两圆方程作差所得直线与两圆的位置关系

两圆方程作差所得直线与两圆的位置关系
圆的一般方程是02
2
=++++F Ey Dx y x )04(2
2
>-+F E D ，对于两个圆的一般方程，若把它们作差，消去二次项后会得到一个二元一次方程，即得到一条直线的方程。

设两圆0:1112
2
1=++++F y E x D y x C ，0:2222
2
2=++++F y E x D y x C ，把这两个圆的方程作差，消去二次项后，得到的一条直线方程为0)()()(:212121=-+-+-F F y E E x D D l 。

现在的我想探讨的问题是：所得直线l 与已知两圆1C 、2C 的位置关系如何？
一、几个重要定理
定理一：直线l 与过两圆心的直线垂直，且垂足到两圆心距离的平方差等于相应两圆半径的平方差。

先证明直线l 与过两圆心的直线垂直。

圆1C 的圆心坐标是)2,2(11E D --，圆2C 的圆心坐标是)2
,2(22E
D --，得过两圆心的直
线的斜率是2121D D E E --，而直线l 的斜率是2
12
1E E D D ---，故直线l 与过两圆心的直线垂直。

下面证明垂足到两圆心距离的平方差等于相应两圆半径的平方差。

为了便于证明，这里两圆的方程设为标准方程。

设圆2
12
12
11)()(:r b y a x C =-+-，
圆2
22
22
22)()(:r b y a x C =-+-。

两圆方程相减消去二次项后得直线l 的方程为：
0)()()()(2)(22122212221221212=-+-----+-r r b b a a y b b x a a
过两圆心的直线方程为：1
21
121a a a x b b b y --=--
即 0)()()()(1121121212=---+---a b b b a a y a a x b b
设这两直线的交点为P ，即垂足P 满足
⎩⎨
⎧=---+---=-+-----+-0)()()()(0
)()()()(2)(2112112121
22122212
221221212a b b b a a y a a x b b r r b b a a y b b x a a 解得
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧-+----
+=-+----+=])()[(2))((2])()[(2)
)((22122122
122122121221221221221b b a a r r b b b b y b b a a r r a a a a x
故垂足P 的坐标为
)]
)()[(2)
)((2,])()[(2))((2(2
122122122122121221221221221b b a a r r b b b b b b a a r r a a a a P -+----+-+----+
又),(111b a C ，),(222b a C ，所以
]
)()[(4)(24])()[(||2
122122
2122212222122122
1b b a a r r r r b b a a PC -+--+---+-= ]
)()[(4)(24])()[(||2122122
2122212222122122
2b b a a r r r r b b a a PC -+--+
-+-+-=
所以 2
1222122||||r r PC PC -=-
故垂足到两圆心距离的平方差等于相应两圆半径的平方差。

上面的结论，足可以说明直线l 与已知两圆的位置关系。

但是，结论比较抽象，具体直线l 在哪里？
两圆的位置关系有多种，当两圆位置关系不同时，直线l 与两圆有特定的位置关系。

定理二：若两圆相交，则直线l 为过两圆交点的直线。

设两圆1C 、2C 相交，点),(00y x 为两圆的任一交点，则
010*******=++++F y E x D y x
……①
020*******=++++F y E x D y x ……②
①－②，得0)()()(21021021=-+-+-F F y E E x D D 所以点),(00y x 为直线0)()()(:212121=-+-+-F F y E E x D D l 上的任意一点。

即直线0)()()(:212121=-+-+-F F y E E x D D l 为过两圆交点的直线。

定理三：若两圆相切（无论是外切还是内切），则直线l 为过两圆切点的切线。

设两圆1C 、2C 相切，点),(00y x 为两圆的切点，同理可说明此推论。

定理四：若两圆外离或内含，则直线l 与过两圆心的直线垂直，且垂足引两圆的切线长相等。

设两圆2
121211)()(:r b y a x C =-+-，2222222)()(:r b y a x C =-+-外离（或内含），
由定理可知直线l 与过两圆心的直线垂直，设垂足为P ，由2
1222122||||r r PC PC -=-，得
21212222||||r PC r PC -=-。

过点P 分别引两圆的切线，则切线长分别是2121||r PC -、
2222||r PC -，由21212222||||r PC r PC -=-可知切线长相等。

二、用定理解题
研究了上述问题后，对于解析几何上的某些问题特别是有关直线与圆的问题有很大的指导意义。

下面以几道解析几何题来说明。

（1）已知两圆0142:2
2
1=++-+y x y x C ，0424:2
2
2=+--+y x y x C ，则两圆公共弦所在直线方程为 ；
（2）已知两圆4)1()1(:2
2
1=-++y x C ，9)3()2(:2
2
1=++-y x C ，则过两圆切点的公切线方程为 ；
（3）已知两圆0445:2
2
1=++-+y x y x C ，0726:2
2
2=+-++y x y x C 外离，在两圆连心线上有一点P ，点P 引两圆的切线长相等，则过点P 且与两圆连心线垂直的直线方程为 ； 说明：第（1）题中，两圆的公共弦所在直线就是过两圆交点的直线。

一般的方法是：先由两圆的方程求出它们的交点坐标，然后由两点式求出过两圆交点的直线方程。

但是，这里两圆相交，如果根据推论一，可易得所求直线方程为0362=-+y x 。

第（2）题中，首先可由两圆的方程求出它们的切点坐标，然后由两圆的圆心坐标确定切线的斜率，由点斜式可求出过两圆切点的公切线方程。

但是，这里两圆外切，如果根据推论二，可易得所求直线方程为0343=--y x 。

第（3）题中，可设出所求直线方程的斜截式b kx y +=，先由所求直线与两圆心连线垂直确定斜率k ，再由点P 引两圆的切线长相等进而确定b 的值。

但是，这里两圆外离，如果根据推论三，易得所求直线方程为03611=+-y x 。

附：
1、本稿件适用高二
2、地址：广东省清远市第一中学 郭智君
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4、电话：0763—
5、电子邮件：。