江西省九江市2021届新高考数学仿真第二次备考试题含解析

江西省九江市2021届新高考数学仿真第二次备考试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长相等，60ABC ︒∠=，则直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于（ ） A ．
6
B ．
10 C ．
5 D ．
15 【答案】D 【解析】 【分析】
以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系．求解平面11ACC A 的法向量，利用线面角的向量公式即得解. 【详解】
如图所示的直四棱柱1111ABCD A B C D -，60ABC ︒∠=，取BC 中点E ，
以A 为坐标原点，AE 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，1AA 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系．
设2AB =，则11(0,0,0),(0,0,2),(3,1
,0),(3,1,0),(3,1,2)A A B C C -， 11(0,2,2),(3,1,0),(0,0,2)BC AC AA ===u u u r u u u r u u u r
．
设平面11ACC A 的法向量为(,,)n x y z =r
，
则130,20,n AC x y n AA z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩v v 取1x =， 得(1,3,0)n =r
．
设直线1BC 与平面11ACC A 所成角为θ，
则11236
sin 84||BC n BC n θ⋅-===⋅⋅u u u r r u u u r r ， 2
610cos 14θ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴直线1BC 与平面11ACC A 所成角的正切值等于15
故选：D 【点睛】
本题考查了向量法求解线面角，考查了学生空间想象，逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题. 2．函数
的定义域为（ ）
A ．[，3）∪（3，+∞）
B ．（-∞，3）∪（3，+∞）
C ．[，+∞）
D ．（3，+∞） 【答案】A 【解析】 【分析】
根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】 因为函数
，
解得且；
函数的定义域为, 故选A ．
【点睛】
定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为
，则
函数
的定义域由不等式
求出.
3．已知函数1
,0()ln ,0x x
f x x x x
⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，若函数()()F x f x kx =-在R 上有3个零点，则实数k 的取值范围为
（ ） A ．1
(0,)e
B ．1(0,
)2e
C ．1(,
)2e
-∞ D ．11(
,)2e e
【答案】B 【解析】 【分析】
根据分段函数，分当0x <，0x >，将问题转化为()
f x k x
=的零点问题，用数形结合的方法研究. 【详解】 当0x <时，()2
1f x k x
x
=
=
，令()()2312g ,'0x g x x x ==->，()g x 在()0x ∈-∞，是增函数，0k >时，()
f x k x
=
有一个零点， 当0x >时，()2
ln f x x
k x
x =
=
，令()()23ln 12ln h ,x x x h x x x -'==
当x ∈时，'()0h x ＞，∴()h x
在上单调递增，
当)x ∈+∞时，'()0h x ＜，∴()h x
在)+∞上单调递减，
所以当x =
()h x 取得最大值
12e
， 因为()()F x f x kx =-在R 上有3个零点， 所以当0x >时，()
f x k x
=有2个零点， 如图所示：
所以实数k 的取值范围为1(0,
)2e
综上可得实数k 的取值范围为1
(0,)2e
， 故选：B 【点睛】
本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题.
4．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的2
3
，且球的表面积也是圆柱表面积的2
3
”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为24π，则该圆柱的内切球体积为( ) A ．
43
π B ．16π
C ．163
π D ．
323
π 【答案】D 【解析】 【分析】
设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =,由圆柱的表面积求出r ,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积. 【详解】
设圆柱的底面半径为r ,则其母线长为2l r =, 因为圆柱的表面积公式为2
=22S r rl ππ+圆柱表， 所以222224r r r πππ+⨯=,解得2r =, 因为圆柱的体积公式为2=2V Sh r r π=⋅圆柱, 所以3
=22=16V ππ⨯⨯圆柱,
由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的2
3
，
所以所求圆柱内切球的体积为
2232
=16=
333
V V
π
π
=⨯
圆柱
.
故选:D
【点睛】
本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.
5．定义在R上的函数()
f x满足(4)1
f=，()
f x
'为()
f x的导函数，已知()
y f x
'
=的图象如图所示，若两个正数,a b满足(2)1
f a b
+<，
1
1
b
a
+
+
则的取值范围是（）
A．(
11
,
53
)B．
1
(,)(5,)
3
-∞⋃+∞ C．(
1
,5
3
)D．(,3)
-∞
【答案】C
【解析】
【分析】
先从函数单调性判断2a b
+的取值范围，再通过题中所给的,a b是正数这一条件和常用不等式方法来确定1
1
b
a
+
+
的取值范围.
【详解】
由()
y f x
'
=的图象知函数()
f x在区间()
0,∞
+单调递增，而20
a b
+>，故由()
(2)14
f a b f
+<=可知24
a b
+<.故
14217
25
111
b a
a a a
+-+
<=-+<
+++
，
又有
1171
2
13
33
22
b b
b b
a
++
>=-+>
+--，综上得
1
1
b
a
+
+
的取值范围是(
1
,5
3
).
故选：C
【点睛】
本题考查了函数单调性和不等式的基础知识，属于中档题.
6．为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复．若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）
A ．该市总有 15000 户低收入家庭
B ．在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户
C ．在该市无业人员中，低收入家庭有4350户
D ．在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有 800 户 【答案】D 【解析】 【分析】
根据给出的统计图表，对选项进行逐一判断，即可得到正确答案. 【详解】
解：由题意知，该市老年低收入家庭共有900户，所占比例为6%， 则该市总有低收入家庭900÷6%＝15000（户），A 正确，
该市从业人员中，低收入家庭共有15000×12%＝1800（户），B 正确， 该市无业人员中，低收入家庭有15000×29%%＝4350（户），C 正确， 该市大于18 岁在读学生中，低收入家庭有15000×4%＝600（户），D 错误． 故选：D. 【点睛】
本题主要考查对统计图表的认识和分析，这类题要认真分析图表的内容，读懂图表反映出的信息是解题的关键,属于基础题.
7．已知{}n a 为等差数列，若2321a a =+，4327a a =+，则5a =( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．6
【答案】B 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出5a ． 【详解】
∵{a n }为等差数列，2343a 2a 1,a 2a 7=+=+, ∴()()111
1a d 2a 2d 1a 3d 2a 2d 7⎧+=++⎪
⎨
+=++⎪⎩，
解得1a ＝﹣10，d ＝3， ∴5a ＝1a +4d ＝﹣10+11＝1． 故选：B ． 【点睛】
本题考查等差数列通项公式求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．要得到函数sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6
π
个单位 B ．向右平移3
π
个单位 C ．向左平移3
π
个单位 D ．向左平移
6
π
个单位 【答案】D 【解析】 【分析】
直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可； 【详解】
解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=+
=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦， ∴要得到函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，
只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6
π
个单位． 故选：D ． 【点睛】
本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题．
9．已知平面向量,,a b c r r r ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+r r r r r r 且21λμ+=，若对每一个确定的向量a r
，记||c r 的最小值为m ，则当a r
变化时，m 的最大值为（ ）
A ．
1
4
B ．
13
C ．
12
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意,建立平面直角坐标系.令,OP a OB b ==u u u r r u u u r r OC c =u u u r r
.E 为OB 中点.由1a b +=r r 即可求得P 点的轨
迹方程.将c a b λμ=+r r r
变形,结合21λμ+=及平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线.由圆切线的性质
可知||c r
的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值,且当PE 与圆M 相切时,m 有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值. 【详解】
根据题意,||2,b =r
设()(),,2,0OP a x y OB b ====u u u r r u u u r r ,(),1,0OC c E =u u u r r
则2
b OE =
r u u u r
由1a b +=r r
代入可得
()
2
221x y ++=
即P 点的轨迹方程为()
2
22
1x y ++=
又因为c a b λμ=+r r r ,变形可得22b c a λμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
r
r r ,即2OC OP OE λμ=+uuu
r uuu r uuu r ,且21λμ+=
所以由平面向量基本定理可知,,P C E 三点共线,如下图所示:
所以||c r
的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值
根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时,m 有最大值 设切线PE 的方程为()1y k x =-,化简可得kx y k 0--=
由切线性质及点M 2
211
k k k --=+,化简可得281k =
即24
k =±
所以切线方程为
22044x y --=或22044
x y +-= 所以当a r
变化时, O 到直线PE 的最大值为()2
224
13214m -
=
=
⎛⎫+± ⎪⎝⎭
即m 的最大值为13
故选:B 【点睛】
本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题. 10．已知集合{
}2
(,)|A x y y x ==，{}
2
2(,)|1B x y x
y =+=，则A B I 的真子集个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】C 【解析】 【分析】
求出A B I 的元素，再确定其真子集个数． 【详解】
由2
22
1y x x y ⎧=⎨+=⎩
，解得12x y ⎧⎪=⎪⎨⎪=⎪⎩
或12x y ⎧⎪=⎪⎨⎪
=⎪⎩
，∴A B I 中有两个元素，因此它的真子集有3个． 故选：C. 【点睛】
本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合,A B 都是曲线上的点集．
11．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x ，y 进行回归分析，设u= lny ，v=(x-4)2，利用最小
二乘法，得到线性回归方程为ˆu
=-0.5v+2，则变量y 的最大值的估计值是（ ） A ．e B ．e 2
C ．ln2
D ．2ln2
【答案】B 【解析】 【分析】
将u= lny ，v=(x-4)2代入线性回归方程ˆu
=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值. 【详解】
解：将u= lny ，v=(x -4)2代入线性回归方程ˆu
=-0.5v+2得： ()2
ln 0.542y x =--+，即()
2
0.542
x y e --+=，
当4x =时，()2
0.542x --+取到最大值2，
因为x y e =在R 上单调递增，则()2
0.542
x y e --+=取到最大值2e .
故选：B. 【点睛】
本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,.
12．已知a =1b e -=，3ln 2
8
c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>
C ．b c a >>
D ．b a c >>
【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数()ln x
f x x
=，利用导数求得()f x 的单调区间，由此判断出,,a b c 的大小关系. 【详解】
依题意，得ln 33a ==
，1
ln e b e e -==，3ln 2ln888c ==.令ln ()x f x x
=，所以21ln '()x f x x -=
.所以函数()f x 在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减.所以max 1
[()]()f x f e b e
==
=，且(3)(8)f f >，即a c >，所以b a c >>.故选：D.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查化归与转化的数学思想方法，考查对数式比较大小，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知无盖的圆柱形桶的容积是12π立方米，用来做桶底和侧面的材料每平方米的价格分别为30元和20元，那么圆桶造价最低为________元. 【答案】360π 【解析】 【分析】
设桶的底面半径为r ，用r 表示出桶的总造价，利用基本不等式得出最小值. 【详解】
设桶的底面半径为r ，高为h ，则212r h ππ=， 故2
12h r =
， ∴圆通的造价为22
2124803020230y r r r r r
ππππ=⋅+⋅⋅
=+ 解法一：
22
2124803020230y r r r r r
ππππ=⋅+⋅⋅
=+
224024030360r r r ππππ=+
+≥= 当且仅当2
24030r r
π
π=
，即2r =时取等号. 解法二：2
48030y r r ππ=+，则2
48060y r r ππ'=-， 令0y '>，即2480600r r π
π->，解得2r >，此函数在()2,+∞单调递增； 令0y '<，即2480600r r π
π-<，解得02r <<，此函数在()0,2上单调递减； 令0y '=，即2
480600r r
π
π-=，解得2r =， 即当2r =时，圆桶的造价最低. 所以2
min 4803023602
y π
ππ=⨯+= 故答案为：360π 【点睛】
本题考查了基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
14．已知双曲线()22
22:1,0x y C a b a b
-=>的左右焦点为12,F F ，过2F 作x 轴的垂线与C 相交于,A B 两点，
1F B 与y 轴相交于D .若1AD F B ⊥，则双曲线C 的离心率为_________.
【解析】 【分析】
由已知可得212=b AF AB a =，结合双曲线的定义可知2
122b AF AF a a
-==，结合222c a b =+ ，从而
可求出离心率. 【详解】
解：1
22,//FO F O OD F B =Q ,1DF DB ∴=，又1AD BF ⊥Q ，则122AF AB AF ==. 2
2b AF a
=Q ，212=b AF AB a ∴=，2122b AF AF a a ∴-==，即22222b a c a ==-
解得c =，即e =
故答案为: 【点睛】
本题考查了双曲线的定义，考查了双曲线的性质.本题的关键是根据几何关系，分析出2
2b AF a
=.关于圆锥曲线的问题，一般如果能结合几何性质，可大大减少计算量.
15．已知椭圆2
212x y +=与双曲线22
221x y a b
-=（0a >,0b >）有相同的焦点,其左、右焦点分别为1F 、2F ,
若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P ,且112F P F F =,则双曲线的离心率为__________．
【答案】22
+ 【解析】 【分析】
先根据椭圆2
212
x y +=得出焦距,结合椭圆的定义求出12,F P PF ,结合双曲线的定义求出双曲线的实半轴,最
后利用离心率的公式求出离心率即可. 【详解】
解: 因为椭圆2
212
x y +=,则焦点为()()121,0,1,0F F -, 又因为椭圆2
212x y +=与双曲线22
221x y a b
-=（0a >,0b >）有相同的焦点,
椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P ,且112F P F F =, 在椭圆中: 1211222,2F F c PF F F ====
由椭圆的定义: 2122PF a PF =-=
在双曲线中: ()
12224PF PF -=-=-
所以双曲线的实轴长为: 4-实半轴为2-
则双曲线的离心率为: 2
2e =
=.
故答案为:
22
+
【点睛】
本题主要考查椭圆与双曲线的定义,考查离心率的求解,利用定义解决综合问题.
16．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，11a =，且(2)n n n S a a t =+，*n N ∈，则10S =________． 【答案】55 【解析】 【分析】 【详解】
由题可得111122()S a a t a =+=，解得1t =，所以(21)n n n S a a =+，12n S +=111()n n a a +++， 上述两式相减可得1111222()1()1n n n n n n n S S a a a a a ++++-==+-+，即111())0(n n n n a a a a +++--=， 因为0n a >，所以110n n a a +--=，即11n n a a +-=， 所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以10109
1011552
S ⨯=⨯+
⨯=． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos ,
1sin x t y t =+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为02πθαα⎛
⎫=<< ⎪⎝⎭
，直线l 交曲线C 于,A B 两
点，P 为AB 中点.
（1）求曲线C 的直角坐标方程和点P 的轨迹2C 的极坐标方程； （2）若||||3AB OP ⋅=，求α的值.
【答案】（1）22
(1)(1)1x y -+-=，042ππρθθ⎛⎫⎛⎫=
-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
；（2）512π
α=或12πα=
【解析】 【分析】
（1）根据曲线C 的参数方程消去参数t ，可得曲线C 的直角坐标方程，再由OC =
cos OP OC POC =∠，可得点P 的轨迹2C 的极坐标方程；
（2）将曲线C 极坐标方程求，与直线l 极坐标方程联立，消去θ，得到关于ρ的二次方程，由ρ的几何
意义可求出AB ，而（1）可知4OP πα⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，然后列方程可求出α的值.
【详解】
（1）曲线C 的直角坐标方程为2
2
(1)(1)1x y -+-=，
圆C 的圆心为,C OC =，设(,)P ρθ，所以4
POC π
θ∠=-
，
则由cos OP OC POC =∠，即042ππρθθ⎛
⎫⎛⎫=
-<< ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭为点P 轨迹2C 的极坐标方程.
（2）曲线C 的极坐标方程为2
cos 104πρθ⎛⎫
--
+= ⎪⎝
⎭
，
将:02l πθαα⎛⎫
=<<
⎪⎝
⎭与曲线C 的极坐标方程联立得，2
cos 104πρα⎛⎫
--
+= ⎪⎝
⎭
， 设()()12,,,02A B πραραα⎛⎫
<<
⎪⎝
⎭
，
所以12AB ρρ=
-==
4OP πα⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
由||||AB OP ⋅=，即4πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，
令cos 142m m πα⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
…，上述方程可化为4216830m m --=，解得2m =.
由cos ,42444
ππππ
αα⎛
⎫
-
=-<-< ⎪⎝
⎭，所以46ππα-=±，即512πα=或12πα=.
【点睛】
此题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用极坐标求点的轨迹方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.
18．每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”，以交通业为例，当天气太冷时，不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位：℃)与网上预约出租车订单数(单位：份)； 日平均气温（℃） 6 4 2 2-
5-
网上预约订单数
100
135
150
185
210
（1）经数据分析，一天内平均气温C x 。

与该出租车公司网约订单数y （份）成线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程，并预测日平均气温为7C -︒时,该出租车公司的网约订单数；
（2）天气预报未来5天有3天日平均气温不高于5C -︒，若把这5天的预测数据当成真实的数据，根据表格数据，则从这5天中任意选取2天，求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.
附：回归直线ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：1
1
2
2
1
1
2
()()ˆˆˆ,()
n n
i i
i
i
i i n
n
i i
i
i x x y y x y nx y
b
a
y bx x x x
nx ====---⋅==
=---∑∑∑∑ 【答案】（1）ˆ9.5165.5y x =-+，232；（2）
35
【解析】 【分析】
(1) 根据公式代入求解；
(2) 先列出基本事件空间Ω，再列出要求的事件，最后求概率即可. 【详解】
解：（1）由表格可求出5
5
21
1
1,156,
20,5780,85n n i i
i i i x y x y
x y x =======⋅==∑∑代入公式求出9.5b
=-$，
所以$165.5a
y bx =-=$，所以ˆ9.5165.5y x =-+ 当7x =-时，ˆ(9.5)(7)165.5232y
=-⨯-+=. 所以可预测日平均气温为7C -︒时该出租车公司的网约订单数约为232份.
（2）记这5天中气温不高于5C -︒的三天分别为,,A B C ，另外两天分别记为,D E ，则在这5天中任意选取2天有,,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE ，共10个基本事件，其中恰有1天网约订单数不低于210份的有, , , , , AD AE BD BE CD CE ，共6个基本事件， 所以所求概率63105
P ==，即恰有1天网约订单数不低于20份的概率为3
5.
【点睛】
考查线性回归系数的求法以及古典概型求概率的方法，中档题.
19．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为x t y t
=⎧⎨=⎩(t 为参数)，直线l 与曲线:C ()2
211
x y -+=交于A B 、两点. (1)求AB 的长；
(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P 的极坐标为34π⎛
⎫
⎪⎝⎭
，求点P 到线段AB 中点M 的距离.
【答案】（1 ;（2. 【解析】 【分析】
（1）将直线的参数方程化为直角坐标方程，由点到直线距离公式可求得圆心到直线距离，结合垂径定理即可求得AB 的长；
（2）将P 的极坐标化为直角坐标，将直线方程与圆的方程联立，求得直线与圆的两个交点坐标，由中点坐标公式求得M 的坐标，再根据两点间距离公式即可求得PM . 【详解】
（1）直线l 的参数方程为x t
y t =⎧⎨=⎩
(t 为参数)， 化为直角坐标方程为y x =，即0x y -= 直线l 与曲线:C ()2
211x y -+=交于A B 、两点.
则圆心坐标为()
1,0，半径为1，
则由点到直线距离公式可知d=
所以2
AB=.
（2）点P
的极坐标为
3
4
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，化为直角坐标可得()
2,2
-，
直线l的方程与曲线C的方程联立()22
11
y x
x y
=
⎧⎪
⎨
-+=
⎪⎩
，化简可得20
x x
-=，
解得0,1
x x
==，所以A B
、两点坐标为()()
001,1
，、，
所以
11
,
22
M
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，
由两点间距离公式可得PM==
【点睛】
本题考查了参数方程与普通方程转化，极坐标与直角坐标的转化，点到直线距离公式应用，两点间距离公式的应用，直线与圆交点坐标求法，属于基础题.
20．设a R
∈，函数21
()(1)
x
f x x e a x
-
=--.
（1）当1
a=时，求()
f x在
3
(,2)
4
内的极值；
（2）设函数1
()()(1)x
g x f x a x e-
=+--，当()
g x有两个极值点
1212
,()
x x x x
<时，总有211
()()
x g x f x
λ
≤'，求实数λ的值.
【答案】（1）极大值是(1)1
f=，无极小值；（2）
2
1
e
e
λ=
+
【解析】
【分析】
（1）当1
a=时，可求得
21
1
(2)
()
x
x
x x e
f x
e
-
-
--
'=，令21
()(2)x
h x x x e-
=--，利用导数可判断()
h x的单调性并得其零点，从而可得原函数的极值点及极大值；
（2）表示出()
g x，并求得21
()(2)x
g x x x a e-
'=-++，由题意，得方程220
x x a
-++=有两个不同的实根1x，212
()
x x x
<，从而可得△440
a
=+>及122
x x
+=，由
12
x x
<，得
1
1
<
x．则
211
()()
x g x f x
λ'
„可化为11
11
1
[2(1)]0
x x
x e e
λ
--
-+„对任意的1(,1)
x∈-∞恒成立，按照
1
x=、
1
(0,1)
x∈、
1
(,0)
x-∞
∈三种情况分类讨论，分离参数λ后转化为求函数的最值可解决；
【详解】
（1）当1a =时，21
1
(2)()x x x x e f x e ----'=
. 令2
1
()2x h x x x e
-=--，则1
()22x h x x e
-=--'，显然()h x '
在上3(,2)4
单调递减，
又因为
31()042h =-<'，故3(,2)4x ∈时，总有()0h x '<，所以()h x 在3(,2)4
上单调递减. 由于(1)0h =，所以当3
(,1)4
x ∈时，()0h x >；当(1,2)x ∈时，()0h x <. 当x 变化时，()()f x f x '、的变化情况如下表：
所以()f x 在(,2)4
上的极大值是(1)1f =，无极小值. （2）由于2
1()()x
g x x a e
-=-，则21()(2)x g x x x a e -'=-++.由题意，方程220x x a -++=有两个不等实根
12,x x ，则440a ∆=+>，解得1a >-，且2112
221220202x x a x x a x x ⎧-++=⎪-++=⎨⎪+=⎩
，又12x x <，所以11<x .
由211()()x g x f x λ≤'，2
1()(2)x
f x x x e
a -=--'，可得1111222111()[(2)]x x x x a e x x e a λ---≤--
又221112,2x x a x x =-=-.将其代入上式得：111122
1111112(2)[(2)(2)]x x x x e x x e x x λ---≤-+-.
整理得1
1111[2(1)]0x x x e
e λ---+≤，即111111[2(1)]0,(,1)x x x e e x λ---+≤∀∈-∞
当10x =时，不等式11111[2(1)]0x x
x e e λ---+≤恒成立，即R λ∈.
当1(0,1)x ∈时，1
1
112(1)0x x e
e
λ---+≤恒成立，即111121x x e e λ--≥+，令1
1
112()1
x x e k x e --=+，易证()k x 是R 上
的减函数.因此，当(0,1)x ∈时，2()(0)1e k x k e <=+，故21
e
e λ≥
+. 当1(,0)x -∞∈时，1
1
112(1)0x x e
e
λ---+≥恒成立，即1
1
1121
x x e e λ--≤+，
因此，当(,0)x ∈-∞时，2()(0)1e k x k e >=+所以21
e
e λ≤
+. 综上所述，21
e
e λ=+. 【点睛】
本题考查利用导数求函数的最值、研究函数的极值等知识，考查分类讨论思想、转化思想，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，该题综合性强，难度大，对能力要求较高．
21．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的两个焦点是1F ，2F
，)
M
在椭圆C 上，且
124MF MF +=，O 为坐标原点，直线l 与直线OM 平行，且与椭圆交于A ，B 两点.连接MA 、MB 与x
轴交于点D ，E .
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）求证：OD OE +u u u r u u u r
为定值.
【答案】（1）22
142
x y +=（2）证明见解析
【解析】 【分析】
（1）根据椭圆的定义可得2a =，将M 代入椭圆方程，即可求得b 的值，求得椭圆方程；
（2）设直线AB 的方程，代入椭圆方程，求得直线MA 和MB 的方程，求得D 和E 的横坐标，表示出
OD OE +u u u r u u u r ，根据韦达定理即可求证OD OE +u u u r u u u r
为定值.
【详解】
（1）因为124MF MF +=，由椭圆的定义得24a =，2a =，
点)
M
在椭圆C 上，代入椭圆方程，解得22b =，
所以C 的方程为22142
x y +=；
（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB
，设直线l
的方程为y x t =+，
联立方程组22
214
2y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y
，整理得2220x t ++-=，
所以12x x +=，2
122x x t =-，
直线MA
的直线方程为1y x -=
-，令0y =
，则1D x =+
同理221
E x x y =-
+-
所以：2
2
1
O
x
OE
y
D=+
-
+
u u u r u u u
r
12
12
11
x x
y y
⎛--
+
-
⎝
=
-⎭
=
=，
代入整理得OD OE
+=
u u u r u u u r
所以OD OE
+
u u u r u u u r
为定值.
【点睛】
本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，属于中档题. 22．已知函数()tan sin2202
f x x a x x x
π
⎛⎫
=+-≤<
⎪
⎝⎭
．
（1）若0
a=，求函数()
f x的单调区间；
（2）若()0
f x≥恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）增区间为,
42
ππ
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，减区间为0,
4
π
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭；（2）1,
2
π⎡⎫
-+∞⎪
⎢⎣⎭.
【解析】
【分析】
（1）将0
a=代入函数()
y f x
=的解析式，利用导数可得出函数()
y f x
=的单调区间；
（2）求函数()
y f x
=的导数，分类讨论a的范围，利用导数分析函数()
y f x
=的单调性，求出函数()
y f x
=的最值可判断()0
f x≥是否恒成立，可得实数a的取值范围．
【详解】
（1）当0
a=时，()
sin
tan220
cos2
x
f x x x x x
x
π
⎛⎫
=-=-≤<
⎪
⎝⎭
，
则()
222
2222
cos sin112cos cos2
22
cos cos cos cos
x x x x
f x
x x x x
+-
'=-=-==-，
当0
4
x
π
≤<时，cos20
x>，则()0
f x
'<，此时，函数()
y f x
=为减函数；
当42x π
π
<<时，cos20x <，则()0f x '>，此时，函数()y f x =为增函数.
所以，函数()y f x =的增区间为,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间为0,4π⎡⎫⎪⎢⎣⎭
； （2）()tan sin 2202f x x a x x x π⎛⎫=+-≤< ⎪⎝
⎭，则()00f =， ()()222112cos 2222cos 12cos cos f x a x a x x x
'=+-=+--()()()2242222cos 12cos 14cos 22cos 1cos cos x a x a x a x x x
---++==. ①当21a ≤时，即当12a ≤
时，22cos 10a x -≤， 由()0f x '≥，得42x π
π
≤<，此时，函数()y f x =为增函数；
由()0f x '≤，得04x π
≤≤，此时，函数()y f x =为减函数.
则()()min 004f x f f π⎛⎫=<= ⎪⎝⎭
，不合乎题意； ②当21a >时，即12
a >时， (
)f x '=.
不妨设0cos x =00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，令()0f x '=，则4x π=或0x . （i ）当1a >时，04x π>
， 当04x π≤<
时，()0f x '>，此时，函数()y f x =为增函数； 当04x x π
<<时，()0f x '<，此时，函数()y f x =为减函数； 当02x x π
<<时，()0f x '>，此时，函数()y f x =为增函数.
此时()()(){}0min min 0,f x f f x =，
而()()
()2000000000tan sin 22tan 12cos 22tan f x x a x x x a x x x x =+-=+-=-， 构造函数()tan g x x x =-，02x π
<<，则()2211tan 0cos g x x x
'=-=>， 所以，函数()tan g x x x =-在区间0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，则()()00g x g >=，
即当0,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，tan x x >，所以，()()0002tan 0f x x x =->. ()()min 00f x f ∴==，符合题意；
②当1a =时，()0f x '≥，函数()y f x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭
上为增函数， ()()min 00f x f ∴==，符合题意； ③当112a <<时，同理可得函数()y f x =在[)00,x 上单调递增，在0,4x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，
此时()()min min 0,4f x f f π⎧
⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，则1042f a ππ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，解得112a π-≤<. 综上所述，实数a 的取值范围是1,2π⎡⎫-+∞⎪⎢
⎣⎭
. 【点睛】 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导和分类讨论是关键，属于难题.
23．已知函数()()2ln 1sin 1f x x x =+++，函数()1ln g x ax b x =--（,,0a b ab ∈≠R ）. （1）讨论()g x 的单调性；
（2）证明：当0x ≥时，()31f x x ≤+.
（3）证明：当1x >-时，()()2sin 22e x f x x x <++.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出()g x 的定义域，导函数，对参数a 、b 分类讨论得到答案.
（2）设函数()()()31h x f x x =-+，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.
（3）由（1）可知1ln x x ≥+，可得()()22
sin sin 1e 1ln 1e x x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦，即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥又()()2
2sin sin 22e 1e x x x x x ++>+即可得证. 【详解】
（1）解：()g x 的定义域为()0,∞+，()a g x x b x
'=-，
当0a >，0b <时，()0g x '>，则()g x 在()0,∞+上单调递增；
当0a >，0b >时，令()0g x '>，得b x a >，令()0g x '<，得0b x a <<，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增； 当0a <，0b >时，()0g x '<，则()g x 在()0,∞+上单调递减；
当0a <，0b <时，令()0g x '>，得0b x a <<，令()0g x '<，得b x a >，则()g x 在0,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,b a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减； （2）证明：设函数()()()31h x f x x =-+，则()2cos 31
x x h x '=+-+. 因为0x ≥，所以(]20,21
x ∈+，[]cos 1,1x ∈-， 则()0h x '≤，从而()h x 在[)0,+∞上单调递减，
所以()()()()3100h x f x x h =-+≤=，即()31f x x ≤+.
（3）证明：当1a b ==时，()1ln g x x x =--.
由（1）知，()()min 10g x g ==，所以()1ln 0g x x x =--≥，
即1ln x x ≥+.
当1x >-时，()210x +>，()2
sin 1e 0x x +>，
则()()22sin sin 1e 1ln 1e x x x x ⎡⎤++≥+⎣⎦， 即()()2sin 1e 2ln 1sin 1x x x x ++++≥，
又()()2
2sin sin 22e 1e x x x x x ++>+， 所以()()2sin 22e 2ln 1sin 1x x x x x ++>+++，
即()()2sin 22e x f x x x <++.
【点睛】
本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.。