九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系1.5三角函数的应用同步练习新版北师大版
新九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1-6利用三角函数测高同步练习新版北师大版
新九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1-6利用三角函数测高同步练习新版北师大版(七)[第一章 6 利用三角函数测高]一、选择题1．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图K－7－1，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平线)，测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为( )链接听课例1归纳总结图K－7－1A.11－sinα米 B.11＋sinα米C.11－cosα米 D.11＋cosα米2．如图K－7－2，为了测量电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB为链接听课例2归纳总结( )图K－7－2A．50 3米 B．51米C．(50 3＋1)米 D．101米3．如图K－7－3，斜坡AB的坡度为1∶2.4，长度为52米，在坡顶B所在的平台上有一座高楼FH，已知在A处测得楼顶F的仰角为60°，在B处测得楼顶F的仰角为77°，则高楼FH的高度是(结果精确到1米，参考数据：sin77°≈0.97，tan77°≈4.33，3≈1.73)( )图K－7－3A．125米 B．105米C．85米 D．65米4．2017·深圳如图K－7－4，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°.已知斜坡CD的长度为20 m，DE的长度为10 m，则树AB的高度是( )A．20 3 m B．30 mC．30 3 m D．40 m图K－7－45．如图K－7－5，在两建筑物之间有一旗杆GE，高15米，从点A经过旗杆顶端恰好看到矮建筑物的墙脚点C，且俯角α为60°，又从点A测得点D的俯角β为30°，若旗杆底G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为()图K－7－5A．20米 B．10 3米C．15 3米 D．5 6米二、填空题6．如图K－7－6，小亮在太阳光线与地面成35°角时，测得树AB在地面上的影长BC＝18 m，则树高AB约为________m．(结果精确到0.1 m)图K－7－67．如图K－7－7(示意图)，某学校组织学生到首钢西十冬奥广场开展综合实践活动，数学小组的同学们在距奥组委办公楼(原首钢老厂区的筒仓)20 m的点B处，用高为0.8 m 的测角仪测得筒仓顶点C的仰角为63°，则筒仓CD的高约为________m．(结果精确到0.1 m，sin63°≈0.89，cos63°≈0.45，tan63°≈1.96)链接听课例1归纳总结图K－7－78．如图K－7－8，两建筑物的水平距离BC为18 m，从点A测得点D的俯角α为30°，测得点C的俯角β为60°.则建筑物CD的高度为________m(结果不作近似计算)．图K－7－8三、解答题9．2017·黄冈在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图K －7－9所示)，已知标语牌的高AB＝5 m，在地面的点E处，测得标语牌上点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌上点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图K－7－910．2017·莱芜如图K－7－10，某学校教学楼(甲楼)的顶部E和大门A之间挂了一些彩旗．小颖测得大门A距甲楼的距离AB是31 m，在A处测得甲楼顶部E处的仰角是31°.(1)求甲楼的高度及彩旗的长度；(2)若小颖在甲楼楼底C处测得学校后面医院楼(乙楼)楼顶G处的仰角为40°，爬到甲楼楼顶F处测得乙楼楼顶G处的仰角为19°，求乙楼的高度及甲、乙两楼之间的距离．(结果均精确到0.01 m，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos19°≈0.95，tan19°≈0.34，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)链接听课例2归纳总结11．学习“利用三角函数测高”后，某综合实践活动小组实地测量了凤凰山与中心广场的相对高度AB，其测量步骤如下：(1)如图K－7－11，在中心广场测点C处安置测倾器，测得此时山顶A的仰角∠AFH＝30°；(2)在测点C与山脚B之间的D处安置测倾器(C，D与B在同一直线上，且C，D之间的距离可以直接测得)，测得此时山顶上红军亭顶部E的仰角∠EGH＝45°；(3)测得测倾器的高度CF＝DG＝1.5米，并测得C，D之间的距离为288米．已知红军亭的高度为12米，请根据测量数据求出凤凰山与中心广场的相对高度AB(3取1.732，结果保留整数)．图K－7－11如图K－7－12，A，B是两幢地平面高度相等、隔岸相望的建筑物．由于建筑物密集，在A的周围没有开阔地带，为了测量B楼的高度只能利用A楼的空间，A的各层楼都可到达，且能看见B.现有的测量工具为皮尺和测角器(皮尺可用于测量长度，测角器可以测量仰角、俯角或两视线间的夹角)．(1)请你设计一个测量B楼高度的方法，要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示)，并画出测量图形；(2)用你测量的数据(用字母表示)写出计算B楼高度的表达式．图K－7－12详解详析【课时作业】 [课堂达标] 1．[答案] A2．[解析] C 设AG ＝x 米，在Rt △AEG 中， ∵tan ∠AEG ＝AG EG，∴EG ＝AG3＝33x 米． 在Rt △ACG 中，∵tan ∠ACG ＝AG CG ，∴CG ＝x tan30°＝3x 米，∴3x －33x ＝100，解得x ＝50 3，则AB ＝(50 3＋1)米，故选C.3．[解析] B 如图，延长FH 交AC 于点.由题意知BG ⊥AC ，BH ⊥FH ，FE ⊥AC ，∴四边形BGEH 是矩形，∴BH ＝GE ，BG ＝HE .∵BG ∶AG ＝1∶2.4，∴设BG ＝x 米，AG ＝2.4x 米(x ＞0)．在Rt △ABG 中，∵AB ＝52米，由勾股定理可得BG 2＋AG 2＝AB 2，即x 2＋(2.4x )2＝522，解得x ＝20，则BG ＝20米，AG ＝48米．在Rt △BHF 中，∵∠HBF ＝77°，∴tan77°＝FH BH，∴FH ＝BH tan77°. 在Rt △AEF 中，∵∠EAF ＝60°，∴EF ＝3AE ，∴3(48＋BH )＝20＋BH tan77°， 解得BH ≈24.25，∴FH ＝BH tan77°≈105米．故选B.4．[解析] B 先根据CD ＝20 m ，DE ＝10 m 得出∠DCE ＝30°，故可得出∠DCB ＝90°，再由∠BDF ＝30°可知∠DBF ＝60°，由DF ∥AE 可得出∠BGF ＝∠BCA ＝60°，故∠GBF ＝30°，所以∠DBC ＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．5．[解析] A 如图，延长CD 交点A 所在的水平线于点F ，如图．由题意，知GE ∥AB∥CD ，BC ＝2GC ，GE ＝15米，∴AB ＝2GE ＝30米．∵AF ＝BC ＝AB tan ∠ACB ＝303＝10 3(米)，DF ＝AF ·tan30°＝10 3×33＝10(米)，∴CD ＝AB －DF ＝30－10＝20(米)． 6．[答案] 12.6 7．[答案] 40.0[解析] 过点A 作AE ⊥CD 于点E . ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴四边形ABDE 是矩形，∴AE ＝BD ＝20 m ，DE ＝AB ＝0.8 m. 在Rt △ACE 中，∠CAE ＝63°，∴CE ＝AE ·tan63°≈20×1.96＝39.2(m)， ∴CD ＝CE ＋DE ≈39.2＋0.8＝40.0(m)， 即筒仓CD 的高约为40.0 m.8．[答案] 12 3[解析] 过点D 作DE ⊥AB 于点E ，则四边形BCDE 是矩形．根据题意，得∠ACB ＝β＝60°，∠ADE ＝α＝30°，BC ＝18 m ，∴DE ＝BC ＝18 m ，CD ＝BE .在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan∠ACB ＝18×tan60°＝18 3(m)． 在Rt △ADE 中，AE ＝DE ·tan∠ADE ＝18×tan30°＝6 3(m)，∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝18 3－6 3＝12 3(m)．9．[解析] 如图，过点F 作FH ⊥AE 于点H .由题意可知∠HAF ＝∠HFA ＝45°，推出AH ＝HF .设AH ＝HF ＝x m ，则EF ＝2x m ，EH ＝3x m ，在Rt △AEB 中，由∠E ＝30°，AB ＝5 m ，推出AE ＝2AB ＝10 m ，可得x ＋3x ＝10，解方程即可．解：如图，过点F 作FH ⊥AE 于点H .由题意可知∠HAF ＝∠HFA ＝45°，∴AH ＝HF .设AH ＝HF ＝x m ，则EF ＝2x m ，EH ＝3x m. 在Rt △AEB 中，∵∠E ＝30°，AB ＝5 m ， ∴AE ＝2AB ＝10 m ，∴x ＋3x ＝10，解得x ＝5 3－5，∴EF ＝2x ＝10 3－10≈7.3(m)． 答：点E 与点F 之间的距离约为7.3 m.10．解：(1)在Rt △ABE 中，BE ＝AB ·tan31°＝31×tan31°≈31×0.60＝18.60(m)，AE ＝ABcos31°＝31cos31°≈310.86≈36.05(m)，故甲楼的高度约为18.60 m ，彩旗的长度约为36.05 m. (2)过点F 作FM ⊥GD ，交GD 于点M ， 在Rt △GMF 中，GM ＝FM ·tan19°. 在Rt △GDC 中，GD ＝CD ·tan40°.设甲、乙两楼之间的距离为x m ，则FM ＝CD ＝x m. 根据题意，得x tan40°－x tan19°＝18.60，解得x ＝37.20.乙楼的高度GD ＝CD tan40°≈37.20×0.84≈31.25(m)，故乙楼的高度约为31.25 m ，甲、乙两楼之间的距离约为37.20 m.11．解：设AH ＝x 米，在∵∠EGH ＝45°，∴GH ＝EH ＝AE ＋AH ＝(x ＋12)米． ∵GF ＝CD ＝288米，∴HF ＝GH ＋GF ＝x ＋12＋288＝(x ＋300)米． 在Rt △AHF 中，∵∠AFH ＝30°， ∴AH ＝HF ·tan∠AFH ，即x ＝(x ＋300)·33， 解得x ＝150(3＋1)．∴AB ＝AH ＋BH ＝150(3＋1)＋1.5≈409.8＋1.5≈411(米)． 答：凤凰山与中心广场的相对高度AB 大约是411米． [素养提升][解析] 本题是一道开放性试题，解题方法很多，表达式也是多种多样的．测角器可以测得仰角和俯角，皮尺可以测得A 楼的高度，通过解直角三角形可得B 楼的高度．解：(1)答案不唯一．如图，设AC 表示A 楼，BD 表示B 楼．测量步骤如下：①用测角器在A 楼的顶端点A 测量B 楼楼底的俯角α； ②用测角器在点A 测量B 楼楼顶的仰角β；③用皮尺从A 楼楼顶放下，测量点A 到地面的高度为a . (2)在Rt △ACD 中，CD ＝atan ∠ADC ＝atan α.在Rt △AEB 中，BE ＝AE ·tan β. ∵AE ＝CD ，∴BE ＝a tan βtan α，∴B 楼的高度BD ＝BE ＋ED ＝BE ＋AC ＝a tan βtan α＋a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan βtan α.。
九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系1.5三角函数的应用同步练习新版北师大版
1.5三角函数的应用一、夯实基础1．（2016•泰安）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin°=0.3746，sin44°=0.6947）（）A．.48 B．41.68 C．43.16 D．55.632.如图,一枚运载火箭从地面O处发射,当火箭到达A点时,从地面C处的雷达站测得AC的距离是6km,仰角是43,1s后,火箭到达B点,此时测得BC的距离是6.13km,仰角为45.54,这枚火箭从A点到B点的平均速度是多少?(精确到0.01km s)3．如图所示，一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶鱼群，自A处经半小时到达B处，在A处看见小岛C在船的北偏东60°的方向上，在B处看见小岛C在船的北偏东30°的方向上，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，则这艘船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能?4.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点A，B相距3米,探测线与地面的夹角分别是30和60(如图),试确定生命所在点C的深度. (结果精确到0.1米,参考数据:2 1.41≈,3 1.73≈)二、能力提升5．如图所示，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B 处，经16小时到达，到达后立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A处向北偏西60°的AC方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响：(1) B处是否会受到台风的影响?清说明理由；(2)为避免卸货过程受到台风影响，船上人员应在多少小时内卸完货物?(精确到0.1小时，3≈1.732)6．如图l—64所示，MN表示某引水工程的一段设计路线，从点M到点N的走向为北偏西30°，在点M的北偏西60°方向上有一点A，以点A为圆心，以500米为半径的圆形区域为居民区，取MN上另一点B，测得BA的方向为北偏西75°．已知MB=400米，若不改变方向，则输水路线是否会穿过居民区?(参考数据：3≈1.732)三、课外拓展7．如图所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经C地沿折线A—C—B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10 km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米?(结果精确到0.1 km,参考2≈1.413≈1.73)8.气象台发布的卫星云图显示,代号为W的台风在某海岛(设为点O)的南偏东45方向的B点生成,测得6.台风中心从点B以40km h的速度向正北方向移动，OB km经5h后到达海面上的点C处.因受气旋影响,台风中心从点C开始以30km h的速度向北偏西60方向继续移动.以O为原点建立如图所示的直角坐标系．(1)台风中心生成点B的坐标为 ,台风中心转折点C的坐标为；(结果保留根号)(2)已知距台风中心20km范围内均会受到台风侵袭.如果某城市(设为点A)位于点O的正北方向且处于台风中心的移动路线上,那么台风从生成到最初．．侵袭该城要经过多长时间？四、中考链接1．（2016•金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（）A．米2B．米2C．（4）米2D．（44tanθ）米22.（2016·云南省昆明市）如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE，在小楼的顶端D处测得障碍物边缘点C的俯角为30°，测得大楼顶端A的仰角为45°（点B，C，E在同一水平直线上已知AB=80m，DE=10m，求障碍物B，C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：≈1.414，≈1.732）3.（2016海南）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=4米，坡角∠DCE=30°，小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A、C、E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；（2）求大楼AB的高度（结果保留根号）答案1.解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，MN=30×2=60（海里∵∠MNC=90°，∠CPN=46°， ∴∠MNP=∠MNC∠CPN=136°， ∵∠BMP=68°，∴∠PMN=90°﹣∠BMP=°，∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=°， ∴∠PMN=∠MPN， ∴MN=PN=60（海里 ∵∠P=46°， ∴∠PNA=44°，∴PA=PN•sin∠PNA=60×0.6947≈41.68（海里） 故选：B ．2. 解:在Rt BCO ∆中,sin OB BCO BC ∠=∴sin 6.13sin 45.54 4.375OB BC BCO =⋅∠=⨯≈ 在Rt ACO ∆中,sin OA ACO AC∠=∴sin 6sin 43 4.092OA AC ACO =⋅∠=⨯≈ ∴ 4.375 4.0920.28AB OB OA =-=-≈答:这枚火箭从A 点到B 点的平均速度是0.28km s . 3．提示：不会进入危险区． 4. 解:过C 作CD AB ⊥于点D∵探测线与地面的夹角为30和60∴30CAD ∠=,60CBD ∠=在Rt ACD ∆中,tan CD CAD AD∠=∴3tan tan 30CD CD AD CD CAD ===∠ 在Rt BCD ∆中,tan CD CBD BD∠=∴33tan60CD BD CD ==又∵3AD BD AB -==∴3333CD CD -= 解得333 1.73 2.622CD ⨯==≈∴生命所在点C 的深度约为2.6米．5．解：(1)如图1—66所示，过B 作BD ⊥AC 于D ，在Rt △ABD 中，BD=12AB ＝160海里＜200海里，所以B 处会受到台风的影响． (2)以B 为圆心，200海里为半径画圆交AC 于E ，F 两点，连接BE ，BF ．由(1)可知BD ＝160海里，又BE ＝200海里，则DE=120海里，所以AE ＝(1603－120)海里．设卸货时间为t ，则t ＝160312040-≈3.9(小时)，所以在3.9小时内卸完货才不会受台风影响．6．解：如图1—67所示，过A 作AP ⊥MN 于点P ，由题意可知∠ABP=∠PAB=45°，因为MB ＝400米，所以MP －BP=MB ＝400米，所以AP ．1tan 30－AP ·1tan 45=400，即3AP －AP=400，31)≈546.4米＞500米，所以输水路线不会穿过居民区．7．解：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △CDA 中，∠A ＝30°，AC ＝10km ，∴CD ＝12AC ＝5 km ，AD ＝ACcos 30°＝53km ．在Rt △BDC 中，∠B=45°，∴BD ＝CD=5km ，BC=sin 45CD =＝52km ，∴AB ＝AD ＋BD=(53＋5)km ，∴AC ＋BC －AB ＝10＋52－(53＋5)＝5＋52－53≈5＋5×1.4l －5×1.73＝3.4(km)．即隧道开通后，汽车从A 地到B 地比原来少走约3.4 km ．8. 解(1) (1003,1003)- :(1003,2001003)- (2)过点C 作CD OA ⊥于点D ,则1003CD =,30ACD ∠= 在Rt ACD ∆中,cos CD ACD AC ∠=∴1003200cos cos 30CD AC ACD ===∠ ∵20020630-=,6511+=∴台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．中考链接：1.解：在Rt△ABC 中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米 ∴ACBC=44tanθ（米∴地毯的面积至少需要1×（44tanθ）=4tanθ（米2）；故选：D．2.分析如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．通过解直角△AFD得到DF的长度；通过解直角△DCE得到CE的长度，则BC=BE﹣CE．解：如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CH⊥DF于点H．则DE=BF=CH=10m，在直角△ADF中，∵AF=80m﹣10m=70m，∠ADF=45°，∴DF=AF=70m．在直角△CDE中，∵DE=10m，∠DCE=30°，∴C E===10（m∴BC=BE﹣CE=70﹣10≈70﹣17.32≈52.7（m）．答：障碍物B，C两点间的距离约为52.7m．3.分析（1）在直角三角形DCE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长即可；（2）过D作DF垂直于AB，交AB于点F，可得出三角形BDF为等腰直角三角形，设BF=DF=x，表示出BC，BD，DC，由题意得到三角形BCD为直角三角形，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．解答解：（1）在Rt△DCE中，DC=4米，∠DCE=30°，∠DEC=90°，∴DE=DC=2米；（2）过D作DF⊥AB，交AB于点F，∵∠BFD=90°，∠BDF=45°，∴∠BFD=45°，即△BFD为等腰直角三角形，设BF=DF=x米，∵四边形DEAF为矩形，∴AF=DE=2米，即AB=（x2）米，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，∴BC====米，BD=BF=x米，DC=4米，∵∠DCE=30°，∠ACB=60°，∴∠DCB=90°，在Rt△BCD中，根据勾股定理得：2x2=16，解得：x=4或x=4﹣，则AB=（6）米或（6﹣）米．。
精品试卷北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步训练试卷(含答案详细解析)
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，建筑工地划出了三角形安全区ABC ，一人从A 点出发，沿北偏东53°方向走50m 到达C 点，另一人从B 点出发沿北偏西53°方向走100m 到达C 点，则点A 与点B 相距（ ）4tan 533≈︒⎛⎫ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．130m2、某山坡坡面的坡度i =100米，小刚上升了（ ）A ．B ．50米C ． D3、如图，在33⨯的网格中，A ，B 均为格点，以点A 为圆心，AB 的长为半径作弧，图中的点C 是该弧与格线的交点，则tan BAC ∠的值是（ ）A ．12B ．255C ．53D ．234、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC =BC ＝1，以下正确的是（ ）A ．1cos 2A =B ．sin A =C ．tan A =D ．cos B =5、将一矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上的F 处，若:4:5AB BC =，则cos AFE ∠的值为（ ）A ．54 B ．35 C ．34 D ．456、如图，为测量小明家所住楼房AB 的楼高，小明从楼底A 出发先沿水平方向向左行走到达点C ，再沿坡度1:2.4i =的斜坡行走104米到达点D ，在D 处小明测得楼底点A 处的俯角为14︒，楼顶最高处B 的仰角为22︒，AB 所在的直线垂直于地面，点A 、B 、C 、D 在同一平面内，则AB 的高度约为（ ）米．（参考数据：sin140.24︒≈，cos140.97︒≈，tan140.25︒≈，sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈）A ．104B ．106C ．108D ．1107、如图，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则cos ∠ACB 的值为（ ）A ．12BCD 8、在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，点A 、B 、C 均在格点上，则cos B 的值为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．249、如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 边的中点，连接CD ，若4BC =，3CD =，则sin DCB ∠的值为（ ）A ．23 B C D 10、如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，E 为AB 的中点，将ADE 沿DE 翻折得到FDE ，延长EF 交BC 于G ，FH ⊥BC ，垂足为H ，连接BF 、DG ．以下结论：①BF ∥ED ；②DFG ≌DCG ；③FHB ∽EAD ；④tan∠GEB ＝43；其中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）102sin 45π︒-=______．2、计算：sin30°－tan45°＝____________．3、矩形ABCD 中，E 为边AB 上一点，将ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上，连接AF 交DE 于点N ，连接BN ．若3AD =，13BF BC =．（1）矩形ABCD 的面积为________；（2）sin BNF ∠的值为_________．4、如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在DC 边上，且2CE DE =，连接AE 交BD 于点G ，过点D 作DF AE ⊥，连接OF 并延长，交DC 于点P ，过点O 作⊥OQ OP 分别交AE 、AD 于点N 、H ，交BA 的延长线于点Q ，现给出下列结论：①45AFO ∠=︒；②2N P O D H H =⋅；③Q OAD ∠=∠；④OG DG =．其中正确的结论有________（填入正确的序号）．5、如图，在A 处测得点P 在北偏东60°方向上，在B 处测得点P 在北偏东30°方向上，若AP ＝6A ，B 两点的距离为 _____千米．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：020*******( 3.14)60(2)()2π︒---⋅ 2、（1）计算：2sin60tan60︒+︒（2）解方程：()2190x --=3、在平行四边形ABCD 中，E 为AB 上一点，连接CE ，F 为CE 上一点，且∠DFE=∠A ．（1）求证：△DCF ∽△CEB ；（2）若BC=4，CE=CDF=12，求线段BE 的长．4、计算：112cos302-⎛⎫︒ ⎪⎝⎭． 5、如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，与BD 交O 一点，直线EF 过点O 分别交直线AB ，CD ，BC 于E ，F ，H ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）若OC 2＝HC •BC ，OC ：BH ＝sin∠BAC ；（3）在△AOF 中，若AF ＝8，AO ＝OF ＝ABCD 的面积．-参考答案-一、单选题1、B【分析】设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CF⊥AD，CE∥AD，BE∥AG，则∠GAC＝∠ACF＝∠EBC＝∠BCF＝53°，在Rt△ACF和Rt△BCE中，根据正切三角函数的定义得到AF FC＝CEEB＝43，结合勾股定理可求得AF＝40，CF＝DE＝30，FD＝CE＝80，BE＝60，在Rt△ABD中，根据勾股定理即可求得AB．【详解】解：如图，设经过A点的东西方向线与经过B点的南北方向线相交于点D，过C作CF⊥AD，CE∥AD，BE∥AG，∴∠CEB＝90°，∠GAC＝∠ACF＝∠EBC＝∠BCF＝53°，AC＝50，BC＝100，四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF，DF＝CE，在Rt△ACF中，tan∠ACF＝AFFC＝tan53°，在Rt△BCE中，tan∠EBC＝CEBE＝tan53°，∵tan53°≈43，∴AFFC＝CEEB＝43，∴AF＝43CF，CE＝43BE，在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2，∴CF2+（43CF）2＝502，解得CF＝DE＝30，AF＝43×30＝40，在Rt△BCE中，BE2+CE2＝BC2，∴BE2+（43BE）2＝1002，解得BE＝60，CE＝DF＝43×60＝80，∴AD＝AF+DF＝120，BD＝BE﹣DE＝30，在Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，∴AB故选：B．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．2、B【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设小刚上升了x 米．根据勾股定理可得：)222100x +=． 解得50x =．即此时该小车离水平面的垂直高度为50米．故选：B ．【点睛】考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题和勾股定理，熟悉且会灵活应用公式：坡度=垂直高度÷水平宽度是解题的关键．3、B【分析】利用CD AB ∥，得到∠BAC =∠DCA ，根据同圆的半径相等，AC =AB =3，再利用勾股定理求解,CD 可得tan ∠ACD =AD CD =. 【详解】解：如图， ∵CD AB ∥，∴∠BAC =∠DCA ．∵同圆的半径相等， ∴AC =AB =3，而2,AD = 225,CDAC AD在Rt △ACD 中，tan ∠ACD =AD CD∴tan ∠BAC =tan ∠ACD ． 故选B ．【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，利用图形的性质进行角的等量代换是解本题的关键．4、C【分析】根据勾股定理求出AB ，三角函数的定义求相应锐角三角函数值即可判断．【详解】解：∵在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC =BC ＝1，根据勾股定理AB 2==，∴cos A =AC AB =A 不正确； sin A ＝12BC AB =，选项B 不正确；tan A ＝BC AC =C 正确； cos B ＝12BC AB =，选项D 不正确． 故选：C ．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，勾股定理，掌握锐角三角函数定义是解题的关键．5、D【分析】由∠AFE ＋∠CFD ＝90°得cos sin CD AFE CFD CF∠=∠=，根据折叠的定义可以得到CB ＝CF ，则CD AB CF BC=，即可求出cos AFE ∠的值，继而可得出答案． 【详解】∵∠AFE ＋∠CFD ＝90°， ∴cos sin CD AFE CFD CF∠=∠=， 由折叠可知，CB ＝CF ，矩形ABCD 中，AB ＝CD ，4cos 5CD AB AFE CF BC ∠===． 故选：D ．【点睛】本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CB ＝CF ．6、A【分析】根据题意作DE AB ⊥交于E ，延长AC ，作DF CF ⊥交于F ，由坡度的定义求出DF 的长，得AE 的长，再解直角三角形求出DE 、BE 的长，即可解决问题．【详解】解：如图，作DE AB ⊥交于E ，延长AC ，作DF CF ⊥交于F ，∵斜坡CD 的坡度为i =1：2.4，CD =104米，∴DF =AE =40（米），CF =96（米），∵14EDA ︒∠=, ∴40tan tan140.25AE EDA DE DE︒∠===≈， ∴160DE =（米），∵22EDB ︒∠=, ∴tan tan 220.4160BE BE EDB DE ︒∠===≈， ∴64BE =（米），∴4064104AB AE BD =+=+=（米）.故选：A.【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，正确作出辅助线，构造直角三角形是解答此题的关键．7、D【分析】根据图形得出AD 的长，进而利用三角函数解答即可．【详解】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∴DC =1，AD =3，∴AC∴cos ∠ACB =DC AC == 故选：D ．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握勾股定理逆定理及余弦函数的定义．8、B【分析】如图所示，过点A 作AD 垂直BC 的延长线于点D 得出△ABD 为等腰直角三角形，再根据45°角的余弦值即可得出答案．【详解】解：如图所示，过点A 作AD ⊥BC 交BC 延长线于点D ，∵AD =BD =4，∠ADB =90°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴∠B =45°∴cos B =故选B ．【点睛】本题主要考查了求特殊角三角函数值，解题的关键在于根据根据题意构造直角三角形求解．9、D【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边一半求出AB ，再根据三角函数的意义，可求出答案．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 为AB 边的中点，∴AD ＝BD ＝CD ＝12AB ，∴DCB B ∠=∠,又∵CD ＝3，∴AB ＝6，AC =∴sin DCB ∠＝sin B ＝AC AB == 故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形的性质和三角函数，理解直角三角形的边角关系是得出正确答案的前提．10、A【分析】根据正方形的性质以及折叠的性质依次对各个选项进行判断即可．【详解】解：∵正方形ABCD中，AB=6，E为AB的中点∴AD=DC=BC=AB=6，AE=BE=3，∠A=∠C=∠ABC=90°∵△ADE沿DE翻折得到△FDE∴∠AED=∠FED，AD=FD=6，AE=EF=3，∠A=∠DFE=90°，∴BE=EF=3，∠DFG=∠C=90°，∴∠EBF=∠EFB，∵∠AED+∠FED=∠EBF+∠EFB，∴∠DEF=∠EFB，∴BF∥ED，故结论①正确；∵AD=DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，DG=DG，∴Rt△DFG≌Rt△DCG，∴结论②正确；∵FH⊥BC，∠ABC=90°∴AB∥FH，∠FHB=∠A=90°∵∠EBF=∠BFH=∠AED，∴△FHB∽△EAD，∴结论③正确；∵Rt△DFG≌Rt△DCG，∴FG=CG，设FG=CG=x，则BG=6-x，EG=3+x，在Rt△BEG中，由勾股定理得：32+（6-x）2=（3+x）2，解得：x=2，∴BG=4，∴t an∠GEB=43 BGBE，故结论④正确．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数，综合性较强．二、填空题1、【分析】先算化简二次根式，三角函数值和0次幂，再利合并同类二次根式即可得出答案．【详解】解：原式＝21⨯-，2＝1，＝1．故答案为：．【点睛】本题考查的是实数的运算，二次根式化简，特殊三角函数值，零指数幂，比较简单，需要熟练掌握实数的运算，二次根式化简，特殊三角函数值，零指数幂是解题关键．2、-12【分析】根据解特殊角的三角函数值即可解答．【详解】，tan45°=1，解：∵sin30°=12原式＝12-1＝-12．故答案为：-12．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，有理数减法，解题的关键是牢记这些特殊三角函数值．3、【分析】（1）矩形ABCD 中，由折叠可得DF =AD =3，在Rt CDF 中，用勾股定理求得CD ABCD 的面积；（2）由折叠可得AF DE ⊥，AE EF =，矩形ABCD 中，90ABF ∠=︒，B E N F 、、、四点共圆，故BNF BEF ∠=∠，设AE EF x ==，在Rt BEF △中，由勾股定理得： x =sin BNF ∠的值. 【详解】（1）矩形ABCD 中，3AD =，13BF BC =，∴3BC AD ==，113BF AD ==，2CF BC BF =-=，90C ∠=︒， 由折叠可得DF =AD =3，在Rt CDF 中，CD =∴矩形ABCD 的面积=3AD CD ⋅=故答案为：（2）将ADE 沿DE 折叠，使点A 的对应点F 恰好落在边BC 上，∴AF DE ⊥，AE EF =，矩形ABCD 中，90ABF ∠=︒，B E N F ∴、、、四点共圆，BNF BEF ∴∠=∠，设AE EF x ==，则BE AB AE x =-=，在Rt BEF △中，由勾股定理得：222BE BF EF +=，即222)1x x +=，解得x =∴sin BNF ∠=sin BF BEF EF ∠==【点睛】 本题考查了勾股定理、矩形的性质、锐角三角函数等知识，掌握相应的定理是解答此题的关键.4、①②④【分析】①由“ASA ”可证△ANO ≌△DFO ，可得ON =OF ，由等腰三角形的性质可求∠AFO =45°；④由外角的性质可求∠NAO =∠AQO ．②由“AAS ”可证△OKG ≌△DFG ，可得GO =DG ；③通过证明△AHN ∽△OHA ，可得，进而可得结论DP 2=NH •OH ．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴AO =DO =CO =BO ，AC ⊥BD ，∵∠AOD =∠NOF =90°，∴∠AON =∠DOF ，∵∠OAD +∠ADO =90°=∠OAF +∠DAF +∠ADO ，∵DF ⊥AE ，∴∠DAF +∠ADF =90°=∠DAF +∠ADO +∠ODF ，∴∠OAF =∠ODF ，∴△ANO ≌△DFO （ASA ），∴ON =OF ，∴∠AFO =45°，故①正确；如图，过点O 作OK ⊥AE 于K ，∵CE =2DE ，∴AD =3DE ，∴tan ∠DAE =1=3DE DF AD AF ， ∴AF =3DF ，∵△ANO ≌△DFO ，∴AN =DF ，∴NF =2DF ，∵ON =OF ，∠NOF =90°，∴OK =KN =KF =12FN ，∴DF =OK ，又∵∠OGK =∠DGF ，∠OKG =∠DFG =90°，∴△OKG ≌△DFG （AAS ），∴GO =DG ，故④正确；∵∠DAO =∠ODC =45°，OA =OD ，∠AOH =∠DOP ，∴△AOH ≌ODOP （ASA ），∴AH =DP ，∠ANH =∠FNO =45°=∠HAO ，∠AHN =∠AHO ，∴△AHN ∽△OHA ，∴=AH HN HO AH ， ∴AH 2=HO •HN ，∴DP 2=NH •OH ，故②正确；∵∠NAO +∠AON =∠ANQ =45°，∠AQO +∠AON =∠BAO =45°，∴∠NAO =∠AQO ，即Q OAG∠=∠故③错误．综上，正确的是①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题是四边形综合题，查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．5、6【分析】证明AB＝PB，在Rt△PAC中，求出PC＝Rt△PBC中，解直角三角形可求出PB的长，则可得出答案．【详解】解：由题意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°，∴∠PAB＝∠APB，∴AB＝PB，在Rt△PAC中，∵AP＝∴PC＝12PA＝在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝PC PB，∴PB6千米．∴AB＝6千米．故答案为：6．【点睛】本题考查了解直角三角形应用题，方向角：指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．注意在描述方向角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度.当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三、解答题1、7【分析】根据01(0a a =≠），立方根的求法，特殊三角函数的值，积的乘方，计算即可得答案．【详解】解：020*******-3.14tan 60(2)()2π︒--（）=()2020112222⎡⎤+-+-⨯⨯-⎢⎥⎣⎦（）（）=1-2+6-（-2）=7【点睛】本题考查了二次根式、零指数幂、特殊三角函数的值、积的乘方的相关计算，做题的关键是掌握相关法则，特别积的乘方的逆运算，认真计算．2、（1）（2）14x =，22x =-【分析】（1）根据特殊角的三角函数值分别进行计算，再把所得的结果合并即可；（2）运用直接开平方法即可得出答案．【详解】解：（1）2sin60tan60︒+︒2==（2）()2190x --= ()219x -=()13x -=±∴14x =，22x =-【点睛】此题考查了解一元二次方程和特殊角的三角函数值，灵活运用解方程的方法是解答本题的关键．3、（1）证明见解析（2）【分析】（1）由平行四边形的性质有AB//CD ，AD//BC ，可得∠DFE=∠A ，∠DFC=∠B ，故△DCF ∽△CEB ．（2）过点E 作EH ⊥CB 交CB 延长线于点H ，由题意可设EH=x ，CH=2x ，由勾股定理即可得EH=3，CH=6，再由勾股定理即可求得（1）证明：在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AD//BC∴∠DCE=∠BEC ，∠A+∠B=180°∵∠DFE+∠DFC=180°又∵∠DFE=∠A∴∠DFC=∠B∴△DCF ∽△CEB（2）∵△DCF ∽△CEB∴∠CDF=∠ECB∴tan∠CDF= tan∠ECB=12过点E 作EH ⊥CB 交CB 延长线于点H在Rt △CEH 中1tan 2EH ECB CH =∠= ∴设EH=x ，CH=2x∴=∵=∴x=3，则有EH=3，CH=6∵BC=4∴BH=6-4=2在Rt △EBH 中有则【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质解直角三角形以及勾股定理，第二问作辅助线将三角函数值转化到直角三角形中是解题的关键．4、2【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值、二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】解：原式22=- 2=． 【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．5、（1）证明见解析；（2（3）80． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得,OB OD AB CD =，再根据平行线的性质可得,OBE ODF OEB OFD ∠=∠∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据菱形的判定证出平行四边形ABCD 是菱形，再根据菱形的性质可得,AC BD AB BC ⊥=，然后设(0),(0)BH x x CH y y =>=>，从而可得,OC AB BC x y ===+，代入2OC HC BC =⋅解一元二次方程可得9y x =，由此可得10,AB x OB ==，最后在Rt AOB 中，利用正弦三角函数的定义即可得；（3）先根据平行四边形的判定证出四边形AECF 是平行四边形，再根据矩形的判定证出平行四边形AECF 是矩形，根据矩形的性质可得90AFC ∠=︒，然后利用勾股定理可得16CF =，设(0)AD CD a a ==>，从而可得16DF a =-，在Rt ADF 中，利用勾股定理可得10a =，最后利用平行四边形的面积公式即可得．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，,,AB CD OB OD AB CD ∴==，,OBE ODF OEB OFD ∴∠=∠∠=∠，在BOE △和DOF △中，OBE ODF OEB OFD OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BOE DOF AAS ∴≅；（2）AB CD ∥，BAC ACD ∴∠=∠， AC 平分BAD ∠，BAC DAC ∴∠=∠，ACD DAC ∴∠=∠，AD CD ∴=，∴平行四边形ABCD 是菱形，,AC BD AB BC ∴⊥=，:OC BH =∴设(0),(0)BH x x CH y y =>=>可得,OC AB BC x y ===+，由2OC HC BC =⋅得：2)()y x y =+，解得9y x =或100y x =-<（不符题意，舍去），10,AB x OB ∴==，在Rt AOB 中，sin OB BAC AB ∠== （3）由（1）已证：BOE DOF ≅△△，,BE DF OE OF ∴==，AB CD =，AB BE CD DF ∴+=+，即AE CF =，又AB CD ∥，即AE CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，AO OF ==AO OF OE OC ∴====AC EF ∴==∴平行四边形AECF 是矩形，90AFC ∴∠=︒，16CF ∴=，设(0)AD CD a a ==>，则16DF a =-，在Rt ADF 中，222AF DF AD +=，即2228(16)a a +-=，解得10a =，即10CD =，则平行四边形ABCD 的面积为10880CD AF ⋅=⨯=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、一元二次方程的应用、正弦三角函数等知识点，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．。
北师大版初三数学9年级下册 第1章 1.5三角函数的应用 解答题专题训练 (含答案)
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》解答题专题训练（附答案）1．如图是矗立在公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据AM＝4米，AB＝8米，∠MBC＝30°，∠MAD＝45°，则警示牌的高CD为多少米？（结果精确到米，参考数据：≈1.41，≈1.73）2．如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i＝：2．若新坡角下留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）3．我国南水北调中线工程的起点是丹江水库，按照工程计划，需对原水库大坝进行混凝土培厚加高，使坝高由原来的162米增加到176.6米，以抬高蓄水位．如图是某一段坝体加高工程的截面示意图，其中原坝体的高为BE，背水坡坡角∠BAE＝68°，新坝体的高为DE，背水坡CD的坡度为：1．求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC．（结果精确到0.1米．参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50，≈1.73）．4．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A 离地面BD的高度AH为3.5米．当起重臂AC长度为8米，张角∠HAC为118°时，求操作平台C离地面的高度（结果保留小数点后一位）【参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53】5．某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由45°调为30°，如图，已知原滑滑板AB的长为4米，点D，B，C在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）6．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．（1）求楼间距AB；（2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）7．如图，宿豫区某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高3米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有30米的距离（B、F、C在一条直线上）．（1）求教学楼AB的高度；（2）若要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离．（结果精确到1m）（参考数据：sin22°，cos22°≈，tan22°≈）8．如图，某市为方便行人过马路，打算修建一座高为4x（m）的过街天桥．已知天桥的斜面坡度i＝1：0.75是指坡面的铅直高度DE（CF）与水平宽度AE（BF）的比，其中DC∥AB，CD＝8x（m）．（1）请求出天桥总长和马路宽度AB的比；（2）若某人从A地出发，横过马路直行（A→E→F→B）到达B地，平均速度是2.5m/s；返回时从天桥由BC→CD→DA到达A地，平均速度是1.5m/s，结果比去时多用了12.8s，请求出马路宽度AB的长．9．缆车，不仅提高了景点接待游客的能力，而且解决了登山困难者的难题．如图，当缆车经过点A到达点B时，它走过了700米．由B到达山顶D时，它又走过了700米．已知线路AB与水平线的夹角α为16°，线路BD与水平线的夹角β为20°，点A的海拔是126米．求山顶D的海拔高度（画出设计图，写出解题思路即可）．10．如图所示是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D、C、G、K在同一直线上）．小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应当前进或后退多少？（sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1）11．一扇窗户如图1所示，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，如图2是图1中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，支点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D在一条直线上，延长DE交MN于点F．已知AC＝DE ＝20cm，AE＝CD＝10cm，BD＝40cm．（1）当∠CAB＝35°时，求窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数．（2）当窗扇关闭时，图中点E，A，D，C，B都在滑轨MN上，求此时点A与点B之间的距离．（3）在（2）的前提下，将窗户推开至四边形ACDE为矩形时，求点A处的滑块移动的距离．12．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC的长为0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB＝75°，点A、H、F在同一条直线上，支架AH段的长为1米，HF段的长为1.50米，篮板底部支架HE的长为0.75米．（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数．（2）求篮板顶端F到地面的距离．（结果精确到0.1米；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）13．为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米（即CD＝2米），背水坡DE的坡度i＝1：1（即DB：EB＝1：1，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2）14．如图，一辆摩托单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于底面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）15．停车难已成为合肥城市病之一，主要表现在居住停车位不足，停车资源结构性失衡，中心城区供需差距大等等．如图是张老师的车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）16．自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选．如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为66cm，车座B到地面的距离BE为90cm，中轴轴心C到地面的距离CF为33cm，车架中立管BC的长为60cm，后轮切地面L于点D．（参考数据：sin72≈0.95，cos18°≈0.95，tan43.5°≈0.9 5）（1）求∠ACB的大小（精确到1°）（2）如果希望车座B到地面的距离B'E′为96.8cm，车架中立管BC拉长的长度BB′应是多少？（结果取整数）17．为营造“安全出行”的良好交通氛围，实时监控道路交通，某市交管部门在路口安装的高清摄像头如图所示，立杆MA与地面AB垂直，斜拉杆CD与AM交于点C，横杆DE∥AB，摄像头EF⊥DE于点E，AC＝5.5米，CD＝3米，EF＝0.4米，∠CDE＝162°．（1）求∠MCD的度数；（2）求摄像头下端点F到地面AB的距离．（精确到百分位）（参考数据；sin72°＝0.95，cos72°≈0.31，tan72°＝3.08，sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）18．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．）19．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为2米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈20．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．（1）求灯杆CD的高度；（2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）21．如图，在某校图书馆门前一段笔直的内部道路AB上，过往车辆限速3米/秒在点B的正上方距其7米高的C处有一个探测仪．一辆轿车从点A匀速向点B行驶5秒后此轿车到达D点，探测仪测得∠CAB＝18°，∠CDB＝45°，求AD之间的距离，并判断此轿车是否超速，（结果精确到0.01米）【参考数据：sin l8°＝0.309，cos l8°＝0.951，tan l8°＝0.325】22．如图1是儿童写字支架示意图，由一面黑板，一面白板和一块固定支架的托盘组成，图2是它的一个左侧截面图，该支架是个轴对称图形，∠BAC是可以转动的角，B，C、D，E和F，G是支架腰上的三对对称点，是用来卡住托盘以固定支架的．已知AB＝AC＝60cm，BD＝CE＝DF＝EG＝10cm．（1）当托盘固定在BC处时，∠BAC＝32°，求托盘BC的长；（精确到0.1）（2）当托盘固定在DE处时，这是儿童看支架的最佳角度，求此时∠BAC的度数．（参考数据：sin32°＝0.53，cos32°＝0.85，sin16°＝0.28，sin20°＝0.34，sin25°＝0.42．）23．如图是在写字台上放置一本摊开的数学书和一个折叠式台灯时的截面示意图，已知摊开的数学书AB长20cm，台灯上半节DE长40cm，下半节DC长50cm．当台灯灯泡E恰好在数学书AB的中点O的正上方时，台灯上、下半节的夹角即∠EDC＝120°，下半节DC与写字台FG的夹角即∠DCG＝75°，求BC的长．（书的厚度和台灯底座的宽度、高度都忽略不计，F、A、O、B、C、G在同一条直线上．参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41，结果精确到0.1）24．如图，一架梯子底端放在一处斜坡上，顶端靠在墙上，已知梯子与坡面的夹角α＝75°，斜坡CD与地面的夹角β＝30°，BC＝1米，CD＝2米，求梯子顶端到地面的距离AB．25．据城市速递报道，我市一辆高为2.5米的客车，卡在快速路引桥上高为2.55米的限高杆的上端，已知引桥的坡角∠ABC为14°，请结合示意图，用你学过的知识通过数据说明客车不能通过的原因．【参考数据：sin14°＝0.24，cos14°＝0.97，tan14°＝0.25】26．如图是菏泽银座地下停车场入口的设计图，请根据图中数据计算CE的长度．（结果精确到0.01m，参考数据：sin22°≈0.3746，cos22°≈0.9272，tan22°≈0.4040）27．如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在A处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成30°角，线段AA1表示小红身高1.5米．（1）当风筝的水平距离AC＝18米时，求此时风筝线AD的长度；（2）当她从点A跑动9米到达点B处时，风筝线与水平线构成45°角，此时风筝到达点E处，风筝的水平移动距离CF＝10米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度C1D．参考答案1．解：在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，∴DM＝AM⋅tan45°＝4（m），在Rt△BMC中，∠MBC＝30°，∴CM＝BM⋅tan30°，∵BM＝AM+AB＝4+8＝12（m），∴CM＝12×≈6.92（m），∴CD＝CM﹣DM＝6.92﹣4≈3（米），答：警示牌的高CD为3米．2．解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10，∵坡面DC的坡度为i＝：2，∴tan∠CDB＝，在Rt△BCD中，＝，∴BD＝×10＝14.14，∵10+10﹣14.14＝5.86＞3，∴离原坡角（A点处）10米的建筑物不需要拆除．3．解：在Rt△BAE中，tan∠BAE＝，即＝2.5，解得，AE＝64.8，在Rt△DCE中，tan∠DCE＝，即＝，解得，CE＝102.08，AC＝CE﹣AE＝102.08﹣64.8≈37.3（米），答：工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC约为37.3米．4．解：作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图2，易得四边形AHEF为矩形，∴EF＝AH＝3.5m，∠HAF＝90°，∴∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝118°﹣90°＝28°，在Rt△ACF中，∵sin∠CAF＝，∴CF＝8sin28°＝8×0.47＝3.76，∴CE＝CF+EF＝3.76+3.5≈7.3（m），答：操作平台C离地面的高度为7.3m．5．解答：在Rt△ABC中，AC＝AB•sin45°＝4×＝2，∵∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝2，在Rt△ADC中，AD＝2AC＝4，AD﹣AB＝4﹣4≈1.66．答：改善后滑板会加长1.66米．6．解：（1）过点C作CE⊥PB，垂足为E，过点D作DF⊥PB，垂足为F，则∠CEP＝∠PFD＝90°，由题意可知：设AB＝x，在Rt△PCE中，tan32.3°＝，∴PE＝x•tan32.3°，同理可得：在Rt△PDF中，tan55.7°＝，∴PF＝x•tan55.7°，由PF﹣PE＝EF＝CD＝42，可得x•tan55.7°﹣x•tan32.3°＝42，解得：x＝50∴楼间距AB＝50m，（2）由（1）可得：PE＝50•tan32.3°＝31.5m，∴CA＝EB＝90﹣31.5＝58.5m由于2号楼每层3米，可知点C位于20层．7．解：（1）过点EE作EM⊥AB于点M，设AB＝x，在Rt△ABF中，∵∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝x，∴BC＝BF+FC＝x+30，在Rt△AEM中，∵∠AEM＝22°，AM＝AB﹣CE＝x﹣3，，∴，解得x＝25，∴办公楼AB的高度为25m．（2）在Rt△AEM中，∵，∴＝≈59m，答：A，E之间的距离约为59m．8．解：（1）∵DE⊥AB，CF⊥AB，∴∠DEF＝∠CFE＝90°，∴DE∥CF，∵DC∥AB，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝DC＝8x，∵＝＝，∴EA＝BF＝3x，∴AD＝BC＝5x，∴AB＝AE+EF+BF＝14x，∴天桥总长和马路宽度AB的比＝18x：14x＝9：7．（2）由（1）可知，AB＝14x，AD+CD+BC＝18x，由题意：＝﹣12.8，解得x＝2，∴14x＝28，答：马路宽度AB的长为28m，9．解：如图，作DH⊥水平线于H，AG⊥水平线于G，BE⊥DH于E，AC⊥DH于F．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠α＝16°，AB＝700，由sinα＝，可求BC的长．即BC＝AB•sinα＝700sin16°，在Rt△BDE中，∠DBE＝90°，∠β＝16°，BD＝AB＝700，由sinβ，可求DE的长．即DE＝BD•sinβ＝700sin20°，由矩形性质，可知EF＝BC＝700sin16°，FH＝AG＝126．从而，可求得DH的长．即DH＝DE+EF+FH＝700sin20°+700sin16°+126．10．解：过点F作FH⊥DK于H，过点E作EL⊥FH于L，在Rt△FGH中，cos∠FGH＝．∴GH＝GF•cos∠FGH＝100×0.17＝17，在Rt△EFL中，∠EFL＝180°﹣125°﹣10°＝45°，EF＝166﹣100＝66cm，∴EL＝≈46.5cm，DH＝DC+CG+GH＝48+15+17＝80，∴小强的头距墙：80﹣46.5＝33.5，而洗漱盆的中心距墙48÷2＝24，小强应该向前移动：33.5﹣24≈9.5（cm）．11．解：（1）∵AC＝DE＝20cm，AE＝CD＝10cm，∴四边形DEAC是平行四边形，∴DF∥AC，∴∠DFB＝∠CAB＝35°．（2）由题意AB＝AC+BC＝20+30＝50（cm），（3）当四边形DEAC是矩形时，AB＝＝10（cm），∴点A处的滑块移动的距离＝（50﹣10）cm．12．解：（1）由题意可得：cos∠FHE＝＝，则∠FHE＝60°；（2）延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，在Rt△ABC中，tan∠ACB＝，∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，∴GM＝AB＝2.2392，在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝，∴sin60°＝＝，∴FG≈2.17（m），∴FM＝FG+GM≈4.4（米），答：篮板顶端F到地面的距离是4.4米．13．解：设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠CAB＝180°﹣∠EAC＝50°，AB＝≈＝＝x，在Rt△EBD中，∵i＝DB：EB＝1：1，∴BD＝BE，∴CD+BC＝AE+AB，即2+x＝4+x，解得x＝12，即BC＝12，答：水坝原来的高度为12米．14．解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CH cot68°＝0.4x，由AB＝49 知x+0.4x＝49，解得：x＝35，∵BE＝4，∴EF＝BE sin68°＝3.72，则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3.72≈66.7（cm），答：点E到地面的距离约为66.7cm．15．过点A作OB的垂线AC，垂足是C，在Rt△ACO，AO＝1.2，∠AOC＝40°∵sin40°＝，∴AE＝OA sin40°≈0.64×1.2＝0.768＜0.8，∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，∴车门不会碰到墙．16．解：（1）∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l∴AD∥CF∥HE，∵AD＝33cm，CF＝33cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝33cm，∵BE＝90cm，∴BH＝57cm，在Rt△HCB中，sin∠BCH＝＝＝＝0.95，∴∠ACB＝72°．（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得＝．即＝，∴B'C＝67cm．故BB'＝B'C﹣BC＝67﹣60＝7（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是7cm．17．（1）如图，延长ED，AM交于点P，∵DE∥AB，MA⊥AB∴EP⊥MA，即∠MPD＝90°∵∠CDE＝162°∴∠MCD＝162°﹣90°＝72°；（2）如图，在Rt△PCD中，CD＝3米，∠MCD＝72°，∴PC＝CD•cos∠MCD＝3×cos72°≈3×0.31＝﹣0.93米∵AC＝5.5米，EF＝0.4米，∴PC+AC﹣EF＝0.93+5.5﹣0.4＝6.03米答：摄像头下端点F到地面AB的距离为6.03米．18．解：（1）如图所示：过点D作DF∥AB，过点D作DN⊥AB于点N，EF⊥AB于点M，由题意可得，四边形DNMF是矩形，则∠NDF＝90°，∵∠A＝60°，∠AND＝90°，∴∠ADN＝30°，∴∠EDF＝135°﹣90°﹣30°＝15°，即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；（2）如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∴∠ABC＝30°，则AC＝AB＝8cm，∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，∴DN＝AD•cos30°≈41.76cm，则FM＝41.76cm，∵灯管DE长为15cm，∴sin15°＝＝＝0.26，解得：EF＝3.9，故台灯的高为：3.9+41.76≈45.7（cm）．19．解：（1）过B作BF⊥AD于F．在Rt△ABF中，∵sin∠BAF＝，∴BF＝AB sin∠BAF＝2sin37°≈＝1.2．∴真空管上端B到AD的距离约为1.2米．（2）在Rt△ABF中，∵cos∠BAF＝，∴AF＝AB cos∠BAF＝2cos37°≈1.6，∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，∴四边形BFDC是矩形．∴BF＝CD，BC＝FD，∵EC＝0.5米，∴DE＝CD﹣CE＝0.7米，在Rt△EAD中，∵tan∠EAD＝，∴＝，∴AD＝1.75米，∴BC＝DF＝AD﹣AF＝1.75﹣1.6＝0.15≈0.2∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.2米．20．解：（1）延长DC交AN于H．∵∠DBH＝60°，∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∵∠CBH＝30°，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴BC＝CD＝10（米）．（2）在Rt△BCH中，CH＝BC＝5米，BH＝5≈8.65（米），∴DH＝15（米），在Rt△ADH中，AH＝≈＝20（米），∴AB＝AH﹣BH＝20﹣8.65≈11.4（米）．答：AB的长度约为11.4米．21．解：由题意可得：在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∠CDB＝45°，∴∠DCB＝∠CDB＝45°，∴BC＝BD＝7，在Rt△ABC中，∠BAC＝18°，BC＝7，tan∠BAC＝，∴，∴AD＝21.538﹣7＝14.538≈14.54，14.54÷5≈2.91＜3，答：AD之间的距离约为14.54米，此轿车没有超速．22．解：（1）如图，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝60cm，∴∠CAH＝∠BAC＝16°，∴Rt△ACH中，CH＝sin16°×AC，∴BC＝2CH＝2×sin16°×60≈33.6cm；（2）如图，连接DE，过A作AP⊥DE于P，∵AD＝AE＝60﹣10＝50，∴PE＝DE＝×33.6＝16.8，∠BAC＝2∠CAP，∴Rt△APE中，sin∠PAG＝＝≈0.34，又∵sin20°＝0.34，∴∠PAE＝20°，∴∠BAC＝40°．23．解：如图作DM⊥OE于M，DN⊥FG于N．则四边形DMON是矩形．∴DM∥ON，∴∠DCN＝∠CDM＝75°，∴∠EDM＝120°﹣75°＝45°，∵DE＝40cm，∴EM＝DM＝ON＝20≈28.2（cm），在Rt△DCN中，CN＝CD•cos75°≈13（cm），∵OB＝10，∴BC＝ON﹣OB﹣CN＝28.2﹣10﹣13＝5.2（cm）．24．解：作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F．则四边形DEBF是矩形．在Rt△DCF中，DF＝EB＝CD•sin30°＝1，CF＝CD•cos30°＝，∴DE＝BF＝1+，在Rt△ADE中，∠ADE＝75°﹣30°＝45°，∴AE＝DE＝1+，∴AB＝AE+EB＝2+．25．解：∵DE⊥BC，DF⊥AB，∴∠EDF＝∠ABC＝14°．在Rt△EDF中，∠DFE＝90°，∵cos∠EDF＝，∴DF＝DE•cos∠EDF＝2.55×cos14°≈2.55×0.97≈2.47．∵限高杆顶端到桥面的距离DF为2.47米，小于客车高2.5米，∴客车不能通过限高杆．26．解：由已知有：∠BAE＝22°，∠ABC＝90°，∠CED＝∠AEC＝90°∴∠BCE＝158°，∴∠DCE＝22°，又∵tan∠BAE＝，∴BD＝AB•tan∠BAE，又∵cos∠BAE＝cos∠DCE＝，∴CE＝CD•cos∠BAE＝（BD﹣BC）•cos∠BAE＝（AB•tan∠BAE﹣BC）•cos∠BAE＝（10×0.4040﹣0.5）×0.9272≈3.28（m），答：CE的长度为3.28m．27．解：（1）∵在Rt△ACD中，cos∠CAD＝，AC＝18、∠CAD＝30°，∴AD＝＝＝＝12（米），答：此时风筝线AD的长度为12米；（2）设AF＝x米，则BF＝AB+AF＝9+x（米），在Rt△BEF中，BE＝＝＝18+x（米），由题意知AD＝BE＝18+x（米），∵CF＝10，∴AC＝AF+CF＝10+x，由cos∠CAD＝可得＝，解得：x＝3+2，则AD＝18+（3+2）＝24+2，∴CD＝AD sin∠CAD＝（24+2）×＝12+，则C1D＝CD+C1C＝12++＝+；方法二：设CD＝x，∵∠CAD＝30°，∴BE＝AD＝2CD＝2x，AC＝＝＝x，∵CF＝10，∴AF＝AC﹣CF＝x﹣10，∵AB＝9，∴BF＝AB+AF＝9+x﹣10，∵∠EBF＝45°，∴由cos∠EBF＝可得＝，解得：x＝12+，即CD＝12+，则C1D＝CD+C1C＝12++＝+．答：风筝原来的高度C1D为（+）米。
北师大版初三数学9年级下册 第1章 1.5 三角函数的应用 同步练习卷(含答案)
北师大版数学九年级下册1.5《三角函数的应用》同步练习卷一、选择题1.如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7m，则树高BC为(用含α的代数式表示)（）A.7sinαB.7cosαC.7tanαD.2.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A.sinA的值越大，梯子越陡B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关3.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）A.10海里/小时B.30海里/小时C.20海里/小时D.30海里/小时4.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( )A.10海里B.(10－10)海里C.10海里D.(10－10)海里5.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二踩档与第三踩档的正中间处有一条60 cm长的绑绳EF，tanα=2.5，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是( )A．144 cm B．180 cm C．240 cm D．360 cm6.一座楼梯的示意图如图,BC是铅垂线,CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要（）A.米2B.米2C.（4+）米2D.（4+4tanθ）米27.如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA等于( )A.100sin 35°米B.100sin 55°米C.100tan 35°米D.100tan 55°米8.如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D为底边中点）的长是（）A.5sin36°米B.5cos36°米C.5tan36°米D.10tan36°米9.如图，将一个 Rt△ABC 形状的楔子从木桩的底端点 P 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动.已知楔子斜面的倾斜角为 15°，若楔子沿水平方向前进 6cm（如箭头所示），则木桩上升了（）A.6sin15°cmB.6cos15°cmC.6tan15°cmD.cm10.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA的高度与拉绳PB的长度相等.小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C=α（B′C为水平线），测角仪B′D的高度为1米，则旗杆PA的高度为（）A. B. C. D.二、填空题11.如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计）12.如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，这栋高楼BC的高度为__________米．13.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1:，堤高BC=5米，则坝底AC的长度是米．14.如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔S的最近距离是海里（结果保留根号）．15.如图，为测量某塔AB的高度，在离塔底部10米处目测其塔顶A，仰角为60°，目高1.5米，则求该塔的高度为米.（参考数据：≈1.41，≈1.73）16.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cos∠BAC的值为 .三、解答题17.如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据算出河宽．（精确到0.01米，参考数据≈1.414，≈1.732）18.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°，使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？19.鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D(A、C、D共线)处同时施工．测得∠CAB=30°，AB=4km，∠ABD=105°，求BD的长．20.为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含(300mm)，高度的范围是120mm～150mm(含150mm)．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，∠ACD=65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．(结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423)参考答案1.C2.A3.D4.D5.B6.D7.C；8.C；9.C；10.A11.答案为：137．12.答案为：160．13.答案为：．14.答案为：。
新版北师大初中数学九年级(下册)第一章直角三角形的边角关系练习题【含答案】
北师大版初中数学 九（下） 第一章直角三角形的边角关系 分节练习(带答案)第1节 锐角三角函数1、【基础题】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，tan A ＝125，求AC . ★ 1.1、【基础题】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝54，BC ＝20，求△ABC 的周长和面积. ★ 1.2、【基础题】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A 和cos B 有什么关系？2、【综合Ⅰ】在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，求sin B ，cos B ，tan B . ★2.1【综合Ⅰ】已知∠A 是锐角，cos A ＝53，求sin A 和tan A . 2.2、【综合Ⅰ】在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CD 是中线，BC ＝8，CD ＝5，求sin ∠ACD ，cos ∠ACD 和tan ∠ACD .2.3【综合Ⅰ】如图，点P 是∠α的边OA 上一点，且点P 的坐标为（4，3），则sin α和cos α的值分别是（ ）A. 34，35B. 54，53C. 53，54D. 34，432.4、【综合Ⅲ】如右图，在Rt △ABC 中，∠BCA ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，AD ＝8，BD ＝4，求tan A 的值. ☆第2、3节 30°，45°，60°角的三角函数值 & 三角函数的计算3、【基础题】计算：（1）sin 30°＋cos 45°； （2）2sin 60°＋2cos 60°－tan 45°.3.1、【综合Ⅱ】 化简2)130(tan - ＝ （ ） A. 331- B. 13- C. 133- D. 13-3.2、【综合Ⅱ】 △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 2sin 0B A +=（，则△ABC 是（ ）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形4、【基础题】用计算器求下列锐角的三角函数值（结果保留4个有效数字）（1）sin 72°； （2）cos 36.43°； （3）tan 38° 24＇25＂.4.1、【基础题】如左下图，河岸AD 、BC 互相平行，桥AB 垂直于两岸，桥AB 长12 m ，在C 处看桥两端A 、B ，夹角∠BCA ＝60°，求B 、C 间的距离（结果精确到1 m ）.4.2、【基础题】如右图，AB ＝20 m ，∠CAB ＝50°，∠DAB ＝56°，求避雷针CD 的长度（结果精确到0.01 m ）5、【基础题】根据下列条件利用计算器求∠A 的度数（用度、分、秒表示）.（1）cos A ＝0.6753； （2）sin A ＝0.4553； （3）tan A ＝87.545.1、【基础题】一梯子斜靠在墙上，已知梯长4 m ，梯子位于地面上的一端离墙2.5 m ，求梯子与地面所成的锐角.第4节 解直角三角形6、【基础题】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，根据下列条件求出直角三角形的其他元素. ★（1）5＝a ，25＝c ； （2）34＝c ，∠A ＝60°第5节 三角函数的应用7、【综合Ⅱ】如左下图，小李想测量塔CD 的高度，他在A 处仰望塔顶，测得仰角是30°，再往塔的方向前进50 m至B 处，测得仰角是60°，那么该塔有多高？（小李的身高忽略不计，结果精确到1 m ） ★7.1、【综合Ⅱ】如右上图，为测量某物体AB 的高度，在D 点测得A 点的仰角为30º，朝物体AB 方向前进20米，到达点C ，再次测得A 点的仰角为60º，则物体AB 的高度为（ ） ★B.10米7.2【综合Ⅱ】（2012年陕西数学中考20题）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭A 处测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东65︒方向，然后，他从凉亭A 处沿湖岸向正东方向走了100米到B 处，测得湖心岛上的迎宾槐C 处位于北偏东45︒方向（点A B C 、、在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐C 处与湖岸上的凉亭A 处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：sin 250.4226cos 250.9063tan 250.4663sin 650.9063︒≈︒≈︒≈︒≈，，，，cos 650.4226tan 65 2.1445︒≈︒≈，）8、【综合Ⅱ】如左下图，大楼AD 高30 m ，远处有一塔BC ，某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D 测得塔顶的仰角为30°，求塔高BC 及大楼与塔之间的距离AC （结果精确到0.01 m ）.8.1【基础题】如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两建筑物的高，某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的 高，用自制测角仪在B 处测得D 点的仰角为α，在A 处测得D 点的仰角为β. 已知甲、乙两建筑物之间的 距离BC 为m . 请你通过计算用含α、β、m 的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度.2，则AB的长是_________. ☆9、【综合Ⅲ】如左下图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝39.1、【综合Ⅲ】如右上图，在四边形ABCD中，AD＝30 m，DC＝50 m，CB＝20 m，AB＝50 m，∠A＝60°，m）∠C＝60°，求此四边形ABCD的面积（结果精确到0.01 210、【综合Ⅰ】一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港. 求（1）A、C两港之间的距离（结果精确到0.1 km）；（2）确定C港在A港的什么方向.10.1、【综合Ⅲ】如图，一艘船以每小时36海里的速度向正北航行到A处，发现它的东北方向有灯塔B，船继续向北航行2小时到达C处，发现灯塔B此时在它的北偏东75°方向，求此时船与灯塔的距离（结果保留根号）.第6节利用三角函数测高11、【综合Ⅱ】如图，∠MCE＝α，∠MDE＝β，AC＝BD＝a，AB＝b，那么物体MN的高度如何表示？九（下） 第一章直角三角形的边角关系 分节练习答案1、【答案】 AC ＝536 1.1、【答案】 周长60，面积150. 1.2、【答案】 相等 2、【答案】 sin B ＝54，cos B ＝53，tan B ＝34. 2.1【答案】 sin A ＝54，tan A ＝34. 2.2、【答案】 sin ∠ACD ＝54，cos ∠ACD ＝53，tan ∠ACD ＝34. 2.3【答案】 选C 2.4、【答案】 tan A ＝22 3、【答案】（1）221＋； （2）0. 3.1、【答案】选A 3.2、【答案】选D 4、【答案】（1）sin 72°≈0.9511； （2）cos 36.43°≈0.8046； （3）tan 38° 24＇25＂≈0.79284.1、【答案】 BC ＝34≈7（m ） 4.2、【答案】 CD ≈5.82 m5、【答案】 （1）∠A ≈47° 31＇21＂； （2）∠A ≈27° 5＇3＂； （3）∠A ≈89° 20＇44＂.5.1【答案】 梯子与地面所成的锐角是51° 19＇4＂6、【答案】 （1）5＝b ，∠A ＝∠B ＝45°； （2）∠B ＝30°，6＝a ，32＝b .7、【答案】 CD ≈43 m 7.1、【答案】 选A 7.2【答案】 207米8、【答案】 用方程来解，设AC ＝x ，则DE ＝x ， 可列方程 tan 60°·x －tan 30°·x ＝30，解得x ＝153≈25.98， BC ＝153×tan 60°＝45.008.1【答案】 CD ＝BC ·tan α＝m ·tan α， AB ＝m ·（tan α－tan β）. 9、【答案】 33＋9.1【答案】四边形ABCD 的面积是1082.53 2m 10、【答案】（1）14.1 km ； （2）北偏东15°方向. 10.1、【答案】11、【答案】 MN ＝a b ＋－αββαtan tan tan tan。
北师大版初三数学9年级下册 第1章(直角三角形的边角关系)过关练习(含解析)
北师大版九下数学第一章直角三角形的边角关系一、选择题1. 在 △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且 sin A =12，cos B =32，AC =40，则 △ABC 的面积是( )A ．800B ．8003C ．400D ．40032. 反比例函数 y =kx 的图象经过点 (tan45∘,cos60∘)，则 k 的值是 ( ) A ． 12B ．22C ．32D ．333. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB =90∘，CD ⊥AB ，垂足为 D ，AB =c ，∠A =α，则 CD 长为 ( )A ． c ⋅sin 2αB ． c ⋅cos 2αC ． c ⋅sin α⋅tan αD ． c ⋅sin α⋅cos α4. 如图，矩形纸片 ABCD ，AB =4，BC =3，点 P 在 BC 边上，将 △CDP 沿 DP 折叠，点 C 落在点 E 处，PE ，DE 分别交 AB 于点 O ，F ，且 OP =OF ，则 cos ∠ADF 的值为 ( )A ． 1113 B ． 1315 C ． 1517 D ． 1719 5. 已知 α 为锐角，且 3tan 2α−(1+3)tan α+1=0，则 α 的度数为 ( )A ．30∘B ．45∘C ．30∘ 或 45∘D ．45∘ 或 60∘6. 如图，在正方形网格中，四边形 ABCD 为菱形，则 tan ∠BAD2等于 ( )A ． 34B ． 53C ． 35D ． 457. 一条船从海岛 A 出发，以 15 海里/时的速度向正北航行，2 小时后到达海岛 B 处．灯塔 C 在海岛在海岛 A 的北偏西 42∘ 方向上，在海岛 B 的北偏西 84∘ 方向上．则海岛 B 到灯塔 C 的距离是 ( ) A ． 15 海里B ． 20 海里C ． 30 海里D ． 60 海里8. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，∠A =30∘，E 为 AB 上一点且 AE:EB =4:1，EF ⊥AC 于点 F ，连接 FB ，则 tan ∠CFB 的值等于 ( )A ．33B ．233C ．533D ． 53二、填空题9. 已知 α+β=90∘，且 sin α+cos β=3，则锐角 α= ．10. 如图，两条宽度都为 1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为．11. 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，若 Rt △ABC 是“好玩三角形”，则 tan A = ．12. 如图，正方形 ABCD 的边长为 22，过点 A 作 AE ⊥AC ，AE =1，连接 BE ，则 tanE =．13. 如图1是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图2所示的几何图形，已知BC=BD=15 cm，∠CBD=40∘，则点B到CD的距离为cm（参考数据：sin20∘≈0.342，cos20∘≈0.940，sin40∘≈0.643，cos40∘≈0.766．精确到0.1 cm，可用科学计算器）．14. 如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6 m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2 m和1 m，那么塔高AB=．15. 太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36∘，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90∘，则改建后南屋面边沿增加部分AD的长是．（结果精确到0.1米，参考数据：sin18∘≈0.31，cos18∘≈0.95，tan18∘≈0.32，sin36∘≈0.59，cos36∘≈0.81，tan36∘≈0.73）16. 如图所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，仰角是30∘．n秒后，火箭到达B点，此时仰角是45∘，则火箭在这n秒中上升的高度是 km．三、解答题17. 解答：(1) 计算：2cos30∘−tan45∘−(1−tan60∘)2；(2) 已知α是锐角，且sin(α+15∘)=3，求8−4cosα−(π−3.14)0+tanα+的值．218. 对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin(180∘−α)，cosα=−cos(180∘−α)．(1) 求sin120∘，cos120∘，sin150∘的值；(2) 若一个三角形的三个内角的比是1:1:4，A，B是这个三角形的两个顶点，sin A，cos B是方程4x2−mx−1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．19. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边ABCD为矩形，DE=10 m，其坡度为i1=1:3，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2=1:4，求斜坡AF 的长度．（结果精确到0.01 m，参考数据：3≈1.732，17≈4.122）20. 如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD=80 cm，宽AB=48 cm，小强身高166 cm，下半身FG=100 cm，洗漱时下半身与地面成80∘（∠FGK= 80∘），身体前倾成125∘（∠EFG=125∘），脚与洗漱台距离GC=15 cm（点D，C，G，K在同一直线上）．（sin80∘≈0.98，cos80∘≈0.18，2≈1.41，结果精确到0.1）(1) 此时小强头部E点与地面DK相距多少？(2) 小强希望他的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，他应向前或后退多少？答案一、选择题1. 【答案】D【解析】如图所示，过 C 作 CD ⊥AB ，∵ 在 △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且 sin A =12，cos B =32， ∴ ∠A =∠B =30∘， ∴ BC =AC ， ∴ D 为 AB 中点，在 Rt △ACD 中，AC =40， ∴ CD =12AC =20，根据勾股定理得：AD =AC 2−CD 2=203， ∴ AB =2AD =403，则 S △ABC =12AB ⋅CD =4003．2. 【答案】A3. 【答案】D4. 【答案】C【解析】由题意得：Rt △DCP ≌Rt △DEP ，所以 DC =DE =4，CP =EP ．在 △OEF 和 △OBP 中， ∠EOF =∠BOP,∠E =∠B,OF =OP,所以 △OEF ≌△OBP (AAS)，所以 OE =OB ，EF =BP ．设 EF 为 x ，则 BP =x ，DF =DE−EF =4−x ，又因为 BF =OF +OB =OP +OE =PE =PC ，PC =BC−BP =3−x ，所以，AF =AB−BF =4−(3−x )=1+x ．在 Rt △DAF 中，AF 2+AD 2=DF 2，也就是 (1+x )2+32=(4−x )2，解之得，x =35，所以 EF =35，DF =4−35=175．最终，在 Rt △DAF 中，cos ∠ADF =ADDF =1517．5. 【答案】C 6. 【答案】A 7. 【答案】C【解析】 ∵ 根据题意得：∠CBD =84∘，∠CAB =42∘， ∴∠C =∠CBD−∠CAB =42∘=∠CAB ， ∴BC =AB ，∵AB =15 海里/时 ×2 时 =30 海里，∴BC =30 海里，即海岛 B 到灯塔 C 的距离是 30 海里．8. 【答案】C 二、填空题9. 【答案】 60° 10. 【答案】 1sin α 11. 【答案】 32 或23312. 【答案】23【解析】延长 CA 使 AF =AE ，连接 BF ，过 B 点作 BG ⊥AC ，垂足为 G ．根据题干条件证明 △BAF ≌△BAE ，得出 ∠E =∠F ，然后在 Rt △BGF 中，求出 tan F 的值，进而求出 tan E 的值．13. 【答案】14.1【解析】如右图，作 BE ⊥CD 于点 E ． ∵BC =BD ，BE ⊥CD ， ∴∠CBE =∠DBE =20∘．在 Rt △BDE 中，cos ∠DBE =BEBD ， ∴cos20∘=BE15，∴BE ≈15×0.940=14.1( cm)．14. 【答案】24 m【解析】过点 D 作 AB 的平行线，交 AE 于点 G ，过 G 作 CD 的平行线，交 AB 于点 H ．设 EF ，MN 分别表示站在斜坡上的小明和站在平地上的小华，EP ，MO 分别表示小明和小华的影子．由 △AHG ∽△NMO 得，AHHG =NMMO ，即 AG 6=1.61， ∴AH =9.6 m ．由 △GDE ∽△FEP 得，GDDE =FEEP ，即 GD 18=1.62， ∴GD =14.4 m ，∴AB =9.6+14.4=24 m ．15. 【答案】 1.9 米16. 【答案】203−20三、解答题17. 【答案】(1) 原式=2×32−1−∣1−3∣=3−1−3+1=0.(2)∵α 为锐角，由 sin (α+15∘)=32，得 α=45∘， ∴原式=22−4×22−1+1+3=3．18. 【答案】(1) sin120∘=sin (180∘−120∘)=sin60∘=32， cos120∘=−cos (180∘−120∘)=−cos60∘=−12， sin150∘=sin (180∘−150∘)=sin30∘=12．(2) ∵ 三角形 ABC 三个内角的比为 1:1:4， ∴ 三个内角分别为 30∘，30∘，120∘．① 当 ∠A =30∘，∠B =120∘ 时，方程的两根为 12，−12，将 12 代入方程 4×−m ×12−1=0，解得m =0,经检验，−12 是方程 4x 2−1=0 的根，所以 m =0 符合题意．② 当 ∠A =120∘，∠B =30∘ 时，两根为 32，32，不符合题意．③当 ∠A =30∘，∠B =30∘时，两根为12，32，将 12 代入方程 4×−m ×12−1=0，解得m =0,经检验，32 不是方程 4x 2−1=0 的根．所以 m =0，∠A =30∘，∠B =120∘．19. 【答案】 ∵DE =10 m ，其坡度为 i 1=1:3，∴ 在 Rt △DCE 中，DE =DC 2+CE 2=2DC ，∴ 解得 DC =5，∵ 四边形 ABCD 为矩形， ∴AB =CD =5，∵ 斜坡 AF 的坡度为 i 2=1:4， ∴ABBF =14，∴BF =4AB =20，在 Rt △ABF 中，AF =AB 2+BF 2=517≈20.61(m)， ∴ 斜坡 AF 的长度为 20.61 米．20. 【答案】(1) 如图 1，过点 F 作 FN ⊥DK 于点 N ，过点 E 作 EM ⊥FN 于点 M ．因为 EF +FG =166 cm ，FG =100 cm ，所以 EF =66 cm ，因为 ∠FGK =80∘，所以 FN =100sin80∘≈98 cm ，又因为∠EFG=125∘，所以∠EFM=180∘−125∘−10∘=45∘，所以FM=66cos45∘=332≈46.53 cm，所以MN=FN+FM≈144.5 cm，所以他头部E点与地面DK相距约144.5 cm．(2) 如图2，过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于点H．因为AB=48 cm，O为AB的中点，所以AO=BO=24 cm，因为EM=66sin45∘≈46.53 cm，即PH≈46.53 cm，GN=100cos80∘≈17 cm，CG=15 cm，所以OH≈24+15+17=56 cm，OP=OH−PH≈56−46.53=9.47≈9.5 cm．所以他应向前9.5 cm．。
北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系【知识要点】一、锐角三角函数：正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即b A atan =; 正弦．．：．在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即ca sin =A ; 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cA bcos =; 余切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cA b cot =; 注：（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). （2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号； （3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. （4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. （5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
sinA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，sinA 的值越大。
cosA 的值越小，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，cosA 的值越大。
2、三角函数之间的关系 （1）互为余角的函数之间的关系0º 30 º 45 º 60 º 90 º若∠A 为锐角，则①)90cos(sin A A ∠-︒=；)90sin(cos A A ∠-︒=②)90cot(tan A A ∠-︒=；)90tan(cot A A ∠-︒=（2）同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：tanA ·cotA ＝13)商的关系：tanA ＝A o A s c sin ，cotA ＝A Asin cos二、解直角三角形：※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
北师版九年级数学下册作业课件 第一章 直角三角形的边角关系 三角函数的应用
离为 20 39 m
解：安全，理由如下：过点 C 作 CD 垂直 AB，交 AB 的延长线于点 D，由题意
可得，∠CA D＝90°－60°＝30°，∠CB D＝90°－45°＝45°，A B ＝30×1＝30(k m )，在
Rt△CBD 中，设 CD＝BD＝x km，则 AD＝(x＋30)km，在 Rt△ACD 中，tan 30°＝CADD ，
即x x＋30
＝
3 3
，解得 x＝15
3 ＋15≈40.98，∵40.98>40，∴这艘轮船继续向正东方
向航行是安全的
知识点2：仰角、俯角在三角函数中的应用 3．(宁波中考)如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量 人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1200米， 且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为 _1_2_0_0_(__3__－__1_)__ 米．(结果 保留根号)
BD ＝76.6(海里)，∴AC＝AD＋CD＝64.3＋76.6≈141(海里)，∴此时货轮与 A 港 tan 45° 口的距离约为 141 海里
9．(泸州中考)如图，甲建筑物AD，乙建筑物BC的水平距离AB为90 m，且乙建筑 物的高度是甲建筑物高度的6倍，从E(A，E，B在同一水平线上)点测得D点的仰角为 30°，测得C点的仰角为60°，求这两座建筑物顶端C，D间的距离(计算结果用根号 表示，不取近似值).
4．(2022·天津)如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条 直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔 BC的高度为32 m，求这座山AB的高度(结果取整数).
参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90.
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系 同步测试
北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系同步测试一．选择题1．sin30°的值为（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sinA是（）A．B．C．D．3．已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（）A．0°＜∠A＜30 B．30°＜∠A＜45°C．45°＜∠A＜60°D．60°＜∠A＜90°4．在Rt△ABC中，已知△B=90°，AC=10，AB=5√2，则△A等于（）A．45°B．30°C．60°D．50°5．在Rt△ABC中，△C＝90°，tanA＝，则cosB的值为（）A．B．C．D．6．如图．在坡角为a的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosa B．C．5sina D．7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知AC＝3，CD＝2，则cosA的值为（）A．B．C．D．8．规定：sin（﹣x）＝﹣sinx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x+y）＝cosxcosy﹣sinxsiny，给出以下四个结论：（1）sin（﹣30°）＝﹣；（2）cos2x＝cos2x﹣sin2x；（3）cos（x﹣y）＝cosxcosy+sinxsiny；（4）cos15°＝．其中正确的结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，测得一商场自动扶梯的长AB为12米，自动扶梯与地面所成的角为α，则该自动扶梯到达的高度BC为（）A．12tanα米B．12sinα米C．12cosαD．米10．小明同学想要测量如图所示的仙女峰的高度，他利用已学的数学知识设计了一个实践方案，并实施了如下操作：先在水平地面A处测得山顶B的仰角△BAC 为38．7°，再由A沿水平方向前进377米到达山脚C处，测得山坡BC的坡度为1：0．6，那么仙女峰的高度为（）（参考数据：tan38．7°≈0．8）A．650 米B．580 米C．540 米D．520 米二．填空题11．如图，在△ABC中，△C＝90°，AC＝6，若cosA＝，则BC的长为．12．如果α是锐角，且sinα＝，那么cosα的值为．13．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是．14．计算tan60°﹣的结果．15．如图,△α的顶点为O,它的一边在x轴的正半轴上,另一边OA上有一点P(b,4), ,则b=若sinα= 4516．比较下列三角函数值的大小：sin40°sin50°．17．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|tanA﹣1|+（﹣cosB）2＝0，则∠C ＝°．18．某飞机模型的机翼形状如图所示，其中AB△DC，△BAE＝90°，根据图中的（参考数据：sin37°≈0．60，cos37°≈0．80，数据计算CD的长为cm（精确到1cm）tan37°≈0．75），BE=2，则tan△DBE的值是________．19．在菱形ABCD中，DE△AB，cosA= 3520．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，△OCD=90°，△AOB=60°，若点B的坐标是（6，0），则点C的坐标是________．三．解答题21．如图，在Rt△ABC 中，△C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，求△A 的正弦值、余弦值和正切值．22．计算：(1) +（）﹣1﹣4cos45°﹣（）0．(2)计算：．(3)计算：（﹣12）0+（13）﹣1·√3﹣|tan45°﹣√3|23．嘉琪在某次作业中得到如下结果：sin 27°+sin 283°≈0．122+0．992＝0．9945，sin 222°+sin 268°≈0．372+0．932＝1．0018，sin 229°+sin 261°≈0．482+0．872＝0．9873，sin 237°+sin 253°≈0．602+0．802＝1．0000，sin 245°+sin 245°＝（）2+（）2＝1．据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC 中，△C ＝90°，设△A ＝α，有sin 2α+sin 2（90°﹣α）＝1．（1）当α＝30°时，验证sin 2α+sin 2（90°﹣α）＝1是否成立． （2）请你对嘉琪的猜想进行证明．24．如图，在一条笔直公路BD的正上方A处有一探测仪，AD＝24m，△D＝90°．一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得△ABD＝31°，1秒后到达C点，测得△ACD ＝50°．（1）求B，C两点间的距离（结果精确到1m）；（2）若规定该路段的速度不得超过25m/s，判断此轿车是否超速．参考数据：tan31°≈0．6，tan50°≈1．2．25．钓鱼岛是我国的神圣领土，中国人民维护国家领土完整的决心是坚定的，多年来，我国的海监、渔政等执法船定期开赴钓鱼岛巡视．某日，我海监船（A处）测得钓鱼岛（B处）距离为20海里，海监船继续向东航行，在C处测得钓鱼岛在北偏东45°的方向上，距离为10√2海里，求AC的距离．（结果保留根号）26．某仓储中心有一个坡度为i＝1：2的斜坡AB，顶部A处的高AC为4米，B、C在同一水平地面上，其横截面如图．（1）求该斜坡的坡面AB的长度；（2）现有一个侧面图为矩形DEFG的长方体货柜，其中长DE＝2．5米，高EF ＝2米，该货柜沿斜坡向下时，点D离BC所在水平面的高度不断变化，求当BF＝3．5米时，点D离BC所在水平面的高度DH．27．如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB 的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0．93，cos68°≈0．37，cot68°≈0．40）答案提示1.A．2.A．3.C．4.A．5.A．6.B．7.A．8.C．（1）（2）（3）9.B．10.B．11.8．12.．13.．14.﹣．15.3．16.＜．17.75．18.22．19.设菱形ABCD边长为t，△BE=2，△AE=t-2，△cosA= 35，△ AEAD =35，△ t−2t =35，△t=5，△AE=5-2=3，△DE= √AD2−AE2=√52−32=4，△tan△DBE= DEBE =42=2．20.解：分别过A作AE△OB，CF△OB，△△OCD=90°，△AOB=60°，△△ABO=△CDO=30°，△OCF=30°，△△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），△D（8，0），则DO=8，故OC=4，=2 √3，则FO=2，CF=CO•cos30°=4× √32故点C的坐标是：（2，2 √3）．故答案为：（2，2 √3）．21.解：由勾股定理得，AB＝＝＝13，则sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝．22．(1)解：原式＝2+2﹣4×﹣1，＝2+2﹣2﹣1，＝1．(2)解：原式＝＝＝＝3+2．√3﹣︳1﹣√3︳(3)解：原式=1+3×23=1+2√3﹣√3+1=2+√3．23.解：（1）当α＝30°时，sin2α+sin2（90°﹣α）＝sin230°+sin260°＝（）2+（）2＝+＝1；（2）嘉琪的猜想成立，证明如下：如图，在△ABC中，△C＝90°，设△A＝α，则△B＝90°﹣α，△sin2α+sin2（90°﹣α）＝（）2+（）2＝＝＝1．24.解：（1）△Rt△ACD中，，△．△在Rt△ABD中，，△．△BC＝BD﹣CD＝20．（2）此轿车的速度，△此轿车在该路段没有超速．25.解：作BD△AC交AC的延长线于D，由题意得，△BCD=45°，BC=10√2海里，△CD=BD=10海里，△AB=20海里，BD=10海里，△AD= √AB2−BD2=10√3，△AC=AD﹣CD=10√3﹣10海里．答：AC的距离为（10√3﹣10）海里．26.解：（1）△坡度为i＝1：2，AC＝4m，△BC＝4×2＝8m．△AB＝＝＝（米）；（2）△△DGM＝△BHM，△DMG＝△BMH，△△GDM＝△HBM，△，△DG＝EF＝2m，△GM＝1m，△DM＝，BM＝BF+FM＝3．5+（2．5﹣1）＝5m，设MH＝xm，则BH＝2xm，△x2+（2x）2＝52，△x＝m，△DH＝＝m．27.解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CHcot68°＝0．4x，由AB＝49知x+0．4x＝49，解得：x＝35，∵BE＝4，∴EF＝BEsin68°＝3．72，则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3．72≈66．7（cm），答：点E到地面的距离约为66．7cm．11/ 11。
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步测试题(附答案)
北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》同步测试题（附答案）一、解答题1．（1）sin230°+2sin60°+tan45°−tan60°+cos230°；（2）√1−2tan60°+tan260°−tan60°．2．计算tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°的值．3．（1）计算：2sin230°−6tan260°⋅4cos2150°2tan845°+4sin245°⋅3tan230°2sin120°⋅6tan230°；（参考公式：sinα=sin(180°−α)）（2）已知a、b是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实根，求2√2bcos260°−√2的S值．4．如图，在▱ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，BD与AE，AF分别相交于点G H AG=AH．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若AG=2EG=1．①求sin∠BAE；②求▱ABCD的面积．5．如图在Rt△ABC中∠ACB=90°D是BC上一点过点C作CE⊥AD垂足为E．连接BE并延长交AC于点F．(1)求证：CD2=ED⋅AD；(2)若D为BC的中点ACBC =23求sin∠CEF的值．6．如图一座古塔坐落在小山上(塔顶记作点A其正下方水平面上的点记作点B) 小李站在附近的水平地面上他想知道自己到古塔的水平距离便利用无人机进行测量但由于某些原因无人机无法直接飞到塔顶进行测量因此他先控制无人机从脚底(记为点C)出发向右上方(与地面成45°点A B C O在同一平面)的方向匀速飞行4秒到达空中O点处再调整飞行方向继续匀速飞行8秒到达塔顶已知无人机的速度为5米/秒∠AOC=75°求小李到古塔的水平距离即BC的长．7．在综合实践课中小明同学利用无人机测量小山AB的高度．如图CD是小明同学无人机飞到小山AB的右上方时测得山顶A的俯角为37°,AP=10米测得小明同学头顶C的俯角为53.5°,PC=80米．已知小明的身高CD为1.8米求小山AB的高度．（已知AB,CD分别与水平线BD垂直且在同一平面内参考数据：sin37°≈0.60cos37°≈0.80tan37°≈0.75sin53.5°≈0.80cos53.5°≈0.59tan53.5°≈1.35）8．某中学凤栖堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间小刚站在雕像前自C处测得雕像顶A的仰角为53°小强站凤栖堂门前的台阶上自D处测得雕像顶A的仰角为45°此时两人的水平距离EC为0.45m已知凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3．（参考数据：sin53°≈45cos53°≈35tan53°≈43）(1)计算台阶DE的高度；(2)求孔子雕像AB的高度．9．如图甲、乙两艘货轮同时从A港出发分别向B D两港运送物资最后到达A港正东方向的C港装运新的物资甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港再沿东南方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的南偏东60°方向航行后到达B港再沿北偏西15°方向航行一定距离到达C港．（参考数据：√2≈1.41√3≈1.73√6≈2.45）(1)求B C两港之间的距离；(2)若甲货轮的速度为20海里/小时乙货轮的速度为30海里/小时（停靠B D两港的时间相同）哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．10．冬季是滑雪的最佳时节亚布力滑雪场有初、中、高级各类滑雪道．如图其中的两条初级滑雪道的线路为：①A→B→C→D；②A→E→D．点A是雪道起点点D是雪道终点点B、C、E是三个休息区．经勘测点B在点A的南偏东30°方向1800米处点C 在点B的正南方向2000米处点D在C的西南方向点E在点A的西南方向1300米处点E在点D的正北方向．（参考数据：√2≈1.414√3≈1.732）(1)求CD的长度；（精确到1米）(2)小外一家周末去亚布力滑雪小外沿滑雪道线路①全程以5米/秒的速度滑雪且在途经的每个休息区都各休息了5分钟；小外的爸爸比小外晚出发2分钟以3米/秒的速度沿滑雪道线路②滑完全程且中途没有休息．请计算说明小外和爸爸谁先到达终点D．11．某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量活动过程如下：(1)探究原理：制作测角仪时将细线一端固定在量角器圆心O处另一端系小重物G测量时使支杆OM、量角器90∘刻度线ON与铅垂线OG相互重合（如图①）绕点O转动量角器使观测目标P与直径两端点A、B共线（如图②）此时目标P的仰角是图②中的∠_____．目标P的仰角与图②中的∠_____相等请写出这两个角相等的证明过程．(2)拓展应用：公园高台上有一凉亭为测量凉亭顶端P距地面的高度PH（如图④）同学们经过讨论决定先在水平地面上选取观测点E、F E、F、H在同一直线上分别测得点P的仰角a=45∘、β=30∘测得E、F间的距离2米点O1、O2到地面的距离O1E、O2F均为1.5米．求PH的长（结果保留根号）12．如图Rt△ABO中∠ABO=90°AB=2反比例函数y=−8x的图象经过点A．(1)求点A的坐标．(2)直线CD垂直平分AO交AO于点C交y轴于点D交x轴于点E求线段OE的长．13．随着南海局势的升级中国政府决定在黄岩岛填海造陆修建机场设立雷达塔．某日在雷达塔A 处侦测到东北方向上的点B 处有一艘菲律宾渔船进入我方侦测区域且以30 海里/时的速度往正南方向航行我方与其进行多次无线电沟通无果后这艘渔船行驶了1 小时10 分到达点A 南偏东53°方向的C 处与此同时我方立即通知（通知时间忽略不计）与A 、C 在一条直线上的中国海警船往正西方向对该渔船进行侦测拦截其中海警船位于与A 相距100 海里的D 处．(1)求AC的距离和点D 到直线BC的距离；(2)若海警船航行速度为40 海里/时可侦测半径为25 海里当海警船航行1 小时时是否可以侦测到菲律宾渔船为什么？（参考数据：sin53°≈45cos53°≈35tan53°≈43）14．综合实践活动中某小组利用直角尺和皮尺测量建筑物AB和CD的高因为这两栋建筑物高度相同于是这个小组设计出一种简捷的方案如图所示：（1）把直角尺的顶点E放在两栋建筑物之间的地面上调整位置使直角尺的两边EM EN所在直线分别经过建筑物外立面的的顶部A和C；（2）用皮尺度量BE和DE的长度；（3）通过计算得到建筑物的高度．若示意图中点A B C D E M N均在同一平面内．测得BE=9m DE=36m．请求出这两栋建筑的高度．15．图1所示是屹立在于都县纪念广场的中央红军长征出发纪念碑它是由呈双帆造型的碑身与方形底座两部分组成的底座下方是台阶台阶的横截面如图2所示．已知台阶的坡面DE的坡度i=1:√3坡面DE的长为2.4m．(1)计算坡面DE的铅直高度；(2)如图3 为了测量纪念碑的高度亮亮站在纪念碑正前方广场上的点G处用高1.64m的测角仪GH测得纪念碑碑身顶端A的仰角是35°继续向纪念碑前进8.1m到达点K处此时测得纪念碑顶端45°求纪念碑的实际高度AC．（结果精确到0.01参考数据：sin35°≈0.574，cos35°≈0.819，tan35°≈0.700）16．如图1是超市的手推车如图2是其侧面示意图已知前后车轮半径均为5cm两个车轮的圆心的连线AB与地面平行测得支架AC=BC=60cm AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°CD=50cm．(1)求扶手前端D 到地面的距离；(2)手推车内装有简易宝宝椅 EF 为小坐板 打开后 椅子的支点H 到点C 的距离为10cm DF =20cm EF∥AB ∠EHD =45° 求坐板EF 的宽度．（本题答案均保留根号） 17．千厮门大桥是重庆最具特色的斜拉桥之一 也是重庆的“网红打卡地”之一 某校数学兴趣小组的同学们欲测量千厮门大桥桥塔的高度 如图2 他们在桥下水平地面上架设测角仪CM （测角仪垂直于地面放置） 此时测得桥塔最高点A 的∠ACE =30∘ 然后将测角仪沿MB 向前水平移动132米达到点N 处 并测得桥塔最高点A 的∠ADE =45∘ 测角仪高度CM =DN =1.6米．（点M N B 在同一水平线上 AB ⊥BM ）（结果保留整数 参考数据：√2≈1.41 √3≈1.73）(1)求桥塔的高度AB 约为多少米？(2)如图3 在（1）的条件下 小语同学在洪崖洞的某地Q 处测得千厮门大桥桥塔最高点A 的∠AQG =30∘ 最低点B 的∠BQG =60∘ 则小语同学所在地Q 与AB 的水平距离约为多少米？ 18．嘉嘉在某次作业中得到如下结果： sin 27°+sin 283°≈0.122+0.992=0.9945 sin 222°+sin 268°≈0.372+0.932=1.0018 sin29°+sin 261°≈0.482+0.872=0.9873 sin37°+sin 253°≈0.602+0.802=1.0000 sin 245°+sin 245=(√22)2+(√22)2=1．据此 嘉嘉猜想：对于任意锐角α β 若α+β=90° 均有sin 2α+sin 2β=1．(1)当α=30°β=60°时验证sin2α+sin2β=1是否成立？(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立请结合如图所示Rt△ABC给予证明其中∠A所对的边为a∠B所对的边为b斜边为c；若不成立请举出一个反例；(3)利用上面的证明方法直接写出tanα与sinαcosα之间的关系．19．阅读与思考阅读下列材料并解决后面的问题．在锐角△ABC中∠A∠B∠C的对边分别是a b c过C作CE⊥AB于E（如图1）则sinB=CEa sinA=CEb即CE=asinB CE=bsinA于是asinB=bsinA即bsinB=asinA．同理有csinC =asinAcsinC=bsinB所以asinA=bsinB=csinC．即：在一个锐角三角形中各边和它所对角的正弦的比相等．运用上述结论和有关定理在锐角三角形中已知三个元素（至少有一条边）就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料完成下列各题：(1)如图1 在△ABC中∠A=60°∠C=45°BC=30则AB=______；(2)如图2 一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向距离灯塔50海里的A处它沿正北方向航行一段时间后到达位于灯塔北偏东45°方向上的B处此时B处与灯塔的距离为______海里；（结果保留根号）(3)在（2）的条件下试求75°的正弦值．（结果保留根号）20．如图1 正方形ABCD中P是边AD上任意一点Q是对角线AC上的点且满足∠PBQ=45°．(1)①求证：△PDB∽△QCB；②DPCQ=；(2)如图2 矩形ABCD中AB=12AD=5P、Q分别是边AD和对角线AC上的点∠PBQ=∠ACB DP=3求CQ的长；(3)如图3 菱形ABCD中DH⊥BA交BA的延长线于点H．若DC=5对角线AC=6P、Q分别是线段DH和AC上的点tan∠PBQ=34PH=85求CQ的长．参考答案：1．解：（1）sin230°+2sin60°+tan45°−tan60°+cos230°=(sin230°+cos230°)+2sin60°+tan45°−tan60°=1+2×√32+1−√3=2+√3−√3=2；（2）√1−2tan60°+tan260°−tan60°=√(1−tan60°)2−√3=√(1−√3)2−√3=√3−1−√3=−1．2．解：tan1°•tan2°•tan3°•…•tan88°•tan89°＝（tan1°•tan89°）（tan2°•tan88°）…（tan44°•tan46°）•tan45°＝1．3．（1）解：2sin230°−6tan260°⋅4cos2150°2tan845°+4sin245°⋅3tan230°2sin120°⋅6tan230°=2sin230°−6tan260°⋅4×(1−sin2150°)2tan845°+4sin245°⋅12sin60°⋅2=2sin230°−6tan260°⋅4×(1−sin230°)2tan845°+4sin245°⋅12sin60°⋅2 =2×(12)2−6×(√3)2×4×[1−(12)2]2×1+4×(√22)214×√32=−107√348；（2）解：∵a、b是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实根∴(x+3)(x−1)=0解得a=−3b=1或b=−3a=1当a=−3b=1时则2√2bcos260°−√2=12×(−3)+√2 14×1−√2=−26+20√231；当b=−3a=1时则2√2bcos260°−√2=12×1+√2 14×(−3)−√2=−26+4√223；4．（1）证明：∠AE⊥BC AF⊥CD∠∠AEB＝∠AFD＝90°∠∠BAG＝90°−∠ABE∠DAH＝90°−∠ADF ∠四边形ABCD是平行四边形∠∠ABE＝∠ADF∠∠BAG＝∠DAH∠AG＝AH∠∠AGH＝∠AHG∠∠AGB＝∠AHD∠在△ABG 和△ADH 中{∠AGB ＝∠AHD∠BAG ＝∠DAH AG =AH∠△ABG≌△ADH∠AB ＝AD∠▱ABCD 是菱形；（2）①解：∠AD∥BC∠△ADG ∽△EBG∠AD BE =AG EG∠AG =2,GE =1∠AD BE =AG EG =2∠在菱形ABCD 中 AB =AD∠BE AB =12 ∠AE ⊥BC∠sin∠BAE =BE AB =12； ②∠sin∠BAE =12∠∠BAE =30°∠cos∠BAE =cos30°=AE AB =√32∠AB =2√3=BC∠S ▱ABCD =BC ×AE =2√3×3=6√3．5．（1）证明：∵ CE ⊥AD ∠ACB =90°∴∠CED =∠ACB =90°∵∠CDE +∠DCE =90°,∠DCE +∠ACE =90°∴∠ACE =∠CDE∴△CDE∽△ADC∴CD AD =DE CD∴ CD 2=ED ⋅AD ；（2）解：∵D为BC的中点∴BD=CD∵CD2=ED⋅AD∴BD2=ED⋅AD∴BDAD =DEBD∵∠ADB=∠ADB∴△ABD∽△BED∴∠ABD=∠BED∴∠AEF=∠BED=∠ABD ∵∠AEF+∠CEF=90°∴sin∠CEF=cos∠ABD∵∠ACB=90°ACBC =23设AC=2k,BC=3k∴AB=√AC2+BC2=√13k∴cos∠ABD=BCAB =√13k=3√1313∴sin∠CEF=3√1313．6．解：过点O作OD⊥BC交BC的延长线于点D过点O作OE⊥AB垂足为E如图所示：由题意得：AO=8×5=40米OC=4×5=20米OE=BD OE∥BD∴∠EOC=∠OCD=45°∵∠AOC=75°∴∠AOE=∠AOC−∠EOC=30°在Rt△OCD中CD=OC⋅cos45°=20×√22=10√2米在Rt△AOE中OE=AO⋅cos30°=40×√32=20√3米∴OE=BD=20√3米∴BC=BD−CD=20√3−10√2米∴小李到古塔的水平距离即BC的长为20√3−10√2米．7．解：如图过点C作CE⊥AB于点E过点P作PF⊥CE于点F过点A作AG⊥PF于点G则四边形BECD和四边形AEFG都是矩形∴AE=FG BE=CD.在Rt△APG中由题意知∠PAG=37°,AP=10米∠PG=sin∠PAG⋅AP=sin37°×10≈0.60×10=6（米）在Rt△PCF中由题意知∠PCF=53.5°,PC=80米∠PF=sin∠PCF⋅PC=sin53.5°×80≈0.80×80=64（米）∴AB=AE+BE=FG+CD=PF−PG+CD=64−6+1.8=59.8（米）．答：小山AB的高度约为59.8米．8．（1）解：∠凤栖堂门前台阶斜坡CD的坡比为i=1:3EC为0.45m∠DE EC =13∴DE=EC3=0.15m即台阶DE的高度为0.15m；（2）解：如图所示设AB的对边为MN作DF⊥MN于F∠由题意得四边形NFDE是矩形∠FN=DE=0.15m DF=NE设MN=xm则MF=(x−0.15)m在Rt△MFD中∠MDF=45°∠FD=MF=(x−0.15)m∠NC=NE−EC=(x−0.15)−0.45=(x−0.6)m∠tan53°=MNNC ≈43即xx−0.6=43解得x=2.4经检验x=2.4是原方程的解答：孔子雕像AB的高度约2.4m．9．（1）解：过点C作CM⊥AB于点M∠甲货轮沿A港的东北方向航行40海里到达D港再沿东南方向航行一定距离到达C港∠∠ADC=90°∠DAC=∠DCA=45°AD=40海里∠AD=CD=40海里∠AC=√AD2+DC2=40√2海里∠乙货轮沿A港的南偏东60°方向航行后到达B港再沿北偏西15°方向航行一定距离到达C港．∠∠CAM=∠ABN=30°∠CBN=90°−15°=75°∠∠ABC=∠CBN−∠ABN=45°在Rt△ACM中∠CAM=30°∴CM=12AC=40√2×12=20√2（海里）AM=AC⋅cos30°=20√6（海里）在Rt△BCM中∠ABC=45°∴CB=CMsin45°=40（海里）BM=CM=20√2海里∴B C两港之间的距离约为40海里；（2）解：乙货轮先到达C港理由如下：∠甲货轮航行的路程=AD+DC=40+40=80（海里）∠甲货轮航行的时间=8020=4（小时）∠乙货轮航行的路程=AB+BC=20√6+20√2+40（海里）∠乙货轮航行的时间=20√6+20√2+4030=2√6+2√2+43≈3.91（小时）∵3.91<4∴乙货轮先到达C港．10．（1）解：过B作BL⊥DE于L交AN于N过作EK⊥AN于K过C作CM⊥DE于M∵点E在点A的西南方向∴∠EAK=45°∴△AEK是等腰直角三角形∴EK=AK=√22AE=√22×1300≈919.38（米）∵∠BAN=30°∠ANB=90°∴BN=12AB=12×1800=900（米）∵DE∥BC CM⊥DE BL⊥DE EK⊥AN NL⊥DE ∴四边形ELNK BCML是矩形∴BC=BL NL=EK EL=KN ML=BC∵BL=NB+NL=900+919.38=1819.38（米）∴MC=1819.38米∵∠MCD=45°∴△MCD是等腰直角三角形∴CD=√2MC≈2573（米）；（2）解：滑雪道线路①全程=AB+BC+CD=1800+2000+2572.6=6372.6（米）∴小外滑行的时间是6572.6÷5≈1274.5（秒）≈21.2（分钟）∵小外途经的每个休息区都各休息了5分钟∴小外在滑雪道线路①共用时21.2+5×2=31.2（分钟）∵AN=√3NB≈1558.8（米）∴NK=AN−AK=1558.8−919.38=639.42（米）∴EL=KN=639.42米∴ME=ML+EL=2000+639.42=2639.42（米）∵△CDM是等腰直角三角形∴MD=MC=1819.9米∴滑雪道线路②全程=AE+ME+MD=1300+2639.42+1819.9=5759.32（米）∴小外的爸爸滑行的时间是5759.32÷3≈1919.8（秒）≈32.0（分钟）∵小外的把爸爸比小外又晚出发2分钟∴小外先到达终点D．11．解：（1）目标P的仰角是图②中的∠POC目标P的仰角与图②中的∠NOG相等证明∵∠COG=90∘∠AON=90∘∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON∴∠POC=∠GON；（2）解：由题意可得O1O2=2O1E=O2F=DH=1.5米由图可得tanβ=PDO2D tanα=PDO1D∴O2D=PDtanβO1D=PDtanα∵O1O2=O2D−O1D=2∴2=PDtanβ−PDtanα∴PD=2tanαtanβtanα−tanβ∴PH=PD+DH=2tan45∘tan30∘tan45∘−tan30∘+1.5=(52+√3)米．故PH的值为(52+√3)米．12．（1）解：∵AB=2∴点A的横坐标为−2∵A点在反比例函数y=−8x的图象上∴y=−8−2=4∴A(−2,4)．（2）解：∵A(−2,4)∠AB=2BO=4∠AO=√22+42=2√5∠CD垂直平分AO∠OC=12AO=√5CD⊥AO∠∠DOE=90°∠∠1+∠3=90°=∠2+∠3∠∠1=∠2∠sin∠1=sin∠2∠OC OE =ABOA即：√5OE=2√5解得：OE=5．13．（1）解：作DE⊥BC于E AF⊥BC于F=35设AF=x海里由题意得BC=30×76∠∠BAF=45°,∠ACF=53°x∠BF=AF=x，FC=AF÷tan53°=34x=35∠x+34解得x=20x=15∠34∠AC=√AF2+CF2=25∠CD=AD−AC=75∠DE=CD⋅sin∠ECD=CD⋅sin53°=60答：AC的距离为25海里点D到直线BC的距离为60海里；（2）能理由如下：设1小时后海警船到达点G菲律宾渔船到达点H则DG=40CH=30由（1）知CE=CD⋅cos53°=45∠HE=CE−CH=15GE=DE−DG=20由勾股定理得：GH=√HE2+GE2=25故可以侦测到菲律宾渔船．14．解：如图由题意得AB⊥BD CD⊥BD∴∠BEA+∠BAE=90°∠ECD+∠DEC=90°∵∠MEN=90°∴∠BEA+∠DEC=90°∴∠BAE=∠DEC∴tan∠BAE=tan∠DEC即BEAB =CDED设AB=CD=x可得9x =x36解得x=18经检验x=18是原方程的解答：两栋楼的高度为18m．15．（1）解：如图所示：过点D作DH⊥FE于点H∠i=DHEH =√3∠设DH=xm EH=√3xm∠∠DHE=90°,DE=2.4m∠DH2+HE2=DE2∠x2+(√3x)2=2.42解得：x=±1.2（负值舍去）∠CF=DH=1.2m∠坡面DE的铅直高度为1.2m；（2）设AM=ym∠∠AMI=90°,∠AIM=45°∠∠MAI=45°∠∠MAI=∠AIM∠MI=AM=ym∠∠AHM=35°，∠AMH=90°∠tan35°=AMMH≈0.700∠yMH∠MH≈y0.7∠MH−MI=8.1−y=8.1∠y0.7∠y=18.9∠AM=18.9m∠AF=AM+MF=18.9+1.64=20.54(m)∠AC=AF−CF=20.54−1.2=19.34(m)．∠纪念碑的实际高度AC为19.34m．16．（1）解：如图2 过C作CM⊥AB垂足为M又过D作DN⊥AB垂足为N过C作CG⊥DN垂足为G则∠DCG=60°．则四边形CMNG为矩形CM=NG∵AC=BC=60cm AC、CD所在直线与地面的夹角分别为30°、60°∴∠A=∠B=30°AC=30cm．则在Rt△AMC中CM=12∵在Rt△CGD中sin∠DCG=DGCD=50cmCD=25√3(cm)．∴DG=CD⋅sin∠DCG=50⋅sin60°=50×√32又GN=CM=30cm前后车轮半径均为5cm∴扶手前端D到地面的距离为DG+GN+5=25√3+30+5=(35+25√3)(cm)；（2）解：∵EF∥CG∥AB∴∠EFH=∠DCG=60°∵CD=50cm椅子的支点H到点C的距离为10cm DF=20cm∴FH=20cm如图2 过E作EQ⊥FH垂足为Q设FQ=x在Rt△EQF中∠EFH=60°∴EF=2FQ=2x EQ=√3x在Rt△EQH中∠EHD=45°∴HQ=EQ=√3x∵HQ+FQ=FH=20cm∴√3x+x=20解得x=10√3−10．∴EF=2(10√3−10)=20√3−20(cm)．答：坐板EF的宽度为(20√3−20)cm．17．（1）解：如图所示延长CD交AB于点F由题意得：CD=MN=132DF=BN∠AFD=90°CM=DN=BF=1.6设DF=x则CF=x+132在Rt△ADF中∠ADF=45°∴AF=x在Rt△ACF中∠ACE=30°tan30°=AFCF =xx+132≈0.58∴x≈182经检验x≈182是原方程的解且符合题意∴AB=AF+BF=182+1.6≈184米∴桥塔的高度约为184米（2）解：延长QG交AB于点M由题意可知QM⊥AB AB=184∵∠AQG=30°∠BQG=60°∠A=60°∠B=30°设AM=y则BM=184−ytan∠A=tan60°=QMAM≈1.73tan∠B=tan30°=QMBM≈0.58tan30°tan60°=AMBM=y184−y=0.581.73解得：y≈46.2∴QM=AM·tan60°=46.2×√3=80故Q处与AB的水平距离约为80米18．（1）解：∠sin30°=12sin60°=√32∠sin2α+sin2β=(12)2+(√32)2=1结论成立；（2）解：成立．理由如下：在Rt△ABC中sinα=ac sinβ=bc且a2+b2=c2∠sin2α+sin2β=(ac )2+(bc)2=a2+b2c2=c2c2=1故结论成立；（3）解：tanα=sinαcosα理由如下：在Rt△ABC中sinα=ac cosα=bctanα=ab∠tanα=acbc=sinαcosα∠tanα=sinαcosα．19．（1）解：由题意可知：asinA =bsinB=csinC∠∠A=60°∠C=45°BC=30∠BC sin60°=ABsin45°即√32=√22∠AB=10√6故答案为：10√6．（2）解：如图：由题意可知∠APE=60°，∠BPF=45°AB∥EF AP=50海里asinA =bsinB=csinC∠∠A=∠APE=60°，∠B=∠BPF=45°∠BP sin60°=APsin45°即√32=√22∠BP=25√6∠B处与灯塔的距离为25√6海里故答案为：25√6．（3）解：如图：由题可知PA=50海里PC⊥AB∠∠EPC=∠FPC=90°∠∠APE=60°∠BPF=45°∠∠APC=30°∠bPC=45°∠∠APB=∠APC+∠BPC=75°在Rt△APC中AC=12PA=25海里PC=√32PA=25√3海里在Rt△BPC中BC=PC=25√3海里∠AB=AC+BC=(25+25√3)海里由前面定理可知：ABsin∠APB =PAsin∠B则25+25√3sin75°=50sin45°∠sin75°=25+25√350×√22=√2+√64∠75°的正弦值√2+√64．20．（1）解：①∵四边形ABCD为正方形BD AC是对角线∴∠PDB=∠QCB=∠DBC=45°∴∠QBC+∠DBQ=45°∵∠PBQ=45°∴∠PBD+∠DBQ=45°∴∠QBC=∠PBD∴△PDB∽△QCB；②∵四边形ABCD为正方形∴BC=DC∠BCD=90°∴BD=√BC2+DC2=√2BC∵△PDB∽△QCB∴DPCQ =BDBC=√2BCBC=√2；故答案为：√2；（2）解：连接BD交AC于点O∵四边形ABCD为矩形∴AD∥BC OA=OD∠DAB=90°∴∠ACB=∠OAD=∠ODA=∠OBC∵∠PBQ=∠ACB∴∠PBQ=∠OBC∴∠PBD+∠DBQ=∠QBC+∠DBQ∴∠PBD=∠QBC ∴△PDB∽△QCB∴QCPD =BCBD∵AB=12AD=5∴BD=√AB2+AD2=13∵BC=AD=5DP=3∴QC3=513∴QC=1513；（3）解：连接BD交AC于点O∵四边形ABCD为菱形AC BD是对角线∴AC⊥BD∴AO=OC=12AC=3∴BO=√BC2−OC2=√52−32=4∴tan∠DBC=OCOB =34∵tan∠PBQ=34∴∠DBC=∠PBQ∴∠DBQ+∠PBD=∠DBQ+∠QBC ∴∠PBD=∠QBC∵DH⊥BH AC⊥BD∴∠DBC+∠ACB=90°∵四边形ABCD为菱形BD是对角线∴∠ABD=∠CBD∴∠HDB=∠ACB∴△PDB∽△QCB∴QCPD =BCBD∵AC=6∴OC=OA=12AC=3∵AB=BC=DC=5∴OB=OD=4即BD=8∵12AC⋅BD=AB⋅DH∴5DH=12×6×8∴DH=245∵PH=85∴DP=DH−PH=245−85=165∴165QC=85∴QC=2．。
九下第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用第3课时三角函数在坡度坡角问题中的应用作业新版北师大版
×10＝5(m)，∴点 B 距水平地面
AE
的高度为 5 m
(2)符合要求，理由如下：过点 B 作 BG⊥CE 于点 G，则四边形 BFEG 是矩形，
∴GE＝BF＝5 m，BG＝EF＝FA＋AE＝AB·cos ∠BAF＋AE＝10cos 30°＋21＝(5 3
＋21)m，∴在 Rt△BCG 中，CG＝BG·tan ∠CBG＝(5 3 ＋21)tan 45°＝(5 3 ＋21)m.
如下的方法：先从与古树底端 D 在同一水平线上的点 A 出发，沿斜面坡度 i＝2∶ 3
的斜坡 AB 前进 20 7 m 到达点 B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点 C.在
点 C 处测得古树 DE 的顶端 E 的俯角为 37°，底部 D 的俯角为 60°，求古树 DE 的高
度(结果精确到 0.1 m，参考数据： 3 ≈1.732，sin 37°≈3 ，cos 37°≈4 ，tan 37°≈3 ).
＝ tan
DH ∠DCH
＝ 40 ＝40 3 tan 60° 3
(m)，∴在 Rt△CEH 中，EH＝CH·tan ∠ECH＝
40 3 tan 37°≈17.32(m)，∴DE＝DH－EH≈40－17.32≈22.7(m)，∴古树 DE 的高度约 3
为 22.7 m
9．(24 分)
如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌 CD，点 C，
12 ＝24＋9＝33(m)，∴在 Rt△ADE 中，AE＝DE•tan ∠ADE＝33tan 52°≈42.24(m)，
∴AB＝AE－BE≈42.24－10≈32.2(m)，∴建筑物 AB 的高度约为 32.2 m
8．(20 分)(2023·泸州)如图，某数学兴趣小组为了测量古树 DE 的高度，采用了
2018_2019学年九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1.5三角函数的应用同步练习新北师大
课时作业(六)[第一章 5 三角函数的应用]一、选择题1．如图K －6－1，为测量某物体AB 的高度，在点D 处测得点A 的仰角为30°，朝物体AB 方向前进20米到达点C ，再次测得点A 的仰角为60°，则物体AB 的高度为()链接听课例1归纳总结图K －6－1A ．10 3米B ．10米C ．20 3米 D.20 33米 2．2017·泰安期中如图K －6－2，港口A 在观测站O 的正东方向，OA ＝4 km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离(即AB 的长)为()链接听课例2归纳总结图K －6－2A ．2 2 kmB ．2 3 kmC ．4 kmD ．(3＋1)km3．如图K －6－3所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高20 cm 、宽30 cm.为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡．台阶的起始点为A ，斜坡的起始点为C ，若将坡角∠BCA设计为30°，则AC的长度应为()图K－6－3A．60 3 cm B．60(3－1)cmC．60 cm D．60(3＋1)cm4．2017·迁安一模某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图K－6－4所示，点A 是栏杆转动的支点，点E是两段栏杆的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图②所示的位置，其示意图如图③所示(栏杆宽度忽略不计)，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF ＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)()图K－6－4图K－6－5二、填空题5．2017·宁波如图K－6－6，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67)图K－6－66．如图K－6－7，一艘船向正北方向航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东30°的方向上，航行12海里到达点B，在B处看到灯塔S在船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行的过程中距灯塔S的最近距离是________海里(结果不作近似计算).链接听课例1归纳总结图K－6－77．全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图K－6－8，张三同学在东门城墙。
九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系本章中考演练同步练习 (新版)北师大版-(新版)北师大版
第一章 直角三角形的边角关系本章中考演练一、选择题1．2018·某某cos 30°的值等于()A .22B .32C ．1D . 3 2．2018·某某如图1－Y －1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝3，则sin B ＝AC AB ＝()图1－Y －1A .35B .45C .37D .343．2018·某某如图1－Y －2，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为()图1－Y －2A .tan αcos βB .sin βsin αC .sin αsin βD .cos βcos α4．2018·某某如图1－Y －3，AB 是垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向行走20米到达点C ，再经过一段坡度(或坡比)为i ＝1∶、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向行走40米到达点E(A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内)，在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为(参考数据：sin 24°≈，cos 24°≈，tan 24°≈0.45)()图1－Y －3A ．米B ．米C ．米D ．米二、填空题5．2018·滨州在△ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝12，则sin B ＝________．6．2018·某某已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝2 7，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于____________．7．2018·潍坊如图1－Y －4，一艘渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行，在A 处测得岛礁P 在东北方向上，继续航行小时后到达B 处，此时测得岛礁P 在北偏东30°方向上，同时测得岛礁P 正东方向上的避风港M 在北偏东60°方向上．为了在台风到来之前用最短时间到达M 处，渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行________小时即可到达．(结果保留根号)图1－Y －4三、解答题8．2018·达州如图1－Y －5，在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A 处测得雕塑顶端点C 的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B 处，此时测得雕塑顶端点C 的仰角为45°.则该雕塑有多高？(测角仪高度忽略不计，结果不取近似值)图1－Y －59．2018·某某“五一”期间，小明到小陈家所在的美丽乡村游玩，在村头A 处小明接到小陈发来的定位，发现小陈家C在自己的北偏东45°方向，于是沿河边笔直的绿道l步行200米到达B处，这时定位显示小陈家C在自己的北偏东30°方向，如图1－Y－6①所示．根据以上信息和下面的对话，请你帮小明算一算他还需沿绿道继续直行多少米才能到达桥头D处．(精确到1米．参考数据：2≈，3≈1.732)图1－Y－610．2018·聊城随着我市农产品整体品牌形象“聊·胜一筹！”的推出，现代农业得到了更快发展．某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚，如图1－Y－7①.线段AB，BD分别表示大棚的墙高和跨度，AC表示保温板的长．已知墙高AB为2米，墙面与保温板所成的角∠BAC＝150°，在点D处测得点A、点C的仰角分别为9°，°，如图②.求保温板AC的长是多少米．(精确到米．参考数据：3≈，sin9°≈，cos9°≈，tan9°≈，sin°≈，cos°≈，tan°≈0.28)图1－Y－711．2018·某某如图1－Y－8①是某小区入口实景图，图②是该入口抽象成的平面示意图．已知入口BC宽米，门卫室外墙AB上的O点处装有一盏路灯，点O与地面BC的距离为米，灯臂OM长为米(灯罩长度忽略不计)，∠AOM＝60°.(1)求点M到地面的距离．(2)某搬家公司一辆总宽米，总高米的货车从该入口进入时，货车需与护栏CD保持米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．(参考数据：3≈1.73)图1－Y－812．2018·某某如图1－Y－9，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接．图②是图①中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F.已知AC＝DE＝20 cm，AE＝CD＝10 cm，BD＝40 cm.(1)窗扇完全打开，X角∠CAB＝85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；(2)窗扇部分打开，X角∠CAB＝60°，求此时点A，B之间的距离(精确到0.1 cm，参考数据：3≈，6≈2.449)．图1－Y－9详解详析1．[答案] B 2．[答案] A[解析] 由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋42＝5，则sin B ＝AC AB ＝35.3．[解析] B 在Rt △ABC 中，AB ＝ACsin α，在Rt △ACD 中，AD ＝ACsin β， ∴AB ∶AD ＝AC sin α∶AC sin β＝sin βsin α.故选B. 4．[解析] A 过点B 作BM ⊥ED 交ED 的延长线于点M ，过点C 作⊥DM 于点N .在Rt △CDN 中，∵DN＝10.75＝43， 设＝4k 米，DN ＝3k 米，∵CD ＝10米，∴(3k )2＋(4k )2＝100，∴k ＝2(负值已舍去)， ∴＝8米，DN ＝6米． ∵四边形BMNC 是矩形，∴BM ＝＝8米，BC ＝MN ＝20米，∴EM ＝MN ＋DN ＋DE ＝20＋6＋40＝66(米)．在Rt △AEM 中，tan24°＝AM EM ，∴≈8＋AB66，解得AB ≈21.7(米)．故选A.5．[答案] 2 55[解析] 如图所示：∵∠C ＝90°，tan A ＝12，∴设BC ＝x ，则AC ＝2x ，故AB ＝5x ，则sin B ＝AC AB＝2x5x＝2 55.6．[答案] 15 3或10 3[解析] 作AD ⊥BC 交BC (或BC 的延长线)于点D ， (1)如图①，当AB ，AC 位于AD 异侧时，在Rt △ABD 中，∵∠B ＝30°，AB ＝10， ∴AD ＝AB sin B ＝5，BD ＝AB cos B ＝5 3. 在Rt △ACD 中，∵AC ＝2 7，∴CD ＝AC 2－AD 2＝（2 7）2－52＝3， 则BC ＝BD ＋CD ＝6 3，∴S △ABC ＝12·BC ·AD ＝12×6 3×5＝15 3.(2)如图②，当AB ，AC 在AD 的同侧时，由①知，BD ＝5 3，CD ＝3，AD ＝5， 则BC ＝BD －CD ＝4 3，∴S △ABC ＝12·BC ·AD ＝12×4 3×5＝10 3.综上，△ABC 的面积是15 3或10 3. 7．[答案] 18＋6 35[解析] 过点P 作PQ ⊥AB ，垂足为Q ，过点M 作MN ⊥AB ，垂足为N .AB ＝60×＝90(海里)，设PQ ＝MN ＝x 海里，由点P 在点A 的东北方向上可知，∠PAQ ＝45°，∴AQ ＝PQ ＝x 海里，BQ ＝(x －90)海里．在Rt △PBQ 中，∠PBQ ＝90°－30°＝60°，∴tan60°＝x x －90＝3，解得x ＝135＋45 3.在Rt △BMN 中，∠MBN ＝90°－60°＝30°，∴BM ＝2MN ＝2x ＝2×(135＋45 3)＝(270＋90 3)海里， ∴最短航行时间为270＋90 375＝18＋6 35(时)．8．解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D ，设CD ＝x 米，∵∠CBD ＝45°，∠BDC ＝90°， ∴BD ＝CD ＝x 米，∵∠A ＝30°，AD ＝AB ＋BD ＝(4＋x )米， ∴tan A ＝CDAD ，即33＝x 4＋x，解得x ＝2＋2 3， 因此，该雕塑的高度为(2＋2 3)米．9．[解析] 设BD ＝x 米，则可得AD 的长，分别在Rt △ACD 和Rt △BCD 中，表示出CD 的长度，然后根据等式，列出方程即可解决问题．解：设BD ＝x 米，则AD ＝(200＋x )米．在Rt △ACD 中，∵∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝(200＋x )米．在Rt △BCD 中，∵∠CBD ＝60°， ∴CD ＝3BD ＝3x 米，∴200＋x ＝3x ，∴x ＝100(3＋1)＝100 3＋100≈273. 因此，小明还需沿绿道继续直行约273米才能到达桥头D 处．10．[解析] 过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作AF ⊥CE 于点F ，设AF ＝x 米，可得AC ＝2x 米，CF ＝3x 米，在Rt △ABD 中，由AB ＝EF ＝2米，知BD ＝2tan9°米，DE ＝BD －BE ＝(2tan9°－x )米，CE ＝EF ＋CF ＝(2＋3x )米，根据tan ∠CDE ＝CEDE列出关于x 的方程，解之可得．解：如图所示，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作AF ⊥CE 于点F ，则四边形ABEF 是矩形， ∴AB ＝EF ＝2米，AF ＝BE . 设AF ＝x 米，则BE ＝x 米． ∵∠BAC ＝150°，∠BAF ＝90°， ∴∠CAF ＝60°， 则AC ＝AFcos ∠CAF＝2x 米，CF ＝AF tan ∠CAF ＝3x 米．在Rt △ABD 中，∵AB ＝2米，∠ADB ＝9°， ∴BD ＝ABtan ∠ADB ＝2tan9°米，则DE ＝BD －BE ＝(2tan9°－x )米，CE ＝EF ＋CF ＝(2＋3x )米．在Rt △CDE 中，∵tan ∠CDE ＝CE DE， ∴°＝2＋3x2tan9°－x ，解得x ≈，即保温板AC 的长约是米．11．解：(1)如图，过点M 作MN ⊥AB 交BA 的延长线于点N . 在Rt △OMN 中，∠NOM ＝60°，OM ＝米， ∴∠M ＝30°，∴ON ＝12OM ＝米，∴NB ＝ON ＋OB ＝＋＝3.9(米)． 答：点M 到地面的距离是米．(2)货车能安全通过．取CE ＝米，EH ＝米，则HB ＝－－＝0.7(米)．过点H 作GH ⊥BC ，交OM 于点G ，过点O 作OP ⊥GH 于点P ，则OP ＝HB ＝米． ∵∠GOP ＝90°－60°＝30°，∴tan30°＝GP OP ＝33， ∴GP ＝33OP ≈错误!≈0.404(米)， ∴GH ≈＋＝3.704(米)＞米， ∴货车能安全通过．12．[解析] (1)由AC ＝DE ，AE ＝CD 可得四边形ACDE 是平行四边形，则CA ∥DE ，根据两直线平行，同位角相等，可求得∠DFB 的度数．(2)过点C 作CG ⊥AB 于点G ，在Rt △ACG 中，∠CAB ＝60°，AC ＝20 cm ，可求得AG ＝20cos60°＝10 cm ，CG ＝20sin60°＝10 3 cm ，在Rt △BCG 中，由CG ＝10 3 cm ，BC ＝30 cm ，可求得BG ＝10 6 cm ，进而可求得AB 的长度．解：(1)∵AC ＝DE ，AE ＝CD ， ∴四边形ACDE 是平行四边形， ∴CA ∥DE ，∴∠DFB ＝∠CAB ＝85°.(2)如图，过点C 作CG ⊥AB 于点G . 在Rt △ACG 中， ∵∠CAB ＝60°，∴AG ＝20cos60°＝10 cm ，CG ＝20sin60°＝10 3 cm.∵BD ＝40 cm ，CD ＝10 cm ，∴BC＝30 cm.在Rt△BCG中，BG＝BC2－CG2＝10 6 cm，∴AB＝AG＋BG＝10＋10 6≈34.5(cm)．。
北师大版九年级数学下册第一章1.5三角函数的应用同步练习(PDF版,无答案)
一、选择题 1、如图所示，河堤横断面迎水坡 AB 的坡比是 1： ，堤高 BC=5m，则坡面 AB 的长是（ ）
A．10m B．
m
C．15m
D． m
2、如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全
部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点 P 的距离是（ ）
B．（60+100cosa）cm
C．（60+100tana）cm
D．以上答案都不对
7、如图所示，要在离地面 5m 处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成 60°角，若考虑既要符
合设计要求，又要节省材料，则在库存的 l1=5.2m、l2=6.2m、l3=7.8m、l4=10m 四种备用拉
线材料中，拉线 AC 最好选用（ ）
，60 千米/小时≈16.7 米/秒）
22、小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏 OB 与底板 OA 所在水平线的夹角为 120°， 感觉最舒适（如图 1），侧面示意图为图 2．使用时为了散热，她在底板下垫入散热架 ACO′ 后，电脑转到 AO′B′位置（如图 3），侧面示意图为图 4．已知 OA=OB=24cm，O′C⊥OA 于 点 C，O′C=12cm．
么这两树在坡面上的距离 AB 为（ ）
A．5cosα
B．
C．5sinα
D．
6、如图是一台 54 英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设∠DAO=a，彩电后背 AD 平 行于前沿 BC，且与 BC 的距离为 60cm，若 AO=100cm，则墙角 O 到前沿 BC 的距离 OE 是 （）
A．（60+100sina）cm
12、如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为 4m．如果在坡度 为 0.75 的山坡上种树，也要求株距为 4m，那么相邻两树间的坡面距离为 ．
2019春九年级数学下册 第一章 直角三角形的边角关系 1.5 三角函数的应用课时作业 (新版)北师大版
1.5三角函数的应用知识要点基础练知识点1方向角问题1.如图,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为30海里的A处,轮船沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处,则此时轮船所在的位置B处与灯塔P之间的距离为30√3海里.2.(苏州中考)如图,在一笔直的沿湖道路l上有A,B两个游船码头,观光岛屿C在码头A北偏东60°的方向,在码头B北偏西45°的方向,AC=4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA 回到码头A或沿CB回到码头B,设开往码头A,B的游船速度分别为v1,v2,若回到A,B所用时=√2.(结果保留根号)间相等,则v1v23.如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4 km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,求该船航行的距离(即AB的长).解:过点A作AD⊥OB于点D.在Rt△AOD中,∵∠ADO=90°,∠AOD=30°,OA=4 km,∴AD=1OA=2 km.2在Rt△ABD中,∵∠ADB=90°,∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°,∴BD=AD=2 km,∴AB=√2AD=2√2 km,即该船航行的距离(即AB的长)为2√2 km.知识点2测量高度与宽度4.如图所示,某办公大楼正前方有一根高度为15米的旗杆ED,从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°,旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米,梯坎坡长BC是12米,梯坎坡度i=1∶√3,则大楼AB的高度约为(参考数据:√2≈1.41,√3≈1.73,√6≈2.45) (D)A.30.6米B.32.1米C.37.9米D.39.4米5.(邵阳中考)如图所示,运载火箭从地面L处垂直向上发射,当火箭到达A点时,从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km,仰角是30°,n秒后,火箭到达B点,此时仰角是45°,则火箭在这n秒中上升的高度是20√3-20 km.(保留准确值)【变式拓展】如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底点G为BC 的中点,则矮建筑物的高CD为(A) A.20米 B.10√3米C.15√3米D.5√6米6.(义乌中考)如图,从地面上的点A 看一山坡上的电线杆PQ ,测得杆顶端点P 的仰角是45°,向前走6 m 到达B 点,测得杆顶端点P 和杆底端点Q 的仰角分别是60°和30°.(参考数据:√3≈1.7,√2≈1.4)(1)求∠BPQ 的度数;(2)求该电线杆PQ 的高度.(结果精确到1 m) 解:延长PQ 交直线AB 于点E. (1)在Rt △BPE 中, ∠BPQ=90°-60°=30°. (2)设PE=x m .在Rt △APE 中,∠A=45°,则AE=PE=x m . 在Rt △BPE 中,∠PBE=60°,BE=√33PE=√33x m,∵AB=AE-BE=6 m,∴x-√33x=6,解得x=9+3√3.则BE=(3√3+3) m .在Rt △BEQ 中,QE=√33BE=√33(3√3+3)=(3+√3) m .∴PQ=PE-QE=9+3√3-(3+√3)=6+2√3≈9 m .答:电线杆PQ 的高度约9 m .综合能力提升练7.(宜昌中考)如图,要测量小河两岸相对的两点P,A的距离,可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得PC=100米,∠PCA=35°,则小河宽PA等于(C)A.100sin 35°米B.100sin 55°米C.100tan 35°米D.100tan 55°米8.如图,学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度,他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°,然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°,已知斜坡CD的长度为20 m,DE的长为10 m,则树AB的高度是30m.9.(海南中考)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供的方案是水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=1∶1(即DB∶EB=1∶1),如图所示,已知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC.(参考数据:sin 50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan 50°≈1.2)解:设BC=x米,在Rt△ABC中,∠CAB=180°-∠EAC=50°,AB=vvtan50°≈vv1.2=56x.在Rt△EBD中,∵i=DB∶EB=1∶1,∴BD=EB,∴CD+BC=AE+AB,即2+x=4+56x,解得x=12,∴BC=12.答:水坝原来的高度为12米.10.(舟山中考)太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一,老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面,改建前屋顶截面△ABC如图2所示,BC=10米,∠ABC=∠ACB=36°,改建后顶点D在BA 的延长线上,且∠BDC=90°,求改建后南屋面边沿增加部分AD的长.(结果精确到0.1米)(参考数据:sin 18°≈0.31,cos 18°≈0.95,tan 18°≈0.32,sin 36°≈0.59,cos 36°≈0.81,tan 36°≈0.73),∴CD=BC·sin B≈10×0.59=5.9.解:∵∠BDC=90°,BC=10,sin B=vvvv在Rt△BCD中,∠BCD=90°-∠B=90°-36°=54°,∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=54°-36°=18°.,在Rt△ACD中,tan∠ACD=vvvv∴AD=CD·tan∠ACD≈5.9×0.32=1.888≈1.9.答:改建后南屋面边沿增加部分AD的长约为1.9米.拓展探究突破练11.(达州中考)如图,信号塔PQ坐落在坡度i=1∶2的山坡上,其正前方直立着一块警示牌.当太阳光线与水平线成60°角时,测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2√5米,落在警示牌上的影子MN长为3米,求信号塔PQ的高.(结果保留根号)解:作MF⊥PQ于点F,QE⊥MN于点E,则四边形EMFQ是矩形.在Rt△QEN中,设EN=x,则EQ=2x,∵QN2=EN2+QE2,∴20=5x2,解得x=2(-2舍去),∴EN=2,EQ=MF=4,∵MN=3,∴FQ=EM=1,在Rt△PFM中,PF=FM·tan 60°=4√3, ∴PQ=PF+FQ=4√3+1.答:信号塔PQ的高为(4√3+1)米.。
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1.5三角函数的应用
一、夯实基础
1．（2016•泰安）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，
sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（）
A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63
2.如图,一枚运载火箭从地面处发射,当火箭到达点时,从地面处的雷达站测得的距离是
,仰角是,后,火箭到达点,此时测得的距离是 6.13km,仰角为,这枚火箭从点到点的平均速度是多少?(精确到)
3．如图所示，一艘渔船正以30海里／时的速度由西向东追赶鱼群，自A处经半小时到达B处，在A处看见小岛C在船的北偏东60°的方向上，在B处看见小岛C在船的北偏东30°的方向上，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，则这艘船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能?
4.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点处有生命迹象,已知废墟一侧地面上两探测点A，B相距3米,探测线与地面的夹角分别是和(如图),试确定生命所在点C的深度. (结果精确到米,参考数据:,)
二、能力提升
5．如图所示，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B 处，经16小时到达，到达后立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A处向北偏西60°的AC方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响：
(1) B处是否会受到台风的影响?清说明理由；。