2019高考数学(文科)专题突破(一本培养)讲义：第2部分 专题6 第11讲 函数的图象与性质Word版含答案

第11讲函数的图象与性质
高考统计·定方向
题型1函数的表示、图象及应用
■核心知识储备·
函数的图象
(1)由解析式确定函数图象．此类问题往往需要化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法．
(2)已知函数图象确定相关函数的图象．此类问题主要考查函数图象的变换(如平移变换、对称变换等)，要注意函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )，y ＝－f (x )，y ＝－f (－x )，y ＝f (|x |)，y ＝|f (x )|等的相互关系．
(3)借助动点探究函数图象．解决此类问题可以根据已知条件求出函数解析式后再判断函数的图象；也可采用“以静观动”，即将动点处于某些特殊的位置处考察图象的变化特征，从而作出选择．
■高考考法示例·
【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )
(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，
则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．
(1)D (2)⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，＋∞ [(1)法一：易得函数y ＝－x 4＋x 2＋2为偶函数，y ′＝－4x 3＋2x ＝－2x (2x ＋1)(2x －1)，令y ′>0，即2x (2x ＋1)(2x －1)<0，解
得x <－22或0<x <22，所以当y ′<0时，－22<x <0或x >22，所以函数y ＝－x 4
＋x 2＋2在－∞，－22，0，22上单调递增，在－22，0，22，＋∞上单调递减，故选D.
法二：令x＝0，则y＝2，排除A，B；令x＝1，y＝2而当x＝
2
2
时，y＝－
1 4＋1
2
＋2＝9
4
＞2，所以排除C.选D.
(2)由题意知，可对不等式分x≤0,0<x≤
1
2
，x>1
2
三段讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋1
2>1，解得x>－
1
4
，
∴－
1
4<x≤0.
当0<x≤1
2
时，原不等式为2x＋x＋1
2>1，显然成立．
当x>1
2
时，原不等式为2x＋2x－1
2>1，显然成立．
综上可知，x的取值范围是
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－1
4
，＋∞.]
[方法归纳]函数图象的判断方法,(1)根据函数的定义域判断图象的左右位
置，根据函数的值域判断图象的上下位置.
(2)根据函数的单调性，判断图象的变化趋势.
(3)根据函数的奇偶性，判断图象的对称性.
(4)根据函数的周期性，判断图象的循环往复.
(5)取特殊值代入，进行检验.
■对点即时训练·
1．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为()
D [利用导数研究函数y ＝2x 2－e |x |在[0,2]上的图象，再利用奇偶性判断． ∵f (x )＝2x 2－e |x |，x ∈[－2,2]是偶函数，又f (2)＝8－e 2∈(0,1)，故排除A ，B.设g (x )＝2x 2－e x ，则g ′(x )＝4x －e x .又g ′(0)＜0，g ′(2)＞0，∴g (x )在(0,2)内至少存在一个极值点，∴f (x )＝2x 2－e |x |在(0,2)内至少存在一个极值点，排除C.故选
D.]
2．(2018·烟台模拟)设f (x )＝⎩⎨⎧
x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1.
若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
C [当0＜a ＜1时，a ＋1≥1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∵f (a )
＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ，解得a ＝14或a ＝0(舍去)．
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6. 当a ≥1时，a ＋1≥2，
∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ，∴2(a －1)＝2a ，无解．综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6.]
3．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧
2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )
A ．(－∞，－1]
B ．(0，＋∞)
C ．(－1,0)
D ．(－∞，0)
D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，
结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1<0，2x <0，
2x <x ＋1
或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选
D.]
题型2 函数的性质及应用
■核心知识储备·
1．与函数的单调性有关的两个结论
(1)若f (x )在定义域上单调递增，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＜x 2；
若f (x )在定义域上单调递减，则f (x 1)＜f (x 2)⇔x 1＞x 2.
(2)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与函数y ＝f (u )，u ＝g (x )单调性的关系是：“同增异减”．
2．周期性的三个常用结论
对f (x )定义域内任一自变量的值x ：
(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ；
(2)若f (x ＋a )＝1f (x )
，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－
1f (x )，则T ＝2a .(a ＞0)．
3．与函数对称性有关的三条结论
(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b 2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )；
特例：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )．
(2)函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0； 函数y ＝f (x )关于点(0,0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)．
(3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；
y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y ＝f (x )关于(a,0)对称．
■高考考法示例·
【例2】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )
A ．－50
B ．0
C ．2
D ．50
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( )
A ．f (x )在(0,2)单调递增
B ．f (x )在(0,2)单调递减
C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称
D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称
(3)(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )(x ∈R )满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则 i ＝1m
x i ＝( )
A ．0
B ．m
C ．2m
D ．4m
(1)C (2)C (3)B [(1)法一：因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．因为f (x )是奇函数，所以函数f (x )的图象关于坐标原点(0,0)中心对称．数形结合可知函数f (x )是以4为周期的周期函数．因为f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f (0)＝0.因为f (1－x )＝f (1＋x )，所以当x ＝1时，f (2)＝f (0)＝0；当x ＝2时，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－2；当x ＝3时，f (4)＝f (－2)＝－f (2)＝
0.综上，可得f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.
法二：取一个符合题意的函数f (x )＝2sin πx 2，则结合该函数的图象易知数列
{f (n )}(n ∈N *)是以4为周期的周期数列．
故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (1)＋f (2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.故选C.
(2)f (x )的定义域为(0,2)．
f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )．
设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，
∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．
∴选项A ，B 错误．
∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )，
∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确．
∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0，
∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D 错误．
故选C.
(3)根据函数y ＝f (x )与y ＝|x 2－2x －3|的图象都关于直线x ＝1对称求解． ∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．
又y ＝|x 2－2x －3|＝|(x －1)2－4|的图象关于直线x ＝1对称，∴两函数图象的交点关于直线x ＝1对称．
当m 为偶数时，∑i ＝1
m
x i ＝2×m 2＝m ； 当m 为奇数时，∑i ＝1m x i ＝2×m －12＋1＝m .故选B.]。