2021-2022学年上学期高中数学人教新版高一同步经典题精练之三角函数综合题

2021-2022学年上学期高中数学人教新版高一同步经典题精练之三角函数综合题一．选择题（共8小题）
1．（2021•淮安模拟）设a＝sin246°，b＝cos235°﹣sin235°，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
2．（2021•一模拟）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x，则（）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的最小正周期为
C．f（x）在区间[，]上单调递减
D．f（x）在区间[﹣π，π]上有4个零点
3．（2021•河北模拟）函数的值域是（）
A．B．C．D．
4．（2021春•鼓楼区校级期末）已知α∈（0，），＝9，则sin2α•sin4α•sin8α＝（）
A．B．﹣
C．﹣D．
5．（2021•全国模拟）已知ω＞0，顺次连接函数y＝sinωx与y＝cosωx的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则ω＝（）
A．B．C．πD．
6．（2021春•沈阳期末）函数f（x）＝2sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．若对任意x∈R，f （x）+f（2t﹣x）＝0恒成立，则t的最小正值为（）
A．B．C．D．
7．（2021春•射洪市校级月考）若函数（ω＞0）在区间（π，2π）内没有最值，则ω的取值范围是（）
A．B．
C．D．
8．（2021•河南模拟）如图是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，若g（x）＝f（x）+f
（+x），则下列判断错误的是（）
A．g（）的最小正周期为2π
B．g（x）在[]上有两个极小值点
C．g（x）的图象向右平移个单位长度后得到的函数与f（x）具有相同的零点
D．g（x）在[]上单调递增
二．填空题（共4小题）
9．（2021春•葫芦岛期末）已知函数f（x）＝4cos x，（x∈[0，π]）的图像与函数g（x）＝15tan x的图像交于A，B两点，则△OAB（O为坐标原点）的面积为．
10．（2021春•日照期末）已知函数的定义域为[m，n]（m＜n），值域为，则n﹣m的取值范围为．
11．（2021春•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝2cos2x+sin2x﹣4cos x．
（1）＝；
（2）时，f（x）的最小值为．
12．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知，，α∈（0，），β∈（0，π），则sinα＝．
三．解答题（共4小题）
13．（2021春•商丘期末）已知函数（0＜φ＜π，ω＞0）图象的一条对称轴方程为，
且f（x）相邻的两个零点间的距离为．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求方程在区间[0，2π]内的所有实数根之和．
14．（2021春•淄博期末）已知函数的部分图象，如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）先将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到函数g （x）的图象，求函数y＝g（x）的单调减区间和在区间上的最值．
15．（2021春•广东期末）春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度y随时间x变化近似满足函数y＝A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π），且在每天凌晨2时达到最低温度﹣3℃，在下午14时达到最高温度9℃，从2时到14时为半个周期．
（1）求这段时间气温随时间变化的函数解析式；
（2）这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为0℃？
注：一昼夜指从凌晨0时（含）到午夜24时（不含）．
16．（2021春•深圳期末）在①函数的图象关于原点对称；②函数y＝f（x）的图象关于直线对称．
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数，f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，____．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝f（x）cos2x在上的取值范围．
2021-2022学年上学期高中数学人教新版高一同步经典题精练之三角函数综合题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2021•淮安模拟）设a＝sin246°，b＝cos235°﹣sin235°，，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【解答】解：因为sin45°＜sin46°＜sin60°，所以＜sin46°＜，所以sin246°＜，可得；因为b＝cos235°﹣sin235°＝1﹣2sin235°，
又sin30°＜sin35°＜sin45°，
所以＜sin235°＜，
所以﹣1＜﹣2sin235°＜﹣，
所以1﹣2sin235°∈（0，），即0，
所以a＞b，
又＝•＝tan64°，
因为tan64°＞tan60°，可得tan64°，
可得c＝tan64°＞＞，
所以c＞a，
综上，可得c＞a＞b．
故选：D．
2．（2021•一模拟）已知函数f（x）＝sin2x+cos2x，则（）
A．f（x）是偶函数
B．f（x）的最小正周期为
C．f（x）在区间[，]上单调递减
D．f（x）在区间[﹣π，π]上有4个零点
【解答】解：因为f（﹣x）＝﹣sin2x+cos2x，
所以f（﹣x）≠f（x），f（﹣x）≠﹣f（x），所以f（x）是非奇非偶函数，故A错误；
又f（x+）＝sin[2（x+）]+[cos（x+）]2＝﹣sin2x+sin2x≠f（x），所以不是f（x）的最小正周期，故B 错误；
f（﹣）＝sin+cos2（﹣）＝﹣+（﹣）2＝，
f（）＝sin+cos2（）＝+（）2＝，因为﹣＜，而f（）＞f（﹣），故C错误；又f（x）＝sin2x+cos2x＝（2sin x+cos x）cos x，
所以令f（x）＝0，得cos x＝0，或2sin x+cos x＝0，
当x∈[﹣π，π]时，由cos x＝0，得x＝﹣，或；
由2sin x+cos x＝0，得tan x＝﹣，由函数y＝tan x在区间（﹣+kπ，+kπ），k∈Z上单调递增及值域为（一∞，
十∞），可知方程tan x＝﹣在区间（﹣，0）及（，π）内各有一个解，
所以f（x）在区间[﹣π，π]上有4个零点，故D正确．
故选：D．
3．（2021•河北模拟）函数的值域是（）
A．B．C．D．
【解答】解：函数的定义域为R，
因为f（x+2π）＝，
所以f（x）的周期为2π，
又f'（x）＝＝，
因为f（x）是连续的，所以f（x）的极值在极值点取得，
求f（x）的值域，只需求解一个周期的值域，下面研究f（x）在区间上的值域，
令f'（x）＝0，解得x＝，，
且，，
又，
＝，
＝，
＝，
所以f（x）的值域为．
故选：C．
4．（2021春•鼓楼区校级期末）已知α∈（0，），＝9，则sin2α•sin4α•sin8α＝（）
A．B．﹣
C．﹣D．
【解答】解：∵sin2α+cos2α＝1，sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝2cos2α﹣1，
∴，
∵α∈（0，），
∴sinα＞0，cosα＞0，
∴，即sinα＝2cosα，
∵sin2α+cos2α＝1，
∴，sin2α＝2sinαcosα＝2×，，
sin2α•sin4α•sin8α＝sin2α•sin4α•2sin4α•cos4α＝2sin2α•（2sin2α•cos2α）2•（1﹣2sin22α），
＝8sin32α•cos22α•（1﹣2sin22α）＝8××＝，
故选：B．
5．（2021•全国模拟）已知ω＞0，顺次连接函数y＝sinωx与y＝cosωx的任意三个相邻的交点都构成一个等腰直角三角形，则ω＝（）
A．B．C．πD．
【解答】解：如图所示，在函数y＝sinωx与y＝cosωx的交点中，
|AC|＝T＝，
令sinωx＝cosωx，即tanωx＝1，
不妨取，
即|AC|＝，
因为三个相邻的交点构成一个等腰直角三角形，
则，即，
所以．
故选：D．
6．（2021春•沈阳期末）函数f（x）＝2sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．若对任意x∈R，f （x）+f（2t﹣x）＝0恒成立，则t的最小正值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由图象可得﹣（﹣）＝T+，解得T＝π，
则ω＝＝2，所以f（x）＝2sin（2x+φ），
由2sin[2×（﹣）+φ]＝﹣2，可得2×（﹣）+φ＝2kπ﹣，k∈Z，解得φ＝2kπ+，k∈Z，
由|φ|＜，可得k＝0，φ＝，
则f（x）＝2sin（2x+），
对任意x∈R，f（x）+f（2t﹣x）＝0恒成立，
可得f（x）的图象关于点（t，0）中心对称，
可得2t+＝kπ，k∈Z，
即t＝﹣，k∈Z，
k＝1时，正数t取得最小值．
故选：B．
7．（2021春•射洪市校级月考）若函数（ω＞0）在区间（π，2π）内没有最值，则ω的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：函数＝，
由于函数在区间（π，2π）内没有最值；
故函数在在区间（π，2π）内单调，
①当函数为单调增函数时；，
整理得：（k∈Z），
所以，解得（k∈Z），
当k＝0时，．
②当函数为单调递减函数时，，
整理得，
所以，解得（k∈Z），
当k＝0时，．
故．
故选：B．
8．（2021•河南模拟）如图是函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，若g（x）＝f（x）+f
（+x），则下列判断错误的是（）
A．g（）的最小正周期为2π
B．g（x）在[]上有两个极小值点
C．g（x）的图象向右平移个单位长度后得到的函数与f（x）具有相同的零点
D．g（x）在[]上单调递增
【解答】解：由函数图像可得A＝，×＝﹣＝，
所以ω＝2，
因为（+）＝，
所以f（）＝，即sin（2×+φ）＝，
所以sin（2×+φ）＝1，
所以2×+φ＝+2kπ，k∈Z，
所以φ＝﹣+2kπ，k∈Z，
又|φ|＜π，
所以φ＝﹣，
所以f（x）＝sin（2x﹣），
所以g（x）＝sin（2x﹣）+sin（+2x﹣）＝sin（2x﹣）+cos（2x﹣）＝sin（2x
﹣），
所以g（）＝sin（x﹣），
故g（）的最小正周期为2π，故A正确；
由x∈[0，]，可得2x﹣∈[﹣，]，
由g（x）的图像可知g（x）＝sin（2x﹣）在[0，]上有两个极小值点，故B正确；
g（x）的图象向右平移个单位长度后得到的函数y＝sin（2x﹣），与f（x）具有相同的零点，故C正确；
当x∈[]时，2x﹣∈[﹣，]，[﹣，]显然不是y＝sin x的单调递增区间，故D错误．故选：D．
二．填空题（共4小题）
9．（2021春•葫芦岛期末）已知函数f（x）＝4cos x，（x∈[0，π]）的图像与函数g（x）＝15tan x的图像交于A，B两
点，则△OAB（O为坐标原点）的面积为．
【解答】解：函数f（x）＝4cos x，（x∈[0，π]）的图像与函数g（x）＝15tan x的图像交于A，B两点，
如图所示：
所以4cos x＝15tan x，整理得，
化简得：4sin2x+15sin x﹣4＝0，
解得sin x＝或sin x＝﹣4（舍去），
故cos x＝，
所以A（），B（），且点A和B关于点P（）对称，
所以．
故答案为：．
10．（2021春•日照期末）已知函数的定义域为[m，n]（m＜n），值域为，则n﹣m的取值范围为（0，]．
【解答】解：f（x）＝sin x•sin（x+）﹣
＝sin x（sin x+cos x）﹣
＝sin2x+sin x cos x﹣
＝（1﹣cos2x）+sin2x﹣
＝（sin2x﹣cos2x）
＝sin（2x﹣），值域为[﹣，]，
sin（2x﹣）∈[﹣1，]，
所以2x﹣∈[2kπ﹣，2kπ+]，
故x∈[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，
kπ+﹣（kπ﹣）＝，
所以n﹣m最大值为，又m＜n，
所以n﹣m的取值范围是（0，]．
故答案为：（0，]．
11．（2021春•海淀区校级期末）已知函数f（x）＝2cos2x+sin2x﹣4cos x．
（1）＝﹣；
（2）时，f（x）的最小值为．
【解答】解：（1）＝．
（2）f（x）＝2（2cos2x﹣1）+（1﹣cos2x）﹣4cos x＝3cos2x﹣4cos x﹣1，
令t＝cos x，当时，t∈[0，1]．所以函数转化为y＝3t2﹣4t﹣1，t∈[0，1]
开口向上，且对称轴为．所以当时，有最小值为．
故答案为：．
12．（2021•沙坪坝区校级模拟）已知，，α∈（0，），β∈（0，π），则sinα＝．
【解答】解：∵β∈（0，π），∴∈（0，），
∵，∴cos＝＝＝＝，
则sinβ＝2sin cos＝2××＝，
cosβ＝2cos2﹣1＝2×﹣1＝＝，即β∈（0，），
则α+β∈（0，π），
∵，
∴α+β∈（0，），
则sin（α+β）＝，
则sinα＝sin（α+β﹣β）＝sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ＝×﹣×＝，
故答案为：
三．解答题（共4小题）
13．（2021春•商丘期末）已知函数（0＜φ＜π，ω＞0）图象的一条对称轴方程为，
且f（x）相邻的两个零点间的距离为．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求方程在区间[0，2π]内的所有实数根之和．
【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）相邻的两个零点间的距离，
所以f（x）的最小正周期，所以ω＝2．
又函数f（x）图象的一条对称轴方程为，
所以（k∈Z），即（k∈Z），
而0＜φ＜π，所以．
故．
（Ⅱ）因为f（x）的最小正周期为π，
所以f（x）在[0，2π]内恰有2个周期．
因为，作出y＝f（x）与的大致图象如图．
由图可知两个图象在[0，2π]内有4个交点，横坐标依次为x1，x2，x3，x4，
且x1与x2关于对称，x3与x4关于对称，
所以，，
故所有实数根之和为．
14．（2021春•淄博期末）已知函数的部分图象，如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）先将函数f（x）图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到函数g （x）的图象，求函数y＝g（x）的单调减区间和在区间上的最值．
【解答】解：（1）由函数的部分图象可知，
，，
因为，
所以ω＝2，
所以f（x）＝2cos（2x+φ）﹣1，
把点代入可得，，
所以，k∈Z，
又因为，
所以，
故；
（2）先将f（x）的图象横坐标缩短到原来的，可得的图象，
再向右平移个单位，可得的图象，
由，k∈Z，
解得，k∈Z，
即，k∈Z，
故函数的减区间是，k∈Z，
因为，，
所以g（x）在上单调递增，在上单调递减，
故当时，即时，g（x）有最大值为1；
而，，
故当x＝0时，g（x）有最小值为．
15．（2021春•广东期末）春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度y随时间x变化近似满足函数y＝A sin（ωx+φ）+b（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ≤π），且在每天凌晨2时达到最低温度﹣3℃，在下午14时达到最高温度9℃，从2时到14时为半个周期．
（1）求这段时间气温随时间变化的函数解析式；
（2）这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为0℃？
注：一昼夜指从凌晨0时（含）到午夜24时（不含）．
【解答】解：（1）由题意可知，，解得A＝6，b＝3，
因为从2时到14时为半个周期，
所以，则，
解得，
由，
又﹣π＜φ≤π，
所以φ＝，
故；
（2）由＝0，可得，
则＝或＝，
因为0≤x≤24，
解得x＝6或x＝22，
所以在每天的6时或22时的气温为0°C．
16．（2021春•深圳期末）在①函数的图象关于原点对称；②函数y＝f（x）的图象关于直线对称．
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知函数，f（x）的图象相邻两条对称轴的距离为，____．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）＝f（x）cos2x在上的取值范围．
【解答】解：函数f（x）＝4sin（ωx+φ）的图象相邻两条对称轴的距离为，
∴，即T＝π，∴，
∴f（x）＝4sin（2x+φ）．
（1）若补充条件①函数的图象关于原点对称，
∵，
∴，即，
∵，∴，∴函数f（x）的解析式为．
若补充条件②函数y＝f（x）的图象关于直线对称，
∵f（x）＝4sin（2x+φ）的图象关于直线对称，∴，
∴，∴，∵，∴，
∴函数f（x）的解析式为．
（2）由（1）得，
＝（2sin2x+2cos2x）cos2x＝2sin2x cos2x+2cos²2x＝sin4x+cos4x+1
＝2sin（4x+）+1，∵x∈，∴4x+∈[﹣，]，
∴，∴，
∴函数g（x）＝f（x）cos2x在上的取值范围是[0，3]．。