2017-2018学年第二学期首都师范大学附属中学高二期末理科试卷理科无答案)

国都师大附中 2017－2018 学年第二学期期末考试
高二数学（理）
第 I 卷（共 40分）
一、选择题（本大题共
8 小题，每题
5 分，共 40 分。

在每题所列出的四个选项中，
只有一项为哪一项最切合题目要求的）
i 1.复数
1 i
A ．
1 1
i B ．
1 1
i
C ．
1 1 i D ．
1 1 i
2 2
2 2
2
2
2
2
2. 在极坐标系下，已知圆
C 的方程为
，则以下各点在圆 C 上的是
ρ 2cos θ A ． (1,
)
π
C ． (
π
D ．
(
π
B ． (1, )
2, 3
)
2,5
)
3
6
4 4
3.求直线 y
2x 3
与抛物线 y
x 2
所围成的图形面积
4
B.
5
C.
20
D.
23
A.
3
3
3
3
y
(3,9)
1
1
1
正视图
左视图
(-1,1)
x
俯视图
(第3题)
(
第 4题)
4.某三棱锥的三视图如上图所示，则该三棱锥的体积为
A ．
1
B ．
1
C ．
1
D ． 1
6
3
2
5．用数学概括法证明：
1 1
1 1 n n
N * , n 2 时，第二步证明由“ k 到
2 3
2 n 1
k 1 ”时，左端增添的项数是
k 1k k k
6. 如图，已知直线
y
kx m 与曲线 y f ( x) 相切于两
y
点，则 F ( x) f ( x)
kx 有
y=kx+m
y=f( x)
A ． 1 个极大值点， 2 个极小值点
B ． 2 个极大值点， 1 个极小值点
C ．3 个极大值点，无极小值点
o
x
D ． 3 个极小值点，无极大值点
7.若 a, b 是函数 f (x)
x 2
px q( p 0,q 0) 的两个不一样的零点，且 a,b, 2 这三个数可适
当排序后成等差数列，也可适合排序后成等比数列，则
p
q 的值等于 A ． 6
B ． 7
C ． 8
D ． 9
8.在棱长为 1 的正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中，点 P 1， P 2 分别是线段 AB ，BD 1（不包含端点）
上的动点，且线段 P P
A ADD
PP AB
1
2 平行于平面
1
1 ，则四周体 1 21 的体积的最大值是
A ．
1
B ．
1
C ．
1
D ．
1
24
12
6
2
第 II 卷（共 110 分）
二、填空题（本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分）
9. 向量 OA 对应的复数为 1 4i ，向量 OB 对应的复数为 3 6i ，则向量 AB 对应的复数
为
.
10. 右边的茎叶图记录了甲、乙两组各
5 名学生在一次英
甲组 乙组
语听力测试中的成绩 ( 单位 : 分 ). 从成绩不低于 10 分且不
9
9 3 2
1
5
8
超出 20 分的学生中随意抽取 3 名，恰有 2 名学生在乙组
8
7
4 2 4
的概率为.
11.若双曲
x 2
y 2
1 与直
y 3x 无交点， 离心率
e 的取 范 是 .
a 2
b 2
12.右表 出一个“三角形数 ”
. 已知每一列数成等差数列，从
1 第三行起，每一行数成等比数列，并且每一行的公比都相等，
4
1 ， 1
第 i
行第 j 列的数 a ij (i j N * ) ， a 等于
j , i ,
，
2 4
53
3 ，3，
3
a mn
____________(m 3).
4 8 16
1
⋯
13. 表达式 1
中 “⋯”即代表无穷次重复，它能够通 方程
1
1
1
1 5 1
=
.
1
x ，求得 x
2 . 似上述 程，
3 2 3 2
x
14. 函数
y
f ( x) 象上在不一样两点 A( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) 的切 斜率分 是
k A , k B ， 定
k A
k B
f (x) 在点 A 与 B 之 的 “弯
(A,B)
（ ABA 与 B 之 的距离） 叫作曲 y
AB
曲度” .
若函数 y
x 2 象上两点 A 与 B 的横坐 分
0， 1， ( A, B) ＝________；
A( x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) 曲 y
e x 上两点，且 x 1
x 2 1 ， ( A, B) 的取 范 是
__________________.
三、解答 . 本大 共 6 小 ，共
80 分. 解答 写出文字 明， 明 程或演算步
.
15. （本 13 分）
已知 a n 是一个公差大于 0 的等差数列，且 足
a 3 a 5 45 , a 2 a 6 14 .
（Ⅰ）求数列 { a n } 的通 公式；
（Ⅱ）若数列 b n 足：
b 1 b 2 b n
a n 1 (n
N *) ，求数列 { b n } 的前 n 和 .
2
2
n
2
2
16.（此题 12 分）
某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码试试错误，该银行卡将被锁定，小
王到银行取钱时，发现自己忘掉了银行卡的密码，可是能够确立该银行卡的正确密码是他
常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行试试 .若密码正确，则结束试试；不然持续试试，直至该银行卡被锁定.
( Ⅰ )求当日小王的该银行卡被锁定的概率；
( Ⅱ )设当日小王用该银行卡试试密码次数为X，求 X 的散布列和数学希望．
17．（本小题满分14 分）
在如下图的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB / / CD ，AB 2BC，ABC 60 ， AC FB．
（Ⅰ）求证：AC平面FBC；
（Ⅱ）求 BC 与平面 EAC 所成角的正弦值；
（Ⅲ）线段ED 上能否存在点Q ，使平面 EAC平面QBC？
证明你的结论．
18.（本小题满分14 分）
1 x
2 a ln x(a 0).
已知函数 f ( x)
2
（Ⅰ）若 a2, 求 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程；
（Ⅱ）求 f ( x) 在区间 [1,e] 上的最小值；
（ III）若 f (x) 在区间 (1,e) 上恰有两个零点，求 a 的取值范围.
19.（本小题满分 14 分）
已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴, 离心率为2, 且抛物线 y2 4 2 x 的焦点是椭圆M
2
的一个焦点 .
( Ⅰ) 求椭圆M的方程；
( Ⅱ ) 设直线 l 与椭圆M订交于 A, B 两点，以线段OA, OB 为邻边作平行四边形OAPB ，此中点 P 在椭圆 M 上，O为坐标原点.求点O到直线l的距离的最小值.
20．（本小题满分13分）
设知足以下两个条件的有穷数列a1, a2 ,, a n为 n(n2,3,4,) 阶“期望数列” ：
① a a
2a a 0 ；②
a1a2 a3a n1
.
13n
（Ⅰ）分别写出一个单一递加的3阶和 4 阶“期望数列” ；
（Ⅱ）若某2k 1(k N * ) 阶“期望数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（Ⅲ）记 n 阶“期望数列”的前k 项和为 S k ( k1,2,3, , n) ，
试证：（1） S k 1 ；n a
i
11
（ 2）
i2.
2i 12n。