +++-=由228(12)0k m ∆=+-≥，可得2212m k ≤+②令2212m t k=+,由①②可知01t <≤…………………15分因此0S ,故02S ≤当且仅当1t =，即2212m k =+时，0S 取得最大值2…………………16分由题知,OP =ABP ∴∆的面积101)S S =,又易知ABQ ∆面积202S S =从而四边形APBQ 的面积120=+=1S S S S ），所以四边形APBQ 面积的最大值为2）．…………………17分。
湖南省永州市2019届高三数学第三次模拟考试试题理(含解析)
永州市2019年高考第三次模拟考试试卷数学（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求解出集合，根据交集运算得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.设为虚部单位，复数满足，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.已知向量，若，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直得到关于的方程，求解得到结果.【详解】由题意：本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题.4.已知直线，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过两直线平行可求得的取值，从而判断二者的关系，得到结论.【详解】，解得：或由可得：；而还可能由此可知：“”是“”的充分不必要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，关键是利用直线平行求得参数的值.5.下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确．．．的是（）A. 该公司2018年度冰箱类电器营销亏损B. 该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C. 该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D. 剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B【解析】【分析】结合表中数据，对选项逐个分析即可得到答案。
【详解】因为冰箱类电器净利润占比为负的，所以选项A正确；因为营业收入-成本=净利润，该公司2018年度小家电类电器营业收入占比和净利润占比相同，而分母不同，所以该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润不可能相同，故选项B错误；由于小家电类和其它类的净利润占比很低，冰箱类的净利润是负值，而空调类净利润占比达到，故该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，即选项C正确；因为该公司2018年度空调类电器销售净利润不变，而剔除冰箱类电器销售数据后，总利润变大，故2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，即选项D正确。
湖南省永州市2020届高三第三次模拟考试数学(理)答案
永州市2020年高考第三次模拟考试试卷数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．解析：2N {|}{|1110}x x x x x ==-><->或，M N I ＝3}|1{x x <<，选C. 2．解析：12(1255(12))(12)12z i i i i i ++--===-，在第四象限，选D. 3．解析：0.30.40.30.3>，即b c >，而0.30.30.44()()10.33a b ==>，即a b >， a b c ∴>>，选B.4．解析：由图表易知，选C.5．解析：“p q ∨”为真，则命题p,q 有可能一真一假，则“p q ∧”为假，故选项A 说法不正确；命题“0x ∀>，10x e x -->”的否定应该是“00x ∃>，0010x e x --≤”，故选项B 说法不正确；因命题“若1x ≥，则11x≤”为真命题，则其逆否命题为真命题，故选项C 说法正确；因21560x x x =-⇒--=，但256016x x x x --=⇒=-=或，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，选项D 说法不正确；选C.6．解析：sin cos sin cos 2sin cos B C C B C C -=Q ，sin()sin 2B C C ∴-=，2B C C ∴-=，3B C ∴=，32C π∴<且42B C C π+=>，86C ππ∴<<选A.7．解析：||1=a ，||1=b ，||+a b2333()()=()()||||=222+⋅-⋅+-+⋅=-+⋅≤++⋅-+a b b c a b b a b c a b c a b c 当且仅当+a b 与c 反向时取等号.选C.8．解析：先计算半片花瓣面积：22260=(3606R R ππ22=12(=(26阴ππ∴-S R R 故所求概率为2(2)2阴π=S R B. 9．解析：依题意作出()f x 的图象，()=+y f x a 的图象可以看成是()=y f x 的图象向左(a>0时)或向右(a<0时)平移|a|个单位而得.当a>0时，()=y f x 的图象至少向左平移6个单位(不含6个单位)才能满足()()f x a f x +>成立，当a<0时，()=y f x 的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）才能满足()()f x a f x +>成立(对任意的[1,2]x ∈-),故(2,0)(6,)∈-+∞U x ，选D.10．解析：不妨设P 在第二象项，FM m =，(0,)(0)H h h >，由3HN OH =-u u u r u u u r知(0,2)N h -，由AFM ∆~AON ∆，得2m c a h a -=（1），由BOH ∆ ~BFM ∆，得h a m c a=+（2） (1),(2)两式相乘得12c ac a-=+，即3c a =，离心率为3.选B. 11．解析：[]0,x π∈Q ，,333x πππωωπ⎡⎤∴+∈+⎢⎥⎣⎦，令3z x πω=+，则,33z ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦由题意，1sin 2z =在,33ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上只能有两解5=6z π和136z π=1317636πππωπ∴≤+<，（*）因为在,33z ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上必有3sin sin 222ππ=－，故在(0,)π上存在12,x x 满足 ()()122f x f x -=；①成立；2z π=对应的x （显然在[]0,π上）一定是最大值点，因52z π=对应的x 值有可能在[]0,π上，故②结论错误；解（*）得11562ω≤<，所以④成立；当(0,)15x π∈时，,3153z πωππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，由于11562ω≤<，故,,315332z πωππππ⎡⎤⎡⎤∈+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时sin y z =是增函数，从而()f x 在(0,)15π上单调递增.综上，①③④成立，选B.12．解析：求导得21()(21)xx f x e x t x-'⎡⎤=-+⎣⎦有两个零点等价于函数()x 21x e x t ϕ-+（）=有一个不等于1的零点，分离参数得()21x e t h x x ==+，令()(0)21=>+xe h x x x221()(21)xx h x e x -'=+，()h x 在1(0,)2递减，在1(+)2，∞递增，显然在12x =取得最小值2，作()h x 的图像，并作y=t 的图象，注意到h(0)=1，(1)13=<eh ，（原定义域x>0,这里为方便讨论，考虑h(0)），当1≥t 时直线y=t 与()21=+xe h x x 只有一个交点即x （）ϕ只有一个零点（该零点值大于1）；当=t 时21()(21)x x f x e x t x -'⎡⎤=-+⎣⎦在12x =两侧附近同号，12x =不是极值点；当3=et 时函数()x 21x e x t ϕ-+（）=有两个不同零点(其中一个零点等于1)，但此时21()(21)xx f x e x t x-'⎡⎤=-+⎣⎦在1=x 两侧附近同号,使得1=x 不是极值点不合.选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．13．80- 14．24015．23 16．4[0,]513．解析：展开式通项5352552()()(2)rr rr rC x r C x x ---=-，依题意，5322-=-r ，得r =3，2x -的系数是335(2)80C -=-.14．解析：依题意，先选出一个重灾区（有14C 种选法），分配有两个医疗队，有25C 种分配法，另3个重灾区各分配一个医疗队，有33A 种分配法，所以不同的分配方案数共有123453240C C A =.15．解析：设准线l 与x 轴交于E. 易知F (1,0),由抛物线定义知|MN |=|MF |,由于=60NMF ∠o ,所以NMF ∆为等边三角形，三角形边长为||2||4NM FE ==，又OD 是FEN ∆的中位线，MD 就是该等边三角形的高，||23MD =16．解析：易证AB CD ^，又GE ∥CD ，GF ∥AB ∴GE GF ^，得5EF =.当四面体绕AB 旋转时，由GF ∥AB 即EF 绕GF 旋转，故EF 与直线l 所成角的范围为[90,90]GFE 鞍-?，直线EF 与直线l 夹角的余弦值的取值范围是4[0,]5三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）命题意图：第1问考查等差、等比数列基本量的运算求数列通项公式；第2问考查利用裂项相消法求数列前n 和.解：（1）2193a a a ⋅=Q 1分 1a d ∴= 2分 3336S a d =+=Q 3分 11a d ∴== 4分所以数列{}n a 是以1为首项和公差的等差数列，故综上*,n a n n =∈N 5分 （2）（裂项相消）：由上题可知()()241111412121nn n n b n n n ⎛⎫=-=-+ ⎪--+⎝⎭7分 所以11111111113355723212121n P n n n n =--++--+-+++---+L8分 1121n =-++， 9分 所以211201914120042n P n n +=<⇒>+，10分 故n 的最小值为505. 12分18．（本小题满分12分）命题意图：第1问考查线线平行与垂直的证明；第2问考查利用线线、线面垂直的判定，求二面角.解：（1）证明：取AC 中点为G ，连接GE 和GF ，因为//GF BC ，且12GF BC =，又因为//DE BC ，且12DE BC =，故//GF DE ，且GF DE =， 即四边形GFDE 为平行四边形，故//GE DF 2分CE AE =Q ， GE AC ∴⊥，又//GE DF ，则DF AC ⊥ 4分（2）Q 平面BCED ⊥平面ABC ，平面BCED I 平面ABC BC =,DB BC ⊥，DB ∴⊥平面ABC ，又AC ⊂Q 平面ABC ，DB ∴⊥AC ，又DF AC ⊥BD DF D =Q I ，BD ，DF ⊂平面ABD ∴AC ⊥平面ABD AC AB ∴⊥Q =2AB AC =，BC ∴=，DE取BC 中点O 连接OE 和OA ，四边形BCED 为直角梯形，则OE ∥DB ， DB ⊥Q 平面ABCOE ∴⊥平面ABC ，故OE BC ⊥，OE OA ⊥,Q AB AC =,OA BC ⊥所以可以以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴建立空间直角坐标系 6分CE AE =Q 1OE ∴=则D ，(0,0,1)E，A，(0,C ，(AD =u u u r，(AE =u u u r，CA =u u u r，则CA =u u u r为平面ABD 的一个法向量， 8分设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则 00n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r，即00z z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令1x =，则z =0y =，则n =r， 10分 设二面角B AD E --为θ，则cos |cos ,|||||n CA n CA n CA θ⋅=<>==⨯r u u u rr u u u r u u r u u u r ， 故二面角B AD E --． 12分19．（本小题满分12分）命题意图：第1问考查求椭圆的标准方程；第2问考查直线与圆锥曲线位置关系.解：（1）如图，由题意知(1,0)F -，因而1c =，即221a b =+，又两曲线在第二象限内的交点(,)Q Q Q x y 到F 的距离是它到直线4x =-的距离的一半，即42(1)Q Q x x +=-+，得23Q x =-，则283Q y =，代入到椭圆方程，得2248193a b+=2分由2222481931a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得224,3a b ==，所以所求椭圆的方程为22143x y +=． 5分（2）当直线AB 的斜率存在，且不为0时，设直线AB 的方程为(1)y k x =+， 由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)84120k x k x k +++-=， 6分设00(,)M x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122834kx x k -+=+，212241234k x x k -⋅=+，由于OABM 为平行四边形，则OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r，故20122012111228346(1)(1)(2)34k x x x k k y y y k x k x k x x k ⎧-=+=⎪⎪+⎨⎪=+=+++=++=⎪+⎩， 8分若点M 在椭圆C 上，则2200143x y +=，代入得422216121(34)k k k +=+，解得k 无解， 若点M 在抛物线D 上，则200:4D y x =-，代入得222223632(34)34k k k k=++解得k 无解10分 当直线斜率不存在时，易知存在点M (2,0)-在椭圆C 上故不存在直线l ，使点M 落在抛物线D 上，存在直线l ，使点M (2,0)-落在椭 圆C ．12分20．（本小题满分12分）命题意图：第1问考查频率分布直方图；第2问考查概率、分布列、数学期望.解：（1）X 在[70,100)内，按组距为5可分成6个小区间分别是[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）， [90，95), [95，100)因70100≤<X ，由55(1)≤<+n X n ，*∈n N ， 得14,15,16,17,18,19=n每个小区间对应的频率值分别是810914,15,16605115.,17,18,19320n n P Y k n n -⎧=⎪⎪==⎨⎪-=⎪-⎩，（1） 2分311191115(1)160606032+++-++=k ，解得350=k . 4分 故n 的取值是14，15，16，17，18，19，350=k 5分(2) (i)由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，由（1）知，学生B 的分数属于区间[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）， [90，95), [95，100)的概率分别是3111914112,,,606060606060，，，我们用符号i j A (或i j B )表示学生A(或B)在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j, 其中,,1,2,3（）≤=j i i j , 记W=“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”， 则P(W)=12122223222()+++P B B B A B A =12122223222()()()()()()+++P B P B P B P A P B P A =2111111010141105160601160111160711+⋅+⋅⋅+⋅⋅=分(ii) 学生A 最终获得一等奖的概率是211()=11P A ， 学生B 最终获得一等奖的概率是12121111()=2727119''++⋅=P B B ，1180(=0)=(1)(1)11999ξ--=P ， 9分 111118(=1)=(1)(1)11911999ξ-+-=P ， 10分 111(=2)=11999ξ⋅=P ， 11分ξ的分布列为8018120()012999999ξ=⋅+⋅+⋅=E 12分21．（本小题满分12分）命题意图：第1问考查不等式恒成立问题；第2问考查不等式放缩求参数取值范围.解：（1）令()()21ln(1)2x x mx x x ϕ=+-++ ，()ln(1)1x x m x ϕ'=+-+-，1()101x x ϕ''=->+ 1分()x ϕ'∴在[0,)+∞上单调递增，且(0)1m ϕ'=-，若1m ≥， ()x ϕ在[0,)+∞上单调递增，()(0)0x ϕϕ∴≥=，即1m ≥满足条件 3分 若1m <，(0)10m ϕ=-<，()x ϕ存在单调递减区间0[0,]x ，又(0)0ϕ=Q所以存在0x 使得0()0x ϕ<与已知条件矛盾，所以1m ≥，m 的最小值为1 5分（2）由（1）知22x f x x ≤+（），如果22x x g x ≤+（），则必有()f x ≤()g x 成立． 令2()=)2x h x g x x -+（）(，则()=(1)cos (1cos )h x a x x x x a x --=--， 6分()(1cos )0h x x a x =--≥，则1cos 0a x --≥，1+cos a x ≥，2a ≥．若()0h x ≥，必有()f x ()g x ≤恒成立，故当2a ≥时，()()f x g x ≤恒成立 8分下面证明2a <时，()()f x g x ≤不恒成立． 令1()()(1)ln(1)f x f x x x x x ==++－－，1()ln(1)f x x '=+，当x ＞0时，1()ln(1)f x x '=+＞0， 1()f x 在区间［0,1］上单调递增，故1()f x ≥1(0)f ＝0，即1()=()0f x f x x -≥，故x ()f x ≤. 9分()()()g x f x g x x -≤-＝2(1)cos 2x a x x x -+-＝(1cos )2xx a x -+-，令()1cos 2xt x a x =-+-，1()sin 2t x x '=+＞0， 10分()t x 在[0,1]上单调递增，(0)20t a =-<，则一定存在区间(0,)m (其中01m <<)，当(0,)x m ∈时，()0t x <，则()()g x f x -≤x ()t x ＜0，故()()f x g x ≤不恒成立．综上所述：实数a 取值范围是[2,)+∞． 12分． 22．（本小题满分10分）命题意图：第1问考查曲线的普通方程化极坐标方程和解极坐标方程组；第2问考查三角函数的最值问题.解：（1）曲线C 的极方程：2cos ρθ= 2分联立2cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得，(0,0)M ，(1,)3N π 5分 （2）易知1MN =，直线:l y =. 6分 设点(2cos ,sin )P αα，则点P 到直线l的距离d =∴`12PMN S MN d ∆=⋅⋅ tan ϕ=. 9分∴PMN ∆.10分 23.（本小题满分10分）命题意图：第1问考查利用分类讨论思想解绝对值不等式；第2问考查分段函数求最值、构造法和基本不等式等.解：（1）当0x <时，|2|()x f x x >等价于22|1|2x x +->-，该不等式恒成立， 1分当01x <≤时，|2|()x f x x >等价于220x x ->，该不等式解集为φ， 2分当1x >时，|2|()x f x x>等价于2222x x +->，解得1x >， 3分综上，0x <或1x ， 所以不等式|2|()x f x x>的解集为(,0)1,)-∞-+∞U ． 5分 （2）⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+=-+=12212212)(222x x x x x x x x x f ，，，易得)(x f 的最小值为1，即1==++M c b a 7分 因为a ，b ，+∈R c ，所以b ac b c a 222≥+，c ab c a b 222≥+，abca b c 222≥+， 所以⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+++++a bc b ac a bc c ab c ab bac a b c c a b b c a 222222 2222=++≥c b a ， 9分当且仅当31===c b a 时等号成立. 10分。
湖南省永州市2019届高三第三次模拟考试数学(理)试题(含答案)
湖南省永州市2019届高三第三次模拟考试数学（理）试题一、单选题1．设集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】求解出集合，根据交集运算得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2．设为虚部单位，复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】由（1﹣i）z＝2i，得z，∴|z|．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．已知向量，若，则实数的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据向量垂直得到关于的方程，求解得到结果.【详解】由题意：本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，属于基础题.4．已知直线，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】通过两直线平行可求得的取值，从而判断二者的关系，得到结论.【详解】，解得：或由可得：；而还可能由此可知：“”是“”的充分不必要条件本题正确选项：【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定，关键是利用直线平行求得参数的值.5．下表是某电器销售公司2018年度各类电器营业收入占比和净利润占比统计表：则下列判断中不正确的是（）A．该公司2018年度冰箱类电器营销亏损B．该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润相同C．该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供D．剔除冰箱类电器销售数据后，该公司2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低【答案】B【解析】结合表中数据，对选项逐个分析即可得到答案。
【详解】因为冰箱类电器净利润占比为负的，所以选项A正确；因为营业收入-成本=净利润，该公司2018年度小家电类电器营业收入占比和净利润占比相同，而分母不同，所以该公司2018年度小家电类电器营业收入和净利润不可能相同，故选项B错误；由于小家电类和其它类的净利润占比很低，冰箱类的净利润是负值，而空调类净利润占比达到，故该公司2018年度净利润主要由空调类电器销售提供，即选项C正确；因为该公司2018年度空调类电器销售净利润不变，而剔除冰箱类电器销售数据后，总利润变大，故2018年度空调类电器销售净利润占比将会降低，即选项D正确。
2020年湖南省永州市高考数学三模试卷(理科) (含答案解析)
2020年湖南省永州市高考数学三模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−2<2x−1<5}，B={x∈N|−1<x<8}，则A∩B=()A. {0,1}B. {0,1，2}C. {1,2，3}D. {1,2，3，4}2.在复平面内，复数21+i对应的点与原点的距离是()A. 1B. √2C. 2D. 2√23.已知a=245，b=2515，c=427，则()A. b<a<cB. a<c<bC. c<b<aD. c<a<b4.下图给出的是2017年11月−2018年11月规模以上工业天然气产量的月度走势图，则下列说法错误的是()A. 可以估计2018年11月天然气的总产量约为144亿立方米B. 2018年11月天然气的产量的增速比上月增加2.6个百分点C. 2018年11月天然气的日均产量比上个月增加0.5亿立方米D. 2018年11月天然气的日均产量同比去年11月增加0.5亿立方米5.下列说法正确的是()A. 若p：∀x∈R，x2+3x+5>0，则￢p：∃x0∈R，x02+3x0+5<0B. “若α=π3，则cosα=12”的否命题是“若α=π3，则cosα≠12”C. 已知A，B是△ABC的两个内角，则“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件D. 命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件6. 在△ABC 中，若ccosB =bcosC 且cosA =23，则sinB =( )A. √66B. √36C. √156D. √306 7. 设向量a ⃗ ,b ⃗ 均为单位向量，且a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为60°，则(a ⃗ +b ⃗ )⋅b ⃗ 等于( )A. 1B. √32+1C. 32D. 4−√38. 在正方形内任取一点，则该点在正方形的内切圆内的概率为( )A. π12B. π4C. π3D. π2 9. 设奇函数f(x)在[−1,1]上是减函数，且f(−1)=2，若存在x ∈[−1,1]使不等式f(x)≤x +a 成立，则实数a 的取值范围是( )A. [−1,+∞)B. [3,+∞)C. [1,+∞)D. [−3,+∞) 10. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点分别是F 1，F 2，正三角形△AF 1F 2的顶点A 在y 轴上，边AF 1与双曲线左支交于点B ，且AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则双曲线C 的离心率的值是( )A. √32+1B. √13+13C. √133+1D. √3+12 11. 关于函数f(x)=4sin(2x +π3),(x ∈R)有下列命题：其中正确的是( )①由f(x 1)=f(x 2)=0可得x 1−x 2必是π的整数倍；②f(x)的表达式可改写为f(x)=4cos(2x −π6)；③f(x)的图象关于点(−π6,0)对称；④f(x)的图象关于直线x =π3对称；⑤f(x)在区间(−π3,π12)上是增函数． A. ②③⑤B. ①②③C. ②③④D. ①③⑤ 12. 已知函数f(x)=e x x −k(1x +lnx)有两个极值点，则实数k 的取值范围是( )A. (−∞,0]B. (1,e)∪(e,+∞)C. (0,e)∪(e,+∞)D. (e,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知在(1−2x)n 的展开式中，各项的二项式系数之和是64，则(1+2x)n (1−2x 2)的展开式中，x 4项的系数是__________．14. 5名大学生分配到3个公司实习，每个公司至少一名．则不同的分配方案有______ (用数字作答)15.已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线为l，l交x轴于点T，A为E上一点．AA1垂直l，垂足为A1，A1F交y轴于点S，若ST//AF，则|AF|=______．16.在三棱锥S−ABC中，AB⊥AC,AB=AC=SA,SA⊥平面ABC，D为BC中点，则异面直线AB与SD所成角的余弦值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为0的等差数列{a n}，其中a1=2，若a1，a3，a11是等比数列{b n}的前三项．(1)求等差数列{a n}的通项公式；(2)求等比数列{b n}的前n项和S n．18.如图，已知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且∠DAB=60°，点F是BC的中点．(1)求证：BD⊥EF；(2)求二面角E−DF−B的余弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，点A(0,−13)，B(0,13)三等分椭圆C的短轴，且sin∠FAB=3√1010．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点A作与x轴不垂直的直线l与椭圆C交于点M，N，椭圆C上是否存在点P，使得恒有PM⊥PN？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．20.为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数作为样本(样本容量为n)进行统计．按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60)，[90,100]的数据)．(Ⅰ)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；(Ⅱ)在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取3名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量X 表示所抽取的3名学生中得分在(80,90].内的学生人数，求随机变量X 的分布列及数学期望．21. 已知函数f(x)=x −2·sin x ．(1)当x >0时，求f(x)的最小值；(2)若x ∈[0,π]时，f(x)≤(1−a)x −x ·cos x ，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2cosθy =sinθ(θ为参数).在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2极坐标方程为ρ2=4ρsinθ−3．(1)写出曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若分别为曲线C 1和C 2上的动点，求|PQ |的最大值．23.已知函数f(x)=|x+2|−|x−1|．(1)求不等式f(x)≥−2的解集；(2)设a，b，c为正实数，若函数f(x)的最大值为m，且a+b+2c=m，求证ab+ac+bc+c2≤9．4【答案与解析】1.答案：B解析：本题主要考查交集的运算，属于基础题．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：由题意得A={x|−12<x<3}，B={0,1，2，3，4，5，6，7}，∴A∩B={0,1，2}．故选：B．2.答案：B解析：解：21+i=1−i则1+i对应的点为(1,1)，到原点的距离为√2．故选B．化简21+i即得．本题考查复数的运算，属于基础题．3.答案：D解析：本题考查指数函数及其性质，属于基础题．解：a=245=425，b=2515=525，c=427=247，所以a=245=425<b=2515=525，a=245>c=427=247则c<a<b．故选D．4.答案：D解析：本题考查了统计图表，属于基础题．利用统计图表对其进行分析判断正误即可得．解：因为11月份有30天，故11月份天然气的总产量约为4.8×30=144亿立方米，故A正确，2018年11月份天然气的产量的增速为10.1%．2018年10月份天然气的产量的增速为7.5%．因为10.1%−7.5%=2.6%，故B正确，2018年11月份天然气的日均产量为4.8亿立方米，比10月份增加0.5亿立方米，故C正确，2018年11月天然气的日均产量同比去年11月增加0.6亿立方米，故D错误．故选D．5.答案：C解析：解：若p：∀x∈R，x2+3x+5>0，则￢p：∃x0∈R，x02+3x0+5≤0，故A错误；“若α=π3，则cosα=12”的否命题是“若α≠π3，则cosα≠12”，故B错误；已知A，B是△ABC的两个内角，由A>B⇔a>b⇔sinA>sinB，可知，“A>B”是“sinA>sinB”的充要条件，故C正确；命题“p∨q为真”是命题，说明p、q中至少有一个为真命题，反之，若“p∧q为真”，则p、q均为真，∴命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故D错误．故选：C．写出全称命题的否定判断A；写出命题的否命题判断B；由充分必要条件的判定方法判断C；由复合命题的真假判断与充分必要条件的判定方法判断D．本题考查命题的真假判断与应用，考查命题的否定与否命题，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．6.答案：D解析：本题考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，半角公式，属于中档题．已知等式利用正弦定理化简，再利用两角差的正弦函数公式整理后得到B=C，用A表示出B，再将cosA=23代入计算即可得到结果．解：在△ABC中，ccosB=bcosC，利用正弦定理化简得：sinCcosB=sinBcosC，即sinCcosB−sinBcosC=sin(C−B)=0，∴C−B=0，即C=B，B为锐角，则sinB=sinπ−A2=cos A2=√1+cosA2=√306，故选D．7.答案：C解析：本题考查平面向量的数量积的运算，是基础题．直接应用数量积计算求值．解：∵向量a⃗,b⃗ 均为单位向量，且a⃗与b⃗ 的夹角为60°，∴(a⃗+b⃗ )⋅b⃗ =a⃗·b⃗ +b⃗ 2=12+1=32，故选C．8.答案：B解析：解：设圆的半径为r，则正方形的边长为2r ∴圆的面积为πr2，正方形的面积为4r2以面积为测度，可得点P落在⊙O内的概率为πr24r2=π4故选：B．以面积为测度，计算圆的面积，正方形的面积，即可求得点P落在⊙O内的概率．本题考查几何概型，考查面积的计算，属于基础题．9.答案：D解析：本题主要考查函数的奇偶性和单调性以及数形结合的思想方法，属于中等题。
湖南省永州市2023年高考第三次适应性考试数学试题及参考答案
湖南省永州市2023年高考第三次适应性考试数学试题及答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足z i z =-3，则复数z 的虚部为（）A .23B .23-C .i 23D .i23-2.设集合(){}x y y x A 2,==，(){}3,x y y x B ==，则A ∩B 的元素个数是（）A .1B .2C .3D .43.已知012cos cos =--θθ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20πθ，，则=θcos （）A .21-B .21C .0D .14.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF ，内部圆的圆心为该正六边形的中心O ，圆O 的半径为1，点P 在圆O 上运动，则OE PE ⋅的最小值为（）A .1-B .2-C .1D .25.在二项式641⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则不同的排列方案为（）A .2655A A 种B .3544A A 种C .2755A A 种D .2244A A 种6.若函数()x f y =和()x f y -=在区间[]n m ,上的单调性相同，则把区间[]n m ,叫做()x f y =的“稳定区间”.已知区间[]2023,1，为函数a y x+⎪⎭⎫⎝⎛=21的“稳定区间”，则实数a 的可能取值是（）A .49-B .45-C .21D .237.已知正项数列{}n a 满足11=a ，11++-⋅=n n n n n a a a a a ，其前200项和为200S ，则（）A .5667200<<S B .4556200<<S C .3445200<<S D .2334200<<S 8.已知函数()()()()()0,4ln >++++-+=a b a bx a x e aa x a x f ，对于定义域的任意x 恒有()0≤x f ，则ab的最大值为（）A .e2-B .e-C .1-e D .e二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知R c b a ∈,,，下列命题为真命题的是（）A .若0<<a b ，则22c a c b ⋅<⋅B .若c a b >>>0，在bc a c <C .若0>>>a b c ，则bc ba c a ->-D .若0>>>c b a ，则c b ca b a ++>10.已知四面体ABCD 的所有棱长均为2，N M ,分别为棱BC AD ,的中点，F 为棱AB 上异于B A ,的动点，点G 为线段MN 上的动点，则（）A .线段MN 的长度为1B .FMN ∆的周长的最小值为12+C .MFN ∠的余弦值的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡310，D .直线FG 与直线CD 互为异面直线11.已知抛物线()022>=p px y C ：的焦点为F ，直线l 与C 交于()11,y x A ，()22,y x B 两点，其中A 在第一象限，点M 是AB 的中点，MN 垂直准线于N ，则下列结论正确的是（）A .若FB AF 3=，则直线l 的倾斜角为3πB .点M 到准线距离为2AB C .若直线l 经过焦点F 且12-=⋅OB OA ，则4=p D .若以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，则MNAB 的最小值为212.若()⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x f 6sin 23sin 2ππ，⎦⎤⎢⎣⎡∈1225,0πx 时，函数()()b x f x g +=2（b 是实常数）有奇数个零点，记为()*12221,,,Nn x x x x n n ∈+ ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,125,21πaa 且21a a ≠，则（）A .()x f 的最小正周期是πB .()x f 的对称轴方程为()Z k k x ∈-=124ππC .()22122212≥+=+--+n x x x x n n n n D .对任意的R x ∈，21,a a ∃使得()[]()()()2,10122==+-k a f x f x f k 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知等比数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若82=a ，283=S ，则=3a .14.现有四家工厂生产同一产品，已知它们生产该产品的日产量分别占日产量总和的%15，%20，%30和%35，且产品的不合格率分别为05.0，04.0，03.0和02.0.现从四家工厂一天生产的所有产品中任取一件，则抽到不合格品的概率是.15.已知双曲线()0,012222>>=-Ωb a by a x ：，圆2222b a y x O +=+：与x 轴交于B A ,两点，N M ,是圆O 与双曲线在x 轴上方的两个交点，点M A 、在y 轴的同侧，且AM 交BN 于点C .若ON MA CN OM +=+，则双曲线Ω的离心率为.16.在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，动点P 在平面1ACD 上运动，且341=P B ，三棱锥ACD B -1外接球球面上任意一点Q 到点P 的距离记为PQ ，当平面P AD 与平面1ADB 夹角的正切值为6时，则PQ 的最大值为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）记正项数列{}n a 的前n 项积为n T ，且nn T a 411-=.（1）证明：数列{}n T 是等差数列；（2）记()1681+⋅+⋅-=n n nn T T n b ，求数列{}n b 的前n 2项和n S 2.18.（本题满分12分）在ABC ∆中，C B A ,,的对边分别为c b a ,,且b a Ac A c +=⋅+⋅sin 3cos .（1）求C 的值；（2）若AB 边上的点M 满足MA BM 2=，3=c ，7=CM ，求ABC ∆的周长.19.（本题满分12分）已知底面为菱形的平行六面体1111D C B A ABCD -中，1==BD AB ，四边形11B BDD 为正方形，11C A 交11D B 于点M .（1）证明：CM BD ⊥；（2）若31=AB ，求直线1CD 与平面11B BDD 所成角的余弦值.20.（本题满分12分）为了精准地找到目标人群，更好地销售新能源汽车，某S 4店对近期购车的男性与女性各100位进行问卷调查，并作为样本进行统计分析，得到如下列联表（40≤m ，N m ∈）：（1）当0=m 时，将样本中购买传统燃油车的购车者按性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取3人调查购买传统燃油车的原因，记这3人中女性的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）定义()()N j i j i B B AKijij ij∈≤≤≤≤-=∑,,32,3222，其中ij A 为列联表中第i 行第j 列的实际数据，ij B 为列联表中第i 行第j 列的总频率之积再乘以列联表的总频数得到的理论频数.基于小概率值α的检验规则：首先提出零假设0H （变量Y X ,相互独立），然后计算2K 的值，当αx K ≥2时，我们推断0H 不成立，即认为Y X ,不独立，该推断犯错误的概率不超过α；否则，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为Y X ,独立.根据2K 的计算公式，求解下面的问题：（i ）当0=m 时，依据小概率值005.0=α的独立性检验，请分析性别与是否喜爱购买新能源汽车有关；（ii ）当10<m 时，依据小概率值1.0=α的独立性检验，若认为性别与是否喜爱购买新能源汽车有关，则至少有多少名男性喜爱购买新能源汽车？附：α0.10.0250.005αx 2.7065.0247.87921.（本题满分12分）已知椭圆14822=+y x C ：，其右焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 交于B A ,两点，与y 轴交于点P ，AF P A λ=，BF PB μ=.（1）求证：μλ+为定值；（2）若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 额对称点，试求QAB ∆面积的最小值.22.（本题满分12分）已知函数()a xex f xln ⋅=-，()x x g sin =.（1）若0=x 是函数()()()x ag x f x h +=的极小值点，讨论()x h 在区间()π，∞-上的零点个数；（2）英国数学家泰勒发现了如下公式：()()()()()*264202!21!6!4!21!21cos N n n x x x x n x x nnn nn∈+-++-+-=-=∑∞= 这个公式被编入计算工具，计算足够多的项时就可以确保显示值的精确性，现已知() ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππππn x n x x x x x x x x x g 113131212111，利用上述知识，试求∑∞=121n n 的值.答案解析一、单项选择题题号12345678答案BCB D A BC A7.解析：令1n =，则可得214a =，故2001254S a a >+=，将两边倒数得1na =，所以{}n a 为递减数列.所以1n a ≤.可得1n a -=≥12≤，112n -⎛⎫=⎪⎝⎭，所以11()4n n a -≤，根据等比数列求和公式得01199199200114114()()...()(4443343S <+++=-⋅<，综上，2005443S <<8.解析：两边同时除以a 得()()1ln 4b x a b x e x a a ⎛⎫++≤-+ ⎪+⎝⎭，令t =x +a ,原不等式等价于：14ln b t t a et+≤-，设1()ln g t t et =-，()4bk t t a=+，对()g t 求导并画出函数图像，当直线()k t 与曲线()g t 相切时，解得2e ba=-，选D二、多项选择题题号9101112答案BDABACDBC11.解析：A 选项，因为3AF FB =，所以,,A F B 三点共线，即直线l 经过抛物线焦点.当直线l 的斜率为0时，此时，直线l 与C 只有1个交点，不合题意，故设直线:2pl x my =+，与22y px =联立得：2220y pmy p --=，故21212,2y y pm y y p +==-，因为3AF FB = ，所以123y y =-，代入21212,2y y pm y y p +==-中，得到2222,3y pm y p =--=-，即213m =，因为点A 在第一象限，所以10y >，故20y <，即0pm -<，0m >，解得：3m=故直线l 的斜率为1m =，设直线l 的倾斜角为()0πθθ≤<，则tan θ=π3θ=，A 正确；B 选项，当直线l 不经过焦点p ,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，设m AF =，n BF =，由三角形三边关系可知：AB BF AF >+，由抛物线定义可知：AB MN BF AF >=+2，即2AB MN >，B 不正确；C 选项，由题意得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，当直线l 的斜率为0时，此时，直线l 与C 只有1个交点，不合题意，故设直线:2p l x my =+，与22y px =联立得：2220y pmy p --=，故21212,2y y pm y y p +==-，则()221212244y y p x x p ==，所以221212124O p x x y y A OB p =⋅+=--= ，解得：4p =，C 正确；D 选项，设,AF m BF n ==，过点A 作AQ ⊥准线于点Q ，过点B 作BP ⊥准线于点P ，因为以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，所以AF ⊥BF ，则AB =222AQ BP AF BF m nMN +++===，由基本不等式得：222m n mn +≥，则()()2222222m n mn m n m n +≥++=+，当且仅当m n =时，等号成立，2AB m n MN m n ==≥++，D 正确；故选：ACD 12.解析：由题设()2|sin()|2|sin()|2|sin()|2|cos()|3633f x x x x x ππππ=++=+++，所以22()4(1|sin(2)|)4(1|cos(2)|)36f x x x =++=++ππ，故()f x =A 选项由cos 2y x =的最小正周期为π，知|cos 2|y x =的最小正周期为2π，同理y =π，则()f x 的最小正周期为2π，A 不正确；对于()f x ，令262k x ππ+=，则对称轴方程为412k x ππ=-且Z k ∈，B 正确；由()0g x =可转化为()f x 与2b y =-交点横坐标，而250,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()f x 图象如下：6312b ≤-≤，此时共有9个零点，1226x x π+=、235212x x π+=、34223x x π+=、4511212x x π+=、56726x x π+=、6717212x x π+=、78523x x π+=、8923212x x π+=、22413πx x x x =-=-,24635πx x x x =-=-,26857πx x x x =-=-，()22122212≥+=+-+n x x x x n -n n n ，所以C 正确.对任意x 有()[2,22]f x ∈，a ∃∈R ，215,,012a a π⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦且12a a ≠满足12()()()k f a f x f x =+592[,24∈且()1,2k =，而5,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的()f x 图象如下：所以(4,26]31),2)2()k f a ∈ ，4294>12()()()k f a f x f x ∴≠+即()()()()212210k f x f x f a k -+≠⎡⎤=⎣⎦，，D 错误；三、填空题13．4或1614．0.031515．13+16．1933616.解析：设11CD C D O =I ，连接1B D ，AO ，且11B D AO O = ，所以1B D ⊥平面1ACD ，设正方体的棱长为1，则可知11B ACD -2所以1O 为等边三角形1的中心，由题可得362AO =1263AO AO =11B O =233又1B P 与平面1ACD 所成角为π3，则111tan 3B O O P π==可求得123O P =，即P 在以1O 为圆心，半径23r =的圆上，且圆在平面1ACD 内，由1B D ⊥平面1ACD ，又1B D ⊂ 平面11AB C D ，∴平面11AB C D ⊥平面1ACD ，且两个平面的交线为AO ，把两个平面抽象出来，如图：作PM AO ⊥于M 点，过点M 作MN AD ⊥交AD 于N 点，连接PN ，Q 平面11AB C D ⊥平面1ACD ，PM ⊂平面1ACD ，平面11AB C D 平面1ACD AO =，PM ∴⊥平面11AB C D ，AD ⊂平面11AB C D ，PM AD ∴⊥，又MN AD ⊥，MN 与PM 为平面PMN 中两相交直线，故AD ⊥平面PMN ，PN ⊂平面PMN ，AD PN ∴⊥，PNM ∴∠为二面角1P AD B --的平面角，即为角θ，设AM x =，当M 与点1O 不重合时，在1Rt PMO中，可得PM 若M 与点1O重合时，即当3x =时，可求得123PM PO ==，也符合上式，故PM =MN AD ⊥ ，OD AD ⊥，//MN OD ∴，MN AM OD AO ∴=OD AM MN x AO ⨯∴=tanPM MN θ∴==解得：12x =，9x =再取1B D 的中点F ，连接PF ,在Rt 三角形PFM 和Rt 三角形1FMO 中利用勾股定理得PF =，所以PQ 的最大值为6PQ =.四、解答题17．（本题满分10分）解：（1）证明：由题意得1nn n T a T -=()2≥n ，…………………1分因为nn T a 411-=，所以，nn n T T T 411-=-()2≥n …………………2分即41-=-n n T T ()2≥n ，…………………3分所以41=--n n T T ()2≥n ．当1=n 时，11T a =，所以11411T T -=，解得51=T ，…………………4分故{}n T 是以5为首项，4为公差的等差数列．…………………5分（2）由（1）可知，()14415+=⨯-+=n n T n ，…………………6分所以()1681+⋅+⋅-=n n nn T T n b ()()()5414681+++⋅-=n n n n ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅-=5411411n n n …………………8分⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=5811811813811711311319191512n n n n S n 58151++-=n 25408+-=n n…………………10分18．（本题满分12分）解：（1）由正弦定理得：BA A C A C sin sin sin sin 3cos sin +=+…………………1分在三角形中，()C A πB +-=()C A A A C A C ++=+sin sin sin sin 3cos sin …………………2分C A C A A A C A C sin cos cos sin sin sin sin 3cos sin ++=+…………………3分1C cos C 3=-sin 216C =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πsin …………………4分()0C ∈πQ ，…………………5分366πC ππC ==-∴…………………6分（2）2BM MA =uuu r uuu rQ 12==∴AM BM ，由余弦定理得C cos 2222⋅-+=ab b a c 则 ab b a -+=229①…………………7分又CM =Q 由于CB CA CM 3132+=()CB CA CB CACM ⋅++=949194222则 ab b a 246322++=②…………………8分①7⨯=②即ab b a ab b a 247772222++=-+03222=+-b ab a 亦即()()02=--b a b a 则b a =或2ba =…………………9分当b a =时，代入①得33==b a ，周长9=++=c b a L …………………10分当2ba =时，代入①得323==b a ，…………………11分周长333+=++=c b a L …………………12分19．（本题满分12分）解：（1）连接AC 交BD 于点O,连接OM四边形ABCD 为菱形AC BD ⊥∴…………………1分 M 为11C A 中点1OM//BB ∴…………………2分 四边形11B BDD 为正方形OM BD BB BD ⊥⊥∴，1…………………3分 O OM AC = ⊥∴BD 平面11A ACC …………………4分⊂CM 平面11A ACC CMBD ⊥∴…………………5分（2）以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，过O 且垂直于平面ABCD的直线为z轴，得A ⎫⎪⎪⎝⎭，10,,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．…………………6分1AB =1C 11==D B A ，由（1）知，⊥BD 平面11A ACC ⊥11D B 平面11A ACC ，CM D B ⊥11，11D CB ∆是等边三角形CM ……………7分点M 作NH 垂直OC 于点H ，在OMC∆中，1OM =，CM CO =可得CM，由等面积法可得OC边上的高MH，由勾股定理可得OH ，…………………8分故M ⎝⎭，112D ⎛- ⎝⎭，,0C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭10,,02OD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，112OD ⎛= ⎝⎭，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=36,21,631CD …………………9分设平面11B D D B 的法向量为(),,n x y z = ，则10n OD n OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即102102y y ⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，取1z =，平面11BDD B的一个法向量为)n =．……………………10分设直线1CD 与平面11BDD B 所成角为θ，则2s in 2θ==，c o s 2θ=……………………11分∴直线1CD 与平面11B BDD所成角的余弦值2……………………12分20．（本题满分12分）解：（1）当=0时，用分层抽样的方法抽取购买传统燃油车的6人中，男性有2人，女性有4人.……………1分由题意可知，X 的可能取值为1，2，3..5136C 34C 02)3(,5336C 24C 12C )2(,51C C C )1(361422=========C X P X P X P ……………3分X 的分布列如下表X 123P515351……………4分131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=……………5分（2）（i ）零假设为0H ：性别与是否购买新能源汽车独立，即性别与是否购买新能源汽车无关联.当=0时，302003.05.0B 2070803,23,22,22,2=⨯⨯====，，，A B A ，，602,3=A 302003.05.040702007.05.03,33,32,3=⨯⨯===⨯⨯=B A B ，，…………6分3,323,33,32,322,32,33,223,23,22,222,22,22)()()()(B B A B B A B B A B B A K -+-+-+-=524.92120030)3040(70)7060(30)3020(70)7080(2222≈=-+-+-+-=…………7分,879.7524.9005.0x => …………8分005.0=∴α根据小概率值的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为性别与是否购买新能源汽车有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005.…………9分（ii ）30)3040(70)7060(30)3020(70)7080(22222--+-++-++--=m m m m K 21)10(22m -=…………10分由题意可知，（706.221)1022≥-m …………11分整理得210)28.413m -≥（，10m N m ∈<又，，4m ∴≤所以m 的最大值为4，又804=76-，∴至少有76名男性购买新能源汽车…………12分21．（本题满分12分）解：（1）证明：如图所示，设),0(),,(),,2211t P y x B y x A （.由λy λλx AF λP A +=+==1t,12,11得.……………1分又点A 在椭圆C 上，故14181222=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+λt λλ……………2分整理得048222=+-+t λλ……………3分由,BF μPB =同理可得048222=+-+t μμ……………4分由于B A ,不重合，即,μλ≠因此0482,22=+-+t x x μλ是方程的两个根，所以4-=+μλ为定值。
湖南省永州市 2024 年高考数学第三次模拟考试试卷 答案
永州市2024年高考第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题题号12345678答案ADDCCA CB二、多项选择题题号91011答案ADBCDACD三、填空题12．}3{13．8714．1617.解析：0cos 11cos 21cos )(≥+=-+⋅≥-++='--x x e e x e e x f x x x x ．)(x f ∴在R 上单调递增．令2)()(g -=x f x ，)(x g 为奇函数，)(g x ∴在R 上单调递增，2)()(+=x g x f ．则4)3()(log 21>+f t f 化为42)3(2)(log 21>+++g t g ．3log )3()(log )3()(log 212121->⇔->⇔->t g t g g t g ．解得80<<t ．)8,0(∈∴t ．8.解析：如图A F CB 23= ，BC F AF F 121~∆∆∴,c F F 2||21=，c CF 4||2=设t AF =||1，则t BF 3||1=，t AB 2||=2BF 平分BC F 1∠,2||||||||2121==∴F F C F BF BC ,t BF BC 6||2||1==，t BC AF 2||31||2==,由双曲线定义可知a t AF AF 2||||12==-，a BF BF 2||||21=-,a AB AF BF 4||22===∴，B CAO2F 1F0260=∠ABF ,在21BF F ∆中，由余弦定理知aa c a a B F B F F F B F B F BF F 462)2()4()6(||||2||||||cos 22221221222121⋅⋅-+=⋅-+=∠化简得a c 7=，由222c b a =+得742=c b ，abPOF =∠2tan ，742sin 2==∠∴c b POF .11.解析：当M 为BD 中点且C A MN 1⊥时，MN 长度最短，由等面积法求得最小值为1421．故A 对．半径为313．故B 错．如图，过1A 作BD E A ⊥1，连接EC ，过球心O 作EC OO ⊥1则1O 为EC 的中点，且211=OO ，又球半径为1，球与BCD ∆的一交点为H ，则23=OH ，又过1O 作BC F O ⊥1，431=F O ，球与底面BCD ∆的交线如图，交线长为ππ333332=⋅，故C 对．转过的曲面为圆锥的一部分侧面积，该圆锥母线长为2，底面圆半径为1，故面积为πππ32312=⋅⋅．故D 对．EODO 1A 1F HC B060DBO 1C FH14.解析：)7(2)71(21)1(1)(x f x f x f x f =--=--=，217()71(=+-∴x f x f 21)71()0(=+f f ，1)1()0(=+f f ，2171()1(=-∴f f ，71(2)71(21)1(f f f =+=21)71(=f ，∴当)21,71(∈x 时，21)(=x f ，而），（21712024343∈161)2024343(81)202449(4120247(21)20241(====∴f f f f .四、解答题15．（本题满分13分）解：（1）依题意可得2⨯2列联表如下：…………………2分零假设为0H :该品种树苗成活与M 元素含量无关联．…………………3分根据列联表中的数据，10.022706.2961.15110015855050)5401045(100x =<≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ．…………………5分根据小概率值10.0=α的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为该品种树苗成活与M 元素含量无关联．…………………6分（2）由题意知，不成活的树苗共有15株，甲地不成活的树苗有5株，X 的可能取值为0，1，2，3…………………7分故9124)0(31531005===C C C X P ，9145)1(31521015===C C C X P ，类别树苗成活情况合计成活不成活含M 元素45550不含M 元素401050合计85151009120)2(31511025===C C C X P ，912)3(31501035===C C C X P ．故X 的分布列为…………………11分（一个概率1分）期望19123912029145191240)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E （另解：易知X 服从超几何分布，则11553)(=⨯=X E ）…………………12分方差74)13(912)12(9120)11(9145)10(9124)(2222=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=X D ．…………………13分16.（本题满分15分）解：（1）在BCD Rt ∆中，21tan ==∠CD BC BDC ，…………………1分在ABC Rt ∆中，21tan ==∠BC AB ACB ，ACB BDC ∠=∠∴，…………………2分︒=∠+∠=∠+∠∴90ACD ACB ACD BDC ，…………………3分∴BD AC ⊥，…………………4分又⊥EC 平面ABCD ，⊂BD 平面ABCD ，∴BD EC ⊥，又C EC AC = ，AC ⊂平面AEC ，EC ⊂平面AEC ，…………………5分⊥∴BD 平面AEC ，…………………6分又AE ⊂平面AEC ，AE BD ⊥∴．……………7分（其他方法酌情给分）（2）设多面体ABCDEF 的体积为V ，x BF EC 22==．X0123P912491459120912则311423131313131=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆--x x S EC S AB V V V ACD BCEF ACD E BCEF A 四边形求得1=x ．…………………9分如图，以C 为坐标原点，CD ，CB ，CE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，…………10分则)0,2,1(A ，)2,0,0(E ，)1,2,0(F ，)0,0,0(C )1,2,0(-=EF ，)1,0,1(-=AF ，)0,2,1(--=AC …………11分设平面AEF 的法向量),,(z y x n =，则有0AF n EF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即⎩⎨⎧=-=+-020z y z x ，令2=z ，则2=x ，1=y ，即)2,1,2(=n …………………12分设直线AC 与平面AEF 所成角为θ，那么1554354|,cos |sin =⋅==><=n AC θ．…………………15分17．（本题满分15分）解：（1）当1=b ，31>x 时，4ln 33ln 3313)(--=---=x x x x x f …………………1分xx x x f )1(333)(-=-='…………………2分令0)(>'x f ，解得1>x ，令0)(<'x f ，解得131<<x ，…………………4分)(x f ∴的单调递减区间为)1,31(，单调递增区间为),1(+∞)(x f ∴在1=x 处取得极小值1)1(-=f ，无极大值．…………………7分（2）依题意x b x x f ln 3313)(---=，对任意),0(+∞∈x ，0)(≥x f 恒成立，即x x b ln 3133--≤，…………………8分令x x x g ln 313)(--=，yxzEDF CBA当]31,0(∈x 时，x x x g ln 331)(--=，)(x g 单调递减．…………………9分当）+∞∈,31(x 时，x x x g ln 313)(--=，x x x x g 3333)(-=-='，…………………10分令0)(>'x g ，解得1>x ，令0)(<'x g ，解得131<<x ，…………………11分综上所述，)(x g 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增…………………13分因此2)1()(min ==g x g ，23≤∴b ，即32≤b 故b 的取值范围为]32，（∞-．…………………15分18．（本题满分17分）解：（1）设数列}{n a 公比的为q ，数列}{n b 公差的为d则由588a a =,283=∴=q q ，n n n q a a 211==∴-，…………………2分1684==b a ，即216728=∴=+=d d b ，n n b n 22)1(2=-+=∴．………………4分（2）设21)42sin(2211nn n b d ⋅-=⎥⎦⎤⎣⎡+-ππ）（则48128234224214243424144-=--+=+++------n b b b b d d d d n n n n n n n n ………………6分2)8048128()(414243443214+-=++++⋅⋅⋅++++=∴---n n d d d d d d d d S n n n n n ）（(6416)n n =+…………………7分nn n n n n n n n a n b S 2)2)(832(22216642224++=+⋅+=⋅⋅∴+++）（）（…………………8分令nn n n f 2)2)(832()(++=，则112)42)(832(2)3)(4032()()1(++++-++=-+n n n n n n n f n f nn n n n n 2)114(4288832212+--=+--=+，可得)()4()3()2()1(n f f f f f >⋅⋅⋅>>><，故当2=n 时，)(n f 最大.…………………11分60)1(=f 且，4147)5(=f ，25)6(=f ，∴414725≤<t ，即t 的取值范围为]414725，（．…………………12分（3）由11=c ，)2()1)(1(12≥-+=-=n n n nn n c n ，则当2≥n 时，)1(543)1)(1(423312121+⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+-⨯⋅⋅⋅⨯⋅⨯⋅⨯=⋅⋅⋅n n n n n n c c c n 2111122(1)!(1)!!(1)!n n n n n n ⎡⎤⎡⎤+-===-⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦…………………14分当1=n 时，11=c 也满足上式）（*∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⋅⋅⋅∴N n n n c c c n )!1(1!1221…………………15分nc c c c c c c c c c ⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+∴3213212112)!1(22)!1(1!131212112<+-=⎦⎤⎢⎣⎡+-+⋅⋅⋅+-+-=n n n ！！！故原不等式成立.…………………17分19．（本题满分17分）解：（1）设),(00y x M ，）（y x N ,，则(,)ON x y =,00(,)OM x y =．由ON得00(,),)x y x y =，即30x x =，30y y =，…………………2分又),(00y x M 在椭圆C 上，所以122020=+y x .代入化简得22163x y +=所以点N 的轨迹E 的方程为22163x y +=．…………………4分（2）当两条切线的斜率存在时，设过00(,)T x y 点的切线为()00y y k x x -=-联立()002212y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()()2220000124220k x k y kx x y kx ++-+--=则由判别式()22008120k y kx ⎡⎤∆+--=⎣⎦=…………………6分得()22200002210x k x y k y --+-=，设两条切线的斜率分别为1k ，2k ，依题意得201220112y k k x -⋅==--，即22003x y +=，…………………7分又点T 在轨迹E 上，2002163x y ∴+=解得000x y ==，T ∴或…………………8分当两条切线的斜率有一条不存在时，结合图像得不合题意．…………………9分综上，存在满足条件的点T ，且点T的坐标为或．…………10分（3）设()()1122,,,A x y B x y 将y kx m =+代入轨迹E 的方程，可得()222124260k x kmx m +++-=由222222164(12)(26)8(63)0k m k m k m ∆=-+-=+->，可得2236m k <+①且2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++…………………12分所以12212x x k -=+…………………13分因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为()0,m所以OAB ∆的面积01212S m x x =⋅-==…………………14分将y kx m =+代入椭圆C 的方程可得()222124220k x kmx m +++-=由228(12)0k m ∆=+-≥，可得2212m k ≤+②令2212m t k=+,由①②可知01t <≤…………………15分因此0S ,故02S ≤当且仅当1t =，即2212m k =+时，0S 取得最大值2…………………16分由题知,OP =ABP ∴∆的面积101)S S =,又易知ABQ ∆面积202S S =从而四边形APBQ 的面积120=+=1S S S S ），所以四边形APBQ 面积的最大值为2）．…………………17分。
湖南省永州市(三模)2023届高考第三次适应性考试数学试题及答案
永州市2023年高考第三次适应性考试试卷1.本试卷共150分，考试时量120分钟．2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．3.考试结束后，只交答题卡．一、选择题z 本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I.若复数z 满足z-3i = z ，则复数z 的威部为3 3 3 3 A.- B.--C .-1D.--122 2 22设集合A ={(x,y)ly ＝抖，B={(x,y)ly=x 才，则AnB 的元素个数是A. IB.2C.3D.43己知cosθ－cos2θ一lA .-_!_B . ..!_ C.OD.l224窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1：是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形A.BCDEF ，内部圆的圆心为该正六边形的中心。
，圆0的半径为l ，点p ."1£.圆。
上运动，则PE-OE 的最小值为图lA.-1 8.-2C.ID.2E地二项式I -E ＋�i 6的展开式中，把所有的项进行排列，有理咧j！互不俐，则不同的飞..;J X J排列方案为A.Ag 乓种B.A:A ；种 c.AgA ；种D A:AJ 种6若函数Y = f(x ）和y=f(-x ）在区间［m,n ］上的单调性相同，则把区间［m,n ］叫做叫x ）的稳定区间已知区间［1,2附酬y =1(iJ+a l 的稳定区间，Y1U��a的可能取值是9 5 A .－二B .－一44c .!o .i22.ta . -a .. 一立」L」：立一.� ，如f,.-F.－在：’7已知正项数列｛α，，）满足。
I =1,6－5〈ω句，－fu〈770A 5－4〈O Aυ句，－qu＜6－5nD43 C -<S 〓＂＜－ D.-<S 〓o<-4叩33•vv 2 8已知函数‘f(x)= aln(x ＋α）－�一＋bx ＋α（b+4）（α＞0），对于定义域内的任意Ie(x ＋α）恒有冲）三0则：的最大值为A.-2e B .-e C e - D.e二、多项选择题z 本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知。
湖南省永州市2020届高三第三次模拟考试数学(理)试题 Wrod版含答案
永州市2020年高考第三次模拟考试试卷数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}|13M x x =-<<，(){}2|lg 1N x y x ==-，则M N =I （ ）A. {}|13x x -<<B. {}|11x x -<<C. {}|13x x <<D.{}|11x x -<≤2. 已知复数z 满足()1234z i i ⋅+=-（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则（ ） A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D. b c a >>4. 图1为某省2019年1至4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误．．的是（ ）（“同比”指与去年同月相比）A. 2019年1至4月的快递业务收入在3月最高，2月最低，差值超过20000万元B. 2019年1至4月的快递业务收入同比增长率不低于30%，在3月最高C. 从1至4月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率月增长D. 从两图来看2019年1至4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一致 5. 下列说法正确的是（ ）A. 若“p q ∨”为真命题，则“p q ∧”为真命题B. 命题“0x ∀>，10x e x -->”的否定是“00x ∃≤，0010xe x --≤” C. 命题“若1x ≥，则11x≤”的逆否命题为真命题 D. “1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件6. 在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos b C c B c C -=⋅，则角C 的取值范围为（ ） A. ,86ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B. 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭C. ,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D. ,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 7. 已知平面向量a r ，b r ，c r 均为单位向量，若12a b ⋅=r r ，则()()a b b c +⋅-r r r r 的最大值是（ ）A. 13+B. 3C. 332+D. 1232+8. 我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案.如图所示的窗棂图案，是将边长为2R 的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形.若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为（ ）A. 331π-B.3324π-C. 332π-D.324π-9. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()22f x x =-+.若对任意的[]1,2x ∈-，()()f x a f x +>成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,2B. ()()0,2,6-∞UC. ()2,0-D. ()()2,06,-+∞U10. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，P为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P ，F ），与y 轴交于点N ，直线MB 与y 轴交于点H ，若3HN OH =u u u r u u u r（O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 511. 已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，()12f x =在区间[]0,π上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间()0,π上存在1x ，2x ，满足()()122f x f x -=；②()f x 在区间()0,π有且仅有1个最大值点；③()f x 在区间0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；④ω的取值范围是115,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭，其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①③B. ①③④C. ②③D. ①④12. 设函数()1ln 2x e t x x x x f x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ）A. ()1,+∞⎪⎪⎩⎭U B. [)1,3e ⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭UC. [)1,3e ⎫⎪+∞⎬⎪⎪⎩⎭U D. [)1,+∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 二项式52x ⎫⎪⎭的展开式中2x -的系数是______.14. 在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有______种.（用数字填写答案）15. 已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线交抛物线于点M（M 在第一象限），MN l ⊥，垂足为N ，直线NF 交y 轴于点D ，则MD =______. 16. 在四面体ABCD 中，CA CB =，DA DB =，6AB =，8CD =，AB ⊂平面α，l ⊥平面α，E ，F 分别为线段AD ，BC 的中点，当四面体以AB 为轴旋转时，直线EF 与直线l 夹角的余弦值的取值范围是______.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必做题：60分.17. 已知n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，36S =，3a 是1a 与9a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列()*24(1)41n n n a b n N n =-∈-，数列{}n b 的前2n 项和为2n P ，若2112020n P +<，求正整数n 的最小值.18. 在如图的空间几何体中，四边形BCED 为直角梯形，90DBC ∠=︒，2BC DE =，2AB AC ==，3CE AE ==，且平面BCED ⊥平面ABC ，F 为棱AB 的中点.（1）证明：DF AC ⊥；（2）求二面角B AD E --的正弦值.19. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>与抛物线D ：24y x =-有共同的焦点F ，且两曲线的公共点到F 的距离是它到直线4x =-（点F 在此直线右侧）的距离的一半. （1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，直线l 过点F 且与椭圆交于A ，B 两点，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OAMB .是否存在直线l ，使点M 落在椭圆C 或抛物线D 上？若存在，求出点M 坐标；若不存在，请说明理由.20. 为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定.数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[)70,100内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“Y =频率组距”时，发现Y 满足8109,1630011,161520n n Y k n n -⎧≤⎪⎪=⎨⎪-⋅>⎪-⎩，*n N ∈，()551n X n ≤<+.（1）试确定n 的所有取值，并求k ；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[)95,100的参赛者评为一等奖；分数在[)90,95的同学评为二等奖，但通过附加赛有111的概率提升为一等奖；分数在[)85,90的同学评为三等奖，但通过附加赛有17的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）.已知学生A 和B 均参加了本次比赛，且学生A 在第一阶段评为二等奖.（i ）求学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级的概率；（ii ）已知学生A 和B 都获奖，记A ，B 两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.21. 已知函数()()()1ln 1f x x x =++，()2cos 2x g x ax x x =+-. （1）当0x ≥时，总有()22x f x mx ≤+，求m 的最小值； （2）对于[]0,1中任意x 恒有()()f x g x ≤，求a 的取值范围.（二）选考题：10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分. 22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的方程为2220x x y -+=.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈.（1）写出曲线C 的极坐标方程，并求出直线l 与曲线C 的交点M ，N 的极坐标；（2）设P 是椭圆2214x y +=上的动点，求PMN △面积的最大值.23. 选修4-5：不等式选讲 已知()221f x x x =+-.（1）解关于x 的不等式：()2x f x x>； （2）若()f x 的最小值为M ，且(),,a b c M a b c R +++=∈，求证：2222222a b a c c b c b a+++++≥.永州市2020年高考第三次模拟考试试卷数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1-5：CDBCC6-10：ACBDB11-12：BD1. 详细分析：{}{}2|10|11N x x x x x =->=><-或，{}|13M N x x =<<I ，选C. 2. 详细分析：55(12)1212(12)(12)i z i i i i -===-++-，在第四象限，选D. 3. 详细分析：0.30.40.30.3>，即b c >，而0.30.30.4410.33a b ⎛⎫⎛⎫==> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即a b >，∴a b c >>，选B.4. 详细分析：由图表易知，选C.5. 详细分析：“p q ∨”为真，则命题p ，q 有可能一真一假，则“p q ∧”为假，故选项A说法不正确；命题“0x ∀>，10x e x -->”的否定应该是“00x ∃>，0010x e x --≤”，故选项B 说法不正确；因命题“若1x ≥，则11x≤”为真命题，则其逆否命题为真命题，故选项C 说法正确；因21560x x x =-⇒--=，但25601x x x --=⇒=-或6x =，所以“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，选项D 说法不正确；选C. 6. 详细分析：∵sin cos sin cos 2sin cos B C C B C C -=，∴()sin sin 2B C C -=，∴2B C C -=，∴3B C =，∴32C π<且42B C C π+=>，∴86C ππ<<，选A.7. 详细分析：1a =r ，1b =r ，a b +==r r ，()()()()232a b b c a b b a b c a b c +⋅-=⋅+-+⋅=-+⋅r r r r r r r r r r r r r 3322a b c ≤++⋅-=r r r当且仅当a b +r r 与c r反向时取等号.选C.8. 详细分析：先计算半片花瓣面积：22260360464R R R ππ⎛-=- ⎝⎭，∴2212(264R S R ππ⎛=-=- ⎝⎭阴，故所求概率为2(2)2S R π==阴，选B. 9. 详细分析：依题意作出()f x 的图象，()y f x a =+的图象可以看成是()y f x =的图象向左（0a >时）或向右（0a <时）平移a 个单位而得.当0a >时，()y f x =的图象至少向左平移6个单位（不含6个单位）才能满足()()f x a f x +>成立，当0a <时，()y f x =的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）才能满足()()f x a f x +>成立（对任意的[]1,2x ∈-），故()()2,06,x ∈-+∞U ，选D.10. 详细分析：不妨设P 在第二象项，FM m =，()()0,0H h h >，由3HN OH =-u u u r u u u r 知()0,2N h -，由AFM AON :△△，得2m c a h a -=（1），由BOH BFM :△△，得h am c a=+（2）（1），（2）两式相乘得12c ac a-=+，即3c a =，离心率为3.选B. 11. 详细分析：∵[]0,x π∈，∴,333x πππωωπ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，令3z x πω=+，则,33z ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，由题意，1sin 2z =在,33ππωπ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上只能有两解56z π=和136z π=，∴1317636πππωπ≤+<，（*）因为在,33z ππωπ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦上必有3sin sin 222ππ-=，故在()0,π上存在1x ，2x 满足()()122f x f x -=；①成立；2z π=对应的x （显然在[]0,π上）一定是最大值点，因52z π=对应的x 值有可能在[]0,π上，故②结论错误；解（*）得11562ω≤<，所以④成立；当0,15x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,3153z πωππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，由于11562ω≤<，故,,315332z πωππππ⎡⎤⎡⎤∈+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，此时sin y z =是增函数，从而()f x 在0,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.综上，①③④成立，选B. 12. 详细分析：求导得()()21'21xx f x e x t x -⎡⎤=-+⎣⎦有两个零点等价于函数()()21xx e x t ϕ=-+有一个不等于1的零点，分离参数得()21xe t h x x ==+，令()()021xe h x x x =>+，()()221'21xx h x e x -=+，()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增，显然在12x =作()h x 的图像，并作y t =的图象，注意到()01h =，()113eh =<，（原定义域0x >，这里为方便讨论，考虑()0h ），当1t ≥时直线y t =与()21xe h x x =+只有一个交点即()x ϕ只有一个零点（该零点值大于1）；当t =时()()21'21x x f x e x t x -⎡⎤=-+⎣⎦在12x =两侧附近同号，12x =不是极值点；当3e t =时函数()()21xx e x t ϕ=-+有两个不同零点（其中一个零点等于1），但此时()()21'21xx f x e x t x -⎡⎤=-+⎣⎦在1x =两侧附近同号，使得1x =不是极值点不合.选D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13. -80 14. 240 15. 16. 40,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦13. 详细分析：展开式通项5352552()(2)rr rr r C x r C x x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，依题意，5322r -=-，得3r =，2x -的系数是()335280C -=-.14. 详细分析：依题意，先选出一个重灾区（有14C 种选法），分配有两个医疗队，有25C 种分配法，另3个重灾区各分配一个医疗队，有33A 种分配法，所以不同的分配方案数共有123453240C C A =.15. 详细分析：设准线l 与x 轴交于E .易知()1,0F ，由抛物线定义知MN MF =，由于60NMF ∠=︒，所以NMF △为等边三角形，三角形边长为24NM FE ==，又OD 是FEN △的中位线，MD 就是该等边三角形的高，23MD =.16. 详细分析：易证AB CD ⊥，又//GE CD ，//GF AB ，∴GE GF ⊥，得5EF =.当四面体绕AB 旋转时，由//GF AB 即EF 绕GF 旋转，故EF 与直线l 所成角的范围为[]90,90GFE ︒-∠︒，直线EF 与直线l 夹角的余弦值的取值范围是40,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 命题意图：第1问考查等差、等比数列基本量的运算求数列通项公式； 第2问考查利用裂项相消法求数列前n 和.解：（1）∵2193a a a ⋅=，∴1a d =，∵3336S a d =+=， ∴11a d ==.所以数列{}n a 是以1为首项和公差的等差数列，故综上n a n =，*n N ∈.（2）（裂项相消）：由上题可知()()241111412121nn n n b n n n ⎛⎫=-=-+ ⎪--+⎝⎭，所以11111111113355723212121n P n n n n =--++--+-+++---+L1121n =-++， 所以211201914120042n P n n +=<⇒>+， 故n 的最小值为505.18. 命题意图：第1问考查线线平行与垂直的证明； 第2问考查利用线线、线面垂直的判定，求二面角.解：（1）证明：取AC 中点为G ，连接GE 和GF ，因为//GF BC ，且12GF BC =，又因为//DE BC ，且12DE BC =，故//GF DE ，且GF DE =， 即四边形GFDE 为平行四边形，故//GE DF .∵CE AE =，∴GE AC ⊥，又//GE DF ，则DF AC ⊥.（2）∵平面BCED ⊥平面ABC ，平面BCED I 平面ABC BC =，DB BC ⊥， ∴DB ⊥平面ABC ，又∵AC ⊂平面ABC ，∴DB AC ⊥，又DF AC ⊥， ∵BD DF D =I ，,BD DF ⊂平面ABD ，∴AC ⊥平面ABD ， ∴AC AB ⊥，∵2AB AC ==，∴BC =DE =取BC 中点O 连接OE 和OA ，四边形BCED 为直角梯形，则//OE DB ， ∵DB ⊥平面ABC ，∴OE ⊥平面ABC ，故OE BC ⊥，OE OA ⊥，∵AB AC =，OA BC ⊥， 所以可以以OA 为x 轴，OB 为y 轴，OE 为z 轴建立空间直角坐标系，∵CE AE ==1OE =，则()D ，()0,0,1E，)A，()0,C ，()AD =u u u r，()AE =u u u r，)CA =u u u r ，则)CA =u u u r 为平面ABD 的一个法向量，设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =r，则00n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r，即00z z ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩， 令1x =，则z =0y =，则(n =r，设二面角B AD E --为θ，则cos cos ,n CA n CA n CAθ⋅===⨯r u u u rr u u u r r u u u r ， 故二面角B AD E --的正弦值为6. 19. 命题意图：第1问考查求椭圆的标准方程； 第2问考查直线与圆锥曲线位置关系.解：（1）如图，由题意知()1,0F -，因而1c =，即221a b =+，又两曲线在第二象限内的交点(),Q Q Q x y 到F 的距离是它到直线4x =-的距离的一半，即42(1)Q Q x x +=-+，得23Q x =-，则283Q y =，代入到椭圆方程，得2248193a b+=.由2222481931a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，解得24a =，23b =，所以所求椭圆的方程为22143x y +=. （2）当直线AB 的斜率存在，且不为0时，设直线AB 的方程为()1y k x =+，由22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(34)84120k x k x k +++-=，设00(,)M x y ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122834kx x k-+=+，212241234k x x k -⋅=+， 由于OABM 为平行四边形，则OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r ， 故20122012111228346(1)(1)(2)34k x x x k k y y y k x k x k x x k ⎧-=+=⎪⎪+⎨⎪=+=+++=++=⎪+⎩，若点M 在椭圆C 上，则2200143x y +=，代入得422216121(34)k k k +=+，解得k 无解， 若点M 在抛物线D 上，则D ：2004y x =-，代入得222223632(34)34k k k k=++解得k 无解 当直线斜率不存在时，易知存在点()2,0M -在椭圆C 上，故不存在直线l ，使点M 落在抛物线D 上，存在直线l ，使点()2,0M -落在椭圆C . 20. 命题意图：第1问考查频率分布直方图； 第2问考查概率、分布列、数学期望.解：（1）X 在[)70,100内，按组距为5可分成6个小区间分别是[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[)95,100，因70100X ≤<，由()551n X n ≤<+，*n N ∈，得14,15,16,17,18,19n =，每个小区间对应的频率值分别是8109,14,15,1660115,17,18,193052n n k n P n Y -⎧=⎪⎪=⎨⎪-⋅=-⎩=⎪（1）3111911151160606032k ⎛⎫+++-++= ⎪⎝⎭，解得350k =， 故n 的取值是14，15，16，17，18，19，350k =. （2）（i ）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，由（1）知，学生B 的分数属于区间[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[)95,100的概率分别是360，1160，1960，1460，1160，260，我们用符号ij A （或ij B ）表示学生A （或B ）在第一轮获奖等级为i ，通过附加赛最终获奖等级为j ，其中(),1,2,3j i i j ≤=，记W =“学生B 最终获奖等级不低于学生A 的最终获奖等级”，则()()12122223222P B B B A P B A W =+++()()()()()()12122223222P B P B P B P A P B P A =+++2111111010141105160601160111160711220=+⋅+⋅⋅+⋅⋅=. （ii ）学生A 最终获得一等奖的概率是()21111P A =， 学生B 最终获得一等奖的概率是()''121211112727119P B B +=+⋅=， 1180(0)1111999P ξ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，111118(1)1111911999P ξ⎛⎫⎛⎫==-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 111(2)11999P ξ==⋅=，ξ的分布列为()01299999999E ξ=⋅+⋅+⋅=. 21. 命题意图：第1问考查不等式恒成立问题； 第2问考查不等式放缩求参数取值范围.解：（1）令()()21ln(1)2x x mx x x ϕ=+-++ ，()()'ln 11x x m x ϕ=+-+-， ()1''101x x ϕ=->+， ∴()'x ϕ在[)0,+∞上单调递增，且()'01m ϕ=-，若1m ≥，()x ϕ在[)0,+∞上单调递增，∴()()00x ϕϕ≥=， 即1m ≥满足条件，若1m <，()010m ϕ=-<，()x ϕ存在单调递减区间[]00,x ，又∵()00ϕ=， 所以存在0x 使得()00x ϕ<与已知条件矛盾，所以1m ≥，m 的最小值为1.（2）由（1）知()22x f x x ≤+，如果()22x x g x +≤，则必有()()f x g x ≤成立. 令()()22x h x g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()(1)cos (1cos )h x a x x x x a x =--=--， ()(1cos )0h x x a x =--≥，则1cos 0a x --≥，1cos a x ≥+，2a ≥.若()0h x ≥，必有()()f x g x ≤恒成立，故当2a ≥时，()()f x g x ≤恒成立， 下面证明2a <时，()()f x g x ≤不恒成立. 令1()()(1)ln(1)f x f x x x x x =-=++-，()()'1ln 1f x x =+，当0x >时，()()'1ln 10f x x =+>， ()1f x 在区间[]0,1上单调递增，故()()1100f x f ≥=，即()()10f x f x x =-≥，故()x f x ≤.2()()()(1)cos 2x g x f x g x x a x x x -≤-=-+-1cos 2x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，令()1cos 2x t x a x =-+-，()1'sin 02t x x =+>， ()t x 在[]0,1上单调递增，()020t a =-<，则一定存在区间()0,m （其中01m <<），当()0,x m ∈时，()0t x <，则()()()0g x f x xt x -≤<，故()()f x g x ≤不恒成立.综上所述：实数a 取值范围是[)2,+∞.22. 命题意图：第1问考查曲线的普通方程化极坐标方程和解极坐标方程组； 第2问考查三角函数的最值问题.解：（1）曲线C 的极方程：2cos ρθ=，联立2cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩得，(0,0)M ，(1,)3N π. （2）易知1MN =，直线l：y =.设点(2cos ,sin )P αα，则点P 到直线l的距离d =，∴∴12PMNS MN d ∆=⋅⋅=（其中tan ϕ=.∴PMN △面积的最大值为4. 23. 命题意图：第1问考查利用分类讨论思想解绝对值不等式； 第2问考查分段函数求最值、构造法和基本不等式等. 解：（1）当0x <时，()2x f x x>等价于2212x x +->-，该不等式恒成立， 当01x <≤时，()2x f x x>等价于220x x ->，该不等式解集为∅，当1x >时，()2x f x x >等价于2222x x +->，解得1x >， 综上，0x <或1x >，所以不等式()2xf x x>的解集为()),01,-∞+∞U .（2）()22222,12122,1x x x f x x x x x x ⎧+-≥⎪=+-=⎨-+<⎪⎩，易得()f x 的最小值为1，即1a b c M ++==， 因为,,a b c R +∈，所以222a c ac b b +≥，222b a ab c c+≥，222c b bca a +≥， 所以222222a c b a c b ac ab ab bc ac bc b c a bc c a b a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≥+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2222a b c ≥++=，当且仅当13a b c ===时等号成立.。
湖南省永州市 2023 年高考第三次适应性考试 数学答案
永州市2023年高考第三次适应性考试试卷数学参考答案及评分标准一、单项选择题题号12345678答案BCBDABCA二、多项选择题题号9101112答案BDABACDBC三、填空题13．4或1614．0.031515．13+16．6部分小题答案:7.解析：令1n =，则可得214a =，故2001254S a a >+=，1na =，所以{}n a 为递减数列.所以1n a ≤.1n a =≥，12≤，112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11(4n n a -≤，根据等比数列求和公式得011991992001114114()()...()()4443343S <+++=-⋅<，综上，2005443S <<8.解析：两边同时除以a 得()()1ln 4b x a b x e x a a ⎛⎫++≤-+ ⎪+⎝⎭，令t =x +a ,原不等式等价于：14ln b t t a et+≤-，设1()ln g t t et =-，()4bk t t a=+，对()g t 求导并画出函数图像，当直线()k t 与曲线()g t 相切时，解得2e ba=-，选D 11.解析：A 选项，因为3AF FB =，所以,,A F B 三点共线，即直线l 经过抛物线焦点.当直线l 的斜率为0时，此时，直线l 与C 只有1个交点，不合题意，故设直线:2pl x my =+，与22y px =联立得：2220y pmy p --=，故21212,2y y pm y y p +==-，因为3AF FB =，所以123y y =-，代入21212,2y y pm y y p +==-中，得到2222,3y pm y p =--=-，即213m =，因为点A 在第一象限，所以10y >，故20y <，即0pm -<，0m >，解得：3m =故直线l 的斜率为1m =l 的倾斜角为()0πθθ≤<，则tan θ=π3θ=，A 正确；B 选项，当直线l 不经过焦点p ,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，设m AF =，n BF =，由三角形三边关系可知：AB BF AF >+，由抛物线定义可知：AB MN BF AF >=+2，即2AB MN >，B 不正确；C 选项，由题意得：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，当直线l 的斜率为0时，此时，直线l 与C 只有1个交点，不合题意，故设直线:2p l x my =+，与22y px =联立得：2220y pmy p --=，故21212,2y y pm y y p +==-，则()221212244y y p x x p ==，所以221212124O p x x y y A OB p =⋅+=--= ，解得：4p =，C 正确；D 选项，设,AF m BF n ==，过点A 作AQ ⊥准线于点Q ，过点B 作BP ⊥准线于点P ，因为以AB 为直径的圆M 经过焦点F ，所以AF ⊥BF ，则AB =222AQ BP AF BF m nMN +++===，由基本不等式得：222m n mn +≥，则()()2222222m n mn m n m n +≥++=+，当且仅当m n =时，等号成立，≥2AB m n MN m n ==++，D 正确；故选：ACD12.解析：由题设()2|sin()|2|sin()|2|sin()|2|cos()|3633f x x x x x ππππ=++-=+++，所以22()4(1|sin(2)|)4(1|cos(2)|)36f x x x =++=++ππ，故()f x =，A 选项由cos 2y x=的最小正周期为π，知|cos 2|y x =的最小正周期为2π，同理y =π，则()f x 的最小正周期为2π，A 不正确；对于()f x ，令262k x ππ+=，则对称轴方程为412k x ππ=-且Z k ∈，B 正确；由()0g x =可转化为()f x 与2b y =-交点横坐标，而250,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()f x 图象如下：12b ≤-≤，此时共有9个零点，1226x x π+=、235212x x π+=、34223x x π+=、4511212x x π+=、56726x x π+=、6717212x x π+=、78523x x π+=、8923212x x π+=、22413πx x x x =-=-,24635πx x x x =-=-,26857πx x x x =-=-，()22122212≥+=+-+n x x x x n -n n n ，所以C 正确.对任意x 有()f x ∈，a ∃∈R ，215,,012a a π⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦且12a a ≠满足12()()()k f a f x f x =+5[,]24∈且()1,2k =，而5,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的()f x 图象如下：所以(4,1),2()k f a +∈ ，4294>12()()()k f a f x f x ∴≠+即()()()()212210k f x f x f a k -+≠⎡⎤=⎣⎦，，D 错误；故选：BC16.解析：设11CD C D O =I ，连接1B D ，AO ，且11B D AO O = ，所以1B D ⊥平面1ACD ，设正方体的棱长为1，则可知11B ACD -所以1O 为等边三角形1的中心，由题可得AO =123AO AO =，所以11B O =又1B P 与平面1ACD 所成角为π3，则111tan 3B O O P π==，可求得123O P =，即P 在以1O 为圆心，半径23r =的圆上，且圆在平面1ACD 内，由1B D ⊥平面1ACD ，又1B D ⊂ 平面11AB C D ，∴平面11AB C D ⊥平面1ACD ，且两个平面的交线为AO ，把两个平面抽象出来，如图：作PM AO ⊥于M 点，过点M 作MN AD ⊥交AD 于N 点，连接PN ，Q 平面11AB C D ⊥平面1ACD ，PM ⊂平面1ACD ，平面11AB C D 平面1ACD AO =，PM ∴⊥平面11AB C D ，AD ⊂平面11AB C D ，PM AD ∴⊥，又MN AD ⊥，MN 与PM 为平面PMN 中两相交直线，故AD ⊥平面PMN ，PN ⊂平面PMN ，AD PN ∴⊥，PNM ∴∠为二面角1P AD B --的平面角，即为角θ，设AM x =，当M 与点1O 不重合时，在1Rt PMO中，可得PM 若M 与点1O重合时，即当3x =时，可求得123PM PO ==，也符合上式，故PM =MN AD ⊥ ，OD AD ⊥，//MN OD ∴，MN AM OD AO∴=OD AM MN xAO ⨯∴=tanPM MN θ∴==解得：12x =，9x=再取1B D 的中点F ，连接PF ,在Rt 三角形PFM 和Rt 三角形1FMO 中利用勾股定理得PF 所以PQ 的最大值为PQ =四、解答题17．（本题满分10分）解：（1）证明：由题意得1nn n T a T -=()2≥n ，…………………1分因为nn T a 411-=，所以，nn n T T T 411-=-()2≥n …………………2分即41-=-n n T T ()2≥n ，…………………3分所以41=--n n T T ()2≥n ．当1=n 时，11T a =，所以11411T T -=，解得51=T ，…………………4分故{}n T 是以5为首项，4为公差的等差数列．…………………5分（2）由（1）可知，()14415+=⨯-+=n n T n ，…………………6分所以()1681+⋅+⋅-=n n nn T T n b ()()()5414681+++⋅-=n n n n ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅-=5411411n n n …………………8分⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=5811811813811711311319191512n n n n S n 58151++-=n 25408+-=n n …………………10分18．（本题满分12分）解：（1）由正弦定理得：BA A C A C sin sin sin sin 3cos sin +=+…………………1分在三角形中，()C A πB +-=()C A A A C A C ++=+sin sin sin sin 3cos sin …………………2分CA C A A A C A C sin cos cos sin sin sin sin 3cos sin ++=+…………………3分1C cos C 3=-sin 216C =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πsin …………………4分()0C ∈πQ ，…………………5分366πC ππC ==-∴…………………6分（2）2BM MA=uuu r uuu rQ 12==∴AM BM ，由余弦定理得Ccos 2222⋅-+=ab b a c 则 ab b a -+=229①…………………7分又CM =Q 由于CB CA CM 3132+=()CB CA CB CACM ⋅++=949194222则 ab b a 246322++=②…………………8分①7⨯=②即ab b a ab b a 247772222++=-+03222=+-b ab a 亦即()()02=--b a b a 则b a =或2ba =…………………9分当b a =时，代入①得33==b a ，周长9=++=c b a L …………………10分当2ba =时，代入①得323==b a ，…………………11分周长333+=++=c b a L …………………12分19．（本题满分12分）解：（1）连接AC 交BD 于点O,连接OM四边形ABCD 为菱形ACBD ⊥∴…………………1分 M 为11C A 中点1OM//BB ∴…………………2分 四边形11B BDD 为正方形OMBD BB BD ⊥⊥∴，1…………………3分O OM AC = ⊥∴BD 平面11A ACC …………………4分⊂CM 平面11A ACC CMBD ⊥∴…………………5分（2）以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，过O 且垂直于平面ABCD的直线为z轴，得2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，10,,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭．…………………6分1AB =1C 11==D B A ，由（1）知，⊥BD 平面11A ACC ⊥11D B 平面11A ACC ，CM D B ⊥11，11D CB ∆是等边三角形CM =7分点M 作NH 垂直OC 于点H ，在OMC∆中，1OM =，CM CO =可得CMOC边上的高MH由勾股定理可得OH …………………8分故33M ⎝⎭，11323D ⎛- ⎝⎭，,02C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭10,,02OD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，11323OD ⎛= ⎝⎭，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=36,21,631CD …………………9分设平面11B D D B 的法向量为(),,n x y z = ，则10n OD n OD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即102102y y⎧=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，取1z =，平面11BDD B 的一个法向量为)n =．……………………10分设直线1CD 与平面11BDD B 所成角为θ，则2s in 2θ==，c o s 2θ=……………………11分∴直线1CD 与平面11B BDD 所成角的余弦值……………………12分20．（本题满分12分）解：（1）当=0时，用分层抽样的方法抽取购买传统燃油车的6人中，男性有2人，女性有4人.……………1分由题意可知，X 的可能取值为1，2，3..5136C 34C 02)3(,5336C 24C 12C )2(,51C C C )1(361422=========C X P X P X P ……………3分X 的分布列如下表X 123P515351……………4分131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=……………5分（2）（i ）零假设为0H ：性别与是否购买新能源汽车独立，即性别与是否购买新能源汽车无关联.当=0时，302003.05.0B 2070803,23,22,22,2=⨯⨯====，，，A B A ，，602,3=A 302003.05.040702007.05.03,33,32,3=⨯⨯===⨯⨯=B A B ，，…………6分3,323,33,32,322,32,33,223,23,22,222,22,22)()()()(B B A B B A B B A B B A K -+-+-+-=524.92120030)3040(70)7060(30)3020(70)7080(2222≈=-+-+-+-=…………7分,879.7524.9005.0x => …………8分005.0=∴α根据小概率值的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为性别与是否购买新能源汽车有关联，此推断犯错误的概率不超过0.005.…………9分（ii ）30)3040(70)7060(30)3020(70)7080(22222--+-++-++--=m m m m K 21)10(22m -=…………10分由题意可知，（706.221)1022≥-m …………11分整理得210)28.413m -≥（，10m N m ∈<又，，4m ∴≤所以m 的最大值为4，又804=76-，∴至少有76名男性购买新能源汽车…………12分21．（本题满分12分）解：（1）证明：如图所示，设),0(),,(),,2211t P y x B y x A （.由λy λλx AF λP A +=+==1t,12,11得.……………1分又点A 在椭圆C 上，故14181222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+λt λλ……………2分整理得048222=+-+t λλ……………3分由,BF μPB =同理可得048222=+-+t μμ……………4分由于B A ,不重合，即,μλ≠因此0482,22=+-+t x x μλ是方程的两个根，所以4-=+μλ为定值。