安培环路定理

dφ
v B1
I
r1
v B2 v v dl dl1 2
r2
l
2π r1 2π r2 v v v v µ0 I B1 ⋅ dl1 = −B2 ⋅ dl2 = − dφ 2π v v v v B1 ⋅ dl1 + B2 ⋅ dl2 = 0 v v ∫ B ⋅d l = 0
l
第七章 恒定磁场
6
B1 =
µ0 I
结论：无限长载流圆柱导体。已知： 结论：无限长载流圆柱导体。已知：I、R
µ0 Ir 2πR2 B= µ0 I 2πr r≤R r≥R
B
µ0I 2 R π
r B
I
R
r B
O 2010-11-21
r
16
2.无限长圆柱面电流的磁场。 2.无限长圆柱面电流的磁场。 无限长圆柱面电流的磁场 解： 对称性分析结论: 对称性分析结论: 磁场沿回路 切线，各点大小相等
l1 l2
= µ 0αl1
d
r B r Biblioteka l122c⇒ 2 Bl1 = µ 0αl1 ⇒ B =
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µ 0α
2
a
l2
b
5.下面求无限长螺线管内磁场： 5.下面求无限长螺线管内磁场： 下面求无限长螺线管内磁场
n ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅r ⋅ ⋅ °°°°°°°°°°°°°°°°°°°
3
7-6
安培环路定理
（2）若I与L成左螺旋 ） 与 成左螺旋
v v µ0 I 2π ∫l B ⋅ d l = − 2π ∫0 dφ = −µ0 I
I
o
R
v B v
dl
对任意形状的回路
l
v v B ⋅ dl = µ 0 I ∫
l
？
4
第七章 恒定磁场
7-6
安培环路定理
对任意形状的回路
L
I
在垂直于导线的平面上任取一 包围电流的闭合曲线 L
R
P
(1) r > R 时， r r ∫l B ⋅ dl = B 2πr = µ0 I µ0 I B= (r > R) 2π r (2) r < R 时， = 0 (r < R) B
µ0 I 2π R
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r
L
I
v dB'
B
v dB
r
R
dI ' dI
P
o
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3.环形载流螺线管的磁场分布 3.环形载流螺线管的磁场分布 . . . . . . . .
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8
安培环路定理
n v v ∫ B ⋅ dl = µ 0 ∑ I i i =1
v 在真空的恒定磁场中， 在真空的恒定磁场中，磁感强度 B 沿任 一闭合路径的积分的值， 一闭合路径的积分的值，等于µ 0乘以该闭合 路径所穿过的各电流的代数和. 路径所穿过的各电流的代数和
注意 正负的规定 的规定： 电流 I 正负的规定： I 与 L 成右螺旋 之为负 时，I 为正；反之为负.
r
r B
2πrB = µ0 I
µ0 I B= 2πr
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2. 如图
r<R
r
I
r r ∫ B • dl = ∫ Bdl = 2πrB r 利用安培环路定理求 B
R
P L
r r ∫ B• dl = µ0 I′
I 2 πr = µ0 2 πR
µ0Ir B= 2 2πR
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I R
r 的方向判断如下： B的方向判断如下：
r
dS1
O
r r dB r dB2 dB 1
P
l
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dS2
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作积分环路并计算环流 1. 如图
r r ∫ B • dl = ∫ Bdl = 2πrB
r>R
I R
µ0
r 利用安培环路定理求 B r r ∫ B • dl = µ0 I
v dl2
v B1
=0
dϕ
θ1
v r 1
v dl1
7
L
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环路不包围电流， 环路不包围电流，则磁场环流为零
多电流情况
v v v v B = B1 + B2 + B3 v v ∫ B ⋅ d l = µ0 ( I 2 − I 3 )
l
I1
I2
I3
推广： 推广： 安培环路定理
l
n v v ∫ B ⋅ dl = µ 0 ∑ I i i =1
µ0 NI B = 2πr 0 内 外
r r ∫ B • dl = ∫ Bdl = 2πrB
. . . .. . .. . . . . . . . . . . .
B
. . . . . .
r
R1 .. R2 .. .. . . . . . .
R1、R2 >> R1 − R2
N n= B ≈ µ0nI O 2 R π 1
v r
B= 2πr
v v B⋅ dl = ∫ Bcosθdl ∫
L L
µ0I
P
=∫
L
2πr
µ0I
rdϕ
= µ0I
I
L
vdϕ r
v v r′ B
磁场的环流与环路中所包围的电流有关 磁场的环流与环路中所包围的电流有关
第七章 恒定磁场
θ
v dl
5
7-6
安培环路定理
I
(3)电流在回路之外 电流在回路之外
L
∑I
内
= − nI ab
由安培环路定律： − Bab = −µ0nIab 安培环路定律：
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B = µ0nI
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(1) 有限长导线
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(2)
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r r 注意： 注意：1. 代数和 B ⋅ dl =µ 0 ( I1 − I 2 ) ∫l r B由所有电流共同产生
但安培环路定理表达式中 的电流强度是指穿过闭合 曲线的电流， 曲线的电流，不包括闭合 曲线以外的电流。 曲线以外的电流。
I1
I3
I2
上述讨论不是严格证明，只是说明。 2. 上述讨论不是严格证明，只是说明。
已知： 已知：I 、N、R1、R2 N——导线总匝数 导线总匝数 分析对称性 磁力线分布如图 作积分回路如图
. . . . . . . . ..
. . . . . . . . . . .
r
R1 R2 .. .. . . .
方向
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右手螺旋
I
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计算环流
r 利用安培环路定理求 B r r ∫ B • dl = µ0 NI
I
作矩形安培环路如图， 作矩形安培环路如图， 规定： 规定： +
r r B ⋅ dl + r r B ⋅ dl
B
b
a
d
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
c
∫
L
r r B ⋅ dl =
∫
b
a
r r B ⋅ dl +
∫
c
b
r r B ⋅ dl +
∫
d
c
∫
a
d
= B cosπ ab + 0 + 0 + 0 = − Bab
3.
r r 磁场为有旋场！ ∫ B ⋅ dl ≠ 0 磁场为有旋场！
l
4. 仅适用稳恒电流产生的磁场
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二、安培环路定理的应用
r r ∫ B• dl = µ0 ∑Ii
当场源分布具有高度对称性时 当场源分布具有高度对称性时，利用安培环路定理 高度对称性 计算磁感应强度 1. 无限长载流圆柱导体的磁场分布 已知：I、R 已知： 电流沿轴向， 电流沿轴向，在截面上均匀分布 分析对称性 电流分布——轴对称 电流分布 轴对称 磁场分布——轴对称 轴对称 磁场分布
第七章 恒定磁场
20
7-6
安培环路定理
B=
µ0i
2
µ0i
2
B
a b
d
i
c
o
r
第七章 恒定磁场
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4.无限大平面电流的磁场 4.无限大平面电流的磁场
解：
α
r dB r dB ′
α
：电流线密度
∆I ∆l
∆I α= ∆l
对于矩形回路
l
单位长度的电流强度
r r r r r r ∫ B ⋅ dl =2∫ B ⋅ dl1 + 2∫ B ⋅ dl2
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注意
n v v ∫ B ⋅ dl = µ 0 ∑ I i i =1
什么样的电流才算是被闭合曲线包围呢? 什么样的电流才算是被闭合曲线包围呢 所谓被闭合曲线L所围绕的电流 所围绕的电流,是指 答: 所谓被闭合曲线 所围绕的电流 是指 穿过以L为边线的任一曲面的电流 为边线的任一曲面的电流。 穿过以 为边线的任一曲面的电流。
R 1
R2
r
7-6
安培环路定理
无限大均匀带电(线密度为 线密度为i)平面的磁场 例4 无限大均匀带电 线密度为 平面的磁场 如图， 解 如图，作安培环路 abcda，应用安培环路 ， 定理 v v b a ∫ B ⋅ d l = 2∫ B ⋅ dl
l a
d b
i
c
= 2Bab = µ0iab µ0 i B= 2
7-6 安培环路定理
重点： 重点：
1. 理解安培环路定理，并应用定理求解磁 理解安培环路定理， 感应强度大小
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1
引言
静电场： 静电场：
∫
l
r r E ⋅ dl = 0
无旋场
静电场是保守场
r r 稳恒磁场： 稳恒磁场： B⋅ dl = ? ∫
l
有旋场 ？？？
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2
一
， B2 =
µ0 I
若环路中不包围电流的情况详细说明
B= 1
2πr 1
µ0I
B2 =
2πr2
µ0I
I
v dl
对一对线元来说
L
v v v v B1 ⋅ dl + B2 ⋅ dl
= B1dl cosθ1 + B2dl cosθ2
=
µ0Ir1dϕ µ0Ir2dϕ
2πr 1 − 2πr2
I
v r2 θ2
v B2
安培环路定理
7-6
安培环路定理
以无限长载流直导线为例 µ0 I B= 2π R （1） I与L成右螺旋 ） 与 成右螺旋 v v µ0 I ∫l B ⋅ dl = ∫ 2π R dl v v ∫ B ⋅ dl = µ0 I
l
第七章 恒定磁场
I
o
R
v B
v dl
l
设闭合回路 l 为圆形回路, 为圆形回路 l 与 I 成右螺旋