二次函数的压轴的题目(经典版)
二次函数压轴题(含答案)
面积类1．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是线段BC上的点（不与B，C重合），过M作MN∥y轴交抛物线于N，若点M 的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题；数形结合．分析：（1）已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．（3）设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，MN的表达式在（2）中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），则：a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；∴抛物线的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，则有：，解得；故直线BC的解析式：y=﹣x+3．已知点M的横坐标为m，MN∥y，则M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；∴故MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．（3）如图；∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN•OB，∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C 点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M 点的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；转化思想．分析：（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可．（2）首先根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标．（3）△MBC的面积可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M．解答：解：（1）将B（4，0）代入抛物线的解析式中，得：0=16a﹣×4﹣2，即：a=；∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA•OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）．（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4；∴直线l：y=x﹣4．所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：即M（2，﹣3）．过M点作MN⊥x轴于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．平行四边形类3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．.专题：压轴题；存在型．分析：（1）分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A（3，0）B（0，﹣3）分别代入y=x2+mx+n 与y=kx+b，得到关于m、n的两个方程组，解方程组即可；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），用P点的纵坐标减去M的纵坐标得到PM的长，即PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，然后根据二次函数的最值得到当t=﹣=时，PM最长为=，再利用三角形的面积公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM计算即可；（3）由PM∥OB，根据平行四边形的判定得到当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能；当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分别解一元二次方程即可得到满足条件的t的值．解答：解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得解得，所以抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3．设直线AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得，解得，所以直线AB的解析式是y=x﹣3；（2）设点P的坐标是（t，t﹣3），则M（t，t2﹣2t﹣3），因为p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，当t=﹣=时，二次函数的最大值，即PM最长值为=，则S△ABM=S△BPM+S△APM==．（3）存在，理由如下：∵PM∥OB，∴当PM=OB时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，①当P在第四象限：PM=OB=3，PM最长时只有，所以不可能有PM=3．②当P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=，t2=（舍去），所以P点的横坐标是；③当P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=（舍去），t2=，所以P 点的横坐标是．所以P点的横坐标是或．4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用旋转的性质得出A′（﹣1，0），B′（0，2），再利用待定系数法求二次函数解析式即可；（2）利用S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，再假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，得出一元二次方程，得出P点坐标即可；（3）利用P点坐标以及B点坐标即可得出四边形PB′A′B为等腰梯形，利用等腰梯形性质得出答案即可．解答：解：（1）△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）．方法一：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A′、B′、B，∴，解得：，∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x2+x+2．方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2）将B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故满足条件的抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x2+x+2．连接PB，PO，PB′，∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面积为：×1×2=1，假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍，则4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此时y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．∴存在点P（1，2），使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍．（3）四边形PB′A′B为等腰梯形，答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．①等腰梯形同一底上的两个内角相等；②等腰梯形对角线相等；③等腰梯形上底与下底平行；④等腰梯形两腰相等．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）或用符号表示：①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′；②P A′=B′B；③B′P∥A′B；④B′A′=PB．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）5．如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD 的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中即可求出点A的坐标．（2）由A点坐标可确定抛物线的解析式，进而可得到点B的坐标．则AB、AD、BD三边的长可得，然后根据边长确定三角形的形状．（3）若以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形，应分①AB为对角线、②AD为对角线两种情况讨论，即①AD PB、②AB PD，然后结合勾股定理以及边长的等量关系列方程求出P点的坐标．解答：解：（1）∵顶点A的横坐标为x=﹣=1，且顶点A在y=x﹣5上，∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．（2）△ABD是直角三角形．将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．由题意知：直线y=x﹣5交y轴于点E（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形∴BD∥l，即P A∥BD则构成平行四边形只能是P ADB或P ABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线交过P且平行于x轴的直线于点G．设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）则PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|P A=BD=3由勾股定理得：（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2或4∴P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1），存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形．周长类6．如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点B，且顶点在直线x=上．（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点M是线段OB上的一个动点（点M与点O、B不重合），过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S 和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）根据抛物线y=经过点B（0，4），以及顶点在直线x=上，得出b，c 即可；（2）根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出x=5或2时，y的值即可．（3）首先设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，求出解析式，当x=时，求出y即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON=，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．解答：解：（1）∵抛物线y=经过点B（0，4）∴c=4，∵顶点在直线x=上，∴﹣=﹣=，∴b=﹣；∴所求函数关系式为；（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当x=5时，y=，当x=2时，y=，∴点C和点D都在所求抛物线上；（3）设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b，则，解得：，∴，当x=时，y=，∴P（），（4）∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON=，设对称轴交x于点F，则（PF+OM）•OF=（+t）×，∵，S△PNF=×NF•PF=×（﹣t）×=，S=（﹣），=﹣（0＜t＜4），a=﹣＜0∴抛物线开口向下，S存在最大值．由S△PMN=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+，∴当t=时，S取最大值是，此时，点M的坐标为（0，）．等腰三角形类7．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）首先根据OA的旋转条件确定B点位置，然后过B做x轴的垂线，通过构建直角三角形和OB的长（即OA长）确定B点的坐标．（2）已知O、A、B三点坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式．（3）根据（2）的抛物线解析式，可得到抛物线的对称轴，然后先设出P点的坐标，而O、B坐标已知，可先表示出△OPB三边的边长表达式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP 三种情况分类讨论，然后分辨是否存在符合条件的P点．解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是直线x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），8．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）根据题意，过点B作BD⊥x轴，垂足为D；根据角的互余的关系，易得B到x、y轴的距离，即B的坐标；（2）根据抛物线过B点的坐标，可得a的值，进而可得其解析式；（3）首先假设存在，分A、C是直角顶点两种情况讨论，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴点B的坐标为（﹣3，1）；（4分）（2）抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B（﹣3，1），则得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以抛物线的解析式为y=x2+x﹣2；（7分）（3）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：①若以点C为直角顶点；则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）过点P1作P1M⊥x轴，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC．（10分）∴CM=CD=2，P1M=BD=1，可求得点P1（1，﹣1）；（11分）②若以点A为直角顶点；则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，（12分）过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，（13分）∴NP2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P2（2，1），（14分）经检验，点P1（1，﹣1）与点P2（2，1）都在抛物线y=x2+x﹣2上．（16分）9．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（1，0），如图所示，抛物线y=ax2﹣ax﹣2经过点B．（1）求点B的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为D，易证得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，则可求得点B的坐标；（2）利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；（3）分别从①以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，去分析则可求得答案．解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴点B的坐标为（3，1）；（2）∵抛物线y=ax2﹣ax﹣2过点B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（3）假设存在点P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC为直角边，点C为直角顶点，则延长BC至点P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，过点P1作P1M⊥x轴，如图（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），经检验点P1在抛物线y=x2﹣x﹣2上；②若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，过点P2作P2N⊥y轴，如图（2），同理可证△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），经检验P2（﹣2，1）也在抛物线y=x2﹣x﹣2上；③若以AC为直角边，点A为直角顶点，则过点A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，过点P3作P3H⊥y轴，如图（3），同理可证△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3（2，3），经检验P3（2，3）不在抛物线y=x2﹣x﹣2上；故符合条件的点有P1（﹣1，﹣1），P2（﹣2，1）两点．综合类10．如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD 为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x 轴正半轴上，且OD=OC．（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P 点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求出直线解析式；（2）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（3）关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形；（4）如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小．如答图③所示，利用勾股定理求出线段C′C″的长度，即△PCF周长的最小值．解答：解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），将C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：b=1，k=﹣1，∴直线CD的解析式为：y=﹣x+1．（2）设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）2+3，解得a=．∴y=（x﹣2）2+3=x2+2x+1．（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E的坐标为（4，1）．如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点M，则M（2，1），∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．（4）存在．如答图②所示，作点C关于直线QE的对称点C′，作点C关于x轴的对称点C″，连接C′C″，交OD于点F，交QE于点P，则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF的周长等于线段C′C″的长度．（证明如下：不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′，在线段QE上取异于点P的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′；而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周长大于△PCE的周长．）如答图③所示，连接C′E，∵C，C′关于直线QE对称，△QCE为等腰直角三角形，∴△QC′E为等腰直角三角形，∴△CEC′为等腰直角三角形，∴点C′的坐标为（4，5）；∵C，C″关于x轴对称，∴点C″的坐标为（0，﹣1）．过点C′作C′N⊥y轴于点N，则NC′=4，NC″=4+1+1=6，在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．综上所述，在P点和F点移动过程中，△PCF的周长存在最小值，最小值为．12．如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）利用勾股定理求得△BCD的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断；（3）分p在x轴和y轴两种情况讨论，舍出P的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c由抛物线与y轴交于点C（0，3），可知c=3．即抛物线的解析式为y=ax2+bx+3．把点A（1，0）、点B（﹣3，0）代入，得解得a=﹣1，b=﹣2∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△BCD是直角三角形．理由如下：解法一：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．∵在Rt△BOC中，OB=3，OC=3，∴BC2=OB2+OC2=18在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1，∴CD2=DF2+CF2=2在Rt△BDE中，DE=4，BE=OB﹣OE=3﹣1=2，∴BD2=DE2+BE2=20∴BC2+CD2=BD2∴△BCD为直角三角形．解法二：过点D作DF⊥y轴于点F．在Rt△BOC中，∵OB=3，OC=3∴OB=OC∴∠OCB=45°∵在Rt△CDF中，DF=1，CF=OF﹣OC=4﹣3=1∴DF=CF∴∠DCF=45°∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°∴△BCD为直角三角形．（3）①△BCD的三边，==，又=，故当P是原点O时，△ACP∽△DBC；②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设P的坐标是（0，a），则PC=3﹣a，=，即=，解得：a=﹣9，则P的坐标是（0，﹣9），三角形ACP不是直角三角形，则△ACP∽△CBD不成立；③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设P的坐标是（0，b），则PC=3﹣b，则=，即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）时，则△ACP∽△CBD一定成立；④当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（d，0）．则AP=1﹣d，当AC与CD是对应边时，=，即=，解得：d=1﹣3，此时，两个三角形不相似；⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）．则AP=1﹣e，当AC与DC是对应边时，=，即=，解得：e=﹣9，符合条件．总之，符合条件的点P的坐标为：．对应练习13．如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．考点：二次函数综合题．.专题：代数几何综合题；压轴题．分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC 与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．14．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）试判断△AOC与△COB是否相似？并说明理由；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=求出对称轴方程；（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；（3）根据，∠AOC=∠BOC=90°，可以判定△AOC∽△COB；（4）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．解答：解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+4的图象经过点A（﹣2，0），∴﹣×（﹣2）2+b×（﹣2）+4=0，解得：b=，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+4，又∵y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣3）2+，∴对称轴方程为：x=3．（2）在y=﹣x2+x+4中，令x=0，得y=4，∴C（0，4）；令y=0，即﹣x2+x+4=0，整理得x2﹣6x﹣16=0，解得：x=8或x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得：，解得k=，b=4，∴直线BC的解析式为：y=x+4．（3）可判定△AOC∽△COB成立．理由如下：在△AOC与△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．（4）∵抛物线的对称轴方程为：x=3，可设点Q（3，t），则可求得：AC===，AQ==，CQ==．i）当AQ=CQ时，有=，25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）；ii）当AC=AQ时，有=，t2=﹣5，此方程无实数根，∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；iii）当AC=CQ时，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，∴点Q坐标为：Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（3，0），Q2（3，4+），Q3（3，4﹣）．15．如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形P ACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题．.专题：压轴题．分析：如解答图所示：（1）首先构造全等三角形△AOB≌△CDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线的解析式；（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF 的表达式；根据S△CEF=S△ABC，列出方程求出直线l的解析式；（3）首先作出▱P ACB，然后证明点P在抛物线上即可．解答：解：（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．∵在△AOB与△CDA中，∴△AOB≌△CDA（ASA）．∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．∵点C（3，1）在抛物线y=x2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=．∴S△ABC=AB2=．设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），∴，解得k=﹣，b=2，。
中考数学二次函数-经典压轴题含详细答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=--+.（2）3210. （3）①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可. 【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0）， ∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-. ∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+. （2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值. ∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小. ∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10. ∴△PBC 的周长最小是：3210.（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+） ∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---.∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---. ②()22S m 4m 3m 21=---=-++，∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.2．如图，抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点． (1)求点A 、B 、C 的坐标；(2)点M(m ，0)为线段AB 上一点(点M 不与点A 、B 重合)，过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，可得矩形PQNM ．如图，点P 在点Q 左边，试用含m 的式子表示矩形PQNM 的周长；(3)当矩形PQNM 的周长最大时，m 的值是多少？并求出此时的△AEM 的面积； (4)在(3)的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G(点G 在点F 的上方)．若FG ＝2，求点F 的坐标．【答案】(1)A(﹣3，0)，B(1，0)；C(0，3) ；(2)矩形PMNQ的周长＝﹣2m2﹣8m+2；(3) m＝﹣2；S＝12；(4)F(﹣4，﹣5)或(1，0)．【解析】【分析】（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A，B，C的坐标；（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM，MN即可；（3）由（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m，进而求出直线AC解析式，即可；（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ＝DC＝2，再建立方程（n+3）﹣（﹣n2﹣2n+3）＝4即可．【详解】(1)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，C(0，3)．令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，解得，x＝﹣3或x＝l，∴A(﹣3，0)，B(1，0)．(2)由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3可知，对称轴为x＝﹣1．∵M(m，0)，∴PM＝﹣m2﹣2m+3，MN＝(﹣m﹣1)×2＝﹣2m﹣2，∴矩形PMNQ的周长＝2(PM+MN)＝(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2＝﹣2m2﹣8m+2．(3)∵﹣2m2﹣8m+2＝﹣2(m+2)2+10，∴矩形的周长最大时，m＝﹣2．∵A(﹣3，0)，C(0，3)，设直线AC的解析式y＝kx+b，∴303k bb-+=⎧⎨=⎩解得k＝l，b＝3，∴解析式y＝x+3，令x＝﹣2，则y＝1，∴E(﹣2，1)，∴EM＝1，AM＝1，∴S ＝12AM×EM ＝12． (4)∵M(﹣2，0)，抛物线的对称轴为x ＝﹣l ， ∴N 应与原点重合，Q 点与C 点重合， ∴DQ ＝DC ，把x ＝﹣1代入y ＝﹣x 2﹣2x+3，解得y ＝4， ∴D(﹣1，4)， ∴DQ ＝DC ＝2． ∵FG ＝22DQ ， ∴FG ＝4．设F(n ，﹣n 2﹣2n+3)，则G(n ，n+3)， ∵点G 在点F 的上方且FG ＝4， ∴(n+3)﹣(﹣n 2﹣2n+3)＝4． 解得n ＝﹣4或n ＝1， ∴F(﹣4，﹣5)或(1，0)． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m 表示出矩形PMNQ 的周长．3．如图，已知二次函数的图象过点O （0，0）．A （8，4），与x 轴交于另一点B ，且对称轴是直线x ＝3．（1）求该二次函数的解析式；（2）若M 是OB 上的一点，作MN ∥AB 交OA 于N ，当△ANM 面积最大时，求M 的坐标；（3）P 是x 轴上的点，过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q ．过A 作AC ⊥x 轴于C ，当以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以O ，A ，C 为顶点的三角形相似时，求P 点的坐标．【答案】（1）21342y x x =-；（2）当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）；（3）P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）．【解析】 【分析】（1）先利用抛物线的对称性确定B （6，0），然后设交点式求抛物线解析式； （2）设M （t ，0），先其求出直线OA 的解析式为12y x =直线AB 的解析式为y=2x-12，直线MN 的解析式为y=2x-2t ，再通过解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得N （42t,t 33），接着利用三角形面积公式，利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112S 4t t t 223∆=⋅⋅-⋅⋅然后根据二次函数的性质解决问题； （3）设Q 213m,m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据相似三角形的判定方法，当PQ PO OC AC=时，△PQO ∽△COA ，则213m m 2|m |42-=；当PQ POAC OC=时，△PQO ∽△CAO ，则2131m m m 422-=，然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线过原点，对称轴是直线x ＝3， ∴B 点坐标为（6，0），设抛物线解析式为y ＝ax （x ﹣6）， 把A （8，4）代入得a•8•2＝4，解得a ＝14， ∴抛物线解析式为y ＝14x （x ﹣6），即y ＝14x 2﹣32x ； （2）设M （t ，0），易得直线OA 的解析式为y ＝12x ， 设直线AB 的解析式为y ＝kx+b ，把B （6，0），A （8，4）代入得6084k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 2b 12=⎧⎨=-⎩，∴直线AB 的解析式为y ＝2x ﹣12， ∵MN ∥AB ，∴设直线MN 的解析式为y ＝2x+n ， 把M （t ，0）代入得2t+n ＝0，解得n ＝﹣2t ， ∴直线MN 的解析式为y ＝2x ﹣2t ，解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得4323x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则42N t,t 33⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴S △AMN ＝S △AOM ﹣S △NOM1124t t t 223=⋅⋅-⋅⋅ 21t 2t 3=-+21(t 3)33=--+，当t ＝3时，S △AMN 有最大值3，此时M 点坐标为（3，0）； （3）设213m,m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵∠OPQ ＝∠ACO ， ∴当PQ PO OC AC =时，△PQO ∽△COA ，即PQ PO 84=， ∴PQ ＝2PO ，即213m m 2|m |42-=， 解方程213m m 2m 42-=得m 1＝0（舍去），m 2＝14，此时P 点坐标为（14，0）； 解方程213m m 2m 42-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝﹣2，此时P 点坐标为（﹣2，0）； ∴当PQ PO AC OC =时，△PQO ∽△CAO ，即PQ PO 48=， ∴PQ ＝12PO ，即2131m m m 422-=，解方程2131m m m 422=-=得m 1＝0（舍去），m 2＝8，此时P 点坐标为（8，0）； 解方程2131m m m 422=-=-得m 1＝0（舍去），m 2＝4，此时P 点坐标为（4，0）； 综上所述，P 点坐标为（14，0）或（﹣2，0）或（4，0）或（8，0）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．4．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或 【解析】 【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论． 【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：x =即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0）， 它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -）， 由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或 【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．5．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中，得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+，∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+．当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=，()22[11](0)AM m =--+-．分三种情况考虑：①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．6．如图，抛物线y=ax 2+bx 过点B （1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x 轴的正半轴交于点A ．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x 的取值范围； （2）在第二象限内的抛物线上有一点P ，当PA ⊥BA 时，求△PAB 的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣4x ，自变量x 的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB 的面积=15． 【解析】 【分析】（1）将函数图象经过的点B 坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a 和b ；（2）如图，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为F ，设P （x ，x 2-4x ），证明△PFA ∽△AEB,求出点P 的坐标，将△PAB 的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积． 【详解】（1）由题意得，322a b b a+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14a b -⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x 2-4x ， 令y=0，得x 2-2x=0，解得x=0或4， 结合图象知，A 的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x 的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为F ，设P （x ，x 2-4x ）, ∵PA ⊥BA ∴∠PAF+∠BAE=90°, ∵∠PAF+∠FPA=90°, ∴∠FPA=∠BAE 又∠PFA=∠AEB=90° ∴△PFA ∽△AEB,∴PF AF AE BE =，即244213x x x--=-， 解得，x= −1，x=4（舍去） ∴x 2-4x=-5∴点P 的坐标为（-1，-5），又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1 所以BP 与x 轴交点为（14，0） ∴S △PAB=115531524⨯⨯+= 【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．7．如图，（图1，图2），四边形ABCD 是边长为4的正方形，点E 在线段BC 上，∠AEF=90°,且EF 交正方形外角平分线CP 于点F ，交BC 的延长线于点N, FN ⊥BC ． （1）若点E 是BC 的中点（如图1），AE 与EF 相等吗？（2）点E 在BC 间运动时（如图2），设BE=x ，△ECF 的面积为y ． ①求y 与x 的函数关系式；②当x 取何值时，y 有最大值，并求出这个最大值.【答案】（1）AE=EF ；（2）①y=-12x 2+2x （0＜x ＜4)，②当x=2,y 最大值=2. 【解析】 【分析】（1）在AB 上取一点G ，使AG=EC ，连接GE ，利用ASA ，易证得：△AGE ≌△ECF ，则可证得：AE=EF ；（2）同（1）可证明AE=EF ，利用AAS 证明△ABE ≌△ENF ，根据全等三角形对应边相等可得FN=BE ，再表示出EC ，然后利用三角形的面积公式即可列式表示出△ECF 的面积为y ，然后整理再根据二次函数求解最值问题． 【详解】（1）如图，在AB 上取AG=EC ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB=BC ，有∵AG=EC ，∴BG=BE ， 又∵∠B=90°， ∴∠AGE=135°，又∵∠BCD=90°，CP 平分∠DCN ， ∴∠ECF=135°，∵∠BAE ＋∠AEB=90°，∠AEB ＋∠FEC=90°， ∴∠BAE=∠FEC ， 在△AGE 和△ECF 中，AGE ECF AG ECGAE CEF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴△AGE ≌△ECF ， ∴AE=EF ；(2)①∵由（1）证明可知当E 不是中点时同理可证AE=EF ， ∵∠BAE=∠NEF ，∠B=∠ENF=90°， ∴△ABE ≌△ENF ， ∴FN=BE=x ， ∴S △ECF =12(BC-BE)·FN ， 即y=12x(4-x ）， ∴y=-12x 2+2x （0＜x ＜4)， ②()()222111y x 2x x 4x x 22222=-+=--=--+， 当x=2，y 最大值=2. 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，综合性较强，正确添加辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3；直线AC 的解析式为y=3x+3；（2）点M 的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P 的坐标为（73，209）或（103，﹣139）， 【解析】分析：（1）设交点式y=a （x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a 即可得到抛物线解析式；再确定C （0，3），然后利用待定系数法求直线AC 的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D 的坐标为（1，4），作B 点关于y 轴的对称点B′，连接DB′交y 轴于M ，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD 的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．9．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或【解析】试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；②根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴对称轴为y=2；∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；②这两个点连线为y=﹣5；将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或者﹣2；当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；∴a=或；考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换10．抛物线，若a，b，c满足b=a+c，则称抛物线为“恒定”抛物线．（1）求证：“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A；（2）已知“恒定”抛物线的顶点为P，与x轴另一个交点为B，是否存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见试题解析；（2），或．【解析】试题分析：（1）由“恒定”抛物线的定义，即可得出抛物线恒过定点（﹣1，0）；（2）求出抛物线的顶点坐标和B的坐标，由题意得出PA∥CQ，PA=CQ；存在两种情况：①作QM⊥AC于M，则QM=OP=，证明Rt△QMC≌Rt△POA，MC=OA=1，得出点Q的坐标，设抛物线的解析式为，把点A坐标代入求出a的值即可；②顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合；证明△OQC≌△OPA，得出OQ=OP=，得出点Q坐标，设抛物线的解析式为，把点C坐标代入求出a的值即可．试题解析：（1）由“恒定”抛物线，得：b=a+c，即a﹣b+c=0，∵抛物线，当x=﹣1时，y=0，∴“恒定”抛物线必过x轴上的一个定点A（﹣1，0）；（2）存在；理由如下：∵“恒定”抛物线，当y=0时，，解得：x=±1，∵A（﹣1，0），∴B（1，0）；∵x=0时，y=，∴顶点P的坐标为（0，），以PA，CQ为边的平行四边形，PA、CQ是对边，∴PA∥CQ，PA=CQ，∴存在两种情况：①如图1所示：作QM⊥AC于M，则QM=OP=，∠QMC=90°=∠POA，在Rt△QMC和Rt△POA中，∵CQ=PA，QM=OP，∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），∴MC=OA=1，∴OM=2，∵点A和点C是抛物线上的对称点，∴AM=MC=1，∴点Q的坐标为（﹣2，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点A（﹣1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：，即；②如图2所示：顶点Q在y轴上，此时点C与点B重合，∴点C坐标为（1，0），∵CQ∥PA，∴∠OQC=∠OPA，在△OQC和△OPA中，∵∠OQC=∠OPA，∠COQ=∠AOP，CQ=PA，∴△OQC≌△OPA（AAS），∴OQ=OP=，∴点Q坐标为（0，），设以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线的解析式为，把点C（1，0）代入得：a=，∴抛物线的解析式为：；综上所述：存在以Q为顶点，与x轴另一个交点为C的“恒定”抛物线，使得以PA，CQ为边的四边形是平行四边形，抛物线的解析式为：，或．考点：1．二次函数综合题；2．压轴题；3．新定义；4．存在型；5．分类讨论．。
中考数学二次函数压轴题16道
1.如图，抛物线的顶点为P （1，0），一条直线与抛物线相交于A （2，1），B （－21，m ）两点．（1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）若M 为线段AB 上的动点，过M 作MN ∥y 轴，交抛物线于点N ，连接NP 、AP ，试探究四边形MNP A 能否为梯形，若能，求出此时点M 的坐标；若不能，请说明理由．2.如下列图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）．经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，其顶点为D ，连接BD ，点P 是线段BD 上一个动点（不与B 、D 重合），过点P 作y 轴的垂线，垂足为E ，连接BE ．（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；（2）假设P 点的坐标为（x ，y ），△PBE 的面积为s ，求s 与x 的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并求出s 的最大值；（3）在（2）的条件下，当s 取得最大值时，过点P 作x 轴的垂线，垂足为F ，连接EF ，把△PEF 沿直线EF折叠，点P 的对应点为P ′ ，请直接写出P ′点坐标，并判断点P ′是否在该抛物线上．3．如图，抛物线与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，且x1＞x2，与y轴交于点C（0，4），其中x1，x2是方程x2－2x－8＝0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点P是线段AB上的动点，过点P作PE∥AC，交BC于点E，连接CP，当△CPE的面积最大时，求点P的坐标；（3）探究：若点Q是抛物线对称轴上的点，是否存有这样的点Q，使△QBC成为等腰三角形，若存有，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存有，请说明理由．4．已知：如下列图，关于x的抛物线y＝ax2＋x＋c（a≠0）与x轴交于点A（－2，0），点B（6，0），与y 轴交于点C．（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；（3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点Q．是否存有以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？假设存有，请直接写出点Q的坐标；假设不存有，请说明理由．5．如图，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，A （－3，0），过点C 的直线y ＝－2x ＋4与x 轴交于点D ，二次函数y ＝－21x2＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点． （1）求B 、C 两点的坐标； （2）求二次函数的解析式；（3）若点P 是CD 的中点，求证：AP ⊥CD ；（4）在二次函数的图象上是否存有这样的点M ，使以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形为矩形？若存有，求出点M 的坐标；若不存有，请说明理由．6．已知：抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴为x ＝－1，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中A （－3，0）、C （0，－2）．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存有一点P ，使得△PBC 的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ，连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，△PDE 的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存有最大值，若存有，请求出最大值；若不存有，请说明理由．7.如图，已知抛物线y＝x2－1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．（3）在x轴上方的抛物线上是否存有一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存有，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，－3a），对称轴是直线x＝1，顶点是M．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存有这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存有，请求出点P的坐标；若不存有，请说明理由；（3）设直线y＝－x＋3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E 三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；（4）当E是直线y＝－x＋3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）9．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．10．如图，在平面直角坐标系中，以点A(－3，0)为圆心、5为半径的圆与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左边），与y轴相交于D、M两点（点D在点M的下方）．（1）求以直线x＝－3为对称轴、且经过D、C两点的抛物线的解析式；（2）若点P是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC＋PD的取值范围；（3）若点E为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存有这样的点F，使得以点B、C、E、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存有，求出点F的坐标；若不存有，说明理由．11．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－4与直线y＝x交于点A、B两点，A、B的横坐标分别为－1和4．（1）求此抛物线的解析式．（2）若平行于y轴的直线x＝m（0＜m＜5＋1）与抛物线交于点M，与直线y＝x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示）．（3）在（2）的条件下，连接OM、BM，是否存有m的值，使得△BOM的面积S最大？若存有，请求出m 的值，若不存有，请说明理由．12．如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存有P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存有，请求出符合条件的点P的坐标；若不存有，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．13. 如图（1），抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .b ；若不存有，说明理由.14.如图，已知抛物线212y x bx c x =++与轴交于点A （-4，0）和B （1，0）两点，与y 轴交于C 点. (1)求此抛物线的解析式；(2)设E 是线段AB 上的动点，作EF ∥AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF 面积的2倍时，求E 点的坐标；(3)若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P 点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标.x15.如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ， 那么是否存有点P ，使四边形POP /C 为菱形？若存有，请求出此时点P 的坐标；若不存有，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.16.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点A 的坐标为(30)-，，若将经过A C 、两点的直线1y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点，且抛物线的对称轴是直线2x =-．（1）求直线AC 及抛物线的函数表达式；（2）假如P 是线段AC 上一点，设ABP ∆、BPC ∆的面积分别为ABP S ∆、BPC S ∆，且:2:3ABP BPC S S ∆∆=，求点P 的坐标；（3）设Q 的半径为l ，圆心Q 在抛物线上运动，则在运动过程中是否存有Q 与坐标轴相切的情况？若存有，求出圆心Q 的坐标；若不存有，请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ，圆心Q 在抛物线上运动，则当r 取何值时，⊙Q 与两坐轴同时相切？。
二次函数压轴题(精华版)
2016年10月26日二次函数压轴题1一．解答题〔共30小题〕1．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A〔2，4〕与B〔6，0〕．〔1〕求a，b的值；〔2〕点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x〔2＜x＜6〕，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．2．如图，抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为〔3，0〕〔1〕求m的值与抛物线的顶点坐标．〔2〕点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．3．如图，直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为〔1，0〕．〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A〔﹣1，0〕、C〔0，﹣3〕两点，与x轴交于另一点B．〔1〕求此抛物线的解析式；〔2〕点D〔m，﹣m﹣1〕在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．〔3〕在〔2〕的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？假如存在，请求出P点的坐标；假如不存在，请说明理由．5．如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于B、C两点〔点B在点C的左侧〕，一次函数y=mx+n的图象经过点B和二次函数图象上另一点A，点A的坐标〔4，3〕，．〔1〕求二次函数和一次函数的解析式；〔2〕假如点P在第四象限的抛物线上，求△ABP面积S的最大值并求出此时点P的坐标；〔3〕假如点M在直线AB上，且与点A的距离是到x轴距离的倍，求点M的坐标．6．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A〔3，0〕，与y轴的交点为B〔0，3〕，其顶点为C，对称轴为x=1．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．7．点A〔2，a〕在抛物线y=x2上〔1〕求A点的坐标；〔2〕在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？假如存在写出P点坐标；假如不存在，说明理由．8．如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为〔﹣3，0〕，点C为抛物线与y轴的交点．〔1〕求函数的解析式；〔2〕假如点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；〔3〕设点Q为线段AC上的动点，作QO⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．9．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A〔﹣2，0〕和点B〔6，0〕，与y轴交于点C〔0，3〕，点D是抛物线上的点，且CD∥x轴，点E是抛物线的顶点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕平移该抛物线的对称轴所在直线L，当L平移到何处时，恰好将△BCD的面积分为相等的两局部？〔3〕点F在线段CD上，假如以点C，E，F为顶点的三角形与△COE相似，试求点F的坐标．10．如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A〔1，0〕和B〔4，0〕．〔1〕求抛物线的解析式与对称轴；〔2〕假如抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标．11．如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴交于点A〔﹣4，0〕，B〔1，0〕，与y轴交于点D〔0，4〕，点C〔﹣2，n〕也在此抛物线上．〔1〕求此抛物线的解析式与点C的坐标；〔2〕设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△ACE的形状，并说明理由；〔3〕连接AD交BC于点F，试问：以A，B，F为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．12．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，点A的坐标为〔﹣1，0〕，与y轴交于点C〔0，3〕，作直线BC．动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x 轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为m．〔1〕求抛物线的解析式和直线BC的解析式；〔2〕当点P在线段OB上运动时，求线段MN的最大值；〔3〕当点P在线段OB上运动时，假如△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，求m的值；〔4〕当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值．13．：如下列图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A〔1，0〕，B〔3，0〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕设点P在该抛物线上滑动，且满足条件S△PAB=1的点P有几个？并求出所有点P的坐标；〔3〕设抛物线交y轴于点C，问该抛物线对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？假如存在，求出点M的坐标；假如不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A〔﹣3，0〕、B〔1，0〕、C〔0，3〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕假如点P为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；〔3〕设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是等腰直角三角形？假如存在，请直接写出点M的坐标；假如不存在，请说明理由．15．抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕过点A〔﹣3，0〕，B〔1，0〕，C〔0，3〕三点．〔1〕求该抛物线的函数关系式；〔2〕假如抛物线的顶点为P，连接PA、AC、CP，求△PAC的面积；〔3〕过点C作y轴的垂线，交抛物线于点D，连接PD、BD，BD交AC于点E，判断四边形PCED的形状，并说明理由．16．如图，二次函数y=x2+2x+c的图象与x轴交于点A和点B〔1，0〕，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB匀速运动，当点Q到达终点B时，点P停止运动，设运动时间为t秒．连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．〔1〕求点A的坐标；〔2〕当点P在线段AO〔点P不与A、O重合〕上运动至何处时，线段OE的长有最大值，并求出这个最大值；〔3〕在P，Q运动过程中，求当△DPE与以D，C，Q为顶点的三角形相似时t的值；〔4〕是否存在t，使△DCQ沿DQ翻折得到△DC′Q，点C′恰好落在抛物线的对称轴上？假如存在，请求出t的值；假如不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与抛物线y=ax2+bx﹣3〔a≠0〕交于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为5．点P是直线AB下方的抛物线上的一动点〔不与点A、B 重合〕，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连结PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为1：2？假如存在，直接写出m的值；假如不存在，请说明理由．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的三个顶点B〔1，0〕，C〔3，0〕，D〔3，4〕，以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C，动点P从点A出发，以每秒个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒，过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．〔1〕直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；〔2〕当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？〔3〕点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C，Q，N，H为顶点的四边形为菱形？19．如图，二次函数y=﹣x2﹣+3〔其中m是常数，且m＞0〕的图象与x轴交于A、B〔点A位于点B的左侧〕，与y轴交于点C，作CD∥AB，点D在二次函数的图象上，连接BD，过点B作射线BE交二次函数的图象于点E，使得AB平分∠DBE．〔1〕求点C的坐标；〔2〕求证：为定值；〔3〕二次函数y=﹣x2﹣+3的顶点为F，过点C、F作直线与x轴交于点G，试说明：以GF、BD、BE的长度为三边长的三角形是什么三角形？请说明理由．20．如图1，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为〔﹣2，0〕、〔0，﹣3〕，过点B，C的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点D，E〔D在E的左侧〕，直线DC与线段AB交于点F．〔1〕求抛物线y=x2+bx+c的表达式；〔2〕求点F的坐标；〔3〕如图2，设动点P从点E出发，以每秒1个单位的速度沿射线ED运动，过点P作直线DC的平行线l，过点F作x轴的平行线，交直线l于点Q．设点P的运动时间为t秒．①当点P在射线ED上运动时，四边形PQFD能否成为菱形？假如能，求出相应的t的值；假如不能，说明理由；②当0≤t≤4时，设四边形PQFD与四边形ODBC重合局部的面积为S，直接写出S与t的函数关系式以与相应的自变量t的取值围．21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣4a与直线y=﹣x+4交两坐标轴于点B，C，且与x轴交另一点A．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点D〔m，m+1〕在第一象限抛物线的图象上，求点D关于直线BC对称的点D′坐标；〔3〕在〔2〕的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求△ABP的面积．22．如图，点P是直线l：y=﹣2x﹣2上的点，过点P的另一条直线m交抛物线y=x2于A，B 两点．〔1〕假如直线m的解析式为y=﹣x+2，求P，A，B三点的坐标；〔2〕假如点P的坐标为〔﹣2，2〕，当PA=PB时，求点A的坐标；〔3〕求证：对于直线l上任意一点P，在抛物线上都能找到两个不同位置的点A，使得PA=PB 成立？23．抛物线y=ax2+bx+c〔a＜0〕经过点A〔﹣3，0〕、B〔1，0〕，且与y轴交于点C，设抛物线的顶点为D．〔1〕求点C、D的坐标〔用含a的式子表示〕；〔2〕当a变化时，△ACD能否为直角三角形？假如能？求出所有符合条件的a的值；假如不能，请说明理由．24．如图1，正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，假如∠AEF=90°，且EF交正方形的外角∠DCM的平分线CF于点F．〔1〕图1中假如点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请表示你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等〔不要求证明〕；〔2〕如图2，假如点E在线段BC上滑动〔不与点B，C重合〕．①AE=EF是否一定成立？说出你的理由；②在如图2所示的直角坐标系中抛物线y=ax2+x+c经过A、D两点，当点E滑动到某处时，点F恰好落在此抛物线上，求此时点F的坐标．25．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A〔﹣1，0〕、B〔2，0〕两点，与y轴交于点C〔0，﹣2〕，过A、C画直线．〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；〔3〕假如M为线段OB上的一个动点，过点M做MN平行于y轴交抛物线于点N，当点M运动到何处时，四边形AB的面积最大？求出此时点M的坐标与四边形AB面积的最大值？26．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2﹣3x的图象与x轴相交于O、A两点．〔1〕求A点和顶点C的坐标；〔2〕在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；〔3〕对于〔2〕中的点B，在直线OB下方的抛物线上是否存在点P，使得△POB的面积最大？假如存在，求出△POB的最大面积；假如不存在，请说明理由．27．如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是〔﹣1，0〕、〔0，3〕〔1〕求此抛物线对应的函数解析式；〔2〕假如点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值；〔3〕假如过点A〔﹣1，0〕的直线AD与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形的面积为6，求此直线的解析式．28．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于点AB，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，连接BC、BD．〔1〕点A的坐标是，点B的坐标是，点D的坐标是；〔2〕假如点E是x轴上一点，连接CE，且满足∠ECB=∠CBD，求点E坐标；〔3〕假如点P在x轴上且位于点B右侧，点A、Q关于点P中心对称，连接QD，且∠BDQ=45°，求点P的坐标〔请利用备用图解决问题〕29．如图〔1〕，在平面直角坐标系xOy中，▱OABC的顶点A的坐标为〔2，0〕，点C的坐标为〔2，2〕，点P在射线OA上沿OA方向以2个单位长度/s的速度向右运动，点Q在线段AB上沿AB方向以个单位长度/s的速度从点A向点B运动，设点Q运动的时间为t s〔0≤t ≤2〕，射线PQ交射线CB于点D，连接CP．〔1〕求出过O、A、B三点的抛物线的函数关系式；〔2〕当0＜t＜1时，求出△PAQ的面积 S与t的函数关系式，并求出当t取何值时，S有最大值；〔3〕在点P运动的过程中，∠CPD是一个定值，这个定值是；并求出当△PCD为等腰三角形时t的值；〔4〕当1≤t≤2时，线段DP的中点M运动的总路程为．30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、D两点，与y轴交于点B，四边形OBCD是矩形，点A的坐标为〔1，0〕，点B的坐标为〔0，4〕，点E〔m，0〕是线段DO上的动点，过点E作PE⊥x轴交抛物线于点P，交BC于点G，交BD于点H．〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕当点P在直线BC上方时，请用含m的代数式表示PG的长度；〔3〕在〔2〕的条件下，是否存在这样的点P，使得以P、B、G为顶点的三角形与△DEH相似？假如存在，求出此时m的值；假如不存在，请说明理由．2016年10月26日二次函数压轴题1参考答案与试题解析一．解答题〔共30小题〕1．〔2016•〕如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A〔2，4〕与B〔6，0〕．〔1〕求a，b的值；〔2〕点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x〔2＜x＜6〕，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的最值．【专题】计算题；二次函数图象与其性质．【分析】〔1〕把A与B坐标代入二次函数解析式求出a与b的值即可；〔2〕如图，过A作x轴的垂直，垂足为D〔2，0〕，连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，分别表示出三角形OAD，三角形ACD，以与三角形BCD的面积，之和即为S，确定出S关于x的函数解析式，并求出x的围，利用二次函数性质即可确定出S的最大值，以与此时x的值．【解答】解：〔1〕将A〔2，4〕与B〔6，0〕代入y=ax2+bx，得，解得：；〔2〕如图，过A作x轴的垂直，垂足为D〔2，0〕，连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，S△OAD=OD•AD=×2×4=4；S△ACD=AD•CE=×4×〔x﹣2〕=2x﹣4；S△BCD=BD•CF=×4×〔﹣x2+3x〕=﹣x2+6x，如此S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x，∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x〔2＜x＜6〕，∵S=﹣x2+8x=﹣〔x﹣4〕2+16，∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以与二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．2．〔2016•〕如图，抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为〔3，0〕〔1〕求m的值与抛物线的顶点坐标．〔2〕点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．【考点】二次函数的性质．【专题】动点型．【分析】〔1〕首先把点B的坐标为〔3，0〕代入抛物线y=﹣x2+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标；〔2〕首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，如此此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案．【解答】解：〔1〕把点B的坐标为〔3，0〕代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x2+2x+3=﹣〔x﹣1〕2+4，∴顶点坐标为：〔1，4〕．〔2〕连接BC交抛物线对称轴l于点P，如此此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，∵点C〔0，3〕，点B〔3，0〕，∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：〔1，2〕．【点评】此题考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以与距离最短问题．注意找到点P的位置是解此题的关键．3．〔2016•模拟〕如图，直线y=x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为〔1，0〕．〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标．【考点】二次函数的性质．【分析】〔1〕根据直线的解析式求得点A〔0，1〕，那么把A，B坐标代入y=x2+bx+c即可求得函数解析式；〔2〕让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标．△PAE是直角三角形，应分点P为直角顶点，点A是直角顶点，点E是直角顶点三种情况探讨．【解答】解：〔1〕∵直线y=x+1与y轴交于点A，∴A〔0，1〕，∵y=x2+bx+c过〔1，0〕和〔0，1〕，如此，解得．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x+1；〔2〕设点E的横坐标为m，如此它的纵坐标为m2﹣m+1即E点的坐标〔m，m2﹣m+1〕，又∵点E在直线y=x+1上，∴m2﹣m+1=m+1解得m1=0〔舍去〕，m2=4，∴E的坐标为〔4，3〕．〔Ⅰ〕当A为直角顶点时，过A作AP1⊥DE交x轴于P1点，设P1〔a，0〕易知D点坐标为〔﹣2，0〕，由Rt△AOD∽Rt△P1OA得=，即=，∴a=，∴P1〔，0〕．〔Ⅱ〕同理，当E为直角顶点时，过E作EP2⊥DE交x轴于P2点，由Rt△AOD∽Rt△P2ED得，=，即=，∴EP2=，∴DP2==，∴a=﹣2=，P2点坐标为〔，0〕．〔Ⅲ〕当P为直角顶点时，过E作EF⊥x轴于F，设P3〔b、0〕，由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，由=得=，解得b1=3，b2=1，∴此时的点P3的坐标为〔1，0〕或〔3，0〕，综上所述，满足条件的点P的坐标为〔，0〕或〔1，0〕或〔3，0〕或〔，0〕．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，直线和抛物线的交点等；分类讨论的思想是解题的关键．4．〔2016•株洲模拟〕如图，抛物线y=ax2+bx﹣3a经过A〔﹣1，0〕、C〔0，﹣3〕两点，与x轴交于另一点B．〔1〕求此抛物线的解析式；〔2〕点D〔m，﹣m﹣1〕在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D'的坐标．〔3〕在〔2〕的条件下，连接BD，问在x轴上是否存在点P，使∠PCB=∠CBD？假如存在，请求出P点的坐标；假如不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕将A〔﹣1，0〕、C〔0，﹣3〕两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3a中，列方程组求a、b的值即可；〔2〕将点D〔m，﹣m﹣1〕代入〔1〕中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D 关于直线BC对称的点D'的坐标；〔3〕分两种情形①过点C作CP∥BD，交x轴于P，如此∠PCB=∠CBD，②连接BD′，过点C 作CP′∥BD′，交x轴于P′，分别求出直线CP和直线CP′的解析式即可解决问题．【解答】解：〔1〕将A〔﹣1，0〕、C〔0，﹣3〕代入抛物线y=ax2+bx﹣3a中，得，解得，∴y=x2﹣2x﹣3；〔2〕将点D〔m，﹣m﹣1〕代入y=x2﹣2x﹣3中，得m2﹣2m﹣3=﹣m﹣1，解得m=2或﹣1，∵点D〔m，﹣m﹣1〕在第四象限，∴D〔2，﹣3〕，∵直线BC解析式为y=x﹣3，∴∠BCD=∠BCO=45°，CD′=CD=2，OD′=3﹣2=1，∴点D关于直线BC对称的点D'〔0，﹣1〕；〔3〕存在．满足条件的点P有两个．①过点C作CP∥BD，交x轴于P，如此∠PCB=∠CBD，∵直线BD解析式为y=3x﹣9，∵直线CP过点C，∴直线CP的解析式为y=3x﹣3，∴点P坐标〔1，0〕，②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，∴∠P′CB=∠D′BC，根据对称性可知∠D′BC=∠CBD，∴∠P′CB=∠CBD，∵直线BD′的解析式为y=x﹣1，∵直线CP′过点C，∴直线CP′解析式为y=x﹣3，∴P′坐标为〔9，0〕，综上所述，满足条件的点P坐标为〔1，0〕或〔9，0〕．【点评】此题考查了二次函数的综合运用．关键是由条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标，学会分类讨论，不能漏解．5．〔2016•东平县一模〕如图，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与x轴交于B、C两点〔点B 在点C的左侧〕，一次函数y=mx+n的图象经过点B和二次函数图象上另一点A，点A的坐标〔4，3〕，．〔1〕求二次函数和一次函数的解析式；〔2〕假如点P在第四象限的抛物线上，求△ABP面积S的最大值并求出此时点P的坐标；〔3〕假如点M在直线AB上，且与点A的距离是到x轴距离的倍，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕过点A作AD⊥x轴于点D，如此D〔4，0〕，∠ADB=90°，在Rt△ADB中，根据正切函数的定义求出BD=6，如此B点坐标为〔﹣2，0〕，再将B，A两点的坐标代入y=ax2+bx ﹣3，运用待定系数法求出二次函数的解析式；将B，A两点的坐标代入y=mx+n，运用待定系数法求出一次函数的解析式；〔2〕根据〔1〕中求出的抛物线的解析式可设点P的坐标为〔t，t2﹣t﹣3〕，过点P作PH垂直于x轴交AB于H点，如此H〔t，t+1〕，用含t的代数式表示PH的长度，再根据S△ABP=PH•BD，求出S△ABP=﹣t2+3t+12，配方后根据二次函数的性质即可求解；〔3〕根据〔1〕中求出的直线AB的解析式可设点M的坐标为〔p，p+1〕，由点M与点A 的距离是它到x轴距离的倍，列出关于p的方程，解方程即可．【解答】解：〔1〕过点A〔4，3〕作AD⊥x轴于点D，如此D〔4，0〕，∠ADB=90°．在Rt△ADB中，∵tan∠ABD===，∴BD=6，B点坐标为〔﹣2，0〕．将B〔﹣2，0〕，A〔4，3〕代入y=ax2+bx﹣3，得，解得：，∴二次函数的解析式为y=x2﹣x﹣3；将B〔﹣2，0〕，A〔4，3〕代入y=mx+n，得，解得，∴一次函数解析式为y=x+1；〔2〕设点P的坐标为〔t，t2﹣t﹣3〕，过点P作PH垂直于x轴交AB于H点，如此H 〔t，t+1〕，∴PH=〔t+1〕﹣〔t2﹣t﹣3〕=﹣t2+t+4，∴S△ABP=S△AHP+S△BHP=PH•DM+PH•BM=PH•BD=〔﹣t2+t+4〕•6=﹣t2+3t+12=﹣〔t ﹣1〕2+，∴当t=1即P点坐标为〔1，﹣3〕时，△ABP的面积S最大，此时S△ABP=；〔3〕设点M的坐标为〔p，p+1〕，由题意，得=×|p+1|，化简整理，得p2﹣12p+20=0，解得p=2或10，当p=2时，p+1=×2+1=2；当p=10时，p+1=×10+1=6．故所求点M的坐标为〔2，2〕或〔10，6〕．【点评】此题综合考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数〔二次函数和一次函数〕的解析式，三角形的面积，两点间的距离公式，平面直角坐标系的点到坐标轴的距离等重要知识点，难度不是很大．运用数形结合与方程思想是解题的关键．6．〔2016•二模〕如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A〔3，0〕，与y轴的交点为B〔0，3〕，其顶点为C，对称轴为x=1．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．【分析】〔1〕直接根据题意列出关于a、b、c的方程组，解方程组即可解决问题．〔2〕运用分类讨论的数学思想，根据等腰三角形的定义，分类讨论，数形结合，即可解决问题．【解答】解：〔1〕由题意得：，解该方程组得：a=﹣1，b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．〔2〕由题意得：OA=3，OB=3；由勾股定理得：AB2=32+32，∴AB=3．当△ABM为等腰三角形时，①假如AB为底，∵OA=OB，∴此时点O即为所求的点M，故点M的坐标为M〔0，0〕；②假如AB为腰，以点B为圆心，以长为半径画弧，交y轴于两点，此时两点坐标为M〔0，3﹣3〕或M〔0，3+3〕，以点A为圆心，以长为半径画弧，交y轴于点〔0，﹣3〕；综上所述，当△ABM为等腰三角形时，点M的坐标分别为〔0，0〕、〔0，3﹣3〕、〔0，3+3〕、〔0，﹣3〕．【点评】该题主要考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数的解析式等知识点与其应用问题；解题的关键是灵活运用、大胆猜测、科学解答．7．〔2016•丹阳市校级模拟〕点A〔2，a〕在抛物线y=x2上〔1〕求A点的坐标；〔2〕在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？假如存在写出P点坐标；假如不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕直接将A点代入解析式求出即可A点坐标即可；〔2〕分别根据以O为顶点时，以A为顶点时，以P为顶点时求出符合题意的点的坐标即可．【解答】解：〔1〕∵点A〔2，a〕在抛物线y=x2上，∴a=22=4，∴A点的坐标为：〔2，4〕；〔2〕如下列图：以O为顶点时，AO=P1O=2或AO=AP2=2∴点P坐标：〔2，0〕，〔﹣2，0〕，以A为顶点时，AO=OP，∴点P坐标：〔4，0〕；以P为顶点时，OP′=AP′，∴AE2+P′E2=P′A2，设AP′=x，如此42+〔x﹣2〕2=x2，解得：x=5，∴点P坐标：〔5，0〕，综上所述：使△OAP是等腰三角形如此P点坐标为：〔2，0〕，〔﹣2，0〕，〔4，0〕，〔5，0〕．【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的性质以与等腰三角形的判定，利用分类讨论得出是解题关键．8．〔2016•宁津县二模〕如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A，B 两点，其中点A的坐标为〔﹣3，0〕，点C为抛物线与y轴的交点．〔1〕求函数的解析式；〔2〕假如点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；〔3〕设点Q为线段AC上的动点，作QO⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕由抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为〔﹣3，0〕，根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；〔2〕a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B〔1，0〕代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为〔x，x2+2x﹣3〕，根据S△POC=4S 列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；△BOC〔3〕先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为〔x，﹣x﹣3〕，如此D点坐标为〔x，x2+2x﹣3〕，然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．【解答】解：〔1〕∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=x2+bx+c〔a≠0〕与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，∵点A的坐标为〔﹣3，0〕，∴点B的坐标为〔1，0〕；〔2〕∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，解得b=2．将B〔1，0〕代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．如此二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为〔0，﹣3〕，OC=3．设P点坐标为〔x，x2+2x﹣3〕，∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．∴点P的坐标为〔4，21〕或〔﹣4，5〕；〔3〕设直线AC的解析式为y=kx+t 〔k≠0〕将A〔﹣3，0〕，C〔0，﹣3〕代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设Q点坐标为〔x，﹣x﹣3〕〔﹣3≤x≤0〕，如此D点坐标为〔x，x2+2x﹣3〕，QD=〔﹣x﹣3〕﹣〔x2+2x﹣3〕=﹣x2﹣3x=﹣〔x+〕2+，∴当x=﹣时，QD有最大值．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以与三角形面积、线段长度问题．此题难度适中，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．9．〔2016•模拟〕如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A〔﹣2，0〕和点B〔6，0〕，与y 轴交于点C〔0，3〕，点D是抛物线上的点，且CD∥x轴，点E是抛物线的顶点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕平移该抛物线的对称轴所在直线L，当L平移到何处时，恰好将△BCD的面积分为相等的两局部？〔3〕点F在线段CD上，假如以点C，E，F为顶点的三角形与△COE相似，试求点F的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；〔2〕首先求得D的坐标，如此CD的长即可求得，进而求得△BCD的面积，当l平移至l1，l1与CD、BC分别交于点M、N，易证△CMN∽△BOC，求得CM和MN的关系，利用三角形的面积公式即可求解；〔3〕分成△COE∽△ECF和△COE∽△FCE两种情况，利用相似三角形的对应边的比相等即可求解．【解答】解：〔1〕根据题意得：，解得：．如此抛物线的解析式是y=﹣x2+x+3；〔2〕抛物线y=﹣x2+x+3的对称轴是x=2．∵CD∥x轴，C的坐标是〔0，3〕，∴D的坐标是〔4，3〕，∴S△BCD=CD•OC=×4×3=6．如图，当l平移至l1，l1与CD、BC分别交于点M、N．∴∠M=∠CBO，∠CMN=∠BOC=90°，∴△CMN∽△BOC，∴===2，∴CM=2MN，∴S△CMN=CM•MN=CM2．∵S△CMN=S△BCD，∴CM2=3，∴CM=2．∴当l平移到直线x=2处时，恰好将△BCD的面积分成面积相等的两局部；〔3〕设对称轴l交CD于点P，过点E作EQ⊥y轴，垂足为点Q．∵E〔2，4〕，C〔0，3〕，CD∥x轴，∴==，又∵∠EQO=∠EPC=90°，∴△EQC∽△EPC，∴∠COE=∠ECD．∵C〔0，3〕，E〔2，4〕，∴CE=，OE=2．分成两种情况：当△COE∽△ECF是，=，∴CF=，∴F的坐标是〔，3〕；当△COE∽△FCE时，=，∴CF=．∴F的坐标是〔，3〕．如此满足条件的F的坐标是〔，3〕或〔，3〕．【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式以与相似三角形的判定与性质，正确分成△COE∽△ECF和△COE∽△FCE两种情况进展讨论是关键．10．〔2016•模拟〕如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A〔1，0〕和B〔4，0〕．〔1〕求抛物线的解析式与对称轴；〔2〕假如抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点，FC∥x轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形OECF是平行四边形，求点C的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由抛物线的对称轴为x=﹣，代入数据即可得出结论；〔2〕由平行四边形的性质即可得出点C的横坐标，代入抛物线解析式中即可得出点C的坐标．【解答】解：〔1〕将点A〔1，0〕、B〔4，0〕代入y=ax2+bx+2中，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=．抛物线的对称轴为x=﹣=．〔2〕∵OECF是平行四边形，OE=，∴FC=，∴C点横坐标x=OE+FC=5，令y=中x=5，如此y=2，∴点C的坐标为〔5，2〕．【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式以与平行四边形的性质，解题的关键是：〔1〕利用待定系数法求出函数解析式；〔2〕根据平行四边形找出点C的横坐标．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．11．〔2016•模拟〕如图，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴交于点A〔﹣4，0〕，B〔1，0〕，与y轴交于点D〔0，4〕，点C〔﹣2，n〕也在此抛物线上．〔1〕求此抛物线的解析式与点C的坐标；〔2〕设BC交y轴于点E，连接AE，AC请判断△ACE的形状，并说明理由；〔3〕连接AD交BC于点F，试问：以A，B，F为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】〔1〕由A、B、D三点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，把C点坐标代入解析式可求得n的值，可求得C点坐标；〔2〕把C点坐标代入抛物线解析式可求得n，可得C点坐标，利用待定系数法可求得直线BC的解析式，如此可求得E点坐标，利用勾股定理可求得AC、AE、CE的长，如此可判断△ACE的形状；〔3〕由A、D坐标可先求得直线AD解析式，联立直线BC、AD解析式可求得F点坐标，又可求得BF、BC和AB的长，由题意可知∠ABF=∠CAB，假如以A，B，F为顶点的三角形与△ABC相似只有∠BFA=∠CAB，如此判定和是否相等即可．【解答】解：〔1〕∵抛物线经过A、B、D三点，∴代入抛物线解析式可得，解得，。
二次函数压轴题(含答案)
二次函数压轴题一．解答题（共20小题）1．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．2．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．5．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC 的值最小，求点P的坐标．（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y 轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．8．如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P 的坐标．②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．9．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．10．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．11．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a ≠0）相交于A （，）和B（4，m），点P 是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC ⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x 轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．13．如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．（1）点（填M或N）能到达终点；（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．14．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S△BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．15．如图，已知二次函数y=﹣+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．16．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A （﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC 交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A 两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD 于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．19．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？20．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．二次函数压轴题参考答案一．解答题（共20小题）1．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．解：（1）将x=﹣1，y=﹣1；x=3，y=﹣9，分别代入y=ax2﹣4x+c得，解得，∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣6．（2）对称轴为直线x=2；顶点坐标为（2，﹣10）．（3）将（m，m）代入y=x2﹣4x﹣6，得m=m2﹣4m﹣6，解得m1=﹣1，m2=6．∵m＞0，∴m1=﹣1不合题意，舍去．∴m=6，∵点P与点Q关于对称轴x=2对称，∴点Q到x轴的距离为6．2．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a （x﹣1）（x﹣5），把点A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴是：直线x=3；（2）P点坐标为（3，）．理由如下：∵点A（0，4），抛物线的对称轴是直线x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′（6，4），B （1，0）代入得，解得，∴y=x ﹣，∵点P 的横坐标为3，∴y=×3﹣=， ∴P （3，）．（3）在直线AC 的下方的抛物线上存在点N ，使△NAC 面积最大．设N 点的横坐标为t ，此时点N （t ，t 2﹣t +4）（0＜t ＜5），如图2，过点N 作NG ∥y 轴交AC 于G ；作AD ⊥NG 于D ，由点A （0，4）和点C （5，0）可求出直线AC 的解析式为：y=﹣x +4，把x=t 代入得：y=﹣t +4，则G （t ，﹣t +4）， 此时：NG=﹣t +4﹣（t 2﹣t +4）=﹣t 2+4t ，∵AD +CF=CO=5， ∴S △ACN =S △ANG +S △CGN=AD ×NG+NG ×CF=NG•OC=×（﹣t 2+4t ）×5=﹣2t 2+10t=﹣2（t ﹣）2+，∴当t=时，△CAN 面积的最大值为，由t=，得：y=t 2﹣t +4=﹣3，∴N （，﹣3）．3．已知二次函数y=x 2﹣2mx +m 2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC +PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O （0，0），∴代入二次函数y=x 2﹣2mx +m 2﹣1，得出：m 2﹣1=0，解得：m=±1，∴二次函数的解析式为：y=x 2﹣2x 或y=x 2+2x ； （2）∵m=2，∴二次函数y=x 2﹣2mx +m 2﹣1得：y=x 2﹣4x +3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点为：D （2，﹣1）， 当x=0时，y=3，∴C 点坐标为：（0，3）， ∴C （0，3）、D （2，﹣1）；（3）当P 、C 、D 共线时PC +PD 最短，过点D 作DE ⊥y 轴于点E ， ∵PO ∥DE ，∴=，∴=，解得：PO=，∴PC +PD 最短时，P 点的坐标为：P （，0）．4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C （0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解：（1）依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解之得：，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．5．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3∴A（﹣1，0）B（3，0）将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3∴C（2，﹣3）∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1；（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1）E（x，x2﹣2x﹣3）∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x ﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x ﹣）2+，∴当时，PE的最大值=；（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）．①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于直线GF 的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF 的解析式为y=﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+4+．因此直线GF与x 轴的交点F的坐标为（4+，0）；④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣，0）．综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．6．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC 的值最小，求点P的坐标．（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x ﹣；（Ⅱ）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x ﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x ﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（Ⅲ）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x ﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y 轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．解：（1）将B、C 两点的坐标代入得，解得：；所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；连接PP′，则PE⊥CO于E，∵C（0，﹣3），∴CO=3，又∵OE=EC，∴OE=EC=∴y=；∴x2﹣2x﹣3=解得x1=，x2=（不合题意，舍去），∴P点的坐标为（，）（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，则，解得：∴直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）；当0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，∴AO=1，AB=4，S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB•OC+QP•BF +QP•OF==当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．8．如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P 的坐标．②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∴=﹣1，解得b=2．将B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；②设直线AC的解析式为y=kx+t （k≠0）将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D 点坐标为（x，x2+2x﹣3），QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x +）2+，∴当x=﹣时，QD 有最大值．9．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c 中得，∴．∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）存在．理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称，∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，∵y=﹣x2﹣2x+3，∴C的坐标为：（0，3），直线BC解析式为：y=x+3，Q点坐标即为，解得，∴Q（﹣1，2）；（3）存在．理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0），∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO ﹣，若S四边形BPCO 有最大值，则S△BPC就最大，∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC，=BE•PE +OE（PE+OC）=（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）=，当x=﹣时，S四边形BPCO最大值=，∴S△BPC最大=，当x=﹣时，﹣x2﹣2x+3=，∴点P 坐标为（﹣，）．10．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0），根据题意，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）存在．由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为直线x=1．①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=＜1，应舍去，∴x=，∴y=4﹣x=，即点P 坐标为．②若以CD为一腰，∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为（2，3）．∴符合条件的点P 坐标为或（2，3）．（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，得CB=，CD=，BD=，∴CB2+CD2=BD2=20，∴∠BCD=90°，设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，∵CF=DF=1，∴∠CDF=45°，由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为（2，3），∴DM∥BC，∴四边形BCDM为直角梯形，由∠BCD=90°及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在．综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）．11．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a ≠0）相交于A （，）和B（4，m），点P 是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC ⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n ﹣）2+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC 最大且为．（3）∵△PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A （，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．当x=3时，y=x+2=5，∴P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A （，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C （，）．当x=时，y=x+2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x 轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．解：（1）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣3）（x+1），∵m≠0，∴当y=0时，x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y=x2﹣x﹣．如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=x﹣，设P（x ，x2﹣x ﹣），则Q（x，x ﹣），PQ=x ﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x，S△PBC=S△PCQ+S△PBQ =PQ•OB=×（﹣x2+x）×3=﹣（x ﹣）2+，当x=时，S△PBC有最大值，Smax=，×（）2﹣﹣=﹣，P（，﹣）；（3）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣1）2﹣4m，顶点M坐标（1，﹣4m），当x=0时，y=﹣3m，∴D（0，﹣3m），B（3，0），∴DM2=（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2=m2+1，MB2=（3﹣1）2+（0+4m）2=16m2+4，BD2=（3﹣0）2+（0+3m）2=9m2+9，当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=﹣1（∵m＜0，∴m=1舍去）；②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9，解得m=﹣（m=舍去）．综上，m=﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．13．如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．（1）点M（填M或N）能到达终点；（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）点M．（2）经过t秒时，NB=t，OM=2t，则CN=3﹣t，AM=4﹣2t，∵A（4，0），C（0，4），∴AO=CO=4，∵∠AOC=90°，∴∠BCA=∠MAQ=45°，∴QN=CN=3﹣t∴PQ=1+t，∴S△AMQ=AM•PQ=（4﹣2t）（1+t）=﹣t2+t+2．∴S=﹣t2+t+2=﹣t2+t ﹣++2=﹣（t ﹣）2+，∵0≤t≤2∴当时，S的值最大．（3）存在．设经过t秒时，NB=t，OM=2t则CN=3﹣t，AM=4﹣2t∴∠BCA=∠MAQ=45°①若∠AQM=90°，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高∴PQ是底边MA的中线∴PQ=AP=MA∴1+t=（4﹣2t）∴t=∴点M的坐标为（1，0）②若∠QMA=90°，此时QM与QP重合∴QM=QP=MA∴1+t=4﹣2t∴t=1∴点M的坐标为（2，0）．14．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S△BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得．故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）．∵S△AOP=4S△BOC，∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，解得x=﹣1或x=﹣1±2．则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）；（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，得，解得．即直线AC的解析式为y=x+3．设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD 有最大值．15．如图，已知二次函数y=﹣+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．解：（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y=﹣+bx+c，得：解得，∴这个二次函数的解析式为y=﹣+4x﹣6．（2）∵该抛物线对称轴为直线x=﹣=4，∴点C的坐标为（4，0），∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2，∴S△ABC =×AC×OB=×2×6=6．16．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO==3，∴OB=3OA=3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC=OB=3，OD=OA=1，∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入解析式为，解得：．∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣=﹣1，∴E点的坐标为（﹣1，0）．如图，当∠CEF=90°时，PE：CE=2：1，CO：OD=3：1，此时△CEF与△COD不相似．当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．∴，∴MP=3EM．∵P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．∵P在第二象限，∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，∴﹣t2﹣2t+3=﹣（t﹣1）（t+3），解得：t1=﹣2，t2=﹣3（因为P与C重合，所以舍去），∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．∴P（﹣2，3）．∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线CD的解析式为：y=x+1．设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，t+1），∴NM=t+1．∴PN=PM﹣NM=﹣t2﹣2t+3﹣（t+1）=﹣t2﹣+2．∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，∴S△PCD=PN•CM +PN•OM=PN（CM+OM）=PN•OC=×3（﹣t2﹣+2）=﹣（t +）2+，∴当t=﹣时，S△PCD的最大值为．17．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A （﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．方法一：解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5．（2）∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．∴PE=|y P﹣y E|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，EF=|y E﹣y F|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15|①若﹣m2+m+2=m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=；②若﹣m2+m+2=﹣（m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：m=或m=．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．∴m=2或m=．（3）假设存在．作出示意图如下：∵点E、E′关于直线PC对称，∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PE=CE，∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．当四边形PECE′是菱形存在时，由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM ∽△CDO，∴，即，解得CE=|m|，∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|∴|﹣m2+m+2|=|m|．①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；②若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，也符合题意，∴P（0，5）综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（0，5），（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）方法二：（1）略．（2）略．（3）若E（不与C重合时）关于直线PC的对称点E′在y轴上，则直线CD与直线CE′关于PC 轴对称．∴点D关于直线PC的对称点D′也在y轴上，∴DD′⊥CP，∵y=﹣x+3，∴D（4，0），CD=5，∵OC=3，∴OD′=8或OD′=2，①当OD′=8时，D′（0，8），设P（t，﹣t2+4t+5），D（4，0），C（0，3），∵PC⊥DD′，∴K PC×K DD′=﹣1，∴，∴2t2﹣7t﹣4=0，∴t1=4，t2=﹣，②当OD′=2时，D′（0，﹣2），设P（t，﹣t2+4t+5），∵PC⊥DD′，∴K PC×K DD′=﹣1，∴=﹣1，∴t1=3+，t2=3﹣，∵点P是x轴上方的抛物线上一动点，∴﹣1＜t＜5，∴点P的坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）．若点E与C重合时，P（0，5）也符合题意．综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（0，5），（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）18．如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC 交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A 两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD 于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x+4．∵点M的横坐标为m，点M在AC上，∴M点的坐标为（m ，﹣m+4），∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2+x+4上，∴点P的坐标为（m ，﹣m2+m+4），∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，即PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）；（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F 为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，P点在F上，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，∴△PCM为直角三角形；②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM，∴△PCM为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相。
中考二次函数压轴题经典例题
中考二次函数压轴题经典例题
题目一：（2018年山东济南中考）已知函数y=ax²-8x+c(a≠0)，当a=1或4时，函数的值都大于0。
问c的取值范围是多少？
解：根据题意，设a=1时，y=x²-8x+c > 0，则c > 8²/4=16，且当a=4时，
y=4x²-8x+c > 0，则c > (8/4)²=4。
因此，c的取值范围是c>16。
题目二：（2018年上海中考）已知二次函数y=-3x²+a+b，其图象经过点（2，3），求a和b的值。
解：将点（2，3）代入函数y=-3x²+a+b，可以得到3=-3*4+a+b，所以a+b=15。
因为题目中没有给出更多信息，所以只能求出a和b的和，不能求出a和b的具体值。
以上都是有关二次函数在中考中的经典压轴题。
二次函数在中考数学中占有相当重要的地位，要求学生熟练掌握二次函数的识别、画图、对称轴、最值等方面的知识，并能灵活运用这些知识解答实际问题。
二次函数压轴题专题(含答案)
二次函数压轴题专题1．如图，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣4，0）、B（1，0）、C（﹣2，6）．（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE；（3）设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似吗？2．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A、C、D均在坐标轴上，且AB=5，sinB=．（1）求过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A、E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．3．如图，经过点A（0，﹣4）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点，O为坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长．参考答案，，由题意得：，=2，=2，的函数解析式可得：，，，）=，=，，=sinB=sinD=﹣﹣x x+4﹣；﹣x x+4，；=x+bx+b=x x+4，即直线x+；，））﹣（××（+．（，）时，．x2y=，即：x2+x+﹣；m=；＜。
精选中考二次函数压轴题包括答案
精选中考二次函数压轴题（含答案）1．如图，二次函数y1 x2c的图象经过点D23,9，与x轴交于A、B两点．2⑴求 c 的值；⑵如图①，设点 C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点，直线AC 将四边形ABCD 的面积二均分，试证明线段BD 被直线 AC 均分，并求此时直线AC 的函数剖析式；⑶设点 P、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点，试猜想：可否存在这样的点P、Q，使△ AQP≌△ ABP？若是存在，请举例考据你的猜想；若是不存在，请说明原由．（图②供采纳）2．（ 2010 福建福州）如图，在△ ABC 中，∠ C＝ 45°， BC＝ 10，高 AD ＝ 8，矩形 EFPQ 的一边 QP 在 BC 边上， E、 F 两点分别在 AB、 AC 上， AD 交 EF 于点 H．AH＝EF；（1）求证：AD BC（2）设 EF ＝ x，当 x 为何值时，矩形EFPQ 的面积最大 ?并求其最大值；（ 3）当矩形 EFPQ 的面积最大时，该矩形EFPQ 以每秒 1 个单位的速度沿射线QC 匀速运动 ( 当点 Q 与点 C 重合时停止运动 )，设运动时间为t 秒，矩形EFFQ 与△ ABC 重叠部分的面积为S，求 S 与 t 的函数关系式．( 第 2(图 1)(图3．（ 2010 福建福州）如图 1，在平面直角坐标系中，点 B 在直线 y＝2x 上，过点 B 作 x 轴的垂线，垂足为 A，OA＝ 5．若12抛物线 y＝x ＋ bx＋ c 过 O、A 两点．6（1）求该抛物线的剖析式；（2）若 A 点关于直线 y＝ 2x 的对称点为 C，判断点 C 可否在该抛物线上，并说明原由；（ 3）如图 2，在（ 2）的条件下，⊙O1是以 BC 为直径的圆．过原点O 作⊙ O1的切线 OP， P 为切点 (点 P 与点 C 不重合 )．抛物线上可否存在点Q，使得以 PQ 为直径的圆与⊙ O1相切 ?若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明原由4．（2010 江苏无锡）如图，矩形ABCD的极点 A、B 的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=2 3 ．设直线AC与直线x=4交于点 E．（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点 O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线必然过点E；（2）设（ 1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、 N之间的一动点，求△ CMN面积的最大值．yD C EA OB xx= 45．（ 2010 湖南邵阳）如图，抛物线y＝ 1 x2x 3 与x轴交于点A、B，与y轴订交于点C，极点为点D，对称轴l4与直线 BC 订交于点 E，与 x 轴交于点 F 。
中考二次函数压轴题经典例题
中考二次函数压轴题经典例题
以下是一些中考二次函数压轴题的经典例题：
一、某商品原价为x元，打八折销售。
求让利额与x的关系。
分析：让利额是
指降低的价钱，原价x元打八折后，售价为0.8x元，让利额就是x-0.8x=0.2x。
答案：让利额与x的关系为y=0.2x。
二、已知函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（0，-1），（1，2）和（-1，0），求a、b、c的值。
解：由题意，将x=0，y=-1代入函数y=ax²+bx+c得到c=-1；将x=1，y=2代入函数得到a+b=-1；将x=-1，y=0代入函数得到a-b=1。
解这个二
元一次方程，得到a=1，b=-2。
答案：a=1，b=-2，c=-1。
三、某社团要举行一次活动，筹备的固定费用为200元，每增加一个参加人数，平均每人需支付的费用就会减少2元。
求参加人数x与每人需支付费用y的关系。
解：固定费用200元，每增加一个参会人数，平均每人需支付的费用就会减少2元，所以每个人需支付的费用为200/x。
而x每增加1，支付费用减少2元，所以
y=200/x-2。
答案：参加人数x与每人需支付费用y的关系为y=200/x-2。
以上就是一些中考二次函数压轴题的经典例题。
初中数学二次函数压轴题集锦(50道含解析)
1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C 坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；（3）在（2）中，PH+HF+FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l：y=kx+m（k＞0）交于A（1，1），B两点，与y轴交于C（0，5），直线l与y轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，G是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若=，且△BCG与△BCD面积相等，求点G的坐标；（3）若在x轴上有且仅有一点P，使∠APB=90°，求k的值．6．如图，抛物线y=ax2+bx（a＜0）过点E（10，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边），点C，D在抛物线上．设A（t，0），当t=2时，AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．7．抛物线L：y=﹣x2+bx+c经过点A（0，1），与它的对称轴直线x=1交于点B．（1）直接写出抛物线L的解析式；（2）如图1，过定点的直线y=kx﹣k+4（k＜0）与抛物线L交于点M、N．若△BMN的面积等于1，求k的值；（3）如图2，将抛物线L向上平移m（m＞0）个单位长度得到抛物线L1，抛物线L1与y轴交于点C，过点C作y轴的垂线交抛物线L1于另一点D．F为抛物线L1的对称轴与x轴的交点，P为线段OC上一点．若△PCD与△POF相似，并且符合条件的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．8．在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y=x2+mx﹣2m（m是常数），顶点为P．（Ⅰ）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；（Ⅱ）若点P在x轴下方，当∠AOP=45°时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）无论m取何值，该抛物线都经过定点H．当∠AHP=45°时，求抛物线的解析式．9．如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，6），点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为；（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．10．如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P（x，y）的动圆经过点A（1，2）且与x轴相切于点B．（1）当x=2时，求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；（3）请类比圆的定义（圆可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合．（4）当⊙P的半径为1时，若⊙P与以上（2）中所得函数图象相交于点C、D，其中交点D（m，n）在点C 的右侧，请利用图②，求cos∠APD的大小．11．已知顶点为A抛物线经过点，点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．12．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求线段CD的长；（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．13．如图1，图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m（k＜0）与y2=ax2+b（a＞0）的部分图象围成的封闭图形．已知A（1，0）、B（0，1）、D（0，﹣3）．（1）直接写出这两个二次函数的表达式；（2）判断图形ABCD是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形ABCD上），并说明理由；（3）如图2，连接BC，CD，AD，在坐标平面内，求使得△BDC与△ADE相似（其中点C与点E是对应顶点）的点E的坐标14．小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：（1）已知抛物线y=﹣x2+bx﹣3经过点（﹣1，0），则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点（0，1）成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），以y轴上的点M（0，m）为中心，作该抛物线关于点M对称的抛物线y′，则我们又称抛物线y′为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．（2）已知抛物线y=﹣x2﹣2x+5关于点（0，m）的衍生抛物线为y′，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围．问题解决：（3）已知抛物线y=ax2+2ax﹣b（a≠0）①若抛物线y的衍生抛物线为y′=bx2﹣2bx+a2（b≠0），两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a、b的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y关于点（0，k+12）的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点（0，k+22）的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；…；关于点（0，k+n2）的衍生抛物线为y n，其顶点为A n…（n为正整数）．求A n A n+1的长（用含n的式子表示）．15．如图，已知抛物线y=ax2+bx（a≠0）过点A（，﹣3）和点B（3，0）．过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D．连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；=S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC16．如图，已知抛物线y=x2﹣4与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），C为顶点，直线y=x+m经过点A，与y轴交于点D．（1）求线段AD的长；（2）平移该抛物线得到一条新拋物线，设新抛物线的顶点为C′．若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．17．如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（﹣1，0）、B(3，0）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P、Q两点（点P在点Q的左侧），连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP、DQ．（1）若点P的横坐标为﹣，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；（Ⅱ）直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．18．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2）．（1）若点（﹣，0）也在该抛物线上，求a，b满足的关系式；（2）若该抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为心，OA为半径的圆与拋物线的另两个交点为B，C，且△ABC有一个内角为60°．①求抛物线的解析式；②若点P与点O关于点A对称，且O，M，N三点共线，求证：PA平分∠MPN．19．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，点B的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE=DE．①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．20．我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD 的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①=；②=；③“十字形”ABCD的周长为12．21．如图1，抛物线y 1=ax 2﹣x +c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，），抛物线y 1的顶点为G ，GM ⊥x 轴于点M ．将抛物线y 1平移后得到顶点为B 且对称轴为直线l 的抛物线y 2．（1）求抛物线y 2的解析式；（2）如图2，在直线l 上是否存在点T ，使△TAC 是等腰三角形？若存在，请求出所有点T 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P 为抛物线y 1上一动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线y 2于点Q ，点Q 关于直线l 的对称点为R ，若以P ，Q ，R 为顶点的三角形与△AMG 全等，求直线PR 的解析式．22．如图，已知直线y=﹣2x +4分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，抛物线过A ，B 两点，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ，交抛物线于点D ．（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x 2+2x +4，设其顶点为M ，其对称轴交AB 于点N ．①求点M 、N 的坐标；②是否存在点P ，使四边形MNPD 为菱形？并说明理由；（2）当点P 的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B 、P 、D 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y=ax 2+bx 经过△OAB 的三个顶点，其中点A （1，），点B （3，﹣），O 为坐标原点．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）若P （4，m ），Q （t ，n ）为该抛物线上的两点，且n ＜m ，求t 的取值范围；（3）若C 为线段AB 上的一个动点，当点A ，点B 到直线OC 的距离之和最大时，求∠BOC 的大小及点C 的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y轴于点K，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q的坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x 与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．（1）求抛物线的解析式；（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F 的距离总是相等，求定点F的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A（﹣4，0）、B（2，0），交y轴于点C （0，6），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在请说明理由．27．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，4），线段BC的中垂线与对称轴l交于点D，与x轴交于点F，与BC交于点E，对称轴l与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求点D的坐标；（3）点P为x轴上一点，⊙P与直线BC相切于点Q，与直线DE相切于点R．求点P的坐标；（4）点M为x轴上方抛物线上的点，在对称轴l上是否存在一点N，使得以点D，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，则直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．28．如图，抛物线y=ax2+bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y=2x经过抛物线的顶点M．已知该抛物线的对称轴为直线x=2，交x轴于点B．（1）求a，b的值．（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP．设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K=．求K关于m的函数表达式及K的范围．29．抛物线y=﹣x2﹣x+与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）如图1，连接CD，求线段CD的长；（2）如图2，点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E；将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标；（3）如图3，点H是线段AB的中点，连接CH，将△OBC沿直线CH翻折至△O2B2C的位置，再将△O2B2C 绕点B2旋转一周，在旋转过程中，点O2，C的对应点分别是点O3，C1，直线O3C1分别与直线AC，x轴交于点M，N．那么，在△O2B2C的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使△AMN是以MN为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段O2M30．综合与探究如图，抛物线y=x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．31．如图，二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣4，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b=，点B的坐标是；（2）设直线PB与直线AC相交于点M，是否存在这样的点P，使得PM：MB=1：2？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC、BC，判断∠CAB和∠CBA的数量关系，并说明理由．32A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上？若能，求出a的值；若不能，请说明理由．33．如图，已知二次函数y=ax2﹣（2a﹣）x+3的图象经过点A（4，0），与y轴交于点B．在x轴上有一动点C（m，0）（0＜m＜4），过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱DEGH周长取最大值时，求点G的坐标．34．已知，点M为二次函数y=﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．（1）判断顶点M是否在直线y=4x+1上，并说明理由．（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（，y1），D（，y2）都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣5交y轴于点A，交x轴于点B（﹣5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．（1）求此抛物线的表达式；（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．36．已知抛物线F：y=x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（﹣，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y=x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．37．直线y=﹣x+3交x轴于点A，交y轴于点B，顶点为D的抛物线y=﹣x2+2mx﹣3m经过点A，交x 轴于另一点C，连接BD，AD，CD，如图所示．（1）直接写出抛物线的解析式和点A，C，D的坐标；（2）动点P在BD上以每秒2个单位长的速度由点B向点D运动，同时动点Q在CA上以每秒3个单位长的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．PQ交线段AD于点E．①当∠DPE=∠CAD时，求t的值；②过点E作EM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N，当PN=EM时，求t的值．38．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．39．如图，点A，B，C都在抛物线y=ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC=135°，且AB=4．（1）填空：抛物线的顶点坐标为（用含m的代数式表示）；（2）求△ABC的面积（用含a的代数式表示）；（3）若△ABC的面积为2，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．40．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A和点B的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣6），将Rt △AOB绕点O按顺时针方向分别旋转90°，180°得到Rt△A1OC，Rt△EOF．抛物线C1经过点C，A，B；抛物线C2经过点C，E，F．（1）点C的坐标为，点E的坐标为；抛物线C1的解析式为．抛物线C2的解析式为；（2）如果点P（x，y）是直线BC上方抛物线C1上的一个动点．①若∠PCA=∠ABO时，求P点的坐标；②如图2，过点P作x轴的垂线交直线BC于点M，交抛物线C2于点N，记h=PM+NM+BM，求h与x的函数关系式，当﹣5≤x≤﹣2时，求h的取值范围．41．如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）F（x，y）是抛物线上的动点：①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．42．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对称中心为坐标原点O，AD⊥y轴于点E（点A在点D的左侧），经过E、D两点的函数y=﹣x2+mx+1（x≥0）的图象记为G1，函数y=﹣x2﹣mx﹣1（x＜0）的图象记为G2，其中m是常数，图象G1、G2合起来得到的图象记为G．设矩形ABCD的周长为L．（1）当点A的横坐标为﹣1时，求m的值；（2）求L与m之间的函数关系式；（3）当G2与矩形ABCD恰好有两个公共点时，求L的值；（4）设G在﹣4≤x≤2上最高点的纵坐标为y0，当≤y0≤9时，直接写出L的取值范围．43．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0，2），且抛物线上任意不同两点M（x1，y1），N（x2，y2）都满足：当x1＜x2＜0时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B，C，且B在C的左侧，△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行，且M，N位于直线BC的两侧，y1＞y2，解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．44．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，4）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE+EF 的最大值；（3）点D为抛物线对称轴上一点．①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；②若△BCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围．45．如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y 轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线和抛物线的表达式；（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．46．如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H 作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．47．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．48．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其中A（1，0），C（0，3）．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．49．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM 面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．50．如图，抛物线y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求线段OC的长度；（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案解析一．解答题（共50小题）1．如图1，已知二次函数y=ax2+x+c（a≠0）的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C 坐标为（8，0），连接AB、AC．（1）请直接写出二次函数y=ax2+x+c的表达式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；（4）如图2，若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形．（3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标；（4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求=S△ABN﹣S△BMN得MD=（n+2），然后根据S△AMN得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），∴，解得．∴抛物线表达式：y=﹣x2+x+4；（2）△ABC是直角三角形．令y=0，则﹣x2+x+4=0，解得x1=8，x2=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，0），由已知可得，在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20，在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80，又∵BC=OB+OC=2+8=10，∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2∴△ABC是直角三角形．（3）∵A（0，4），C（8，0），∴AC==4，①以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（﹣8，0），②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8﹣4，0）或（8+4，0）③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0），综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（﹣8，0）、（8﹣4，0）、（3，0）、（8+4，0）．（4）如图，AB==2，BC=8﹣（﹣2）=10，AC==4，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°．∴AC⊥AB．∵AC∥MN，∴MN⊥AB．设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，∵MN∥AC，△BMN∽△BAC∴=，∴=，BM==，MN==，AM=AB﹣BM=2﹣=∵S△AMN=AM•MN=××=﹣（n﹣3）2+5，当n=3时，△AMN面积最大是5，∴N点坐标为（3，0）．∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．【点评】本题是二次函数的综合题，解（1）的关键是待定系数法求解析式，解（2）的关键是勾股定理和逆定理，解（3）的关键是等腰三角形的性质，解（4）的关键是三角形相似的判定和性质以及函数的最值等．2．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．【分析】（1）根据点A、B、C三点的坐标作出△ABC，利用“闭距离”的定义即可得；（2）由题意知y=kx在﹣1≤x≤1范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过（1，﹣1）和（﹣1，﹣1）时k的值即可得；（3）分⊙T在△ABC的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得．【解答】解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，。
中考二次函数压轴题(共23道题目)
中考二次函数压轴题（共23道题目）一．选择题（共10小题）1．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b ＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则下列结论中正确的有（）（1）a＞0；（2）c＜0；（3）2a﹣b=0；（4）a+b+c＞0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1）a+b+c ＞0；（2）﹣4a＜b＜﹣2a（3）abc＞0；（4）5a﹣b+2c＜0；其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都在抛物线y=x2+bx上，x1、x2、x3为△ABC的三边，且x1＜x2＜x3，若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3，则b的取值范围是（）A．b＞﹣2 B．b＞﹣3 C．b＞﹣4 D．b＞﹣55．如图，点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，AB垂直于x轴，垂足为B，那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为（）A．B．CD．6．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c=0 B．a＞0，b＜0，c=0 C．a＜0，b＞0，c=0 D．a＜0，b＜0，c=07．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（）A．B．C．D．全体实数8．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．9．已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c，0），以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S，则S可表示为（）A．|2+b||b+1|B．c（1﹣c） C．（b+1）2D．10．下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时，有三个公共点；②m=3时，只有两个公共点；③若只有两个公共点，则m=3；④若有三个公共点，则m≠3．其中描述正确的有（）个．A．一个B．两个C．三个D．四个二．填空题（共10小题）11．已知：如图，过原点的抛物线的顶点为M（﹣2，4），与x轴负半轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，点P是抛物线上一个动点，过点P作PQ⊥MA于点Q．（1）抛物线解析式为．（2）若△MPQ与△MAB相似，则满足条件的点P的坐标为．12．将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为．13．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE﹣EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．令m=，则m=；又若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，则抛物线与边AB的交点坐标是．15．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是．16．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列结论中：①ac＞0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5；③a+b+c＜0；④当x＜2时，y随着x的增大而增大．正确的结论有（请写出所有正确结论的序号）．17．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．18．如图，已知一动圆的圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动．若⊙P半径为1，点P的坐标为（m，n），当⊙P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是．19．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=﹣x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为．20．若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），则y=a+b+c的取值范围是．三．解答题（共4小题）21．已知抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x=1，顶点为E，直线y=﹣x+1交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△BCE∽△BOD；（3）点P是抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于△BOE的面积？22．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．23．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC 于点Q．①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l 于点H，连结OP，试求△OPH的面积；②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．二次函数压轴题（共24道题目）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b ＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x=＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x=2时，y=4a+2b+c＜0，当x=1时，a+b+c=2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．2．如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），则下列结论中正确的有（）（1）a＞0；（2）c＜0；（3）2a﹣b=0；（4）a+b+c＞0．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】如图是y=ax2+bx+c的图象，根据开口方向向上知道a＞0，又由与y轴的交点为在y轴的负半轴上得到c＜0，由对称轴x==﹣1，可以得到2a﹣b=0，又当x=1时，可以判断a+b+c的值．由此可以判定所有结论正确与否．【解答】解：（1）∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax2+bx+c （a≠0）（如虚线部分），∴y=ax2+bx+c的对称轴为：直线x=﹣1；∵开口方向向上，∴a＞0，故①正确；（2）∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上∴c＜0，故②正确；（3）∵对称轴x==﹣1，∴2a﹣b=0，故③正确；（4）当x=1时，y=a+b+c＞0，故④正确．故选：D．3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，在下列代数式中（1）a+b+c ＞0；（2）﹣4a＜b＜﹣2a（3）abc＞0；（4）5a﹣b+2c＜0；其中正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】由抛物线开口向上得到a大于0，再由对称轴在y轴右侧得到a与b异号，即b小于0，由抛物线与y轴交于正半轴，得到c大于0，可得出abc的符合，对于（3）作出判断；由x=1时对应的函数值小于0，将x=1代入二次函数解析式得到a+b+c小于0，（1）错误；根据对称轴在1和2之间，利用对称轴公式列出不等式，由a大于0，得到﹣2a小于0，在不等式两边同时乘以﹣2a，不等号方向改变，可得出不等式，对（2）作出判断；由x=﹣1时对应的函数值大于0，将x=﹣1代入二次函数解析式得到a﹣b+c大于0，又4a大于0，c大于0，可得出a﹣b+c+4a+c大于0，合并后得到（4）正确，综上，即可得到正确的个数．【解答】解：由图形可知：抛物线开口向上，与y轴交点在正半轴，∴a＞0，b＜0，c＞0，即abc＜0，故（3）错误；又x=1时，对应的函数值小于0，故将x=1代入得：a+b+c＜0，故（1）错误；∵对称轴在1和2之间，∴1＜﹣＜2，又a＞0，∴在不等式左右两边都乘以﹣2a得：﹣2a＞b＞﹣4a，故（2）正确；又x=﹣1时，对应的函数值大于0，故将x=﹣1代入得：a﹣b+c＞0，又a＞0，即4a＞0，c＞0，∴5a﹣b+2c=（a﹣b+c）+4a+c＞0，故（4）错误，综上，正确的有1个，为选项（2）．故选：A．4．已知点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都在抛物线y=x2+bx上，x1、x2、x3为△ABC的三边，且x1＜x2＜x3，若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3，则b的取值范围是（）A．b＞﹣2 B．b＞﹣3 C．b＞﹣4 D．b＞﹣5【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，结合已知条件，可知x1、x2、x3的最小一组值是2、3、4；根据抛物线，知它与x轴的交点是（0，0）和（﹣b，0），对称轴是x=﹣．因此要满足已知条件，则其对称轴应小于2.5．【解答】解：∵x1、x2、x3为△ABC的三边，且x1＜x2＜x3，∴x1、x2、x3的最小一组值是2、3、4．∵抛物线y=x2+bx与x轴的交点是（0，0）和（﹣b，0），对称轴是x=﹣，∴若对所有的正整数x1、x2、x3都满足y1＜y2＜y3，则﹣＜2.5解，得b＞﹣5．故选：D．5．如图，点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，AB垂直于x轴，垂足为B，那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】因为A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，所以n=2m．根据三角形面积公式即可得出S与m之间的函数关系，根据关系式即可解答．【解答】解：由题意可列该函数关系式：S=|m|•2|m|=m2，因为点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，所以点A（m，n）在第一或三象限，又因为S＞0，所以取第一、二象限内的部分．故选：D．6．抛物线y=ax2+bx+c的图象经过原点和第一、二、三象限，那么下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0，c=0 B．a＞0，b＜0，c=0 C．a＜0，b＞0，c=0 D．a＜0，b＜0，c=0【分析】先根据图象经过象限的情况判断出a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理．【解答】解：∵抛物线经过原点，∴c=0，∵抛物线经过第一，二，三象限，可推测出抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧∴a＞0，∵对称轴在y轴左侧，∴对称轴为x=＜0，又因为a＞0，∴b＞0．故选：A．7．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是（）A．B．C．D．全体实数【分析】因为抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，所以令f（x）=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，则f（2）＜0，解不等式可得m＞，又因为抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，所以f（0）＜﹣，解得m＜，即可得解．【解答】解：根据题意，令f（x）=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，∵抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，∴f（2）＜0，即4﹣2（4m+1）+2m﹣1＜0，解得：m＞，又∵抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，∴f（0）＜﹣，解得：m＜，综上可得：＜m＜，故选：A．8．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．【解答】解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．故选：B．9．已知抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c，0），以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S，则S可表示为（）A．|2+b||b+1|B．c（1﹣c） C．（b+1）2D．【分析】把点（c，0）代入抛物线中，可得b、c的关系式，再设抛物线与x轴的交点分别为x1、x2，则x1、x2满足x2+bx+c=0，根据根的判别式结合两点间的距离公式可求|x1﹣x2|，那么就可得到以该抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c（c＜0）经过点（c，0），∴c2+bc+c=0；∴c（c+b+1）=0；∵c＜0，∴c=﹣b﹣1；设x1，x2是一元二次方程x2+bx+c=0的两根，∴x1+x2=﹣b，x1•x2=c=﹣b﹣1，∴抛物线与x轴的交点间的距离为|x1﹣x2|=====|2+b|，∴S可表示为|2+b||b+1|．故选：A．10．下列关于函数y=（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2的图象与坐标轴的公共点情况：①当m≠3时，有三个公共点；②m=3时，只有两个公共点；③若只有两个公共点，则m=3；④若有三个公共点，则m≠3．其中描述正确的有（）个．A．一个B．两个C．三个D．四个【分析】令y=0，可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0，得出判别式的表达式，然后根据m的取值进行判断，另外要注意m的取值决定函数是一次函数还是二次函数，不要忘了考虑一次函数的情况．【解答】解：令y=0，可得出（m2﹣1）x2﹣（3m﹣1）x+2=0，△=（3m﹣1）2﹣8（m2﹣1）=（m﹣3）2，①当m≠3，m=±1时，函数是一次函数，与坐标轴有两个交点，故错误；②当m=3时，△=0，与x轴有一个公共点，与y轴有一个公共点，总共两个，故正确；③若只有两个公共点，m=3或m=±1，故错误；④若有三个公共点，则m≠3且m≠±1，故错误；综上可得只有②正确，共个．故选：A．二．填空题（共10小题）11．已知：如图，过原点的抛物线的顶点为M（﹣2，4），与x轴负半轴交于点A，对称轴与x轴交于点B，点P是抛物线上一个动点，过点P作PQ⊥MA于点Q．（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x．（2）若△MPQ与△MAB相似，则满足条件的点P的坐标为（﹣，）、（﹣，）．【分析】（1）设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2+4，因为抛物线过原点，把（0，0）代入，求出a即可．（2）由于PQ⊥MA，即∠MQP=∠MBA=90°；所以只要满足∠PMQ=∠MAB或∠PMQ=∠AMB．①∠PMQ=∠AMB时，先找出点B关于直线MA的对称点（设为点C），显然有AC=AB=2、MC=MB=4，可根据该条件得到点C的坐标，进而求出直线MC（即直线MP）的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标；②∠PMQ=∠MAB时，若设直线MP与x轴的交点为D，那么△MAD必为等腰三角形，即MD=AD，根据此条件先求出点D的坐标，进而得出直线MP的解析式，联立抛物线的解析式即可得解．【解答】解：（1）∵过原点的抛物线的顶点为M（﹣2，4），∴设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2+4，将x=0，y=0代入可得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线解析式为：y=﹣（x+2）2+4，即y=﹣x2﹣4x；（2）∵PQ⊥MA∴∠MQP=∠MBA=90°；若△MPQ、△MAB相似，那么需满足下面的其中一种情况：①∠PMQ=∠AMB，此时MA为∠PMB的角平分线，如图①；取点B关于直线MA的对称点C，则AC=AB=2，MC=MB=4，设点C（x，y），有：，解得（舍），∴点C的坐标为（﹣，）；设直线MP的解析式：y=kx+b，代入M（﹣2，4）、（﹣，）得：，解得∴直线MP：y=x+联立抛物线的解析式，有：，解得，∴点P的坐标（﹣，）；②∠PMQ=∠MAB，如右图②，此时△MAD为等腰三角形，且MD=AD，若设点D （x，0），则有：（x+4）2=（x+2）2+（0﹣4）2，解得：x=1∴点D（1，0）；设直线MP的解析式：y=kx+b，代入M（﹣2，4）、D（1，0）后，有：，解得：∴直线MP：y=﹣x+联立抛物线的解析式有：，解得：，∴点P的坐标（﹣，）综上，符合条件的P点有两个，且坐标为（﹣，）、（﹣，）．故答案：（1）y=﹣x2﹣4x；（2）（﹣，）、（﹣，）．12．将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为y=x2+6x+7．【分析】根据二次函数图象的平移规律：左右平移，x改变：左加右减，y不变；上下平移，x不变，y改变，上加下减进行计算即可．【解答】解：根据平移规律：将抛物线y=x2﹣2向左平移3个单位得到：y=（x+3）2﹣2，y=x2+6x+7．故答案为：y=x2+6x+7．13．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE﹣EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．令m=，则m=1；又若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx2+bx+c经过C、Q两点，则抛物线与边AB的交点坐标是（，）．【分析】求出CM=OE﹣CE，求出四边形CFGH的面积是CO×（OE﹣CE），求出四边形CMNO的面积是（OE﹣CE）×CO，即可求出m值；求出EF值，得出EF=QF，得出等边三角形EFQ，求出EQ，求出∠CEF、∠OEA，过Q作QD⊥OE于D，求出Q坐标，代入抛物线求出抛物线的解析式，把x=代入抛物线即可求出y，即得出答案．【解答】解：∵沿AE折叠，O和F重合，∴OE=EF，∵在Rt△CEF中，EF＞CE，即OE＞CE，∴CM=|CE﹣EO|=OE﹣CE，=CF2=EF2﹣EC2=EO2﹣EC2=（EO+EC）（EO﹣EC）=CO×（EO﹣EC），∵S四边形CFGHS四边形CMNO=CM×CO=（OE﹣CE）×OC，∴m==1；∵CO=1，CE=，QF=，∴EF=EO==QF，C（0，1），∴sin∠EFC==，∴∠EFC=30°，∠CEF=60°，∴∠FEA=×（180°﹣60°）=60°，∵EF=QF，∴△EFQ是等边三角形，∴EQ=，过Q作QD⊥OE于D，ED=EQ=．∵由勾股定理得：DQ=，∴OD=﹣=，即Q的坐标是（，），∵抛物线过C、Q，m=1代入得：，解得：b=﹣，c=1，∴抛物线的解析式是：y=x2﹣x+1，AO=EO=，∵把x=代入抛物线得：y=，∴抛物线与AB的交点坐标是（，），故答案为：1，．14．该试题已被管理员删除15．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，1）、（4，2）、（2，6）．如果P（x，y）是△ABC围成的区域（含边界）上的点，那么当w=xy取得最大值时，点P的坐标是（，5）．【分析】分别求得线段AB、线段AC、线段BC的解析式，分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值，再进一步比较．【解答】解：线段AB的解析式是y=x+1（0≤x≤4），此时w=x（x+1）=+x，则x=4时，w最大=8；线段AC的解析式是y=x+1（0≤x≤2），此时w=x（x+1）=+x，此时x=2时，w最大=12；线段BC的解析式是y=﹣2x+10（2≤x≤4），此时w=x（﹣2x+10）=﹣2x2+10x，此时x=时，w最大=12.5．综上所述，当w=xy取得最大值时，点P的坐标是（，5）．16．如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列结论中：①ac＞0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5；③a+b+c＜0；④当x＜2时，y随着x的增大而增大．正确的结论有②④（请写出所有正确结论的序号）．【分析】根据抛物线的开口向下判断出a＜0，再根据与y轴的交点判断出c＞0，然后判断出①错误；根据与x轴的交点坐标判断出②正确；取x=1的函数值判断出③错误；先求出抛物线对称轴为直线x=2，然后根据二次函数的增减性判断出④正确．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴ac＜0，故①错误；∵抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（5，0），∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=﹣1，x2=5，故②正确；由图可知，当x=1时，函数值y＞0，即a+b+c＞0，故③错误；抛物线对称轴为直线x==2；当x＜2时，y随着x的增大而增大，故④正确；综上所述，正确的结论是②④．故答案为：②④．17．已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是m＞﹣．【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即小于2.5，然后列出不等式求解即可．【解答】方法一：解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，∴a最小是2，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜2.5，解得m＞﹣2.5．方法二：解：当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，即，∴，∴，∵a，b，c恰好是一个三角形的三边长，a＜b＜c，∴a+b＜b+c，∴m＞﹣（a+b），∵a，b，c为正整数，∴a，b，c的最小值分别为2、3、4，∴m＞﹣（a+b）≥﹣（2+3）=﹣，∴m＞﹣，故答案为：m＞﹣．18．如图，已知一动圆的圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动．若⊙P半径为1，点P的坐标为（m，n），当⊙P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是3﹣＜m＜2或4＜m＜3+．【分析】由圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动，点P的坐标为（m，n），可得n=m2﹣3m+3，又由⊙P半径为1，⊙P与x轴相交，可得|m2﹣3m+3|＜1，继而可求得答案．【解答】解：∵圆心P在抛物线y=x2﹣3x+3上运动，点P的坐标为（m，n），∴n=m2﹣3m+3，∵⊙P半径为1，⊙P与x轴相交，∴|n|＜1，∴|m2﹣3m+3|＜1，∴﹣1＜m2﹣3m+3＜1，解m2﹣3m+3＜1，得：3﹣＜m＜3+，解m2﹣3m+3＞﹣1，得：m＜2或m＞4，∴点P的横坐标m的取值范围是：3﹣＜m＜2或4＜m＜3+．故答案为：3﹣＜m＜2或4＜m＜3+．19．如图，四边形ABCD是矩形，A、B两点在x轴的正半轴上，C、D两点在抛物线y=﹣x2+6x上．设OA=m（0＜m＜3），矩形ABCD的周长为l，则l与m的函数解析式为l=﹣2m2+8m+12．【分析】求l与m的函数解析式就是把m当作已知量，求l，先求AD，它的长就是D点的纵坐标，再把D点纵坐标代入函数解析式求C点横坐标，C点横坐标与D点横坐标的差就是线段CD的长，用l=2（AD+CD），建立函数关系式．【解答】解：把x=m代入抛物线y=﹣x2+6x中，得AD=﹣m2+6m把y=﹣m2+6m代入抛物线y=﹣x2+6x中，得﹣m2+6m=﹣x2+6x解得x1=m，x2=6﹣m∴C的横坐标是6﹣m，故AB=6﹣m﹣m=6﹣2m∴矩形的周长是l=2（﹣m2+6m）+2（6﹣2m）即l=﹣2m2+8m+12．20．若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），则y=a+b+c的取值范围是0＜y＜2．【分析】由二次函数的解析式可知，当x=1时，所对应的函数值y=s=a+b+c．把点（0，1），（﹣1，0）代入y=ax2+bx+c，得出c=1，a﹣b+c=0，然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判断出a与b的符号，进而求出y=a+b+c的变化范围．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（﹣1，0），∴易得：c=1，a﹣b+c=0，a＜0，b＞0，由a=b﹣1＜0得到b＜1，结合上面b＞0，所以0＜b＜1①，由b=a+1＞0得到a＞﹣1，结合上面a＜0，所以﹣1＜a＜0②，∴由①②得：﹣1＜a+b＜1，且c=1，得到：0＜a+b+c＜2，则y=a+b+c的取值范围是0＜y＜2．故答案为：0＜y＜2三．解答题（共4小题）21．已知抛物线y=ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x=1，顶点为E，直线y=﹣x+1交y轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：△BCE∽△BOD；（3）点P是抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△BDP的面积等于△BOE的面积？【分析】（1）在抛物线y=ax2﹣2x+c中，已知对称轴x=﹣=1，可求出a的值；再将点A的坐标代入抛物线的解析式中，可确定c的值，由此得解．（2）首先由抛物线的解析式，确定点B、C、E的坐标，由直线BD的解析式能得到点D的坐标；在求出△BCE、△BOD的三边长后，由SSS来判定这两个三角形相似．（3）△BOE的面积易得，而在（2）中求出了BD的长，由△BDP、△BOE的面积相等先求出点P到直线BD的距离，如何由这个距离求出点P的坐标？这里需要进行适当的转化；首先在y轴上取一点（可设为点M），使得点M到直线BD 的距离等于点P到直线BD的距离，通过解直角三角形先求出DM的长，由此确定点M的坐标，然后过M作平行于直线BD的直线，再联立抛物线的解析式即可确定点P的坐标．【解答】解：（1）抛物线y=ax2﹣2x+c中，对称轴x=﹣=﹣=1，∴a=1；将点A（﹣1，0）代入y=ax2﹣2x+c中，得：1+2+c=0，c=﹣3；∴抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3．（2）∵抛物线的解析式：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4=（x+1）（x﹣3），∴点C（0，﹣3）、B（3，0）、E（1，﹣4）；易知点D（0，1），则有：OD=1、OB=3、BD=；CE=、BC=3、BE=2；∴==，∴△BCE∽△BOD．=×BO×|y E|=×3×4=6；（3）S△BOE=×BD×h=S△BOE=6，即h=．∴S△BDP在y轴上取点M，过点M作MN1⊥BD于N1，使得MN1=h=；在Rt△MN1D中，sin∠MDN1=，且MN1=；则MD==4；∴点M（0，﹣3）或（0，5）．过点M作直线l∥MN2，如右图，则直线l：y=﹣x﹣3或y=﹣x+5，联立抛物线的解析式有：或解得：、、、∴当点P的坐标为（0，﹣3）、（，﹣）、（，）、（，）时，△BDP的面积等于△BOE的面积．22．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．（3）∵△PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．当x=3时，y=x+2=5，∴P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）．当x=时，y=x+2=．2∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．23．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴的交点是A（3，0）、B（6，0），与y轴的交点是C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P（x，y）（0＜x＜6）是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC 于点Q．①当x取何值时，线段PQ的长度取得最大值，其最大值是多少？②是否存在这样的点P，使△OAQ为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）已知了A，B的坐标，可用待定系数法求出函数的解析式．（2）①QP其实就是一次函数与二次函数的差，二次函数的解析式在（1）中已经求出，而一次函数可根据B，C的坐标，用待定系数法求出．那么让一次函数的解析式减去二次函数的解析式，得出的新的函数就是关于PQ，x的函数关系式，那么可根据函数的性质求出PQ的最大值以及相对应的x的取值．（3）分三种情况进行讨论：当∠QOA=90°时，Q与C重合，显然不合题意．因此这种情况不成立；当∠OAQ=90°时，P与A重合，因此P的坐标就是A的坐标；当∠OQA=90°时，如果设QP与x轴的交点为D，那么根据射影定理可得出DQ2=OD•DA．由此可得出关于x的方程即可求出x的值，然后将x代入二次函数式中即可得出P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线过A（3，0），B（6，0），解得：，∴所求抛物线的函数表达式是y=x2﹣x+2．（2）①∵当x=0时，y=2，∴点C的坐标为（0，2）．设直线BC的函数表达式是y=kx+h．则有，解得：．∴直线BC的函数表达式是y=﹣x+2．∵0＜x＜6，点P、Q的横坐标相同，∴PQ=y Q﹣y P=（﹣x+2）﹣（x2﹣x+2）=﹣x2+x=﹣（x﹣3）2+1∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值．最大值是1．②解：当∠OAQ′=90°时，点P与点A重合，∴P（3，0）当∠Q′OA=90°时，点P与点C重合，∴x=0（不合题意）当∠OQ′A=90°时，设PQ′与x轴交于点D．∵∠OQ′D+∠AOQ′=90°，∠Q′AD+∠AQ′D=90°，∴∠OQ′D=∠Q′AD．又∵∠ODQ′=∠Q′DA=90°，∴△ODQ′∽△Q′DA．∴，即DQ′2=OD•DA．∴（﹣x+2）2=x（3﹣x），10x2﹣39x+36=0，∴x1=，x2=，∴y1=×（）2﹣+2=；y2=×（）2﹣+2=；∴P（，）或P（，）．∴所求的点P的坐标是P（3，0）或P（，）或P（，）．24．如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x+m，它与x轴交于点G，在梯形ABCO的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l 于点H，连结OP，试求△OPH的面积；②当m=﹣3时，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足为点E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；=S△OMH﹣S△OMP求解；（2）①如答图1，作辅助线，利用关系式S△OPH②本问涉及复杂的分类讨论，如答图2所示．由于点P可能在OC、BC、BK、AK、OA上，而等腰三角形本身又有三种情形，故讨论与计算的过程比较复杂，需要耐心细致、考虑全面．【解答】解：（1）由题意得：A（4，0），C（0，4），对称轴为x=1．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，则有：，解得．∴抛物线的函数解析式为：y=﹣x2+x+4．（2）①当m=0时，直线l：y=x．∵抛物线对称轴为x=1，∴CP=1．如答图1，延长HP交y轴于点M，则△OMH、△CMP均为等腰直角三角形．∴CM=CP=1，∴OM=OC+CM=5．S△OPH=S△OMH﹣S△OMP=（OM）2﹣OM•CP=×（×5）2﹣×5×1=﹣=，∴S=．△OPH②当m=﹣3时，直线l：y=x﹣3．设直线l与x轴、y轴交于点G、点D，则G（3，0），D（0，﹣3）．假设存在满足条件的点P．a）当点P在OC边上时，如答图2﹣1所示，此时点E与点O重合．设PE=a（0＜a≤4），则PD=3+a，PF=PD=（3+a）．过点F作FN⊥y轴于点N，则FN=PN=PF，∴EN=|PN﹣PE|=|PF﹣PE|．在Rt△EFN中，由勾股定理得：EF==．若PE=PF，则：a=（3+a），解得a=3（+1）＞4，故此种情形不存在；若PF=EF，则：PF=，整理得PE=PF，即a=3+a，不成立，故此种情形不存在；若PE=EF，则：PE=，整理得PF=PE，即（3+a）=a，解得a=3．∴P1（0，3）．b）当点P在BC边上时，如答图2﹣2所示，此时PE=4．若PE=PF，则点P为∠OGD的角平分线与BC的交点，有GE=GF，过点F分别作FH⊥PE于点H，FK⊥x轴于点K，∵∠OGD=135°，∴∠EPF=45°，即△PHF为等腰直角三角形，设GE=GF=t，则GK=FK=EH=t，∴PH=HF=EK=EG+GK=t+t，∴PE=PH+EH=t+t+t=4，解得t=4﹣4，则OE=3﹣t=7﹣4，∴P2（7﹣4，4）c）∵A（4，0），B（2，4），∴可求得直线AB解析式为：y=﹣2x+8；联立y=﹣2x+8与y=x﹣3，解得x=，y=．设直线BA与直线l交于点K，则K（，）．当点P在线段BK上时，如答图2﹣3所示．设P（a，8﹣2a）（2≤a≤），则Q（a，a﹣3），∴PE=8﹣2a，PQ=11﹣3a，∴PF=（11﹣3a）．。
中考数学二次函数-经典压轴题及详细答案
中考数学二次函数-经典压轴题及详细答案一、二次函数1．已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4，且该抛物线与y 轴的交点为C ，顶点为D .（1）求该二次函数的解析式及点C ，D 的坐标；（2）点(,0)P t 是x 轴上的动点，①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标；②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点，若线段PQ 与函数2||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点，求t 的取值范围.【答案】（1）2y x 2x 3=-++，C 点坐标为(0,3)，顶点D 的坐标为(1,4)；（2）①最，P 的坐标为(3,0)-，②t 的取值范围为3t ≤-或332t ≤<或72t =. 【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式x=2a 12a--=，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；（2）根据三角形的三边关系：可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD 与x 轴的交点坐标，就是此时点P 的坐标；（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ 过点（0，3），即点Q 与点C 重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ 过点（3，0），即点P 与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t 的取值；②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x≥0）时有一个公共点时，求t 的值；③当线段PQ 过点（-3，0），即点P 与点（-3，0）重合时，线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c （x ＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t 的取值．【详解】解：（1）∵2a x 12a-=-=， ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=.∵2y ax ax 3=-+人最大值为4，∴抛物线过点()1,4.得a 2a 34-+=，解得a 1=-.∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.C 点坐标为()0,3，顶点D 的坐标为()1,4.（2）①∵PC PD CD -≤，∴当P,C,D 三点在一条直线上时，PC PD -取得最大值.连接DC 并延长交y 轴于点P ，PC PD CD -===∴PC PD -.易得直线CD 的方程为y x 3=+.把()P t,0代入，得t 3=-.∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.②2y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩ 设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+，将()P t,0，()Q 0,2t 的坐标代入，可得线段PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.（1）当线段PQ 过点()3,0-，即点P 与点()3,0-重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时t 3=-. ∴当t 3≤-时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （2）当线段PQ 过点()0,3，即点Q 与点C 重合时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点，此时3t 2=. 当线段PQ 过点()3,0，即点P 与点()3,0重合时，t 3=，此时线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点. 所以当3t 32≤<时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点. （3）将y 2x 2t =-+带入()2y x 2x 3x 0=-++≥，并整理，得2x 4x 2t 30-+-=. ()Δ1642t 3288t =--=-.令288t 0-=，解得7t 2=. ∴当7t 2=时，线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.综上所述，t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2=. 【点睛】 本题考查了二次函数的综合应用，先利用待定系数法求解析式，同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起；同时对于二次函数利用动点求取值问题，从特殊点入手，把函数分成几部分考虑，按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解．2．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的顶点为()2,4M --，与x 轴交于A 、B 两点，且()6,0A -，与y 轴交于点C ．()1求抛物线的函数解析式；()2求ABC V 的面积；()3能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P ，使APC V 的面积最大？若能，请求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．【答案】()1 2134y x x =+-；()212；()27334APC x S =-V 当时，有最大值，点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【解析】【分析】(1)设顶点式并代入已知点()6,0A -即可；(2)令y=0，求出A 、B 和C 点坐标，运用三角形面积公式计算即可；(3)假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ，线段PF 的长度即为两函数值之差，将APC V 的面积计算拆分为APF CPF S S +V V 即可.【详解】()1设此函数的解析式为2()y a x h k =++，∵函数图象顶点为()2,4M --，∴2(2)4y a x =+-，又∵函数图象经过点()6,0A -，∴20(62)4a =-+-解得14a =， ∴此函数的解析式为21(2)44y x =+-，即2134y x x =+-； ()2∵点C 是函数2134y x x =+-的图象与y 轴的交点， ∴点C 的坐标是()0,3-，又当0y =时，有21304y x x =+-=， 解得16x =-，22x =，∴点B 的坐标是()2,0， 则11831222ABC S AB OC =⋅=⨯⨯=V ； ()3假设存在这样的点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点F ．设(),0E x ，则21,34P x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∵直线AC 过点()6,0A -，()0,3C -，∴603k b b -+=⎧⎨-=⎩， 解得123k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AC 的解析式为132y x =--， ∴点F 的坐标为1,32F x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 则221113332442PF x x x x x ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭， ∴1122APC APF CPF S S S PF AE PF OE =+=⋅+⋅V V V2221113393276(3)22424244PF OA x x x x x ⎛⎫=⋅=--⨯=--=-++ ⎪⎝⎭， ∴当3x =-时，APC S V 有最大值274， 此时点P 的坐标是153,4P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【点睛】本题第3问中将所求三角形拆分为两个小三角形进行求解，从而将面积最大的问题转化为PF 最大进行理解.3．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=--+.（2）3210.（3）①2S m 4m 3=---.②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.【解析】【分析】（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可.【详解】解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-.∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值.∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10.∴△PBC 的周长最小是：3210.（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），∴直线AD 的解析式为y=2x+6∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+）∴()22EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴()22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.②()22S m 4m 3m 21=---=-++，∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.4．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x 元．求：（1）房间每天的入住量y （间）关于x （元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费p （元）关于x （元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w 有最大值？最大值是多少？【答案】（1）y=60-10x ；（2）z=-110x 2+40x+12000；（3）w=-110x 2+42x+10800，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．【解析】 试题分析：（1）根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10；（2）已知每天定价增加为x 元，则每天要（200+x ）元．则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量；（3）支出费用为20×（60﹣10x ），则利润w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10x ），利用配方法化简可求最大值．试题解析：解：（1）由题意得： y =60﹣10x （2）p =（200+x ）（60﹣10x ）=﹣2110x +40x +12000 （3）w =（200+x ）（60﹣10x ）﹣20×（60﹣10x ） =﹣2110x +42x +10800 =﹣110（x ﹣210）2+15210 当x =210时，w 有最大值．此时，x +200=410，就是说，当每个房间的定价为每天410元时，w 有最大值，且最大值是15210元．点睛：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．本题主要考查的是二次函数的应用，难度一般．5．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C.（1）求抛物线的表达式；（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ.①若点P 的横坐标为12-，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524，）；②△PQD 面积的最大值为8【解析】分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+54），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+72，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：309330a b a b -+⎧⎨++⎩＝＝，解得：12a b -⎧⎨⎩＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3．（2）（I ）当点P 的横坐标为-12时，点Q 的横坐标为72， ∴此时点P 的坐标为（-12，74），点Q 的坐标为（72，-94）． 设直线PQ 的表达式为y=mx+n ，将P（-12，74）、Q（72，-94）代入y=mx+n，得：17247924m nm n⎧-+⎪⎪⎨⎪+-⎪⎩＝＝，解得：154mn-⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，∴直线PQ的表达式为y=-x+54．如图②，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-x+54），∴DE=-x2+2x+3-（-x+54）=-x2+3x+74，∴S△DPQ=12DE•（x Q-x P）=-2x2+6x+72=-2（x-32）2+8．∵-2＜0，∴当x=32时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为（32，154）．（II）假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4+t，∴点P的坐标为（t，-t2+2t+3），点Q的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y=-2（t+1）x+t2+4t+3．设点D的坐标为（x，-x2+2x+3），则点E的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，∴S△DPQ=12DE•（x Q-x P）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．∵-2＜0，∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x 2+6x+72；（II ）利用三角形的面积公式找出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ．6．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。
二次函数压轴40道
二次函数压轴题1、如图，抛物线223y x x =--+的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标；（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N ，若点P 在点Q 左边，当矩形PMNQ 的周长最大时，求△AEM 的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ ，过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）．若FG =，求点F 的坐标．xyPBN O MAQ CD E2、如图，抛物线2344y ax ax =++与x 轴交于点A、B（A 在B 的左侧），过点A 的直线3y kx k =+交抛物线于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，过点B 作BD⊥BC，交直线AC 于点D，若BC＝5BD，求k 的值；（3）将直线3y kx k =+向上平移4个单位，平移后的直线交抛物线于E、F 两点，求△AEF 的面积的最小值．xyAOB CM D3、如图，已知抛物线223y x x =-++与x 轴交于A、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C，连接BC．（1）直接写出A、B、C 三点的坐标；（2）点P 为线段BC 上的一点（不与B、C 重合），PM∥y 轴交抛物线于M，交x 轴于N，当△BCM 的面积最大时，求△BPN 的周长；（3）在（2）的条件下，在抛物线的对称轴上存在点Q，使△CNQ 为直角三角形，求点Q 的坐标．xyMCO B N A P4、如图，在平面直角坐标系中，直线1y kx =+与y 轴交于点C，与抛物线214y x =交于点A、B（点A 在点B 左侧），分别过A、B 两点作直线y＝－1的垂线，垂足为E、F．（1）求证：AC＝AE；（2）设△ACE、△BCF、△ECF 的面积分别为S1、S2、S3，若S1＋S2S3＝32，求k 的值；（3）M 为EF 的中点，连接MC 并延长交抛物线于点P，连接PA、BM．是否存在这样的点M，使△PAC 与△BMC 相似？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．xyBA OE FM C5、如图，抛物线1(2)()(0)y x x m m m=-+->与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ．（1）若△ABC 为直角三角形，求m 的值；（2）在（1）的条件下，点D 是第一象限抛物线上一动点，过D 点的直线交x 轴、y 轴的正半轴于E 、F ，连接OD ，当OD 的长最小时，求△OEF 面积的最小值；（3）直线y ＝12x ＋b 经过点B ，与抛物线交于另一点G ，点P 在y 轴上，点Q 在抛物线上，以点B 、G 、P 、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由．CBAxy CBAxy 备用图6、如图，抛物线2(2)4y x m x =-++的顶点C 在x 轴正半轴上，直线y ＝x ＋2与抛物线交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）．（1）求m 的值；（2）点P 是抛物线上一点，当△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍时，求点P 的坐标；（3）将直线AB 向下平移t （t ＞0）个单位，平移后的直线与抛物线交于'A 、'B 两点（'A 在'B 的左侧），当''A B C △为直角三角形时，求t 的值．A B xyCO ABxyCO 备用图7、已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A （m －2，0）和B （2m ＋1，0）（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ，对称轴为直线x ＝1．（1）求抛物线的解析式；（2）直线y ＝kx ＋2（k ≠0）与抛物线相交于不同两点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）（x 1＜x 2），当|x 1－x 2|最小时，求M 、N 两点的坐标；（3）若线段OB 在x 轴上移动，首尾顺次连接点O 、B 、P 、C 构成多边形的周长为L ，求L 最小值时点O 、B 移动后的坐标及L 的最小值．xyOABCP8、如图，已知二次函数的图象M经过A（－1，0），B（4，0），C（2，－6）三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点G是线段AC上的动点（点G与线段AC的端点不重合），若△ABG与△ABC相似，求点G的坐标；（3）设图象M的对称轴为l，点D（m，n）（－1＜m＜2）是图象M上一动点，当△ACD的面积为278时，点D关于l的对称点为E，能否在图象M和l上分别找到点P、Q，使得以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．若能，求出点P的坐标；若不能，说明理由．lyB AOGDC xlyBAOGDCxHF。
搞定二次函数压轴100题(含详解)
搞定二次函数压轴100题1. 若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A 在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有个；（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．（3）试探究a1与a2满足的数量关系．2. 已知二次函数y=x2+2bx+c（b，c为常数）．（1）当b=1，c=−3时，求二次函数在−2≤x≤2上的最小值；（2）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（3）当c=4b2时，若在自变量x的值满足2b≤x≤2b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．3. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(2,0)，直线y=x+1与二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上．（1）二次函数的解析式为y=；（2）证明点不在（1）中所求的二次函数的图象上；（3）若C为线段AB的中点，过C点作轴于E点，CE与二次函数的图象交于D点．①y轴上存在点K，使以K、A、D、C为顶点的四边形是平行四边形，则K点的坐标是；②二次函数的图象上是否存在点P，使得?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．x和直线y= 4. 二次函数y=x2+px+q的顶点M是直线y=−12x+m的交点．（1）若直线y=x+m过点D(0,−3)，求M点的坐标及二次函数y=x2+px+q的解析式；（2）试证明无论m取任何值，二次函数y=x2+px+q的图象与直线y=x+m总有两个不同的交点；（3）在（1）的条件下，若二次函数y=x2+px+q的图象与yx上求异于轴交于点C，与x的右交点为A，试在直线y=−12 M的点P，使P在△CMA的外接圆上．5. 已知二次函数y=−x2+bx+c+1．（1）当b=1时，求这个二次函数的对称轴方程；（2）若c=−14b2−2b，问：b为何值时，二次函数的图象与x轴相切；（3）若c=0，二次函数的图象与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)，且x1<x2，与y轴的正半轴交于点M，以AB为直径的半圆恰好经过点M，二次函数的对称轴l与x轴、直线BM、直线AM分别相交于点D，E，F且满足DEEF =13，求二次函数的表达式．6. 如图，已知二次函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A(3,1)，点C(0,4)，顶点为M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m（m>0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC 的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若以点P，点C，点M构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．7. 已知二次函数y=−x2+bx+c的图象经过点P(0,1)与Q(2,−3)．（1）求此二次函数的解析式；（2）若点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD的面积；②联结PA、PD，PD交AB于点E，求证：△PAD∽△PEA．8. 如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=x2+mx+ 2的图象与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，且OA:OB=1:2．设此二次函数图象的顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90∘后，点B落到点C的位置．将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C．请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B1，顶点为D1．点P在平移后的二次函数图象上，且满足△PBB1的面积是△PDD1面积的2倍，求点P的坐标．9. 如图，已知二次函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A(3,1)，点C(0,4)，顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC．（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；（3）点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．10. 已知二次函数y=mx2+nx+p图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1<0<x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，tan∠CAO−tan∠CBO=1．（1）求证：n+4m=0；（2）求m，n的值；（3）当p>0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．11. 如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．（1）求二次函数的解析式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M(4,m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．，当x=0和x=2时，12. 已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+32函数值相等．（1）求二次函数的表达式．（2）若一次函数y＝kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(−3,m)，求m和k的值．（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n(n＞0)个单位长度后得到的图象记为G，同时将2中得到的直线y=kx＋6向上平移n个单位长度．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围是多少?13. 已知二次函数y=x2−2ax−2a−6(a为常数,a≠0)．（1）求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x轴交于点A(−2,0)和点B，与y轴交于点C，线段BC的垂直平分线l与x轴交于点D．①求点D的坐标；②设点P是抛物线上的一个动点，点Q是直线l上的一个动点．以点B，D，P，Q为顶点的四边形是否可能为平行四边形?若能，直接写出点Q的坐标．14. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(−1,0)，B(4,0)，C(0,2)三点．（1）求该二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA=∠CAO（O 是坐标原点），求点D的坐标；（3）点P是该二次函数图象上位于一象限上的一动点，连接PA 分别交BC，y轴于点E，F，若△PEB，△CEF的面积分别为S1，S2，求S1−S2的最大值．15. 已知二次函数y=(t−4)x2−(2t−5)x+4在x=0与x=5的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，一次函数y=kx+b经过B，C两点，求一次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，过动点D(0,m)作直线l∥x轴，其中m>−2．将二次函数图象在直线l下方的部分沿直线l向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=kx+b与新图象M恰有两个公共点，请直接写出m的取值范围．)，A(5,0)，16. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点P(0,−52 B(1,0)．（1）求该二次函数的解析式；（2）点C在该二次函数的图象上，当△ABC的面积为12时，求点C坐标；（3）在（2）的条件下，求△ABC外接圆圆心点D的坐标．17. 如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M(4,m)是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．18. 如图1，一次函数y=kx+k与二次函数y=kx2+kx(k>0)交于A，B两点，二次函数图象的顶点为P．（1）写出三条与系数k无关的一次函数与二次函数共有的结论．（2）当k为何值时，△AOP为等边三角形?（3）若一次函数y=kx+k的图象与二次函数y=kx2+2kx的图象交于点C，D，与y轴交于点F，如图2，某数学学习小组探究k=1时得出以下结论，其中正确结论的序号有．①AF=BF；②点C是BF的黄金分割点；③AFAD =√5+12；④△CFO与△ADO的面积相等．（4）在（3）中，若去掉k=1，以上正确的结论还成立吗?若成立，请选择两个加以说明．19. 如图，顶点为P(4,−4)的二次函数图象经过原点(0,0)，点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M，N关于点P对称，连接AN，ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点A的坐标是(6,−3)，求△ANO的面积．（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下列问题：①证明：∠ANM=∠ONM；②△ANO能否为直角三角形?如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由．20. 对于二次函数y=x2−3x+2和一次函数y=−2x+4，把y=t(x2−3x+2)+(1−t)(−2x+4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E，现有点A(2,0)和抛物线E上的点B(−1,n)，请完成下列任务：（1）【尝试】（1）当t=2时，抛物线y=t(x2−3x+2)+(1−t)(−2x+4)的顶点坐标为；（2）判断点A是否在抛物线E上；（3）求n的值.（2）【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为．（3）【应用】（1）二次函数y=−3x2+5x+2是二次函数y=x2−3x+2和一次函数y=−2x+4的一个“再生二次函数”吗?如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；（2）以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上；若抛物线E经过A，B，C，D其中的三点，求出所有符合条件的t的值．与y=x2−mx−21. 已知关于x的二次函数y=x2−mx+m2+12m2+2，这两个二次函数图象中的一条与x轴交于A、B两个不同2的点．（1）试判断哪个二次函数的图象经过A、B两点（写出判断过程）；（2）若A点坐标为(−1,0)，求点B的坐标；（3）在（2）的条件下，设点C是抛物线上的一点，且△ABC的面积为10，直接写出点C的坐标．22. 已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A(1,0)与点C(0,−3)，其顶点为P．（1）求二次函数的解析式；（2）若Q为对称轴上的一点，且QC平分∠PQO，求Q点坐标；（3）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是−4≤y≤2m，求m 的值．23. 如图，在直角坐标系中，O为原点．点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠OAB=2．二次函数y=x2+mx+2的图象经过点A，B，顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90∘后，点B落到点C的位置．将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C．请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B1，顶点为D1．点P在平移后的二次函数图象上，且满足△PBB1的面积是△PDD1面积的2倍，求点P的坐标．24. 在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A(−3,0)，B(0,−3)两点，二次函数y=x2+mx+n 的图象经过点A．（1）求一次函数y=kx+b的解析式；（2）若二次函数y=x2+mx+n图象的顶点在直线AB上，求m，n的值；（3）当−3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为−4，求m，n的值．在x=0和x=2时25. 已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+32的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(−3,m)，求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n(n>0)个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．26. 如图，在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别为(−1,0)，(0,−√3)，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A，B，C 三点，且它的对称轴为直线x=1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B，C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．（1）求该二次函数的解析式；（2）若设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PF的长；（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．27. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(−1,0)，B(3,0)，N(2,3)三点，且与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标；（2）若直线y=kx+d经过C，M两点，且与x轴交于点D．试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A，B两点，并且与直线CD相切?如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．28. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=−x2+mx+n的图象经过点A(3,0)，B(m,m+1)，且与y轴相交于点C．（1）求这个二次函数的解析式并写出其图象顶点D的坐标；（2）求∠CAD的正弦值；（3）设点P在线段DC的延长线上，且∠PAO=∠CAD，求点P 的坐标．x2+bx+c的图象29. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−14与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为(0,8)，点B的坐标为(−4,0)．（1）求该二次函数的表达式及点C的坐标；（2）点D的坐标为(0,4)，点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S．(1)求S的最大值；(2)在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值．30. 已知二次函数y1=x2−2x−3及一次函数y2=x+m．（1）求该二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的交点坐标；（2）将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你在图中画出这个新图象，并求出新图象与直线y2=x+m有三个不同公共点时m的值；（3）当0≤x≤2时，函数y=y1+y2+(m−2)x+3的图象与x轴有两个不同的公共点，求m的取值范围．31. 如图，已知二次函数y=ax2−4x+c的图象与坐标轴交于点A(−1,0)和点B(0,−5)．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．32. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(4,0)，C(−2,−3)，直线BC与y轴交于点D，E为二次函数图象上任一点．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点E在直线BC的上方，过点E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的两点F，G（F在G的左侧），求△EFG的周长的最大值；（3）是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形，如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．x+3的图象33. 已知平面直角坐标系xOy（如图），一次函数y=34x的图象上，且MO=与y轴交于点A，点M在正比例函数y=32MA．二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数x+3的图象上，且四边形的图象上，点D在一次函数y=34ABCD是菱形，求点C的坐标．34. 如图，二次函数y=a(x2−2mx−3m2)（其中a，m为常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B左侧），与y轴交于点C(0,−3)，点D在二次函数图象上，且CD∥AB，连接AD；过点A作射线AE交二次函数于点E，使AB 平分∠DAE．（1）当a=1时，求点D的坐标；（2）证明：无论a，m取何值，点E在同一直线上运动；（3）设该二次函数图象顶点为F，试探究：在x轴上是否存在点P，使以PF，AD，AE为边构成的三角形是以AE为斜边的直角三角形?如果存在，请用含m的代数式表示点P的横坐标；如果不存在，请说明理由．m+1（m为常数）．35. 已知：二次函数y=x2−mx+34（1）若这个二次函数的图象与x轴只有一个公共点A，且A点在x轴的正半轴上．①求m的值；②四边形AOBC是正方形，且点B在y轴的负半轴上，现将这个二次函数的图象平移，使平移后的函数图象恰好经过B，C 两点，求平移后的图象对应的函数解析式；m+1的最小值（2）当0≤x≤2时，求函数y=x2−mx+34（用含m的代数式表示）．36. 如图，在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y=x2−1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．（1）求N的函数表达式；（2）设点P(m,n)是以点C(1,4)为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象M与x轴相交于两点A，B，求PA2+PB2的最大值；（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．x2+bx+c的图象经过点A(−3,6)，并与x轴37. 已知二次函数y=12交于点B(−1,0)和点C，与y轴交于点E，顶点为P，对称轴与x 轴交于点D．（1）求这个二次函数的解析式；（2）连接CP，△DCP是什么特殊形状的三角形?并加以说明；（3）点Q是第一象限的抛物线上一点，且满足∠QEO=∠BEO，求出点Q的坐标．38. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，B(4,0)，C(−2,−3)，直线BC与y轴交于点D，E为二次函数上任一点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）若点E在直线BC的上方，过E分别作BC和y轴的垂线，交直线BC于不同的两点F，G（F在G的左侧），求△EFG周长的最大值；（3）是否存在点E，使得△EDB是以BD为直角边的直角三角形，如果存在，求点E的坐标；如果不存在，请说明理由．39. 已知关于x的二次函数y=x2+(k2−3k−4)x+2k的图象与x轴从左到右分别交于A，B两点，且这两点关于原点对称．（1）求k的值；（2）在（1）的条件下，若反比例函数y=m的图象与二次函数xy=x2+(k2−3k−4)x+2k的图象从左到右交于Q，R，S三点，且点Q的坐标为(−1,−1)，点R(x R,y R)，S(x S,y S)中的纵坐标y R，y S分别是一元二次方程y2+my−1=0的解，求四边形AQBS的面积S；四边形AQBS（3）在（1），（2）的条件下，在x轴下方是否存在二次函数y=x2+(k2−3k−4)x+2k图象上的点P使得S△PAB=2S△RAB，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．40. 如图是二次函数y=(x+m)2+k的图象，其顶点坐标为M(1,−4)．（1）求出图象与轴的交点A，B的坐标；S△MAB，若（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=54存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y= x+b（b<1）与此图象有两个公共点时，的取值范围．41. 下图是二次函数y=(x+m)2+k的图象，其顶点坐标为M(1,−4)．（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标．S△MAB?若存（2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S△PAB=54在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b(b<1)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．42. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(1,0)，B(3,0)，C(0,−3)．（1）求此二次函数的解析式以及顶点D的坐标；（2）如图①，过此二次函数抛物线图象上一动点P(m,n)(0<m<3)作y轴平行线，交直线BC于点E，是否存在一点P，使线段PE的长最大?若存在，求出PE长的最大值；若不存在，说明理由．（3）如图②，过点A作y轴的平行线交直线BC于点F，连接DA，DB，四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点F重合时立即停止运动，求运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积S的最大值．梅花香自苦寒来)，点F(0,1)在y轴上，43. 二次函数的顶点在原点O，经过点A(1,14直线y=−1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=−1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．44. 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为D(1,1)，直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A，C两点，且A(0,2)，直线与x轴的交点为B，满足sin∠ABO=√5，点P是线段AC上一动点，5且不与A，C两点重合，PG∥y轴交抛物线于点G．（1）求k，m和这个二次函数的解析式；（2）点E是直线BC与抛物线对称轴的交点，当△PGE∽△AOB 时，求点P的坐标；时，另外一点F在抛物线上，当S△ACF=S△ACG时，（3）若PG=2116求点F的坐标．45. 如图，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A，C分别是一次x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二次函数函数y=−34x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一点D，使y=18四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，△APQ是直角三角形?②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?46. 如图，二次函数y=x2+px+q(p<0)的图象与x轴交于A，B．两点，与y轴交于点C(0,−1)，△ABC的面积为54（1）求该二次函数的解析式；（2）过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ACBD为直角梯形?若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．47. 如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A(2,4)与B(6,0)．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2<x<6)．写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．48. 如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A，C分别x+3的图象与y轴、x轴的交点，点B在二是一次函数y=−34x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一次函数y=18点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC?②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?49. 如图，已知二次函数y=12x2+bx+c的图象经过点A(3,6)，并与x轴交于点B(1,0)和点C．（1）求二次函数的解析式及点C的坐标；（2）若D为线段AC上一点，且以D，O，C为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；（3）设直线y=1为直线l，将该二次函数的图象在直线l下方的部分沿直线l翻折到直线l上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．是否存在与新图象恰有三个不同公共点且平行于AC 的直线?若存在，请求出所有符合条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由．50. 已知二次函数y=ax2−2ax+c(a<0)的最大值为4，且抛物线过点(72,−94)．点P(t,0)是x轴上的动点，抛物线与y轴的交点为C，顶点为D．（1）求该二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）求∣PC−PD∣的最大值及对应的点P的坐标；（3）设Q(0,2t)是y轴上的动点，若线段PQ与函数y=a∣x∣2−2a∣x∣+c的图象只有一个公共点，求t的取值．51. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B(−2,0)，点C(8,0)，与y轴交于点A．（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求N点的坐标；（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系．52. 如图，三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A，C分别x+3的图象与y轴，x轴的交点，点B在二是一次函数y=−34x2+bx+c的图象上，且该二次函数图象上存在一次函数y=18点D使四边形ABCD为平行四边形．（1）试求b，c的值，并写出该二次函数表达式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，有PQ⊥AC?②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?53. 已知关于x的二次函数y=x2+(k2−3k−4)x+2k的图象与x轴分别交于A，B两点（点A在点B左侧），且这两点关于原点对称．（1）求k的值．的图象与二次函数（2）在（1）的条件下，若反比例函数y=mxy=x2+(k2−3k−4)x+2k的图象从左到右分别交于Q，R，S三点，且点Q的坐标为(−1,−1)，点R(x R,y R)，S(x S,y S)的纵坐标y R，y S分别是一元二次方程y2+my−1=0的解，求四边形AQBS的面积．（3）在（1）（2）的条件下，在x轴下方的二次函数y=x2+ (k2−3k−4)x+2k的图象上是否存在点P，使得S△PAB=2S△RAB?若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．54. 如图，二次函数y=ax2−6ax+4a+3的图象与y轴交于点A，点B是x轴上一点，其坐标为(1,0)，连接AB，tan∠ABO=2．（1）则点A的坐标为,a=；（2）过点A作AB的垂线与该二次函数的图象交于另一点C，求点C的坐标；（3）连接BC，过点A作直线l交线段BC于点P，设点B，点C 到l的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．55. 二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于两点A，B，与y轴交于点C，且A(−1,0)，B(4,0)．（1）求此二次函数的表达式．（2）如图1，抛物线的对称轴m与x轴交于点E，CD⊥m，垂足,0)，动点N在线段DE上运动，连接CF，为点D，点F(−76CN，FN，若以点C，D，N为顶点的三角形与△FEN相似，求点N的坐标．（3）如图2，点M在抛物线上，且点M的横坐标是1，点P为抛物线上一动点，若∠PMA=45∘，求点P的坐标．56. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=ax+b的图象与二次函数y=ax2+bx的图象交于点A，B．其中a，b均为非零实数．（1）当a=b=1时，求AB的长；（2）当a>0时，请用含a，b的代数式表示△AOB的面积；（3）当点A的横坐标小于点B的横坐标时，过点B作x轴的垂线，垂足为Bʹ．若二次函数y=ax2+bx的图象的顶点在反比例函的图象上，请用含a的代数式表示△BBʹA的面积．数y=ax57. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(3,0)，B(−1,0)，C(0,−3)，顶点为D．（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD= 90∘，求点P坐标；（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折，得到△AQD，求点Q坐标．58. 已知：二次函数y=ax2+bx+6(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是方程x2−4x−12=0的两个根．（1）求出该二次函数的表达式及顶点坐标；（2）如图，连接AC、BC，点P是线段OB上一个动点（点P不与点O、B重合），过点P作PQ∥AC交BC于点Q，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标．59. 如图，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于点B(−3,0)，与y轴交于点C(0,−3)．（1）求直线BC及二次函数的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，与x轴的另一个交点为A．点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．60. 如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数x刻画．y=−x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=12（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标；（3）连接抛物线的最高点P与点O，A得△POA．求△POA的面积；。
(完整word)二次函数压轴题(含答案),推荐文档
4．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对 称轴为直线 x=﹣1，且抛物线经过 A（1，0）， C（0，3）两点，与 x 轴交于点 B． （1）若直线 y=mx+n 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴 x=﹣1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求 出点 M 的坐标； （3）设点 P 为抛物线的对称轴 x=﹣1 上的一个动 点，求使△BPC 为直角三角形的点 P 的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 为 x 轴上两点，C、D 为 y 轴上的两点，经过点 A、C、B 的抛物线的一部分 C1 与经过点 A、D、B 的抛物线的一部分 C2 组合成一条封闭 曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点 C 的坐标为（0，﹣ ），点 M 是抛物线
C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点． （1）求 A、B 两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点 P，使得
6．如图，抛物线经过 A（﹣1，0），B（5，0）， C（0，﹣ ）三点． （Ⅰ）求抛物线的解析式； （Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC
的值最小，求点 P 的坐标． （Ⅲ）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否
存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的 四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐 标；若不存在，请说明理由．
B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为 D，在其对称轴的右侧
的抛物线上是否存在点 P，使得△PDC 是等 腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的 坐标；若不存在，请说明理由； （3）点 M 是抛物线上一点，以 B，C，D，M 为 顶点的四边形是直角梯形，试求出点 M 的坐 标．
二次函数中考压轴题
1、抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若OB=OC=2OA，则下列结论一定成立的是：A. b < 0B. a+b+c = 0C. 2b2 - 9ac = 0D. a-b+c = 0（答案：C）2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(-1,0)，B(3,0)，C(0,-3)，则当y随x的增大而减小时，x的取值范围是：A. x < -1B. x > 3C. -1 < x < 3D. x < -1 或x > 3（答案：D）3、二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上，顶点在x轴上，且图像不经过第三象限，则a，b，c满足：A. a > 0，b2 - 4ac = 0，c < 0B. a < 0，b2 - 4ac = 0，c > 0C. a > 0，b2 - 4ac = 0，c > 0D. a < 0，b2 - 4ac > 0，c < 0（答案：A）4、抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x+1交于A、B两点，且A点的横坐标为-2，若抛物线的对称轴是直线x=2，则线段AB的长为：A. 3B. 4C. 5D. 6（答案：D）5、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若AC=BC，则下列结论一定成立的是：A. b=2aB. b=-2aC. c=2aD. c=-2a（答案：B）6、二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(1,0)，B(0,3)，且对称轴是直线x=2，则当y=0时，x的另一个值是：A. 3B. 4C. 5D. 6（答案：A）7、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，且AB=4，若点A的坐标为(-1,0)，则点B的坐标为：A. (3,0)B. (-5,0)C. (3,0)或(-5,0)D. 无法确定（答案：C）8、抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，若△ABC是等腰直角三角形，且OB=OC，则b的值为：A. 1B. 2C. -1D. ±2（答案：D）。
专题13 二次函数解答压轴题(共62题)(原卷版)
专题13 二次函数解答压轴题（62题）一、解答题1．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）已知二次函数2y x bx c =-++． (1)当4,3b c ==时， ①求该函数图象的顶点坐标． ①当13x -≤≤时，求y 的取值范围．(2)当0x ≤时，y 的最大值为2；当0x >时，y 的最大值为3，求二次函数的表达式．2．（2023·浙江·统考中考真题）已知点(),0m -和()3,0m 在二次函数23,(y ax bx a b =++是常数，0)a ≠的图像上．(1)当1m =-时，求a 和b 的值；(2)若二次函数的图像经过点(),3A n 且点A 不在坐标轴上，当21m -<<-时，求n 的取值范围； (3)求证：240b a +=．(1)若4m=，求二次函数的表达式；(2)写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而减小．(3)若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取值范围．5．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图，二次函数的图象与x 轴交于()1,0A -，()5,0B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D ．O 为坐标原点，1tan 5ACO ∠=．(1)求二次函数的表达式； (2)求四边形ACDB 的面积；(3)P 是抛物线上的一点，且在第一象限内，若ACO PBC ∠=∠，求P 点的坐标．6．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线25y ax bx =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点,4C AB =．抛物线的对称轴3x =与经过点A 的直线1y kx =-交于点D ，与x 轴交于点E ．(1)求直线AD 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M ，使得ADM △是以AD 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为B 上一个动点，请求出12+PC PA 的最小值．7．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，二次函数268y x x =-+的图像与x 轴分别交于点,A B （点A 在点B 的左侧），直线l 是对称轴．点P 在函数图像上，其横坐标大于4，连接,PA PB ，过点P 作PM l ⊥，垂足为M ，以点M 为圆心，作半径为r 的圆，PT 与M 相切，切点为T ．(1)求点,A B 的坐标；(2)若以M 的切线长PT 为边长的正方形的面积与PAB 的面积相等，且M 不经过点()3,2，求PM 长的取值范围．8．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点()0,0O ，()10,0E ，矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点B 在点A 的左侧），点C ，D 在抛物线上，设(),0B t ，当2t =时，4BC =．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当t 为何值时，矩形ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？(3)保持2t =时的矩形ABCD 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ，H ，且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时，求抛物线平移的距离．9．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线()2803y ax x c a =++≠与x 轴交于点1,0A 和点B ，与y 轴交于点()0,4C -．(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)P 是抛物线上一动点（不与点A ，B ，C 重合），作PD x ⊥轴，垂足为D ，连接PC ． ①如图，若点P 在第三象限，且tan 2CPD ∠=，求点P 的坐标；①直线PD 交直线BC 于点E ，当点E 关于直线PC 的对称点E '落在y 轴上时，请直接写出四边形PECE '的周长．10．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，抛物线2443y x bx =-++与x 轴交于(3,0)A -，B 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线解析式及B ，C 两点坐标；(2)以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 坐标；(3)该抛物线对称轴上是否存在点E ，使得45ACE ∠=︒，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()()()1,0,3,,00,3A B C -．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P 是直线BC 上方抛物线上一点，求出PBC 的最大面积及此时点P 的坐标；(3)若点M 是抛物线对称轴上一动点，点N 为坐标平面内一点，是否存在以BC 为边，点B C M N 、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax 2x c =++与坐标轴分别相交于点A ，B ，()0,6C 三点，其对称轴为2x =．(1)求该抛物线的解析式；(2)点F 是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF 分别与y 轴，直线BC 交于点D ，E ． ①当CD CE =时，求CD 的长；①若CAD ，CDE ，CEF △的面积分别为1S ，2S ，3S ，且满足1322S S S +=，求点F 的坐标．13．（2023·全国·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y x x c =-++经过点(0,1)A ．点P ，Q 在此抛物线上，其横坐标分别为,2(0)m m m >，连接AP ，AQ ．(1)求此抛物线的解析式．(2)当点Q 与此抛物线的顶点重合时，求m 的值．(3)当PAQ ∠的边与x 轴平行时，求点P 与点Q 的纵坐标的差．(4)设此抛物线在点A 与点P 之间部分（包括点A 和点P ）的最高点与最低点的纵坐标的差为1h ，在点A 与点Q 之间部分（包括点A 和点Q ）的最高点与最低点的纵坐标的差为2h ．当21h h m -=时，直接写出m 的值．14．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C-．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标； (3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．15．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与x 轴交于1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ． ①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值； ①当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．16．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax c =+经过点3(4,)P -，与y 轴交于点(0,1)A ，直线(0)y kx k =≠与抛物线交于B ，C 两点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若ABP 是以AB 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标；(3)过点(0,)M m 作y 轴的垂线，交直线AB 于点D ，交直线AC 于点E ．试探究：是否存在常数m ，使得OD OE ⊥始终成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．17．（2023·安徽·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，抛物线()20y ax bx a =+≠经过点()3,3A ，对称轴为直线2x =．(1)求,a b 的值；(2)已知点,B C 在抛物线上，点B 的横坐标为t ，点C 的横坐标为1t +．过点B 作x 轴的垂线交直线OA 于点D ，过点C 作x 轴的垂线交直线OA 于点E ．（①）当02t <<时，求OBD 与ACE △的面积之和；（①）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B ，使得以,,,B C D E 为顶点的四边形的面积为32？若存在，请求出点B 的横坐标t 的值；若不存在，请说明理由．18．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，直线552y x =+与x 轴，y 轴分别交于点,A B ，抛物线的顶点P 在直线AB 上，与x 轴的交点为,C D ，其中点C 的坐标为()2,0．直线BC 与直线PD 相交于点E ．(1)如图2，若抛物线经过原点O ． ①求该抛物线的函数表达式；①求BEEC的值． (2)连接,PC CPE ∠与BAO ∠能否相等？若能，求符合条件的点P 的横坐标；若不能，试说明理由．设OQE的面积为，PQE的面积为21．（2023·四川眉山·统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()()3,0,1,0A B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，点P 是抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P 在直线AC 上方的抛物线上时，连接BP 交AC 于点D ．如图1．当PDDB的值最大时，求点P 的坐标及PDDB的最大值； (3)过点P 作x 轴的垂线交直线AC 于点M ，连接PC ，将PCM △沿直线PC 翻折，当点M 的对应点'M 恰好落在y 轴上时，请直接写出此时点M 的坐标．22．（2023·江西·统考中考真题）综合与实践问题提出：某兴趣小组开展综合实践活动：在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 为AC 上一点，2CD =，动点P 以每秒1个单位的速度从C 点出发，在三角形边上沿C B A →→匀速运动，到达点A 时停止，以DP 为边作正方形DPEF 设点P 的运动时间为s t ，正方形DPEF 的而积为S ，探究S 与t 的关系≌；．求证：ACB BDE轴交于点A、与x轴交于点，两点(点在点324．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图1，抛物线2y x bx =-+与x 轴交于点A ，与直线y x =-交于点()4,4B -，点()0,4C -在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．(1)求抛物线2y x bx =-+的表达式；(2)当22BP =时，请在图1中过点P 作PD OA ⊥交抛物线于点D ，连接PC ，OD ，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由．(3)如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ ，PC ，求CP BQ +的最小值．25．（2023·四川乐山·统考中考真题）已知()()1122,,,x y x y 是抛物211:4C y x bx =-+（b 为常数）上的两点，当120x x +=时，总有12y y = (1)求b 的值；(2)将抛物线1C 平移后得到抛物线221:()1(0)4C y x m m =--+>．探究下列问题：①若抛物线1C 与抛物线2C 有一个交点，求m 的取值范围；①设抛物线2C 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线2C 的顶点为点E ，ABC 外接圆的圆心为点F ，如果对抛物线1C 上的任意一点P ，在抛物线2C 上总存在一点Q ，使得点P 、Q 的纵坐标相等．求EF 长的取值范围．26．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线231y x x =-++交y 轴于点A ，直线3(1)如果四个点()()()()0,00,21,11,1-、、、中恰有三个点在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a ≠）的图象上． ①=a ________；①如图1，已知菱形ABCD 的顶点B 、C 、D 在该二次函数的图象上，且AD y ⊥轴，求菱形的边长； ①如图2，已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在该二次函数的图象上，点B 、D 在y 轴的同侧，且点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，试探究n m -是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由．(2)已知正方形ABCD 的顶点B 、D 在二次函数2y ax =（a 为常数，且0a >）的图象上，点B 在点D 的左侧，设点B 、D 的横坐标分别为m 、n ，直接写出m 、n 满足的等量关系式．29．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）已知抛物线21:Q y x bx c =-++与x 轴交于()3,0,A B -两点，交y 轴于2一点B ，点M 是抛物线的顶点，直线AM 与轴交于点D ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H 是x 轴上一动点，分别连接MH ，DH ，求MH DH +的最小值；(3)若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q ，使得以D ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接．．写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图1，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(2,0)B 和(0,2)C ，连接BC ，点(,)P m n (0)m >为抛物线上一动点，过点P 作PN x ⊥轴交直线BC 于点M ，交x 轴于点N ．(1)直接写出．．．．抛物线和直线BC 的解析式； (2)如图2，连接OM ，当OCM 为等腰三角形时，求m 的值；(3)当P 点在运动过程中，在y 轴上是否存在点Q ，使得以O ，P ，Q 为顶点的三角形与以B ，C ，N 为顶点的三角形相似（其中点P 与点C 相对应），若存在，直接写出．．．．点P 和点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．33．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()4,0B ，(1)若11a c ==-，，且该二次函数的图像过点()2,0，求b 的值；(2)如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，该二次函数的图像与x 轴交于点()()12,0,0A x B x ，，且120x x <<，点D 在O 上且在第二象限内，点E 在x 轴正半轴上，连接DE ，且线段DE 交y 轴正半轴于点F ，32DOF DEO OF DF ∠=∠=，．①求证：23DO EO =． ①当点E 在线段OB 上，且1BE =．O 的半径长为线段OA 的长度的2倍，若224ac a b =--，求2a b +的值． 35．（2023·山西·统考中考真题）如图，二次函数24y x x =-+的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点()1,3B ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P 作直线PE x ⊥轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当12PD OC =时，求m 的值；①当点P 在直线AB 上方时，连接OP ，过点B 作BQ x ⊥轴于点Q ，BQ 与OP 交于点F ，连接DF ．设四边形FQED 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．36．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线21:28=--C y x x 交x 轴于,A B 两点（A 在B 的左边），交y 轴于点C ．(1)直接写出,,A B C 三点的坐标；(2)如图（1），作直线()04=<<x t t ，分别交x 轴，线段BC ，抛物线1C 于,,D E F 三点，连接CF ．若BDE 与CEF △相似，求t 的值；(3)如图（2），将抛物线1C 平移得到抛物线2C ，其顶点为原点．直线2y x =与抛物线2C 交于,O G 两点，过OG 的中点H 作直线MN （异于直线OG ）交抛物线2C 于,M N 两点，直线MO 与直线GN 交于点P ．问点P 是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．37．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）如图，已知(0,2),(2,0)A B ．点E 位于第二象限且在直线2y x =-上，90EOD ∠=︒，OD OE =，连接AB DE AE DB ，，，．(1)直接判断AOB 的形状：AOB 是_________三角形； (2)求证：AOE BOD △≌△；(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >．将经过B ，C 两点的抛物线214y ax bx =+-向左平移2个单位，得到抛物线2y ．①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点，求t 的值； ①若抛物线2y 的顶点P 在直线EA 上，求t 的值； ①将抛物线2y 再向下平移，22(1)t -个单位，得到抛物线3y ．若点D 在抛物线3y 上，求点D 的坐标． 38．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知抛物线24y ax bx =++与x 轴相交于点1,0A ，()4,0B ，与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，点P 是抛物线的对称轴l 上的一个动点，当PAC △的周长最小时，求PAPC的值； (3)如图2，取线段OC 的中点D ，在抛物线上是否存在点Q ，使1tan 2QDB ∠=？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于,(4,0)A B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ，点P 为第一象限抛物线上的点，连接,,,CA CB PB PC ．设PCB的面积为t ．(1)求抛物线的解析式．(2)过点M 作x 轴的垂线，与拋物线交于点N ．若04t <<，求NED 面积的最大值．(3)抛物线与y 轴交于点C ，点R 为平面直角坐标系上一点，若以B C M R 、、、为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R 的坐标．41．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，求出点F 的坐标；(3)如图2，P 为第一象限内抛物线上一点，连接AP 交y 轴于点M ，连接BP 并延长交y 轴于点N ，在点P 运动过程中，12OM ON +是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．42．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图①，抛物线29y ax bx =+-与x 轴交于点()30A -,，()6,0B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC .点P 是x 轴上任意一点．(1)求抛物线的表达式；(2)点Q 在抛物线上，若以点A ，C ，P ，Q 为顶点，AC 为一边的四边形为平行四边形时，求点Q 的坐标； (3)如图①，当点(),0P m 从点A 出发沿x 轴向点B 运动时（点P 与点A ，B 不重合），自点P 分别作∥PE BC ，交AC 于点E ，作PD BC ⊥，垂足为点D ．当m 为何值时，PED 面积最大，并求出最大值．43．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：y 关于x 的函数()()221y a x a x b =-+++．(1)若函数的图象与坐标轴．．．有两个公共点，且4a b =，则a 的值是___________； (2)如图，若函数的图象为抛物线，与x 轴有两个公共点()2,0A -，()4,0B ，并与动直线:(04)l x m m =<<交于点P ，连接PA ，PB ，PC ，BC ，其中PA 交y 轴于点D ，交BC 于点E ．设PBE △的面积为1S ，CDE 的面积为2S ．①当点P 为抛物线顶点时，求PBC 的面积；①探究直线l 在运动过程中，12S S -是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由． 44．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线23y ax bx =++交x 轴于()()1,0,3,0A B 两点，M 为抛物线的顶点，,C D 为抛物线上不与,A B 重合的相异两点，记AB 中点为E ，直线,AD BC 的交点为P ． (1)求抛物线的函数表达式；(2)若()34,3,,4C D m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且2m <，求证：,,C D E 三点共线；(3)小明研究发现：无论,C D 在抛物线上如何运动，只要,,C D E 三点共线，,,AMP MEP ABP △△△中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．45．（2023·山东·统考中考真题）如图，直线4y x =-+交x 轴于点B ，交y 轴于点C ，对称轴为32x =的抛物线经过B C ，两点，交x 轴负半轴于点A ．P 为抛物线上一动点，点P 的横坐标为m ，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于另一点M ，作x 轴的垂线PN ，垂足为N ，直线MN 交y 轴于点D ．(1)求抛物线的解析式； (2)若302m <<，当m 为何值时，四边形CDNP 是平行四边形？ (3)若32m <，设直线MN 交直线BC 于点E ，是否存在这样的m 值，使2MN ME =？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由．46．（2023·山东·统考中考真题）已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,4C ，2得到AB D'，当点，线段BC2(2)将矩形ACDE 向左平移m 个单位，向下平移n 个单位得到矩形A C D E ''''，点C 的对应点C '落在抛物线1C 上．①求n 关于m 的函数关系式，并直接写出自变量m 的取值范围；①直线A E ''交抛物线1C 于点P ，交抛物线2C 于点Q ．当点E '为线段PQ 的中点时，求m 的值； ①抛物线2C 与边E D A C ''''、分别相交于点M N 、，点M N 、在抛物线2C 的对称轴同侧，当2103MN =时，求点C '的坐标．48．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()2,0A -和点()6,0B 两点，与y 轴交于点()0,6C ．点D 为线段BC 上的一动点．(1)求二次函数的表达式；(2)如图1，求AOD △周长的最小值；(3)如图2，过动点D 作DP AC ∥交抛物线第一象限部分于点P ，连接,PA PB ，记PAD 与PBD △的面积和为S ，当S 取得最大值时，求点P 的坐标，并求出此时S 的最大值．49．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，抛物线21y ax bx c =++的图象经过(6,0)A -，(2,0)B -，(0,6)C点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，以B ，C ，P ，Q 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，过点()1,3K 的直线（直线KD 除外）与抛物线交于G ，H 两点，直线DG ，DH 分别交x 轴于点M ，N ．试探究EM EN ⋅是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．51．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()4,0A -、()2,0B ，且经过点()2,6C -．(1)求抛物线的表达式；(2)在x 轴上方的抛物线上任取一点N ，射线AN 、BN 分别与抛物线的对称轴交于点P 、Q ，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，求APQ '△的面积；(3)点M 是y 轴上一动点，当AMC ∠最大时，求M 的坐标．52．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点A B ，，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()1,0，对称轴是直线=1x -，点P 是x 轴上一动点，PM x ⊥轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)若点P 在线段AO 上运动（点P 与点A 、点O 不重合），求四边形ABCN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．(3)若点P 在x 轴上运动，则在y 轴上是否存在点Q ，使以M 、N C Q 、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．53．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =--的顶点为P ．直线l 过点()()0,3M m m ≥-，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．(1)当1m =时，求点D 的坐标；(2)连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．54．（2023·云南·统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数2(42)(96)44y a x a x a =++--+（实数a 为常数）的图象为图象T ．(1)求证：无论a 取什么实数，图象T 与x 轴总有公共点；(2)是否存在整数a ，使图象T 与x 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a 的值；若不存在，请说明理由．55．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线28y ax bx =+-与x 轴交于(4,0)(2,0)A B -、两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P 为第三象限内抛物线上一点，作直线AC ，连接PA 、PC ，求PAC △面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)设直线135:4l y kx k =+-交抛物线于点M 、N ，求证：无论k 为何值，平行于x 轴的直线237:4l y =-上总存在一点E ，使得MEN ∠为直角．56．（2023·湖南·统考中考真题）如图，已知抛物线223y ax ax =-+与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，过B 、C 两点作直线．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接,AB BC ，点D 在线段AB 上（与点,A B 不重合），点F 是OA 的中点，连接FD ，过点D 作DE FD ⊥交BC 于点E ，连接EF ，当DEF 面积是ADF △面积的3倍时，求点D 的坐标；(3)如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(),0H m 是x 轴正半轴上的动点，若线段OB 上存在点G （与点,O B 不重合），使得GBP HGP BOH ∠=∠=∠，求m 的取值范围．59．（2023·吉林长春·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线22y x bx =-++（b 是常数）经过点(2,2)．点A 的坐标为(,0)m ，点B 在该抛物线上，横坐标为1m -．其中0m <．(1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标；(2)当点B 在x 轴上时，求点A 的坐标；(3)该抛物线与x 轴的左交点为P ，当抛物线在点P 和点B 之间的部分（包括P 、B 两点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2m -时，求m 的值．(4)当点B 在x 轴上方时，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，连结AC 、BO ．若四边形AOBC 的边和抛物线有两个交点（不包括四边形AOBC 的顶点），设这两个交点分别为点E 、点F ，线段BO 的中点为D ．当以点C 、E 、O 、D （或以点C 、F 、O 、D ）为顶点的四边形的面积是四边形AOBC 面积的一半时，直接写出所有满足条件的m 的值．60．（2023·湖北·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()260y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()()2,0,6,0A B -，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接BC ．(1)抛物线的解析式为__________________；（直接写出结果）(2)在图1中，连接AC 并延长交BD 的延长线于点E ，求CEB ∠的度数；(3)如图2，若动直线l 与抛物线交于,M N 两点（直线l 与BC 不重合），连接,CN BM ，直线CN 与BM 交于点P ．当MN BC ∥时，点P 的横坐标是否为定值，请说明理由．61．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）综合与探究如图，抛物线2y x bx c =-++上的点A ，C 坐标分别为()0,2，()4,0，抛物线与x 轴负半轴交于点B ，点M 为y 轴负半轴上一点，且2OM =，连接AC ，CM ．(1)求点M 的坐标及抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP ，CP ，当PAC ACM S S =△△时，求点P 的坐标；(3)点D 是线段BC (包含点B ，C )上的动点，过点D 作x 轴的垂线，交抛物线于点Q ，交直线CM 于点N ，若以点Q ，N ，C 为顶点的三角形与COM 相似，请直接写出点Q 的坐标；(4)将抛物线沿x 轴的负方向平移得到新抛物线，点A 的对应点为点A '，点C 的对应点为点C '，在抛物线平移过程中，当MA MC ''+的值最小时，新抛物线的顶点坐标为______，MA MC ''+的最小值为______．62．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究()20y ax a =>型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P 到定点10,4F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离PF ，始终等于它到定直线l ：14y a =-的距离PN （该结论不需要证明）．他们称：定点F 为图象的焦点，定直线l 为图象的准线，14y a=-叫做抛物线的准线方程．准线l 与y 轴的交点为H ．其中原点O 为FH 的中点，122FH OF a==．例如，抛物线22y x =，其焦点坐标为10,8F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为l ：18y =-，其中PF PN =，124FH OF ==．【基础训练】(1)请分别直接写出抛物线214y x =的焦点坐标和准线l 的方程：___________，___________； 【技能训练】(2)如图2，已知抛物线214y x =上一点()()000,0P x y x >到焦点F 的距离是它到x 轴距离的3倍，求点P 的坐标；【能力提升】请求出POD的面积．。
二次函数压轴题目(经典版)
合用标准文案2021 年 10 月 26 日二次函数压轴2一．解答题〔共 30 小题〕2﹣ 2ax+3 经过△ ABC的三个极点，1．如图，在△ ABC中，∠ BAC=90， BC∥x 轴，抛物线 y=ax并且与 x 轴交于点 D、 E，点 A 为抛物线的极点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕连接 CD，在抛物线的对称轴上可否存在一点P 使△ PCD为直角三角形？假设存在，求出全部吻合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明原由．2．如图，抛物线y= x2+bx﹣ 2 与 x 轴交于 A， B 两点，与y 轴交于 C 点，且 A〔﹣ 1， 0〕．（1〕求抛物线的函数关系式及极点D的坐标；（2〕假设点 M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．3．如图，直线y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点B．抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过 A、B 两点，与x 轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点 E．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕在第三象限内、 F 为抛物线上一点，以A、E、F 为极点的三角形面积为4，求点 F 的坐标；〔3〕连接 B、 C，点 P 是线段， AB 上一点，作 PQ平行于 x 轴交线段 BC于点 Q，过 P 作 PM ⊥x 轴于 M，过 Q作 QN⊥ x 轴于 N，求矩形 PQNM面积的最大值和 P 点的坐标．4．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣ x﹣ 2 的极点为点D，与直线 y=kx 在第一象限内交于点 A，且点 A 的横坐标为4；直线 OA与抛物线的对称轴交于点C．（1〕求△ AOD的面积；（2〕假设点 F 为线段 OA上一点，过点 F 作 EF∥ CD交抛物线于点 E，求线段 EF 的最大值及此时点 E 坐标；〔3〕如图 2，点 P 为该抛物线在第四象限局部上一点，且∠POA=45°，求出点P 的坐标．5．如图，抛物线L1： y1= x2，平移后经过点A〔﹣ 1， 0〕，B〔 4， 0〕获取抛物线L2，与 y 轴交于点 C．（1〕求抛物线 L2的解析式；（2〕判断△ ABC的形状，并说明原由；（3〕点 P 为抛物线 L2上的动点，过点 P 作 PD⊥x 轴，与抛物线 L1交于点 D，可否存在 PD=2OC？假设存在，求出点 P 的坐标；假设不存在，说明原由．6．抛物线 y=ax 2+bx+c 〔 a≠ 0〕的极点为 P〔 1，﹣ 4〕，在 x 轴上截得的线段 AB 长为 4 个单位， OA＜ OB，抛物线与 y 轴交于点 C．（1〕求这个函数解析式；（2〕试确定以 B、 C、 P 为极点的三角形的形状；〔3〕在对称轴上存在一点 F 使得△ ACF周长最小，请写出 F 点的坐标．7．如图，抛物线与x轴交于A〔﹣4，0〕和B〔1，0〕两点，与y 轴交于 C点．〔1〕求此抛物线的解析式；〔2〕假设 P为抛物线上A、 C 两点间的一个动点，过P 作 y 轴的平行线，交AC于 Q点，当 P 点运动到什么地址时，线段PQ的长最大，并求此时P 点的坐标．8．如图，抛物线y=﹣ x2+ax+8〔 a≠0〕于 x 轴从左到右交于点A， B 于 y 轴交于点 C 于直线y=kx+b 交于点 c 和点 D〔 m，5〕， tan ∠DCO=1〔1〕求抛物线与直线CD的解析式；〔2〕在抛物线的对称轴上有点E，使 EA+EC的值最小，求最小值和点 E 的坐标；〔3〕点 F 为在直线CD上方的抛物线上任意一点，作FG⊥ CD于点 G，作 FH∥y 轴，与直线CD交于点 H，求△ FGH的周长的最大值和对应的点 F 的坐标．9．如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c 与 x 轴交于点A， B〔 1， 0〕，与 y 轴交于点C〔 0， 3〕．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕如图①，点P 在直线 AC上，假设 S△：S△=2： 1，求 P 点坐标；PAO PCO〔3〕如图②，假设点 C 关于对称轴对称的点为 D，点 E 的坐标为〔﹣ 2， 0〕， F 是 OC的中点，连接 DF， Q为线段 AD上的一点，假设∠ EQF=∠ ADF，求线段 EQ的长．10．如图，直线 y=﹣ x+3 与 x 轴，y 轴分别订交于点2B，点 C，经过 B、C两点的抛物线 y=ax +bx+c（a≠ 0〕与 x 轴的另一交点为 A，极点为 P，且对称轴是直线 x=2．（1〕求 A点的坐标及该抛物线的函数表达式；（2〕求出△ PBC的面积；〔3〕请问在对称轴x=2 右侧的抛物线上可否存在点Q，使得以点A、 B、C、Q所围成的四边形面积是△ PBC的面积的？假设存在，央求出点Q的坐标；假设不存在，请说明原由．11．抛物线y=ax 2+bx+c 与 x 轴的一个交点A 的坐标为〔﹣ 1，0〕，对称轴为直线x﹦﹣ 2，点 C 是抛物线与 y 轴的交点，点 D是抛物线上另一点，以 OC为一边的矩形 OCDE的面积为 8．〔1〕写出点 D 坐标并求此抛物线的解析式；〔2〕假设点 P 是抛物线在x轴上方的一个动点，且向来保持PQ⊥ x 轴，垂足为点Q，可否存在这样的点，使得△PQB∽△ BOC？假设存在求出点P 的坐标，假设不存在，请说明原由．12．如图，二次函数图象的极点为〔1，﹣ 3〕，并经过点C〔 2， 0〕．（1〕求该二次函数的解析式；（2〕直线 y=3x 与该二次函数的图象交于点B〔非原点〕，求点 B 的坐标和△ AOB的面积；〔3〕点 Q在 x 轴上运动，求出全部△AOQ是等腰三角形的点Q的坐标．213．如图，二次函数 y=ax +bx+c〔 a≠ 0〕的图象与 x 轴交于点 A〔 1， 0〕，与 x 轴交于另一点C，与 y 轴交于点 B〔0， 3〕，对称轴是直线 x=﹣ 1，极点是 M．〔1〕直接写出二次函数的解析式：；〔2〕点 P 是抛物线上的动点，点D是对称轴上的动点，当以P、D、B、C 为极点的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点 D 的坐标：；〔3〕过原点的直线l 均分△ MBC的面积，求l 的解析式．214．抛物线y=ax +bx+c〔a≠ 0〕的极点坐标为〔 4，﹣〕，且与y轴交于点C〔0，2〕，与 x 轴交于 A， B 两点〔点 A 在点 B 的左侧〕．〔1〕求抛物线的解析式及 A，B 两点的坐〔2〕在〔 1〕中抛物线的对称轴l 上可否存在一点P，使 AP+CP的值最小？假设存在，求AP+CP 的最小值，假设不存在，请说明原由．15．二次函数y=ax2﹣ 4x+c 的图象过点〔﹣1， 0〕和点〔 2，﹣ 9〕．（1〕求该二次函数的解析式并写出其对称轴；（2〕点 P〔 2，﹣ 2〕，连接 OP，在 x 轴上找一点 M，使△ OPM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标〔不写求解过程〕．16．如图，直线 y=﹣ x+3 分别交 x 轴、 y 轴于 B、C 两点，抛物线 y=ax2 +bx+c 经过 B、 C 两点，点 A 是抛物线与 x 轴的另一个交点〔与 B 点不重合〕．连接 AC， AO： CO=1： 3．（1〕求△ ABC的面积；（2〕求抛物线的解析式；（3〕在抛物线上，可否存在与点 C 不重合的一点 P，使 PAB的面积与△ ABC的面积相等？假设存在，求出点 P 的坐标；假设不存在，请说明原由．217．：二次函数 y=x +2x﹣ 3 与 x 轴交于点 A、点 B〔点 A 在点 B 左侧〕，与 y 轴交于点C，点 D 是抛物线的极点．连接 AD、 CD，过点 A、点 C作直线AC．〔1〕求点 B、 D 的坐标及直线 AC的解析式；〔2〕假设点 E 为抛物线上一点，点 F 为直线 AC上一点，且 E、 F 两点的纵坐标都是 2，求线段EF 的长；（3〕该抛物线上可否存在点 P，使得∠ APB=∠ADC？假设存在，求出 P 的坐标；假设不存在，请说明原由．18．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点 A〔﹣ 3，0〕、B〔 0，3〕、C〔 1，0〕三点．（1〕求抛物线的解析式和它的极点坐标；（2〕假设在该抛物线的对称轴 l 上存在一点 M，使 MB+MC的值最小，求点 M的坐标以及 MB+MC的最小值；〔3〕假设点 P、Q分别是抛物线的对称轴 l 上两动点，且坐标标分别为 m，m+2，当四边形 CBQP周长最小时，求出此时点 P、Q的坐标以及四边形 CBQP周长的最小值．2订交于点 A，B．点 B 的坐标为〔﹣ 2，19．如图，抛物线 y=ax +bx〔 a＞0〕与双曲线﹣2〕，点 A 在第一象限内，且tan ∠ AOx=4．过点 A 作直线 AC∥ x 轴，交抛物线于另一点C．（1〕请直接写出双曲线和直线AB 的解析式，求出抛物线的解析式；（2〕在抛物线的对称轴上可否找到点 D，使△ BCD周长最短，央求出点 D 的坐标和直接写出此时△ BCD周长；（2〕在直线 AB的下方的抛物线上找一点 P，使△ ABP的面积最大．并求出点 P 的坐标和△ABP的最大面积．20．如图，抛物线2C〔﹣ 3，﹣ 2〕，y=ax +bx+c 与 y 轴交于 A〔 0，4〕，且抛物线经过点对称轴 x=﹣．〔1〕求出抛物线的解析式；〔2〕过点 C作 x 轴的平行线交抛物线于 B 点，连接 AC，AB，假设在抛物线上有一点D，使得△ ABC=S△ BCD，求 D 点的坐标；〔3〕记抛物线与x 轴左交点为E，在 A、E 两点之间的抛物线上有一点F，连接 AE、FE、FA，试求出使得S△AEF面积最大时，F 点的坐标以及此时的面积．21， 0〕，抛物线的21．如图，抛物线 y=ax +bx+2 与 x 轴交于 A、 B 两点，点 A 的坐标为〔﹣对称轴为直线．点 M为线段 AB上一点，过 M作 x 轴的垂线交抛物线于P，交过点 A 的直线 y=﹣ x+n 于点 C．〔1〕求直线 AC及抛物线的解析式；〔2〕假设，求 PC的长；〔3〕过 P作 PQ∥ AB交抛物线于点Q，过 Q作 QN⊥ x 轴于 N，假设点 P 在 Q左侧，矩形PMNQ的周长记为 d，求 d 的最大值．22．如图，二次函数y=﹣x2+ x+4 的图象与y 轴交于点A，与 x 轴交于 B、 C 两点，其对称轴与x 轴交于点D，连接 AC．〔1〕点 A的坐标为，点C的坐标为；（2〕△ ABC是直角三角形吗？假设是，请恩赐证明；（3〕线段 AC上可否存在点 E，使得△ EDC为等腰三角形？假设存在，求出全部吻合条件的点E的坐标；假设不存在，请说明原由．23．如图，平面直角坐标系xOy，抛物线y=﹣ x2+bx+c 过点 A〔 4， 0〕、 B〔 1， 3〕．（1〕求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的极点坐标；（2〕在 x 轴的正半轴上可否存在点 P，使得△ PAB是等腰三角形？假设存在，求出点 P 的坐标；假设不存在，请说明原由．24．如图，直线 y=kx+b 交 x 轴于点 A〔﹣ 1， 0〕，交 y 轴于 B 点， tan ∠ BAO=3；过 A、B 两点的抛物线交 x 轴于另一点 C〔3， 0〕．〔1〕求直线AB的表达式；〔2〕求抛物线的表达式；〔3〕在抛物线的对称轴上可否存在点Q，使△ ABQ是等腰三角形？假设存在，求出吻合条件的Q点坐标；假设不存在，请说明原由．25．如图，抛物线y=ax2+bx+c〔 a≠0〕与直线y=kx+b 交于 A〔 3， 0〕、 C〔 0， 3〕两点，抛物线的极点坐标为Q〔 2，﹣ 1〕．点 P 是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A 运动〔点P 与 A 不重合〕，过点 P 作 PD∥ y 轴，交直线AC于点 D．〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕设 P点的横坐标为t ， PD的长度为l ，求 l 与 t 之间的函数关系式，并求l 取最大值时，点 P 的坐标．〔3〕在问题〔 2〕的结论下，假设点E 在 x 轴上，点 F 在抛物线上，问可否存在以A、 P、 E、F 为极点的平行四边形？假设存在，求点 F 的坐标；假设不存在，请说明原由．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过原点O，点 B〔﹣ 2， n〕在这条抛物线上．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕将直线 y=﹣ 2x 沿 y 轴向下平移 b 个单位后获取直线 l ，假设直线 l 经过 B 点，求 n、b的值；〔3〕在〔 2〕的条件下，设抛物线的对称轴与x 轴交于点C，直线 l 与 y 轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E．假设 P 是抛物线上一点，且PB=PE，求 P 点的坐标．27．如图，抛物线y=x 2﹣〔 m2﹣ 2〕x﹣ 2m与 x 轴交与点A〔x1，0〕，B〔 x2， 0〕，与 y 轴交与点 C，且满足．〔1〕求这条抛物线的解析式；〔2〕假设点 M是这条抛物线对称轴上的一个动点，当MB+MC的值最小时，求点M的坐标．228．如图，抛物线y=﹣ x +bx+c 与 x 轴负半轴交于点A，与 y 轴正半轴交于点B，且 OA=OB．（1〕求 b+c 的值；（2〕假设点 C 在抛物线上，且四边形 OABC是平行四边形，求抛物线的解析式；〔3〕在〔 2〕条件下，点 P〔不与 A、C 重合〕是抛物线上的一点，点 M是 y 轴上一点，当△BPM是等腰直角三角形时，求点 M的坐标．29．如图，抛物线y=﹣ x2+bx+c 的图象与x 轴交于点A〔 x1， 0〕， B〔x2． 0〕，其中 x1＜ x2，与 y 轴交于点 C〔 0， 3〕，且 x1， x2满足 2〔x1+x2〕 +x1x2﹣1=0．〔1〕求抛物线的解析式及极点 D 的坐标；〔2〕P 为线段 BD上的一个动点，过点 P 作 PM⊥ X 轴于点 M，求四边形 PMAC的面积的最大值和此时点 P 的坐标．230．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ x +bx+c 与 x 轴交于点 A〔﹣ 1，0〕和点 B〔 2，∥y轴交 x 轴于点 C．设点 P 的横坐标为 m，矩形 PDOC的周长为 L．〔1〕求 b 和 c 的值．〔2〕求 L 与 m之间的函数关系式．〔3〕当矩形 PDOC为正方形时，求 m的值．2021 年 10 月 26 日二次函数压轴2参照答案与试题解析一．解答题〔共30 小题〕1．〔 2021? 无锡校级模拟〕如图，在△ABC中，∠ BAC=90， BC∥ x 轴，抛物线y=ax 2﹣ 2ax+3经过△ ABC的三个极点，并且与x 轴交于点D、 E，点 A 为抛物线的极点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕连接 CD，在抛物线的对称轴上可否存在一点P 使△ PCD为直角三角形？假设存在，求出全部吻合条件的点P 的坐标；假设不存在，请说明原由．【考点】抛物线与 x 轴的交点；二次函数的性质．【专题】计算题．【解析】〔 1〕BC与抛物线的对称轴于 F 点，先依照抛物线的性质获取对称轴为直线x=1，由于 BC∥ x 轴，依照抛物线的对称性获取 B 点和 C点关于直线 x=1 对称轴，那么 AB=AC，于是可判断△ ABC为等腰直角三角形，依照等腰直角三角形的性质得AF=BF=1，因此可确定 A 点坐标为〔 1，4〕，尔后把 A 点坐标代入 y=ax2﹣ 2ax+3 求出 a 即可获取抛物线解析式为 y=﹣ x2+2x+3；〔2〕先依照抛物线与x 轴的交点问题获取 D 点坐标为〔﹣ 1， 0〕，设 P 点坐标为〔1，t 〕，利用两点之间的距离公式获取222222222，尔后分类CD=3 +〔 2+1〕=18，PC=1 +〔 t ﹣ 3〕， PD=2 +t2222+〔 t﹣3〕222， t 2=，此时 P谈论：当 CD=PC+PD，即 18=1+2 +t ，解得 t 1=点坐标为〔 1，〕，〔 1，〕；当2222222PD=CD+PC，即 2 +t =18+1 +〔 t ﹣3〕，解得 t=4 ，此时 P 点坐标为〔 1，4〕，；当2222222，解得 t= ﹣ 2，PC=CD+PD，即 1 +〔 t ﹣ 3〕=18+2 +t此时 P 点坐标为〔 1，﹣ 2〕．【解答】解：〔 1〕BC与抛物线的对称轴于 F 点，如图，抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∵BC∥ x 轴，∴B 点和 C点关于直线x=1 对称轴，∴AB=AC，而∠ BAC=90，∴△ ABC为等腰直角三角形，∴A F=BF=1，∴A 点坐标为〔 1， 4〕，把 A〔 1， 4〕代入 y=ax2﹣2ax+3 得 a﹣ 2a+3=4，解得 a=﹣ 1，∴抛物线解析式为 y=﹣ x2+2x+3；〔2〕令 y=0，那么﹣ x2+2x+3=0，解得 x1=﹣ 1， x2=3，∴D 点坐标为〔﹣ 1， 0〕，设 P 点坐标为〔1， t 〕，222222222∴CD=3 +〔 2+1〕 =18， PC=1 +〔 t ﹣3〕， PD=2 +t，2222222=，t 2=，此时 P 点坐标当 CD=PC+PD，即18=1 +〔 t ﹣ 3〕+2 +t，解得 t 1为〔 1，〕，〔1，〕；22222221， 4〕，；当 PD=CD+PC，即 2 +t =18+1 +〔t ﹣ 3〕，解得 t=4 ，此时 P 点坐标为〔2222222﹣ 2，此时 P 点坐标为〔 1，﹣ 2〕；当 PC=CD+PD，即 1 +〔 t﹣ 3〕 =18+2 +t，解得 t=∴吻合条件的点P 的坐标为〔 1，〕或〔 1，〕或〔 1， 4〕或〔 1，﹣ 2〕．【谈论】此题观察了抛物线与x 轴的交点：求二次函数2y=ax +bx+c〔 a，b，c 是常数， a≠ 0〕与 x 轴的交点坐标，令 y=0，即 ax2+bx+c=0，解关于 x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也观察了分类谈论的思想和两点之间的距离公式．2．〔2021? 镇江一模〕如图，抛物线 y= x2+bx﹣ 2 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，且 A〔﹣ 1， 0〕．（1〕求抛物线的函数关系式及极点D的坐标；（2〕假设点 M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．【考点】抛物线与x 轴的交点；轴对称- 最短路线问题．【解析】〔 1〕把 A 的坐标代入抛物线的解析式可求出 b 的值，进而获取抛物线的解析式，利用配方法即可求出极点 D 的坐标；（2〕第一求出 C，A，B 的坐标，依照抛物线的对称性可知 AM=BM．因此AM+CM=BM+CM≥BC=2 ．【解答】解：〔 1〕∵点 A〔﹣ 1， 0〕在抛物线 y= x2+bx﹣ 2 上，∴b=﹣，∴抛物线解析式 y= x2﹣ x﹣2，∵抛物线 y= x2﹣x﹣ 2=〔 x﹣〕2﹣，∴极点 D 的坐标〔，﹣〕；（2〕当 x=0 时， y=﹣ 2，∴ C〔 0，﹣ 2〕∴OC=2，当 y=0 时， 0= x2﹣x﹣ 2，解得： x=4 或﹣ 1，∴B〔 4， 0〕，∴O B=4，由抛物线的性质可知：点 A 和 B 是对称点，∴AM=BM，∴AM+CM=BM+CM≥BC=2．∴CM+AM的最小值是 2．【谈论】此题主要观察了待定系数法求二次函数解析式以及抛物线和抛物线的交点问题，利用抛物线的对称性获取AM+CM=BM+CM≥BC=2是解题的要点．3．〔 2021? 重庆模拟〕如图，直线y=x+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B．抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过 A、 B 两点，与 x 轴交于另一个点 C，对称轴与直线 AB交于点 E．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕在第三象限内、 F 为抛物线上一点，以A、E、F 为极点的三角形面积为 4，求点 F 的坐标；〔3〕连接 B、 C，点 P 是线段， AB 上一点，作 PQ平行于 x 轴交线段 BC于点 Q，过 P 作 PM ⊥x 轴于 M，过 Q作 QN⊥ x 轴于 N，求矩形 PQNM面积的最大值和 P 点的坐标．【考点】二次函数综合题．【解析】〔 1〕由直线解析式可求出A、 B点的坐标，将其代入抛物线中，即可求出抛物线解析式；〔2〕由直线解析式和抛物线对称轴解析式可求出交点 E 的坐标，可随之求出AE的长度，由三角形的面积为 4，可得出点 F 到直线 AB的距离，设出 F 点的坐标，套用点到直线的距离公式即可求得 F 的坐标；〔3〕设出 P 点的坐标，用未知数n 表示出 Q的坐标，由矩形的面积公式可得出含n 的代数式，利用解极值问题即可得出矩形PQNM面积的最大值和P 点的坐标．【解答】解：〔 1〕直线 y=x+3 与 x、 y 轴的交点分别为A〔﹣ 3， 0〕、 B〔 0，3〕，将 A、 B 坐标代入抛物线解析式得：，解得．∴抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ 2x+3．（2〕∵抛物线的解析式 y=﹣x2﹣ 2x+3=﹣〔 x+1〕2+4，∴抛物线的对称轴为 x=﹣ 1，解，得，即点 E 坐标为〔﹣ 1， 2〕，∴A E=2 ．设 F 点坐标为〔 m，﹣ m2﹣2m+3〕．∵△ AEF的面积为 4，∴F 点到直线AE 的距离为==2，即|m 2+3m|=4，2解 m+3m=4，得 m1=1，m2=﹣4；2解 m+3m=﹣ 4，无解．∵点 F 在第三象限，∴m＜ 0，即 m=﹣ 4，此时点 F 的坐标为〔﹣ 4，﹣5〕．〔3〕依照题意画出图形，以下，2令 y=﹣〔 x+1〕 +4=0，解得 x=1， x=﹣ 3，∴点 C 坐标为〔 1， 0〕．设直线 BC的解析式为y=kx+b ，那么有，解得，即直线 BC的解析式为y= ﹣ 3x+3．设 P 点坐标为〔 n， n+3〕〔其中﹣ 3＜ n＜ 0〕，那么 Q点坐标为〔﹣，n+3〕，M点坐标为〔n，0〕， N点坐标为〔﹣，0〕．∴P M=n+3，PQ=﹣﹣ n=﹣ n，矩形 PMNQ的面积 =PM× PQ=〔n+3〕×〔﹣n〕=﹣〔n2+3n〕=﹣+3．故当 n=﹣时，矩形PMNQ的面积最大，最大面积为3．此时 P 点坐标为〔﹣，〕．【谈论】此题观察了二次函数的综合运用，解题的要点：〔1〕由直线解析式求出A、 B 两点坐标，再代入抛物线解析式即可；〔 2〕先找出线段 AE的长度，再依照点到直线的距离来表示出头积；〔3〕设出 P 点坐标，利用含 n 的代数式表示出矩形面积，由求极值的方法解决问题．4．〔 2021? 沙坪坝区校级二模〕在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣ x﹣ 2 的极点为点D，与直线 y=kx 在第一象限内交于点 A，且点 A 的横坐标为 4；直线 OA与抛物线的对称轴交于点 C．（1〕求△ AOD的面积；（2〕假设点 F 为线段 OA上一点，过点 F 作 EF∥ CD交抛物线于点 E，求线段 EF 的最大值及此时点 E 坐标；〔3〕如图 2，点 P 为该抛物线在第四象限局部上一点，且∠POA=45°，求出点P 的坐标．【考点】二次函数综合题．【解析】〔 1〕在图 1 中求出的 A、 D 坐标，利用 S AOD=S﹣S ﹣S即可求解．△梯形 AHMD△ AOH△DOH〔2〕直线 OA的解析式为 y= x，EF∥y 轴，能够假设E〔m，2m﹣ m﹣ 2〕，F〔 m， m〕，根据 EF= m﹣〔 m2﹣ m﹣ 2〕 =﹣〔 m﹣〕2+即可解决．〔3〕在图 2 中，构造△ AEO≌△ HMA，只要证明△ OAH是等腰直角三角形，求出点H 坐标，再求出直线 OH与抛物线的交点P 即可．【解答】解：〔 1〕如图 1 中，作 AH⊥ y 轴 DM⊥ y 轴垂足分别为H、 M．∵y= x2﹣ x﹣2= 〔 x﹣ 1〕2﹣，∴极点 D 坐标〔 1，﹣〕，∴点 A 横坐标为 4，∴点 A 的坐标为〔 4， 2〕，∴S△AOD=S 梯形AHMD﹣S△AOH﹣ S△DOH=×﹣×1×﹣× 2× 4=6．〔2〕∵直线 OA的解析式为 y=x， EF∥ y 轴，2m〕，∴能够假设 E〔 m， m﹣m﹣ 2〕，F〔 m，2〔 m﹣2，∴EF= m﹣〔 m﹣ m﹣2〕 =﹣〕 +∴当 m= 时， EF 有最大值 =，此时的 E 坐标为〔，﹣〕．〔3〕如图 2 中，作 AE⊥ y 轴垂足为 H，延长 EA到 M使得 AM=EO，过点 M作 MH⊥ EM，过点 A 作 AO的垂线交 MH于 H．∵∠ AEO=∠OAH=∠ AMH=90°，∠ EOA+∠ EAO=90°，∠ EAO+∠MAH=90°，∴∠ EOA=∠MAH，在△ AEO和△ HMA中，，∴△ AEO≌△ HMA，∴OA=AH， AE=HM=4，∵∠ OAH=90°，∴∠ AOH=∠AHO=45°，∴点 H 坐标为〔 6，﹣ 2〕，设直线 OH为 y=kx ，点 H 坐标代入获取k=﹣，∴直线 OH为 y=﹣x，由解得，∵点 P 在第四象限，∴点 P 坐标为〔，﹣〕．【谈论】此题观察二次函数的相关性质、一次函数的性质、坐标系中三角形面积的计算，第三个问题巧妙构造全等三角形，解决45 度角问题，属于中考压轴题．5．〔 2021? 广东模拟〕如图，抛物线L1：y1= x2，平移后经过点A〔﹣ 1，0〕，B〔4， 0〕获取抛物线L2，与 y 轴交于点C．（1〕求抛物线 L2的解析式；（2〕判断△ ABC的形状，并说明原由；（3〕点 P 为抛物线 L2上的动点，过点 P 作 PD⊥x 轴，与抛物线 L1交于点 D，可否存在 PD=2OC？假设存在，求出点 P 的坐标；假设不存在，说明原由．【考点】二次函数综合题．【解析】〔 1〕由于二次函数的二次项系数表示的是抛物线的张口大小和张口方向，在平移过程中，抛物线的形状没有发生变化，因此二次项系数仍为，了平移后的抛物线经过x 轴上的 A、B 两点，可由待定系数法求出平移后的抛物线解析式；〔2〕由坐标轴上点的特色可得 C〔 0，﹣ 3〕，依照两点间的距离公式获取 AB， BC， AC的值，再依照等腰三角形的判断即可求解；〔3〕可设 P〔 a，a2﹣a﹣ 3〕， D〔 a，a2〕，依照 PD=2OC，列出方程即可求解．【解答】解：〔 1〕设抛物线L2的解析式为y= x2+bx+c，经过点A〔﹣ 1，0〕，B〔 4，0〕，根据题意，得，解得∴抛物线L2的解析式为y= x2﹣x﹣ 3．（2〕△ ABC的形状是等腰三角形．原由：依照题意，得 C〔 0，﹣3〕，∴△ ABC的形状是等腰三角形．（3〕存在 PD=2OC．22设 P〔 a， a ﹣ a﹣3〕， D〔 a， a 〕，依照题意，得 PD=| a2﹣ a﹣3﹣a2|=| a+3| ， OC=3，当|+3|=6时，解得 a1= ， a2=﹣ 4．∴P1〔，〕， P2〔﹣ 4， 18〕．【谈论】此题观察了二次函数综合题，涉及了二次函数图象的平移、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判断以及两点间的距离等知识，综合性较强，难度中等．6．〔 2021? 哈尔滨校级模拟〕抛物线2y=ax +bx+c〔 a≠0〕的极点为 P〔 1，﹣ 4〕，在 x 轴上截得的线段AB 长为 4 个单位， OA＜ OB，抛物线与y 轴交于点C．（1〕求这个函数解析式；（2〕试确定以 B、 C、 P 为极点的三角形的形状；〔3〕在对称轴上存在一点 F 使得△ ACF周长最小，请写出 F 点的坐标．【考点】二次函数综合题．【解析】〔 1〕依照抛物线的极点坐标以及在x 轴上截得的线段AB长为 4 个单位， OA＜ OB，得出 A， B点坐标，进而得出抛物线解析式即可；〔2〕利用网格以及勾股定理得出PC，BC， BP的长，进而得出△BCP的形状；〔3〕利用轴对称求最短路径的方法，第一确定 F 点地址，再求出直线BC的解析式，进而得出 F 点坐标．【解答】解：〔 1〕以以下图：∵抛物线y=ax2 +bx+c〔a≠ 0〕的极点为P〔 1，﹣ 4〕，在 x 轴上截得的线段AB长为 4 个单位，OA＜ OB，∴A 点到对称轴直线x=1 的距离为 2， B 点到对称轴直线x=1 的距离为2，∴A 点坐标为；〔﹣ 1， 0〕， B 点坐标为；〔 3， 0〕，设抛物线解析式为：y=a〔 x﹣1〕2﹣ 4，∴0=a〔﹣ 1﹣ 1〕2﹣ 4，解得： a=1，∴函数解析式为： y=x2﹣ 2x﹣ 3；〔2〕以以下图：∵y=x 2﹣ 2x﹣ 3 的图象与y 轴交于点 C〔 0，﹣ 3〕，∴PC=， BC=3， BP==2 ，222∴PC +BC=BP，∴以 B、 C、 P 为极点的三角形的形状是直角三角形；〔3〕存在；原由：以以下图：∵A， B 点关于直线x=1 对称，∴BC与直线 x=1 的交点即为 F 点，此时△ ACF周长最小，设直线 BC的解析式为：y=kx+b ，∴，解得：，∴直线 BC的解析式为：y=x ﹣3，当 x=1 时， y=﹣ 2，∴F〔 1，﹣ 2〕．【谈论】此题主要观察了二次函数的性质以及勾股定理以及逆定理和待定系数法求一次函数解析式、利用轴对称求最短路径应用等知识，依照题意正确画出图形，利用数形结合得出是解题要点．7．〔 2021? 封开县二模〕如图，抛物线与x轴交于A〔﹣4，0〕和B〔1，0〕两点，与y 轴交于 C 点．〔1〕求此抛物线的解析式；〔2〕假设 P为抛物线上A、 C 两点间的一个动点，过P 作 y 轴的平行线，交AC于 Q点，当 P 点运动到什么地址时，线段PQ的长最大，并求此时P 点的坐标．【考点】二次函数综合题．【解析】〔 1〕直接将A〔﹣ 4， 0〕， B〔 1， 0〕两点代入抛物线解析式求出即可；〔2〕第一求出直线AC的解析式，再利用抛物线上和直线上点的坐标性质得出PQ的长度即可．【解答】解：〔 1〕由二次函数y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A〔﹣ 4， 0〕， B〔1， 0〕两点可得：，解得：，故所求二次函数解析式为：y= x2+x﹣ 2；（2〕由抛物线与y 轴的交点为C，那么C 点坐标为：〔0，﹣2〕，假设设直线 AC的解析式为： y=kx+b ，那么有，解得：，故直线 AC的解析式为： y= ﹣x﹣ 2，假设设 P 点的坐标为：〔 a，a2+a﹣ 2〕，又 Q点是过点 P 所作 y 轴的平行线与直线AC的交点，那么 Q点的坐标为：〔 a，﹣ a﹣ 2〕，那么有：PQ=﹣a﹣ 2﹣〔 a2 + a﹣ 2〕=﹣ a2﹣ 2a=﹣〔 a+2〕2+2，即当 a=﹣ 2 时，线段 PQ的长取最大值，此时P 点的坐标为〔﹣2，﹣ 3〕．【谈论】此题主要观察了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，依照图象上点的坐标性质表示出PQ的长是解题要点．8．〔 2021? 重庆模拟〕如图，抛物线 y=﹣ x2+ax+8〔 a≠ 0〕于 x 轴从左到右交于点 A， B 于 y 轴交于点 C于直线 y=kx+b 交于点 c 和点 D〔 m，5〕， tan ∠DCO=1（1〕求抛物线与直线 CD的解析式；（2〕在抛物线的对称轴上有点E，使 EA+EC的值最小，求最小值和点 E 的坐标；〔3〕点 F 为在直线 CD上方的抛物线上任意一点，作 FG⊥ CD于点 G，作 FH∥y 轴，与直线CD交于点 H，求△ FGH的周长的最大值和对应的点 F 的坐标．【考点】二次函数综合题．【解析】〔 1〕作 DM⊥ x 轴于点 M，依照 tan ∠ DCO=1，那么∠ DCM=45°，△ CDM是等腰直角三角形，求得D的坐标，尔后利用待定系数法求得抛物线和直线CD的解析式；〔2〕第一求得 A 和 B 的坐标，以及抛物线的对称轴，直线BC与对称轴的交点就是点E，首先求得 BC的解析式，那么 E 的坐标即可求得；（3〕△ FGH是等腰直角三角形，当 FG最大时，△ FGH的周长的最大，设与 CD平行，且与抛物线只有一个公共点的直线，利用根的鉴识式即可求得直线的解析式，进而求得唯一的公共点，即 F 的坐标，求得△ FGH的周长．【解答】解：〔 1〕作 DM⊥ x 轴于点 M．在 y=﹣ x2+ax+8 中令 x=0，那么 y=8，那么 C 的坐标是〔 0， 8〕，即 OC=8．∵D 的纵坐标是 5，∴M的坐标是〔 0， 5〕，即 OM=5．∴CM=OC﹣ OM=8﹣ 5=3．∵t an ∠ DCO=1，∴∠ DCM=45°，那么△ CDM是等腰三角形．∴DM=CM=3，∴D 的坐标是〔 3， 5〕．2把〔 3， 5〕代入 y=﹣ x +ax+8 得：﹣ 9+3a+8=5，那么二次函数的解析式是y=﹣ x2+2x+8；设 CD的解析式是 y=kx+b ，那么，解得：，那么直线 CD的解析式是y= ﹣ x+8；〔2〕抛物线的对称轴是x=1．在 y=﹣ x2+2x+8 中，令 y=0，那么﹣ x2+2x+8=0，解得： x=4 或﹣ 2．那么 A 的坐标是〔﹣ 2，0〕，B 的坐标是〔 4，0〕，BC==4，EA+EC的值最值是4．设 BC的解析式是 y=dx+e ，那么，解得：，那么 BC的解析式是 y=﹣ 2x+8 ．令 x=1， y=﹣ 2+8=6，那么 E 的坐标是〔 1， 6〕；〔3〕设与 CD平行，且与抛物线只有一个公共点的直线解析式是y=﹣x+d，那么﹣ x2 +2x+8=﹣ x+d，即 x2﹣3x+〔 d﹣8〕 =0，△=9﹣ 4〔 d﹣ 8〕 =0，解得： d= ．当 d=时，x=，y=﹣+=．那么 F 的坐标是〔，〕．在 y=﹣ x+8 中，令 y=，那么﹣x+8=，解得x=﹣，即H的坐标是〔﹣，〕．HF= + =．那么 FG=HG= HF=×=，那么△ FGH的周长是2×+ =．【谈论】此题观察了待定系数法求函数的解析式，理解直线与抛物线的交点的个数的判断，求得 F 的坐标是解决此题的要点．29．〔 2021? 竹山县模拟〕如图，抛物线 y=﹣ x +bx+c 与 x 轴交于点 A， B〔 1， 0〕，与 y 轴交于点 C〔 0， 3〕．（1〕求抛物线的解析式；（2〕如图①，点 P 在直线 AC上，假设 S△PAO： S△PCO=2： 1，求 P 点坐标；〔3〕如图②，假设点 C 关于对称轴对称的点为 D，点 E 的坐标为〔﹣ 2， 0〕， F 是 OC的中点，连接 DF， Q为线段 AD上的一点，假设∠ EQF=∠ ADF，求线段 EQ的长．【考点】二次函数综合题．【解析】〔 1〕把 B〔1.0 〕、 C〔 0， 3〕两点代入 y=﹣ x2+bx+c 即可解决．〔2〕如图①中，作 PM⊥ AB垂直为 M，由 PM∥ CO，得= =求出 AM，即可解决问题．〔3〕如图②中，连接 CD，延长 DF交 x 轴于 H，先证明 HD=HA，再证明△ QAE∽△ FDQ，得=，设 AQ=m，那么 DQ=AD﹣AQ=﹣ m，列出方程即可解决．【解答】解：〔1〕把 B〔 1.0 〕、C〔 0，3〕两点代入 y=﹣ x2+bx+c 得解得，因此抛物线解析式为 y=﹣ x2﹣ 2x+3．〔2〕如图①中，作 PM⊥ AB垂直为 M，令 y=0，那么﹣ x2﹣ 2x+3=0，解得 x=﹣ 3 或 1，∴点 A〔﹣ 3， 0〕，点 B〔 1，0〕，点 C〔0， 3〕，设直线 AC为 y=kx+b ，把 A、C两点坐标代入得解得，∴直线 AC为 y=x+3，设点 P〔m， m+3〕，∵假设 S△PAO： S△PCO=2： 1，∴PA： Pc=2： 1，∵PM∥ CO，∴= = ，∴A M=2， MO=1，∴m=﹣ 1，∴点 P 坐标为〔﹣ 1， 2〕．（3〕如图②中，连接 CD，延长 DF 交 x 轴于 H．∵DC∥ OH，∴∠ CDF=∠OHF，在△ CDF和△ OHF中，，∴△ CDF≌△ OHF，∴DC=OH，∵点 C〔 0， 3〕，点 D〔﹣ 2，3〕，∴点 H〔 2， 0〕， DH==5，∵AH=5，∴HD=HA，∴∠ HDA=∠HAD，∵∠ AQF=∠ADF+∠ DFQ=∠ AQE+∠ EQF，∠EQF=∠ADF，∴∠ AQE=∠DFQ，∵∠ QAE=∠QDF，∴△ QAE∽△ FDQ，∴=，设AQ=m，那么DQ=AD﹣AQ=﹣m，∴=，∴m=．∵AD=，AQ=，∴AQ=QD，∴点 Q坐标〔﹣，〕，∵点E〔﹣2，0〕，∴QE==．【谈论】此题观察二次函数、一次函数、全等三角形的判断和性质、相似三角形的判断和性质勾股定理等知识，解题的要点是增加辅助线构造全等三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会把问题转变成方程，属于中考压轴题．10．〔 2021? 万州区校级模拟〕如图，直线y=﹣ x+3 与 x 轴， y 轴分别订交于点B，点 C，经过 B、C 两点的抛物线 y=ax 2+bx+c〔a≠ 0〕与 x 轴的另一交点为 A，极点为 P，且对称轴是直线x=2．〔1〕求 A点的坐标及该抛物线的函数表达式；〔2〕求出△ PBC的面积；〔3〕请问在对称轴x=2 右侧的抛物线上可否存在点Q，使得以点A、 B、C、Q所围成的四边形面积是△ PBC的面积的？假设存在，央求出点Q的坐标；假设不存在，请说明原由．【考点】二次函数综合题．【解析】〔 1〕先由直线 y=﹣ x+3 与 x 轴， y 轴分别订交于点 B，点 C，求出 B〔 3， 0〕，C〔 0，3〕，再依照抛物线 y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线 x=2，求出与 x 轴的另一交点 A 的坐标为〔 1，0〕，尔后将A〔1， 0〕， B〔 3，0〕， C〔 0，3〕代入 y=ax 2+bx+c，运用待定系数法即可求出该抛物线的函数表达式；〔2〕先利用配方法将二次函数写成极点式，获取极点P 的坐标，再设抛物线的对称轴交直线 y=﹣ x+3 于点 M，由 PM∥y 轴，得出 M的坐标，尔后依照S△PBC=? PM? |x C﹣ x B| 即可求出△PBC的面积；2A、B、 C、 Q所围成的四边形面积 = S△PBC= ×〔3〕设 Q〔 m， m﹣ 4m+3〕，第一求出以点3= ．再分两种状况进行谈论：①当点Q在 PB段时，由 S 四边形ACBQ=S△ABC+S△ABQ=3+|y Q| ，得。
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2016年10月26日二次函数压轴2一．解答题（共30小题）1．如图，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x轴，抛物线y=ax2﹣2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．3．如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B 两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内、F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为4，求点F的坐标；（3）连接B、C，点P是线段，AB上一点，作PQ平行于x轴交线段BC于点Q，过P作PM ⊥x轴于M，过Q作QN⊥x轴于N，求矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标．4．在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣2的顶点为点D，与直线y=kx在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4；直线OA与抛物线的对称轴交于点C．（1）求△AOD的面积；（2）若点F为线段OA上一点，过点F作EF∥CD交抛物线于点E，求线段EF的最大值及此时点E坐标；（3）如图2，点P为该抛物线在第四象限部分上一点，且∠POA=45°，求出点P的坐标．5．如图，已知抛物线L1：y1=x2，平移后经过点A（﹣1，0），B（4，0）得到抛物线L2，与y轴交于点C．（1）求抛物线L2的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．6．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（1，﹣4），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OA＜OB，抛物线与y轴交于点C．（1）求这个函数解析式；（2）试确定以B、C、P为顶点的三角形的形状；（3）已知在对称轴上存在一点F使得△ACF周长最小，请写出F点的坐标．7．如图，已知抛物线与x轴交于 A （﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q点，当P 点运动到什么位置时，线段PQ的长最大，并求此时P点的坐标．8．如图，抛物线y=﹣x2+ax+8（a≠0）于x轴从左到右交于点A，B于y轴交于点C于直线y=kx+b交于点c和点D（m，5），tan∠DCO=1（1）求抛物线与直线CD的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有点E，使EA+EC的值最小，求最小值和点E的坐标；（3）点F为在直线CD上方的抛物线上任意一点，作FG⊥CD于点G，作FH∥y轴，与直线CD交于点H，求△FGH的周长的最大值和对应的点F的坐标．9．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B（1，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，点P在直线AC上，若S△PAO：S△PCO=2：1，求P点坐标；（3）如图②，若点C关于对称轴对称的点为D，点E的坐标为（﹣2，0），F是OC的中点，连接DF，Q为线段AD上的一点，若∠EQF=∠ADF，求线段EQ的长．10．如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．（1）求A点的坐标及该抛物线的函数表达式；（2）求出△PBC的面积；（3）请问在对称轴x=2右侧的抛物线上是否存在点Q，使得以点A、B、C、Q所围成的四边形面积是△PBC的面积的？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x﹦﹣2，点C是抛物线与y轴的交点，点D是抛物线上另一点，已知以OC为一边的矩形OCDE的面积为8．（1）写出点D坐标并求此抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线在x轴上方的一个动点，且始终保持PQ⊥x轴，垂足为点Q，是否存在这样的点，使得△PQB∽△BOC？若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．12．如图，已知二次函数图象的顶点为（1，﹣3），并经过点C（2，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）直线y=3x与该二次函数的图象交于点B（非原点），求点B的坐标和△AOB的面积；（3）点Q在x轴上运动，求出所有△AOQ是等腰三角形的点Q的坐标．13．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），与x轴交于另一点C，与y轴交于点B（0，3），对称轴是直线x=﹣1，顶点是M．（1）直接写出二次函数的解析式：；（2）点P是抛物线上的动点，点D是对称轴上的动点，当以P、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出此时点D的坐标：；（3）过原点的直线l平分△MBC的面积，求l的解析式．14．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（4，﹣），且与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．（1）求抛物线的解析式及A，B两点的坐标；（2）在（1）中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在，求AP+CP 的最小值，若不存在，请说明理由．15．已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象过点（﹣1，0）和点（2，﹣9）．（1）求该二次函数的解析式并写出其对称轴；（2）已知点P（2，﹣2），连结OP，在x轴上找一点M，使△OPM是等腰三角形，请直接写出点M的坐标（不写求解过程）．16．如图，已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+c经过B、C 两点，点A是抛物线与x轴的另一个交点（与B点不重合）．连接AC，AO：CO=1：3．（1）求△ABC的面积；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上，是否存在与点C不重合的一点P，使PAB的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．17．已知：二次函数y=x2+2x﹣3与x轴交于点A、点B（点A在点B左边），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．连接AD、CD，过点A、点C作直线AC．（1）求点B、D的坐标及直线AC的解析式；（2）若点E为抛物线上一点，点F为直线AC上一点，且E、F两点的纵坐标都是2，求线段EF的长；（3）该抛物线上是否存在点P，使得∠APB=∠ADC？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由．18．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式和它的顶点坐标；（2）若在该抛物线的对称轴l上存在一点M，使MB+MC的值最小，求点M的坐标以及MB+MC 的最小值；（3）若点P、Q分别是抛物线的对称轴l上两动点，且坐标标分别为m，m+2，当四边形CBQP 周长最小时，求出此时点P、Q的坐标以及四边形CBQP周长的最小值．19．如图，抛物线y=ax2+bx（a＞0）与双曲线相交于点A，B．已知点B的坐标为（﹣2，﹣2），点A在第一象限内，且tan∠AOx=4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．（1）请直接写出双曲线和直线AB的解析式，求出抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上能否找到点D，使△BCD周长最短，请求出点D的坐标和直接写出此时△BCD周长；（2）在直线AB的下方的抛物线上找一点P，使△ABP的面积最大．并求出点P的坐标和△ABP的最大面积．20．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于A（0，4），且抛物线经过点C（﹣3，﹣2），对称轴x=﹣．（1）求出抛物线的解析式；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于B点，连接AC，AB，若在抛物线上有一点D，使得△ABC=S△BCD，求D点的坐标；（3）记抛物线与x轴左交点为E，在A、E两点之间的抛物线上有一点F，连接AE、FE、FA，试求出使得S△AEF面积最大时，F点的坐标以及此时的面积．21．如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴为直线．点M为线段AB上一点，过M作x轴的垂线交抛物线于P，交过点A的直线y=﹣x+n于点C．（1）求直线AC及抛物线的解析式；（2）若，求PC的长；（3）过P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过Q作QN⊥x轴于N，若点P在Q左侧，矩形PMNQ 的周长记为d，求d的最大值．22．如图，已知二次函数y=﹣x2+x+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC．（1）点A的坐标为，点C的坐标为；（2）△ABC是直角三角形吗？若是，请给予证明；（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（4，0）、B（1，3）．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的顶点坐标；（2）在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，直线y=kx+b交x轴于点A（﹣1，0），交y轴于B点，tan∠BAO=3；过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3，0）．（1）求直线AB的表达式；（2）求抛物线的表达式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．25．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=kx+b交于A（3，0）、C（0，3）两点，抛物线的顶点坐标为Q（2，﹣1）．点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交直线AC于点D．（1）求该抛物线的解析式；（2）设P点的横坐标为t，PD的长度为l，求l与t之间的函数关系式，并求l取最大值时，点P的坐标．（3）在问题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点O，点B（﹣2，n）在这条抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）将直线y=﹣2x沿y轴向下平移b个单位后得到直线l，若直线l经过B点，求n、b 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线的对称轴与x轴交于点C，直线l与y轴交于点D，且与抛物线的对称轴交于点E．若P是抛物线上一点，且PB=PE，求P点的坐标．27．如图，已知抛物线y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m与x轴交与点A（x1，0），B（x2，0），与y轴交与点C，且满足．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若点M是这条抛物线对称轴上的一个动点，当MB+MC的值最小时，求点M的坐标．28．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA=OB．（1）求b+c的值；（2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点P（不与A、C重合）是抛物线上的一点，点M是y轴上一点，当△BPM是等腰直角三角形时，求点M的坐标．29．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2．0），其中x1＜x2，与y轴交于点C（0，3），且x1，x2满足2（x1+x2）+x1x2﹣1=0．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）P为线段BD上的一个动点，过点P作PM⊥X轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标．30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．P为抛物线在x轴上方的一点（不落在y轴上），过点P作PD∥x轴交y轴于点D，PC ∥y轴交x轴于点C．设点P的横坐标为m，矩形PDOC的周长为L．（1）求b和c的值．（2）求L与m之间的函数关系式．（3）当矩形PDOC为正方形时，求m的值．2016年10月26日二次函数压轴2参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．（2014?无锡校级模拟）如图，在△ABC中，∠BAC=90，BC∥x轴，抛物线y=ax2﹣2ax+3经过△ABC的三个顶点，并且与x轴交于点D、E，点A为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接CD，在抛物线的对称轴上是否存在一点P使△PCD为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）BC与抛物线的对称轴于F点，先根据抛物线的性质得到对称轴为直线x=1，由于BC∥x轴，根据抛物线的对称性得到B点和C点关于直线x=1对称轴，则AB=AC，于是可判断△ABC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得AF=BF=1，所以可确定A点坐标为（1，4），然后把A点坐标代入y=ax2﹣2ax+3求出a即可得到抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）先根据抛物线与x轴的交点问题得到D点坐标为（﹣1，0），设P点坐标为（1，t），利用两点之间的距离公式得到CD2=32+（2+1）2=18，PC2=12+（t﹣3）2，PD2=22+t2，然后分类讨论：当CD2=PC2+PD2，即18=12+（t﹣3）2+22+t2，解得t1=，t2=，此时P点坐标为（1，），（1，）；当PD2=CD2+PC2，即22+t2=18+12+（t﹣3）2，解得t=4，此时P点坐标为（1，4），；当PC2=CD2+PD2，即12+（t﹣3）2=18+22+t2，解得t=﹣2，此时P点坐标为（1，﹣2）．【解答】解：（1）BC与抛物线的对称轴于F点，如图，抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∵BC∥x轴，∴B点和C点关于直线x=1对称轴，∴AB=AC，而∠BAC=90，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AF=BF=1，∴A点坐标为（1，4），把A（1，4）代入y=ax2﹣2ax+3得a﹣2a+3=4，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0，则﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴D点坐标为（﹣1，0），设P点坐标为（1，t），∴CD2=32+（2+1）2=18，PC2=12+（t﹣3）2，PD2=22+t2，当CD2=PC2+PD2，即18=12+（t﹣3）2+22+t2，解得t1=，t2=，此时P点坐标为（1，），（1，）；当PD2=CD2+PC2，即22+t2=18+12+（t﹣3）2，解得t=4，此时P点坐标为（1，4），；当PC2=CD2+PD2，即12+（t﹣3）2=18+22+t2，解得t=﹣2，此时P点坐标为（1，﹣2）；∴符合条件的点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，4）或（1，﹣2）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了分类讨论的思想和两点之间的距离公式．2．（2014?镇江一模）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．【考点】抛物线与x轴的交点；轴对称-最短路线问题．【分析】（1）把A的坐标代入抛物线的解析式可求出b的值，进而得到抛物线的解析式，利用配方法即可求出顶点D的坐标；≥BC=2．（2）首先求出C，A，B的坐标，根据抛物线的对称性可知AM=BM．所以AM+CM=BM+CM【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，∴b=﹣，∴抛物线解析式y=x2﹣x﹣2，∵抛物线y=x2﹣x﹣2=（x﹣）2﹣，∴顶点D的坐标（，﹣）；（2）当x=0时，y=﹣2，∴C（0，﹣2）∴OC=2，当y=0时，0=x2﹣x﹣2，解得：x=4或﹣1，∴B（4，0），∴OB=4，由抛物线的性质可知：点A和B是对称点，∴AM=BM，≥BC=2．∴AM+CM=BM+CM∴CM+AM的最小值是2．【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及抛物线和抛物线的交点问题，利≥BC=2是解题的关键．用抛物线的对称性得到AM+CM=BM+CM3．（2014?重庆模拟）如图，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限内、F为抛物线上一点，以A、E、F为顶点的三角形面积为4，求点F的坐标；（3）连接B、C，点P是线段，AB上一点，作PQ平行于x轴交线段BC于点Q，过P作PM ⊥x轴于M，过Q作QN⊥x轴于N，求矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由直线解析式可求出A、B点的坐标，将其代入抛物线中，即可求出抛物线解析式；（2）由直线解析式和抛物线对称轴解析式可求出交点E的坐标，可随之求出AE的长度，由三角形的面积为4，可得出点F到直线AB的距离，设出F点的坐标，套用点到直线的距离公式即可求得F的坐标；（3）设出P点的坐标，用未知数n表示出Q的坐标，由矩形的面积公式可得出含n的代数式，利用解极值问题即可得出矩形PQNM面积的最大值和P点的坐标．【解答】解：（1）直线y=x+3与x、y轴的交点分别为A（﹣3，0）、B（0，3），将A、B坐标代入抛物线解析式得：，解得．∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．（2）∵抛物线的解析式y=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为x=﹣1，解，得，即点E坐标为（﹣1，2），∴AE=2．设F点坐标为（m，﹣m2﹣2m+3）．∵△AEF的面积为4，∴F点到直线AE的距离为==2，即|m2+3m|=4，解m2+3m=4，得m1=1，m2=﹣4；解m2+3m=﹣4，无解．∵点F在第三象限，∴m＜0，即m=﹣4，此时点F的坐标为（﹣4，﹣5）．（3）依照题意画出图形，如下，令y=﹣（x+1）2+4=0，解得x=1，x=﹣3，∴点C坐标为（1，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，解得，即直线BC的解析式为y=﹣3x+3．设P点坐标为（n，n+3）（其中﹣3＜n＜0），则Q点坐标为（﹣，n+3），M点坐标为（n，0），N点坐标为（﹣，0）．∴PM=n+3，PQ=﹣﹣n=﹣n，矩形PMNQ的面积=PM×PQ=（n+3）×（﹣n）=﹣（n2+3n）=﹣+3．故当n=﹣时，矩形PMNQ的面积最大，最大面积为3．此时P点坐标为（﹣，）．【点评】本题考查了二次函数的综合运用，解题的关键：（1）由直线解析式求出A、B两点坐标，再代入抛物线解析式即可；（2）先找出线段AE的长度，再根据点到直线的距离来表示出面积；（3）设出P点坐标，利用含n的代数式表示出矩形面积，由求极值的方法解决问题．4．（2014?沙坪坝区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣2的顶点为点D，与直线y=kx在第一象限内交于点A，且点A的横坐标为4；直线OA与抛物线的对称轴交于点C．（1）求△AOD的面积；（2）若点F为线段OA上一点，过点F作EF∥CD交抛物线于点E，求线段EF的最大值及此时点E坐标；（3）如图2，点P为该抛物线在第四象限部分上一点，且∠POA=45°，求出点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）在图1中求出的A、D坐标，利用S△AOD=S梯形AHMD﹣S△AOH﹣S△DOH即可求解．（2）直线OA的解析式为y=x，EF∥y轴，可以假设E（m，m2﹣m﹣2），F（m，m），根据EF=m﹣（m2﹣m﹣2）=﹣（m﹣）2+即可解决．（3）在图2中，构造△AEO≌△HMA，只要证明△OAH是等腰直角三角形，求出点H坐标，再求出直线OH与抛物线的交点P即可．【解答】解：（1）如图1中，作AH⊥y轴DM⊥y轴垂足分别为H、M．∵y=x2﹣x﹣2=（x﹣1）2﹣，∴顶点D坐标（1，﹣），∴点A横坐标为4，∴点A的坐标为（4，2），∴S△AOD=S梯形AHMD﹣S△AOH﹣S△DOH=×﹣×1×﹣×2×4=6．（2）∵直线OA的解析式为y=x，EF∥y轴，∴可以假设E（m，m2﹣m﹣2），F（m，m），∴EF=m﹣（m2﹣m﹣2）=﹣（m﹣）2+，∴当m=时，EF有最大值=，此时的E坐标为（，﹣）．（3）如图2中，作AE⊥y轴垂足为H，延长EA到M使得AM=EO，过点M作MH⊥EM，过点A 作AO的垂线交MH于H．∵∠AEO=∠OAH=∠AMH=90°，∠EOA+∠EAO=90°，∠EAO+∠MAH=90°，∴∠EOA=∠MAH，在△AEO和△HMA中，，∴△AEO≌△HMA，∴OA=AH，AE=HM=4，∵∠OAH=90°，∴∠AOH=∠AHO=45°，∴点H坐标为（6，﹣2），设直线OH为y=kx，点H坐标代入得到k=﹣，∴直线OH为y=﹣x，由解得，∵点P在第四象限，∴点P坐标为（，﹣）．【点评】本题考查二次函数的有关性质、一次函数的性质、坐标系中三角形面积的计算，第三个问题巧妙构造全等三角形，解决45度角问题，属于中考压轴题．5．（2014?广东模拟）如图，已知抛物线L1：y1=x2，平移后经过点A（﹣1，0），B（4，0）得到抛物线L2，与y轴交于点C．（1）求抛物线L2的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）点P为抛物线L2上的动点，过点P作PD⊥x轴，与抛物线L1交于点D，是否存在PD=2OC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由于二次函数的二次项系数表示的是抛物线的开口大小和开口方向，在平移过程中，抛物线的形状没有发生变化，所以二次项系数仍为，已知了平移后的抛物线经过x轴上的A、B两点，可由待定系数法求出平移后的抛物线解析式；（2）由坐标轴上点的特征可得C（0，﹣3），根据两点间的距离公式得到AB，BC，AC的值，再根据等腰三角形的判定即可求解；（3）可设P（a，a2﹣a﹣3），D（a，a2），根据PD=2OC，列出方程即可求解．【解答】解：（1）设抛物线L2的解析式为y=x2+bx+c，经过点A（﹣1，0），B（4，0），根据题意，得，解得∴抛物线L2的解析式为y=x2﹣x﹣3．（2）△ABC的形状是等腰三角形．理由：根据题意，得C（0，﹣3），∵AB=4﹣（﹣1）=5，BC==5，AC==，∴△ABC的形状是等腰三角形．（3）存在PD=2OC．设P（a，a2﹣a﹣3），D（a，a2），根据题意，得PD=|a2﹣a﹣3﹣a2|=|a+3|，OC=3，当|+3|=6时，解得a1=，a2=﹣4．∴P1（，），P2（﹣4，18）．【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及了二次函数图象的平移、待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定以及两点间的距离等知识，综合性较强，难度中等．6．（2014?哈尔滨校级模拟）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（1，﹣4），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OA＜OB，抛物线与y轴交于点C．（1）求这个函数解析式；（2）试确定以B、C、P为顶点的三角形的形状；（3）已知在对称轴上存在一点F使得△ACF周长最小，请写出F点的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标以及在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OA＜OB，得出A，B点坐标，进而得出抛物线解析式即可；（2）利用网格以及勾股定理得出PC，BC，BP的长，进而得出△BCP的形状；（3）利用轴对称求最短路径的方法，首先确定F点位置，再求出直线BC的解析式，进而得出F点坐标．【解答】解：（1）如图所示：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为P（1，﹣4），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，OA＜OB，∴A点到对称轴直线x=1的距离为2，B点到对称轴直线x=1的距离为2，∴A点坐标为；（﹣1，0），B点坐标为；（3，0），设抛物线解析式为：y=a（x﹣1）2﹣4，∴0=a（﹣1﹣1）2﹣4，解得：a=1，∴函数解析式为：y=x2﹣2x﹣3；（2）如图所示：∵y=x2﹣2x﹣3的图象与y轴交于点C（0，﹣3），∴PC=，BC=3，BP==2，∴PC2+BC2=BP2，∴以B、C、P为顶点的三角形的形状是直角三角形；（3）存在；理由：如图所示：∵A，B点关于直线x=1对称，∴BC与直线x=1的交点即为F点，此时△ACF周长最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y=x﹣3，当x=1时，y=﹣2，∴F（1，﹣2）．【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及勾股定理以及逆定理和待定系数法求一次函数解析式、利用轴对称求最短路径应用等知识，根据题意正确画出图形，利用数形结合得出是解题关键．7．（2014?封开县二模）如图，已知抛物线与x轴交于 A （﹣4，0）和B（1，0）两点，与y轴交于C点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q点，当P 点运动到什么位置时，线段PQ的长最大，并求此时P点的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）直接将A（﹣4，0），B（1，0）两点代入抛物线解析式求出即可；（2）首先求出直线AC的解析式，再利用抛物线上和直线上点的坐标性质得出PQ的长度即可．【解答】解：（1）由二次函数y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点可得：，解得：，故所求二次函数解析式为：y=x2+x﹣2；（2）由抛物线与y轴的交点为C，则C点坐标为：（0，﹣2），若设直线AC的解析式为：y=kx+b，则有，解得：，故直线AC的解析式为：y=﹣x﹣2，若设P点的坐标为：（a，a2+a﹣2），又Q点是过点P所作y轴的平行线与直线AC的交点，则Q点的坐标为：（a，﹣a﹣2），则有：PQ=﹣a﹣2﹣（a2+a﹣2）=﹣a2﹣2a=﹣（a+2）2+2，即当a=﹣2时，线段PQ的长取最大值，此时P点的坐标为（﹣2，﹣3）．【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，根据图象上点的坐标性质表示出PQ的长是解题关键．8．（2014?重庆模拟）如图，抛物线y=﹣x2+ax+8（a≠0）于x轴从左到右交于点A，B于y 轴交于点C于直线y=kx+b交于点c和点D（m，5），tan∠DCO=1（1）求抛物线与直线CD的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有点E，使EA+EC的值最小，求最小值和点E的坐标；（3）点F为在直线CD上方的抛物线上任意一点，作FG⊥CD于点G，作FH∥y轴，与直线CD交于点H，求△FGH的周长的最大值和对应的点F的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）作DM⊥x轴于点M，根据tan∠DCO=1，则∠DCM=45°，△CDM是等腰直角三角形，求得D的坐标，然后利用待定系数法求得抛物线和直线CD的解析式；（2）首先求得A和B的坐标，以及抛物线的对称轴，直线BC与对称轴的交点就是点E，首先求得BC的解析式，则E的坐标即可求得；（3）△FGH是等腰直角三角形，当FG最大时，△FGH的周长的最大，设与CD平行，且与抛物线只有一个公共点的直线，利用根的判别式即可求得直线的解析式，进而求得唯一的公共点，即F的坐标，求得△FGH的周长．【解答】解：（1）作DM⊥x轴于点M．在y=﹣x2+ax+8中令x=0，则y=8，则C的坐标是（0，8），即OC=8．∵D的纵坐标是5，∴M的坐标是（0，5），即OM=5．∴CM=OC﹣OM=8﹣5=3．∵tan∠DCO=1，∴∠DCM=45°，则△CDM是等腰三角形．∴DM=CM=3，∴D的坐标是（3，5）．把（3，5）代入y=﹣x2+ax+8得：﹣9+3a+8=5，解得：a=2．则二次函数的解析式是y=﹣x2+2x+8；设CD的解析式是y=kx+b，则，解得：，则直线CD的解析式是y=﹣x+8；（2）抛物线的对称轴是x=1．在y=﹣x2+2x+8中，令y=0，则﹣x2+2x+8=0，解得：x=4或﹣2．则A的坐标是（﹣2，0），B的坐标是（4，0），BC==4，EA+EC的值最值是4．设BC的解析式是y=dx+e，则，解得：，则BC的解析式是y=﹣2x+8．令x=1，y=﹣2+8=6，则E的坐标是（1，6）；（3）设与CD平行，且与抛物线只有一个公共点的直线解析式是y=﹣x+d，则﹣x2+2x+8=﹣x+d，即x2﹣3x+（d﹣8）=0，△=9﹣4（d﹣8）=0，解得：d=．当d=时，x=，y=﹣+=．则F的坐标是（，）．在y=﹣x+8中，令y=，则﹣x+8=，解得x=﹣，即H的坐标是（﹣，）．HF=+=．则FG=HG=HF=×=，则△FGH的周长是2×+=．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，理解直线与抛物线的交点的个数的判断，求得F的坐标是解决本题的关键．9．（2014?竹山县模拟）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B（1，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，点P在直线AC上，若S△PAO：S△PCO=2：1，求P点坐标；（3）如图②，若点C关于对称轴对称的点为D，点E的坐标为（﹣2，0），F是OC的中点，连接DF，Q为线段AD上的一点，若∠EQF=∠ADF，求线段EQ的长．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把B（1.0）、C（0，3）两点代入y=﹣x2+bx+c即可解决．（2）如图①中，作PM⊥AB垂直为M，由PM∥CO，得==求出AM，即可解决问题．（3）如图②中，连接CD，延长DF交x轴于H，先证明HD=HA，再证明△QAE∽△FDQ，得=，设AQ=m，则DQ=AD﹣AQ=﹣m，列出方程即可解决．【解答】解：（1）把B（1.0）、C（0，3）两点代入y=﹣x2+bx+c得解得，所以抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3．（2）如图①中，作PM⊥AB垂直为M，令y=0，则﹣x2﹣2x+3=0，解得x=﹣3或1，∴点A（﹣3，0），点B（1，0），点C（0，3），设直线AC为y=kx+b，把A、C两点坐标代入得解得，∴直线AC为y=x+3，设点P（m，m+3），∵若S△PAO：S△PCO=2：1，∴PA：Pc=2：1，∵PM∥CO，∴==，∴AM=2，MO=1，∴m=﹣1，∴点P坐标为（﹣1，2）．（3）如图②中，连接CD，延长DF交x轴于H．∵DC∥OH，∴∠CDF=∠OHF，在△CDF和△OHF中，，∴△CDF≌△OHF，∴DC=OH，∵点C（0，3），点D（﹣2，3），∴点H（2，0），DH==5，∵AH=5，∴HD=HA，∴∠HDA=∠HAD，∵∠AQF=∠ADF+∠DFQ=∠AQE+∠EQF，∠EQF=∠ADF，∴∠AQE=∠DFQ，∵∠QAE=∠QDF，∴△QAE∽△FDQ，∴=，设AQ=m，则DQ=AD﹣AQ=﹣m，∴=，∴m=．∵AD=，AQ=，∴AQ=QD，∴点Q坐标（﹣，），∵点E（﹣2，0），∴QE==．【点评】本题考查二次函数、一次函数、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会把问题转化为方程，属于中考压轴题．10．（2014?万州区校级模拟）如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B、C两点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．（1）求A点的坐标及该抛物线的函数表达式；（2）求出△PBC的面积；（3）请问在对称轴x=2右侧的抛物线上是否存在点Q，使得以点A、B、C、Q所围成的四边形面积是△PBC的面积的？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先由直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，求出B（3，0），C（0，3），再根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，求出与x轴的另一交点A的坐标为（1，0），然后将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c，运用待定系数法即可求出该抛物线的函数表达式；（2）先利用配方法将二次函数写成顶点式，得到顶点P的坐标，再设抛物线的对称轴交直线y=﹣x+3于点M，由PM∥y轴，得出M的坐标，然后根据S△PBC=?PM?|x C﹣x B|即可求出△PBC的面积；（3）设Q（m，m2﹣4m+3），首先求出以点A、B、C、Q所围成的四边形面积=S△PBC=×3=．再分两种情况进行讨论：①当点Q在PB段时，由S四边形ACBQ=S△ABC+S△ABQ=3+|y Q|，得出|y Q|=﹣3=，即﹣m2+4m﹣3=，解方程求出m的值，得到Q1的坐标；②当点Q在BE段时，过Q点作QH⊥x轴，交直线于H，连结BQ．由S四边形ACQB=S△ABC+S△CBQ=3+（m2﹣3m），得出（m2﹣3m）=﹣3=，解方程求出m的值，得到Q2的坐标．【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，∴B（3，0），C（0，3）．又∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过x轴上的A，B两点，且对称轴是直线x=2，∴点A的坐标为（1，0）．将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax2+bx+c，得，解得，∴该抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；（2）如图，连结PB、PC．∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴顶点P的坐标为（2，﹣1）．设抛物线的对称轴交直线y=﹣x+3于点M，∵PM∥y轴，∴M（2，1），∴S△PBC=?PM?|x C﹣x B|=×（1+1）×3=3；（3）由图可知，点Q应分为两种情况：在PB段或在BE段．以点A、B、C、Q所围成的四边形面积=S△PBC=×3=．设Q（m，m2﹣4m+3）．①当点Q在PB段时，∵S四边形ACBQ=S△ABC+S△ABQ=×2×3+×2|y Q|=3+|y Q|，∴|y Q|=﹣3=，∴|m2﹣4m+3|=，即﹣m2+4m﹣3=，解得m1=2+，m2=2﹣，又点Q在对称轴的右侧，则m=2+，∴Q1（2+，﹣）；②当点Q在BE段时，过Q点作QH⊥x轴，交直线于H，连结BQ，则H（m，﹣m+3）．。