第24课时二次函数(习题课②)
二次函数知识点及典型例题
⼆次函数知识点及典型例题⼆次函数⼀、⼆次函数的⼏何变换⼆、⼆次函数的图象和性质(Ⅰ) y=a(x-h)2+k (a≠0)的图象和性质(Ⅱ) y=ax2+bx+c (a≠0)的图象和性质(Ⅲ) a 、b 、c 的符号对抛物线形状位置的影响三、待定系数法求⼆次函数的解析式1、⼀般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择⼀般式。
2、顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
3、交点式：已知图像与x 轴的交点横坐标1x 、2x ，通常选⽤交点式：()()21x x x x a y --=。
4、顶点在原点，可设解析式为y=ax 2。
5、对称轴是y 轴（或者顶点在y 轴上），可设解析式为y= ax 2+c 。
6、顶点在x 轴上，可设解析式为()2h x a y -=。
7、抛物线过原点，可设解析式为y=ax2+bx 。
四、抛物线的对称性1、抛物线与x 轴有两个交点（x 1,0）（x 2,0），则对称轴为x=2x x 21+。
2、抛物线上有不同的两个交点（m ，a ）（n,a ），则对称轴为x=2nm +。
3、抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）与y 轴交点关于对称轴的对称点为(ab-, c)。
五、⼆次函数与⼀元⼆次⽅程的关系对于抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0），令y=0，即为⼀元⼆次⽅程02=++c bx ax ，⼀元⼆次⽅程的解就是⼆次函数与x 轴交点的横坐标。
要分三种情况：1、判别式△=b 2-4ac ＞0?抛物线与x 轴有两个不同的交点（ab 24acb -2+，0）（a b 24ac b --2，0）。
有韦达定理可知x 1+x 2=a b - ，x 1·x 2=ac 。
2、判别式△=b 2-4ac=0?抛物线与x 轴有⼀个交点（ab 2-，0）。
3、判别式△=b 2-4ac=0?抛物线与x 轴⽆交点。
2014-2015学年华师大版九年级数学下册课后练习：期中期末串讲--二次函数(二)+课后练习及详解
当 m=0 时，二次函数为 y=2x2+3x，此时 A(
3 ， 0) ， B(0 ，0) ，不满足 OA=2OB；
2
2
1
当 m=1 时，二次函数为 y=2x +3x+1，此时 A( －1，0) ，B( ，0) ，满足 OA=2OB，
2
∴ m=1．
题二： 见详解． 详解： (1) ∵关于 x 的一元二次方程 mx2－ (3 m－ 2) x+2m－ 2=0，
1
应为整数，即
1 应为整数，
k
k
(3) 根据题意， k+1≠0，即 k≠－ 1， ∴k=1，此时，二次函数为 y=2x2+3x+m，
∵二次函数与 x 轴有两个不同的交点 A 和 B( A 在 B 左侧 ) ，
∴△ =b2 －4ac=32－4×2× m=9－8m＞0，m＜ 9 ， 8
∵m为非负整数，∴ m=0，1，
圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图所示，点
A、 B、 C、 D分别是
“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点 D 的坐标为 (0 ，－ 3) ，AB 为半圆的直径，半圆圆心 M的
坐标为 (1 ，0) ，半圆半径为 2．
(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；
(2) 你能求出经过点 C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；
(3) 开动脑筋想一想，相信你能求出经过点 D的“蛋圆”切线的解析式．
题四：如图，在平面直角坐标系 xOy 中， A、 B 为 x 轴上两点， C、 D为 y 轴上的两点，经过
点 A、 C、 B 的抛物线的一部分 C1 与经过点 A、 D、 B 的抛物线的一部分 C2 组合成一条封闭曲
九年级数学《二次函数的函数-练习课》课件
则下列关系中正确的是（B）
A a+b=-1 C b＜2a
B a-b=-1 D ac＜0
三变式开放 灵活运用
❖ 6．已知抛物线C：，将抛物线C平移得到抛 物线C′。若两条抛物线C、C′关于直线x=1对
称，则下列平移方法中正确的是（ ） C
A 将抛物线C向右平移个单位 B 将抛物线C向右平移3个单位 C 将抛物线C向右平移5个单位 D 将抛物线C向右平移6个单位
推荐作业 补充升华
❖ 必做题 ： 练习册：26章 自我检测
❖ 选做题： 学案与资源：26章单元检测题
结束寄语:
观察,思考,感悟是能否进 入数学大门,领略数学奥 妙的关键.
综合训练 延展深化
❖ 7．某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试 销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中 销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似地看作一 次函数，如图。 （1）求y与x之间的函数关系式。 （2）设公司获得的总利润
（总利润=总销售额—总成本） 为P元，求P与x之间的函数关系式， 并写出自变量x的取值范围；根据题 意判断：当x取何值时，P的值最大？ 最大值是多少？
围。bx 2 的图象与轴的一个
交点为，则它与轴的另一个交点坐标是（ C）
A (1,0) B (2,0) C (-2,0) D (-1,0)
5．如图为抛物线 y ax2 bx c 的图象，A、B、C为 抛物线与坐标轴的交点，
且OA=OB=1，
C y x2 1
B
y
5 x2
D y (x 1)2 x2 2
基础训练 辨析概念
❖ 3．二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象如
图，根据图象解答下列问题。 ❖ （1）写出方程的两个根； ❖ （2）写出不等式＞0的解集； ❖ （3）写出随的增大而减小的 ❖ 自变量的取值范围； ❖ （4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范
万唯中考数学精练本第24课时答案
万唯中考数学精练本第24课时答案1、f（x）=-2x+5在x=1处的函数值为（）[单选题] *A、-3B、-4C、5D、3(正确答案)2、11．小文买了一支温度计，回家后发现里面有一个小气泡（即不准确了），先拿它在冰箱里试一下，在标准温度是零下7℃时，显示为℃，在36℃的温水中，显示为32℃，那么用这个温度计量得的室外气温是23℃，则室外的实际气温应是（）[单选题] *A．27℃(正确答案)B．19℃C．23℃D．不能确定3、已知二次函数f（x）=2x2-x+2，那么f（1）的值为（）。
[单选题] *12283(正确答案)4、7人小组选出2名同学作正副组长，共有选法（）种。
[单选题] *A、14B、15(正确答案)C、49D、1285、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B、33C、16D、46、8．一个面积为120的矩形苗圃，它的长比宽多2米，苗圃长是（）[单选题] *A 10B 12(正确答案)C 13D 147、-120°用弧度制表示为（）[单选题] *-2π/3(正确答案)2π/3-π/3-2π/58、19、如果点M是第三象限内的整数点，那么点M的坐标是（）[单选题] *（-2，-1）（-2，-2）（-3，-1）(正确答案)（-3，-2）9、1．如果点M（a＋3，a＋1）在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为（）[单选题] *A．（0，－2）B．（2，0）(正确答案)C．（4，0）D．（0，－4）10、下列说法正确的是[单选题] *A.绝对值最小的数是0(正确答案)B.绝对值相等的两个数相等C.-a一定是负数D.有理数的绝对值一定是正数11、30、等腰三角形ABC中,AB=2BC,且BC=12,则△ABC的周长为( ). [单选题]A. 48B. 60(正确答案)C. 48或60D. 3612、8．(2020·课标Ⅱ)已知集合U={－2，－1,0,1,2,3}，A={－1,0,1}，B={1,2}，则?U(A∪B)=( ) [单选题] *A．{－2,3}(正确答案)B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3}D．{－2，－1,0,2,3}13、45．下列运算正确的是（）[单选题] *A．（5﹣m）（5+m）＝m2﹣25B．（1﹣3m）（1+3m）＝1﹣3m2C．（﹣4﹣3n）（﹣4+3n）＝﹣9n2+16(正确答案)D．（2ab﹣n）（2ab+n）＝4ab2﹣n214、花粉的质量很小，一粒某种植物花粉的质量约为000037毫克，已知1克=1000毫克，那么000037毫克可用科学记数法表示为[单选题] *A. 7×10??克B. 7×10??克C. 37×10??克D. 7×10??克(正确答案)15、18．如果A、B、C三点在同一直线上，且线段AB＝4cm，BC＝2cm，那么AC两点之间的距离为（）[单选题] *A．2cmB．6cmC．2或6cm(正确答案)D．无法确定16、45、下列说法错误的是（）[单选题] *A．三角形的高、中线、角平分线都是线段B．三角形的三条中线都在三角形内部C．锐角三角形的三条高一定交于同一点D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点(正确答案)17、-2/5角α终边上一点P（-3，-4），则cosα=（）[单选题] *-3/5(正确答案)2月3日-0.333333333-2/5角α终边上一点P（-3，-4），则tanα=（）[单选题] *18、6．已知集合A={0,1,2}，则集合B={(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是( ) [单选题] *A．1B．3C．6(正确答案)D．919、下列各式：①(x-2y)(2y+x)；②(x-2y)(-x-2y)；③(-x-2y)(x+2y)；④(x-2y)(-x+2y).其中能用平方差公式计算的是（）[单选题] *A. ①②(正确答案)B. ①③C. ②③D. ②④20、35、下列判断错误的是（）[单选题] *A在第三象限，那么点A关于原点O对称的点在第一象限.B在第二象限，那么它关于直线y=0对称的点在第一象限.(正确答案)C在第四象限，那么它关于x轴对称的点在第一象限.D在第一象限，那么它关于直线x=0的对称点在第二象限.21、2．如果规定收入为正，那么支出为负，收入2元记作，支出5元记作（）．[单选题] *A．5元B. -5元(正确答案)C .-3元D. 7元22、47．已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝50，则（x﹣2022）2的值为（）[单选题]* A．24(正确答案)B．23C．22D．无法确定23、已知x-y=3,x2-y2=12,那么x+y的值是( ??) [单选题] *A. 3B. 4(正确答案)C. 6D. 1224、x3可以表示为（）[单选题] *A. 3xB. x+x+xC. x·x·x(正确答案)D. x+325、18.下列关系式正确的是(? ) [单选题] *A.-√3∈NB.-√3∈3C.-√3∈QD.-√3∈R(正确答案)26、8．修建高速公路时，经常把弯曲的公路改成直道，从而缩短路程，其道理用数学知识解释正确的是（）[单选题] *A．线段可以比较大小B．线段有两个端点C．两点之间，线段最短(正确答案)D．过两点有且只有一条直线27、7．已知点A(－2，y1)，B(3，y2)在一次函数y＝－x＋b的图象上，则( ) [单选题]* A．y1 > y2(正确答案)B．y1 < y2C．y1 ≤y2D．y1 ≥y228、11．点P的坐标是(2-a,3a+6)，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P坐标是（）[单选题] *A．(3, 3)B．(3，-3)C．(6，-6)D．(3,3)或（6，-6）(正确答案)29、设函数在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）上可导，且（x）＞0 则（）[单选题] *A、f（0）＜0B、f（0）＜1C、f（1）＞f（0）D、f（1）＜f（0）(正确答案)30、15．一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是（）[单选题] *A 56gB .60gC．64gD.68g(正确答案)。
数学九年级下册第2章二次函数 教学+习题课件(付,525)
海浪为劈风斩浪的航船饯行，为随波逐 流的轻舟送葬.
第2章 二 次 函 数 2.1 建立二次函数模型
1.理解二次函数及其相关概念.(重点) 2.会辨别哪些函数是二次函数.(重点) 3.会用二次函数表示简单变量之间的关系.(重点、难点)
请完成以下各题: 1.正方形的面积y与边长x之间的关系是y=__. 2积.为三y角,则形的y关一于边x是的这关边系式上为高的y=_2_倍__,_设.三角形x2这条边的长为x,面 3.在半径为4cm的圆中,挖去一个边长为xcm的正方形,剩下部分 的面积为ycm2,则y关于x的关系式1 x为2 y=_______.
（1）y=3(x-1)²+1. 是二次函数，a=3，b=-6，c=4
(2) y x 1 . x
（3）s=3-2t².
不是二次函数 是二次函数，a=-2，b=0，c=3
(4) y
1 x2
. x
不是二次函数
（5）y=(x+3)²-x². 不是二次函数
（6）v=10πr². 是二次函数，a=10π，b=0，c=0
y=（4+x）（3+2x）=2x2+11x+12
1.（莆田·中考）某同学利用描点法画二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象时，列出的部分数据如下表：
x
0
1
2
3
4
y
3
0 -2 0
3
经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据
上述信息写出该二次函数的解析式： y x2 4x 3 .
解：因为该函数为二次函数，
则
m2 -m=2 m2 -1 0
① ②
解①得：m=2或m=-1,
二次函数顶点式的应用教案24
二次函数顶点式的应用教案一、教学目标：知识与技能:1．能熟练的区分抛物线的顶点，熟练的用顶点求抛物线的解析式2.知道二次函数解析式，利用顶点和对称轴，绘画出二次函数图像3.理解并掌握抛物线与x 轴的两交点和顶点所围成三角形的面积过程与方法：通过探究、推理、交流等活动，培养学生推理能力和有条理表达能力；理解抛物线顶点式的应用具体有哪些，并会应用所学知识解决一些实际问题。
情感态度价值观：引导学生对顶点式进行观察、交流、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心。
二、教学重、难点：重点：能正确区分抛物线的顶点；利用顶点求二次函数解析式；知二次函数解析式，画出函数图像；求抛物线与x 轴的两交点和顶点所围成三角形的面积 难点：在讲解的过程当中，如何让学生彻底的理解并掌握所学的内容，并让学生会用所学知识解决一些实际问题。
三、教学过程：本节课是以复习课的形式讲解，给出例题，让学生进行分析和解答，教师最后引导总结，在引导、归纳和总结的过程当中，一定要牢牢把握解题的重难点，要让学生彻底的理解并掌握所学内容。
例1. 抛物线1)23(22+-=x y 的顶点坐标是（ ）A. （2，1）B. （2，-1） C ），（132 D. ），（132-解析：初看，该题似乎应选A ，再细看，该解析式和抛物线的顶点式是不同的。
抛物线的顶点式是的形式 k h x a y +-=2)(是 ，其中括号内x 前面的系数是1，而该题括号中x 前面的系数是3，应先将抛物线解析式转化为1)32(182+-=x y ，所以应选C 。
总结一：如何正确区分二次函数解析式的顶点坐标？1、观察二次函数解析式是否是顶点式，如果不是，那么把一般式转化为顶点式，从而求出抛物线顶点坐标2、如果是k h -bx a y 2+=）（的形式，那么一定要把x 前面的系数化为一，从而求出抛物线的顶点坐标。
例2. 已知抛物线的顶点坐标是（2，3），且经过点（5，6），求该抛物线的解析式。
高中学业水平测试数学复习教案 第24课时 不等式的解法
学业水平测试数学复习学案 第24课时 不等式的解法一．知识梳理1. 一元二次不等式的解法.:(1)化成标准形式：任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax 2+bx+c ＞0（或＜0）（其中a ＞0）的形式，（2）求对应方程ax 2+bx+c=0的根：能分解因式的分解因式，不能分解因式的用配方法或求根公式求根，然后根据“大于取两边，小于夹中间”求解集. （3）当对应方程无根时，结合对应的函数的图象求得解集2．分式不等式的解法: (1)移项、通分化成标准形式)()(x g x f >0（或＜0）：（2）等价变形：)()(x g x f >0 ⇔f(x)g(x)>0，)()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥⋅0)(0)()(x g x g x f3．简单的绝对值不等式①讨论法：讨论绝对值中的式于大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号②等价变形： |f(x)|<g(x)⇔－g(x)<f(x)<g(x)，|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g (x)或f(x)<g(x)。
4．指数不等式a af xg x ()()>⇒ ()()()11当时，a f x g x >>；()()()201当时，<<<a f x g x ；5．对数不等式 log ()log ()a a f x g x >⇒()()()11当时，a f x g x >>且g(x)>0()()()201当时，<<<af xg x 且f(x)>0。
二．课前自测1. “x ＞1”是“x 2＞x ”的 （ A ）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件2. 若()0≥x f 的解集是F ， ()0<x g 的解集是G ，则不等式组()()⎩⎨⎧≥<00x g x f 的解集是（ A ）．（A ）G C F C u u （B ）G C F C u u （C ）G F （D ）()G F C u 3. 若方程()0522=++++m x m x 只有正根，则m 的取值范围是（ B ）．(A)4-≤m 或4≥m (B )45-≤<-m (C)45-≤≤-m (D)25-<<-m 4.已知R U =，且{}92>=x x A ，{}0432<--=x x x B ，则B A C u ⋃(）等于（ B ） （A {}1-≤x x （B ）{}13-≤≤-x x （C ）{}1,3->-<x x x 或 （D ）{}3,1≥-≤x x x 或三．典例解析【例1】①.函数2,0()2,x x f x x x +⎧=⎨-+>≤⎩，则不等式2()f x x ≥的解集是( A )（A ）[1,1]- （B ）[2,2]- （C ）[2,1]- （D ）[1,2]-②设f(x)＝1＋log x 3，g(x)＝2log x 2，其中x ＞0，x ≠1．比较f(x)与g(x)的大小.解：当0＜x ＜1或x ＞34时，f(x)＞g(x)；当1＜x ＜34时，f(x)＜g(x)；当x ＝34时，f(x)＝g(x).【例2】已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|24}x x <<，求不等式20cx bx a ++<的解集 由题意：00364188a cb b ac c a a c ⎧⎧<<⎪⎪⎪⎪⎪⎪-=⇒-=⎨⎨⎪⎪⎪⎪==⎪⎪⎩⎩，∴20c x b x a ++<可化为20b a x x cc++>即231048x x -+>，解得11{| }24x x x ><或．【变式训练1】一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ，求m 的取值范围．解析： 2(2)2(2)4y m x m x =-+-+为二次函数，2m ∴≠二次函数的值恒大于零，即2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ． 200m ->⎧∴⎨∆<⎩， 即224(2)16(2)0m m m >⎧⎨---<⎩，解得：226m m >⎧⎨<<⎩m ∴的取值范围为{|26}m m <<（2m =适合）．【例3】 解下列关于x 的不等式x 2+(a+1)x+a>0 解析：(x-1)(x-a)>0①当a>1时,解集为{ x |1<x 或x>a } ②当a<1时,解集为{x|a<x 或x>1} ③当a=1时,解集为{x|x ≠1}【变式训练2】:x2-2x+1-a2≥0.解析：(x-1)2-a2≥0，(x-1-a)(x-1+a)≥0.其对应的根为1+a与1﹣a.①当a>0时，1+a>1-a，∴原不等式的解集为{x|x≥1+a或x≤1-a}.②当a=0时，1+a=1-a，∴原不等式的解集为全体实数R.③当a<0时，1-a>1+a，∴原不等式的解集为{x|x≥1-a或x≤1+a}.。
二次函数复习与练习课 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
二次函数一般考点：
1、二次函数的定义 2、二次函数的图象及性质 3、求二次函数的解析式 4、a，b，c符号的确定 5、抛物线的平移法则 6、二次函数与一元二次方程的关系 7、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
定义：y=ax²＋bx＋c （ a 、b 、 c 是常数， a ≠ 0 ）
,
4ac 4a
b2
0
(0,c)
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
x
b 2a
,
4ac 4a
b2
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
0
x
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向 增减性 最值
y
2）、当x=-1时，y= a-b+c =０ x -2 -1 o 1 2
3）、当x=2时，y= 4a+2b+c ＞０
4）、当x=-2时，y= 4a-2b+c ＜０
5）、b²-4ac ＞ 0. 6）、2a+b ＞ 0.
例2:如图所示，二次函数y=ax2+bx+c的图像开口向上，图像经 过点（－1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴.
3、求抛物线的解析式
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为
__y_=_a_x_2+__b_x_+_c_(a_≠__0_) 一般式
2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设 抛物线解析式为_y_=_a_(_x_-h__)2_+_k_(_a_≠_0_)
最新人教版九年级全一册数学同步测试第24课时 用待定系数法求二次函数的解析式(2)顶点式与交点式
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解：（1）设这个二次函数的解析式为y=a(x+2)2-3. 将（-3，-2）代入上式，得a(-3+2)2-3=-2. 解得a=1. ∴这个二次函数的解析式为y=(x+2)2-3.
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（2）由（1）得二次函数的解析式为y=(x+2)2-3. 令y=0,即（x+2）2-3=0. 解得x1=-2+ ,x2=-2- . ∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2+ ，0），（-2令x=0,得y=(0+2)2-3=1. ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0,1）.
，0）.
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课堂5分钟
第二十二章 二次函数
第24课时 用待定系数法求二次函数的解析式(2)—— 顶点式与交点式
1. （40分）二次函数的图象如图K22-24-1，求其解析式. 解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）. 把（0，3）代入，得a·1·（-3）=3. 解得a=-1. ∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）， 即y=-x2+2x+3．
最新人教版九年级全一册数学培优课件第24课时 用待定系数法求二次函数的解析式(2)顶点式与交点式
典型例题
知识点3：已知与x轴的交点和另外一点 【例3】 已知抛物线经过点A（-4，0），B（-2，6），C（1， 0），求这个二次函数的解析式. 解:设二次函数的解析式为y=a(x+4)(x-1). 将B(-2,6)代入,得a(-2+4)(-2-1)=6. 解得a=-1. ∴二次函数的解析式为y=-(x+4)(x-1)=-x2-3x+4.
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B组 8. 已知二次函数的图象如图1-22-24-3． （1）对称轴为__直__线__x_=_1__； （2）当x___≤__1_____时，y随x的增大而减小； （3）求函数的解析式．
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解：（3）∵函数图象经过点(－1,0)，(3,0)，(0,－2)， ∴设函数的解析式为 y=a(x+1)(x－3). 将点(0,－2)代入，得－3a=－2.
第二十二章 二次函数
第24课时 用待定系数法求二次函数的解析式（2） ——顶点式与交点式
目录
01 知识点导学 02 典型例题 03 变式训练 04 分层训练
知识点导学
A. 顶点式：已知抛物线的顶点坐标（h，k）及图象上的一个点 的坐标，可设二次函数的解析式为y=a（x-h）2+k.
1. 已知抛物线的顶点坐标为（2，-1），则可设这条抛物线的
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变式训练
5. 已知二次函数的图象如图1-22-24-1，求这个二次函数的解
析式. 解:设这个二次函数的解析式为
y=a(x-1)(x-2).
将（0，2）代入上式，得
a(0-1)(0-2)=2.解得a=1.
∴二次函数的解析式为
y=(x-1)(x-2)=x2-3x+2.
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最新人教版九年级上册数学同步作业课件第二十二章二次函数第24课时实际问题与二次函数(三)
第24课时
二 次 函 数
实际问题与二次Байду номын сангаас数(三)
【A组】
1. 向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y m，且高
度与时间的关系为y=ax2+bx+c(a≠0)，若此炮弹在第6秒
与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度
最高的是
( C )
A. 第8秒
B. 第10秒
C. 第12秒
D. 第15秒
10
5. 从一栋高216 m的大楼上掉下一个苹果，苹果离地面
的高度h(m)与时间t(s)大致有如下关系：h＝216-6t2，
6
则________s后苹果落到地面.
【B组】
6. 科研人员在测试火箭性能时，发现火箭升空高度
h(单位：km)与飞行时间t(单位：s)之间满足二次函数
h=-t2+200t-9 920.
车道宽为7.5 m.
车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x=7.53.5=4，
当x=4时，y=6，即允许的最大高度为6 m.
∵5.8＜6，故该车辆能通行.
谢
谢
解得t1=94，t2=106.
答：点火后94 s或106 s时，火箭的高度为44 km.
7. 某游乐园有一个直径为16 m的圆形喷水池，喷水池的周
边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3 m
处达到最高，高度为5 m，且各方向喷出的水柱恰好在喷水
池中心的装饰物处汇合，如图KH22-24-2，以水平方向为x
将点(8，0)代入，得25a+5=0.
解得a=- .
∴水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为
九年级数学上册第二十二章二次函数第24课时实际问题与
形场地的最大面积.
课前学习任务单
解：（1）S=-x2+30x（0＜x＜30）. （2）当x是15 m时，矩形场地的面积S最大，最大面积 为225 m2 .
课前学习任务单
2. 如图X22-24-1，若用40 m的篱笆围成一个一边靠墙 的矩形场地，墙长a=30 m，垂直于墙的边长为x m， 围成的矩形场地的面积为y m2. （1）求y与x的函数关系式并写出自变量的取值范围； （2）求出这个矩形场地面积的最大值.
-4 则（x1－2）（x2－2）=__________.
课堂小测
4. （20分）已知一个二次函数的图象经过A（－1， 0），B（3，0），C（0，－3）三点. （1）求此函数的解析式； （2）对于实数m，点M（m，－5）是否在这个二次函 数的图象上？说明理由. 解：（1）y＝x2－2x－3. （2）不在.因为该函数的开口向上，最小值为－4，所 以点M（m，－5）不在这个二次函数的图象上.
引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（
B ）
A. 3 s
B. 4 s
C. 5 s
D. 6 s
课前学习任务单
范例 任务四：应用二次函数的知识求几何面积问题中的最值 1. 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地. （1）设矩形一边长为x m，矩形面积为S m2，求S与x 的函数关系，并写出自变量x的取值范围； （2）当x是多少时，矩形场地的面积最大？并求出矩
课堂小测
当堂高效测 1. （10分）长方形的周长为24 cm，其中一边长为x cm（其中x＞0），面积为y cm2，则这样的长方形中y 与x的关系可以写为（ C ） B. y=12-x2
A. y=x2
C. y=（12-x）· x
D. y=2（12-x）
二次函数综合解答题 课件(231张PPT)2024年中考人教版数学复习
抛物线 的对称轴为直线 ，当 时， ， 点 的坐标为 .
（3）点 为抛物线位于线段 下方图象上一动点，过点 作 轴，交线段 于点 ，求线段 长的最大值.
图6
（2）若直线 与 轴交于点 ，在第一象限内与抛物线交于点 ，当 取何值时， 有最大值？并求出最大值．
图156
解：如图156， 直线 与 轴交于点 ，与抛物线交于点 ， ， 点 在第一象限， ， ， ， . ， 当 时， 有最大值，最大值为 .
（3）若点 为抛物线 的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后， 为平移后抛物线上一动点．在（2）的条件下求得的点 ，是否能与点 ， ， 构成平行四边形？若能构成，求出点 的坐标；若不能构成，请说明理由．
解： ， 向左平移1个单位长度后的抛物线为 .由（2）知 ，已知 ，设 ， .假设存在以 ， ， ， 为顶点的平行四边形．
图153
图154
【答案】 的取值范围是 或 或 .
针对训练
图5
1.（2022·齐齐哈尔 节选）综合与探究如图5，某一次函数与二次函数 的图象的交点为 ，
（1）求抛物线的函数解析式.
解：把 ， 代入 ，得 解得 抛物线的函数解析式为 .
图5
（2）点 为抛物线对称轴上一动点，当 与 的和最小时，点 的坐标为______.
图1
图2
续表
2.线段长度最值问题：把要求线段的长用二次函数表示出来，再求最值（要注意自变量的取值范围）. 例如：如图3，平行于 轴的直线 与抛物线 相交于点 ，与直线 相交于点 ，与 轴相交于点 ，且点 的横坐标为 ，则 .这样就是用二次函数表示线段的长.
数学：《二次函数》同步辅导2(人教版九年级下)
二次函数学海导航二次函数错例分析在解决与二次函数有关的问题时，往往由于审题不清、考虑不周而错解，为帮助大家纠正错误,正确灵活地应用二次函数的图像及性质，解决有关二次函数问题,现将常见原因所造成的错误剖析如下：例1：已知：二次函数y=x2-4x-a，下列说法错误的是（）A、当x＜1时，y随x的增大而减小B、若图象与x轴有交点，则a≤4C、当a=3时，不等式x2-4x+a＜0的解集是1＜x＜3D、若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a=-3错解：选C正解：解：二次函数为y=x2-4x-a，对称轴为x=2，图象开口向上．则：A、当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项正确；B、若图象与x轴有交点，即△=16+4a≥0则a≥-4，故选项错误；C、当a=3时，不等式x2-4x+a＜0的解集是1＜x＜3，故选项正确；D、将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后所得函数解析式是y=（x+3）2-4（x+3）-a+1．函数过点（1，-2），代入解析式得到：16-4×4-a+1=-2，解得a=-3．故选项正确．故选B．y=x2-4x+3(1,0) (3,0)点拨：判断C项正确关键点在理解二次函数y=x2-4x+3，与一元二次方程x2-4x+3=0的关系，x2-4x+3=0的根为x1=1,x2=3. 满足函数y=x2-4x+3<0的x是图像在(1,0) ，(3,0)之间x轴下方的部分，所以x2-4x+3＜0的解集是1＜x＜3正确。
例2：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点，则二次函数y=x2-mx+m-2（m为实数）的零点的个数是（）A、1B、2C、0D、不能确定错解：D正解：由题意可知：函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点△=（-m）2-4×1×（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4∵（m-2）2一定为非负数∴（m-2）2+4＞0∴二次函数y=x2-mx+m-2（m为实数）的零点的个数是2．故选B．点拨：判断二次函数y=x2-mx+m-2的零点的个数，也就是判断二次函数y=x2-mx+m-2与x轴交点的个数；根据△与0的关系即可作出判断．例3: 抛物线y=x2-4x-5与x轴交于点A、B，点P在抛物线上，若△PAB的面积为27，则满足条件的点P 有（）A、1个B、2个C、3个D、4个解：∵抛物线y=x2-4x-5与x轴交于点A、B两点．∴0=x2-4x-5，∴x1=-1，x2=5，∴AB=5-（-1）=6，∵△PAB的面积为27，∴点P的纵坐标的绝对值为2×27÷6=9，①当纵坐标为9时，x2-4x-5=9，x2-4x-14=0，△＞0，∴在抛物线上有2个点；②当纵坐标为-9时，y=x(-1,0) (5,0)2-4x-5OA BPx2-4x-5=-9，△=0，∴在抛物线上有1个点；∴满足条件的点P有3个，故选C．点拨：用到的知识点为，x轴上的点的纵坐标为0；△＞0，与抛物线有2个交点；△=0，与抛物线有1个交点，△＜0，与抛物线没有交点．要注意：若△PAB的面积为27。
北师大版九年级下册数学2.4 二次函数的图象 习题课
2.4 二次函数c bx ax y ++=2的图象习题课(两课时）一、例题：【例1】二次函数y=ax 2＋bx 2＋c 的图象如图所示，则a 0，b 0，c 0（填“＞”或“＜”＝．）【例2】二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）【例3】在同一坐标系中，函数y=ax 2＋bx 与y=xb的图象大致是图中的（ ）【例4】如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状．按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=0．0225x 2＋0．9x ＋10表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？【例5】图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）【例6】抛物线y=ax 2＋bx ＋c 如图所示，则它关于y 轴对称的抛物线的表达式是 ．【例7】已知二次函数y=（m －2）x 2＋（m ＋3）x ＋m ＋2的图象过点（0，5）．（1）求m 的值，并写出二次函数的表达式； （2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴． 【例8】启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y=－102x ＋107x ＋107，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费．（1）试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：项目 A B C D E F 每股（万元） 5 2 6 4 6 8收益（万元） 0．55 0．4 0．6 0．5 0．9 1符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．【例9】已知抛物线y=a （x －t －1）2＋t 2（a ，t 是常数，a ≠0，t ≠0）的顶点是A ，抛物线y=x 2－2x ＋1的顶点是B （如图）．（1）判断点A 是否在抛物线y=x 2－2x ＋1上，为什么？（2）如果抛物线y=a （x －t －1）2＋t 2经过点B ．①求a 的值；②这条抛物线与x 轴的两个交点和它的顶点A 能否成直角三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．【例10】如图，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE=1，CF=34，直线FE 交AB 的延长线于G ，过线段FG 上的一个动点H ，作HM ⊥AG 于M ．设HM=x ，矩形AMHN 的面积为y ．（1）求y 与x 之间的函数表达式，（2）当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积是多少？【例11】已知点A （－1，－1）在抛物线y=（k 2－1）x 2－2（k －2）x ＋1上．（1）求抛物线的对称轴；（2）若点B 与A 点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B 的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由．【例12】如图，A 、B 是直线ι上的两点，AB=4cm ，过ι外一点C 作CD ∥ι，射线BC 与ι所成的锐角∠1=60°，线段BC=2cm ，动点P 、Q 分别从B 、C 同时出发，P 以每秒1cm 的速度，沿由B 向C 的方向运动；Q 以每秒2cm 的速度，沿由C 向D 的方向运动．设P 、Q 运动的时间为t 秒，当t ＞2时，PA 交CD 于E ．（1）用含t 的代数式分别表示CE 和QE 的长；（2）求△APQ 的面积S 与t 的函数表达式；（3）当QE 恰好平分△APQ 的面积时，QE 的长是多少厘米？【例13】如图所示，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，PR=8cm，点B、C、Q、R在同一直线ι上．当CQ两点重合时，等腰△PQR以1cm/秒的速度沿直线ι按箭头所示方向开始匀速运动，t秒后，正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2．解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值；（2）当t=5秒时，求S的值；【例14】如图2-4-16所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=1．25米．由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下．为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA距离为1米处达到距水面最大高度2．25米．（1）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？（2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为3．5米，要使水流不致落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1米，提示：可建立如下坐标系：以OA所在的直线为y轴，过点O垂直于OA的直线为x轴，点O为原点）【例15】某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日生产的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元），且R，P与x的表达式分别为R=500＋30x，P=170－2x．（1）当日产量为多少时，每日获利为1750元？（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？【例16】阅读材料，解答问题．当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化．例如y=x 2－2mx ＋m 2＋2m －1①，有y=（x －m ）2＋2m －1②，∴抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即⎩⎨⎧-==． ④， ③12m y m x当m 的值变化时，x 、y 的值也随之变化，因而y 值也随x 值的变化而变化． 把③代入④，得y=2x －1．⑤可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足表达式y=2x －1． 解答问题： （1）在上述过程中，由①到②所学的数学方法是 ，其中运用了 公式，由③、④到⑤所用到的数学方法是 ．（2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x 2－2mx ＋2m 2－3m ＋1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间的表达式．二、课后练习：1．抛物线y=－2x 2＋6x －1的顶点坐标为 ，对称轴为 ．2．如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2＋bx ＋c 的大致图象为（ ）3．已知二次函数y=41x 2－25x ＋6，当x= 时，y 最小= ；当x 时，y 随x 的增大而减小．4．抛物线y=2x 2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线表达式为 ．5．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则ac 0．（填“＞”、“＜”或“=”＝）。
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第六章 二次函数
第24课时 二次函数(习题课②)
班级 姓名 学号
学习目标：
1、 体会二次函数与方程之间的联系；掌握用图象法求方程的近似根；理解二次函数图象与x
轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系； 2、 会根据二次函数的性质解决有关问题. 知识回顾：
1、如图，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图像经过点(－1，2)和(1，0)且与y 轴交于负半轴. 第(1)问：给出四个结论：①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0； ④a ＋b ＋c ＝0
其中正确的结论的序号是 ． 第(2)问：给出四个结论：①abc ＜0；②2a ＋b ＞0；③a ＋c ＝1；④a ＞1.其中正确的结论的序号是 ．
2、如右图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A (－1，0)、点B (3，0)和点C (0，－3)，一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点.
⑴二次函数的解析式为 ．
⑵当自变量x 时，两函数的函数值都随x 增大而增大． ⑶当自变量 时，一次函数值小于二次函数值． ⑷当自变量x 时，两函数的函数值的积小于0．
3、(1)抛物线m x x y +-=32
与x 轴仅有一个交点，则=m ________.
(2)根据下列表格中二次函数2
y ax bx c =++的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程
2
ax
探索活动：
问题一、二次函数c bx ax y ++=2
(a ≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程02
=++c bx ax 的两个根．
(2)写出不等式02>++c bx ax 的解集．
(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围． (4)若方程k c bx ax =++2
有两个不相等的实数根，求k
问题二、已知抛物线y ＝mx 2＋(3－2m )x ＋m －2 (m ≠0)与x 轴有两个不同的交点.
(1)求m 的范围；
(2)判断P (1，1)是否在抛物线上；
(3)当m ＝1时，求抛物线的顶点Q 及P 点关于抛物线的对称轴对称的点P ′的坐标，并过P ′、Q 、P 三点，画出抛物线草图.
问题三、如图所示，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴负半轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OB ＝3，CB ＝23，∠CAO ＝30°，求抛物线的解析式和它的顶点坐标.
问题四、如图，已知平行四边形ABCD 的顶点A 的坐标是(0，16)，AB 平行于x 轴，B 、C 、D
三点在抛物线2
25
4x y =
上，DC 交y 轴于N 点，一条直线OE 与AB 交于E 点，与DC 交于F 点，如果E 点的横坐标为a ，四边形ADFE 的面积为2
135
．
(1)求出B 、D 两点的坐标； (2)求a 的值；
(3)作△ADN 的内切圆⊙P ，切点分别为M 、K 、H ，求tan ∠PFM 的值．
课后作业：
1、如右图所示是二次函数c bx ax y ++=21和一次函数n mx y +=2的图象，观察图象写出12y y ≥时x 的取值范围是________.
2、老师给出一个函数，甲，乙，丙，丁四位同学各指出这个函数的一个性质： 甲：函数的图像不经过第三象限. 乙：函数的图像经过第一象限.
丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小.丁：当x ＜2时，y ＞0，
已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数______. 3、已知二次函数y ＝ax 2(a ≥1)的图像上两点A 、B 的横坐标分别是－1、2，点O 是坐标原点，如果△AOB 是直角三角形，则△OAB 的周长为____ ____. 4、已知bx ax y +=2的图象如右图所示，则b ax y -=的图象一定过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限
5、函数a ax y -=2
与x
a
y =在同一直角坐标系中的图象可能是 ( )
6、已知：抛物线342
-+-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点(A 点在B 点的左侧)，顶点为P . (1)求A 、B 、P 三点的坐标；
(2)画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x 取何值时，函数值y 大于零； (3)确定此抛物线与直线62+-=x y 公共点的个数，并说明理由.
7、已知抛物线与x 轴交于A (2，0)，B (6，0)两点，且顶点到x 轴的距离等于2，抛物线与y 轴的负半轴相交.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若经过A 、B 两点的圆与直线22-=x y 相切，求该圆圆心的坐标.
8、如图，矩形A ′B ′C ′O ′是矩形OABC (边OA 在x 轴正半轴上，边OC 在y 轴正半轴上)绕B 点逆时针旋转得到的．O ’点在x 轴的正半轴上，B 点的坐标为(1，3)． (1)如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象经过O 、O ’两点且图象顶点M 的纵坐标为—1．求这个二次函数的解析式；
(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P ，使得ΔPOM 为直角三角形?若存在，请求出P 点的坐标和ΔPOM 的面积；若不存在，请说明理由； (3)求边C ′O ′所在直线的解析式．
A。