初中数学七年级寒假班讲义10、复习

学员编号：年级：七年级课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：朱兴课程主题：复习授课时间： 2018年
学习目标复习
教学内容
练习
1．在数325
0,,,3.14159,7,2,
,932
π-中，无理数有 个； 2．16的四次方根是_____________，16的平方根是_____________， 3．78的整数部分是a ，小数部分是b ，则2a -b ＝________________.
4．如果实数x 满足2
1x x =-，那么x 的取值范围是__________________. 5．若2693a a a -+=-，则a 的取值范围
6．在直角ABC ∆中，90ACB ︒∠=，若345AC BC AB ===，，，则到点C 到AB 的距离
为 ；
7．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角的关系为 ； 8．如果一个角的两边分别与另一个角的两边互相垂直，那么这两个角（ ） A ．相等 B ．互补 C ．相等或互补 D ．以上都不对 9．如图，图中12∠∠与是同位角的是（ ）
A 、②③
B 、③④
C 、①②④
D 、②③④
10．下列说法正确的个数是（ ） ①两条线被第三条直线所截，同位角相等；
②在平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在平面中，过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④若两条直线都垂直于同一直线，那么这两条直线平行； ⑤若两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行；
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
参考答案：1、4； 2、2,2±±； 3、2478-； 4、0x <； 5、3a ≤； 6、12
5
； 7、相等或互补； 8、C ； 9、C ； 10、B ；
2
12
1
1
2
2
14
3
2
1
知识一、实数的概念
【知识梳理1】
无理数：无限不循环小数叫做无理数。

有理数：有限小数或无限循环小数称为有理数。

有限小数：特征一个最简分数的分母只含有因数2或5 无限小数分为无限循环小数和无限不循环小数
无限循环小数（纯循环小数和混循环小数）：纯循环小数的分母中没有2和5；混循环小数的分母中有2或5也有其他质因数 注意：
（一）任何一个有理数都可写成有限小数或者无限循环小数的形式，反之，任何有限小数或无限循环小数都是有理数
（二）对无理数的判断注意以下三点：
1、无理数是无限不循环小数，所以只能以四种形式出现 ①开方开不尽的数，如2,37等
②化简后含圆周率π的数。

“π”虽然是一个常数，但它是无限不循环小数，属无理数
③特定结构的数，如0.100 100 010 000 1……等 ④有些三角函数值
2、判断无理数要先化简，不能只看表面形式
3、一些除不尽的分数，如722，13
1
等，会误认为是无理数，但事实上分数都是有理数 【例题精讲】
例1：（1）_____无限不循环小数______叫做无理数，___有理数和无理数______统称为实数。

（2）将下列各数填在相应的大括号内
0，13
9
， 25， π-，0.21• ，⋅⋅⋅1010010001.0（相邻两个1之间0的个数依次加1），7，
3.1415926
有理数： 0，13
9
，0.21•，3.1415926
无理数： 25，π-，⋅⋅⋅1010010001.0（相邻两个1之间0的个数依次加1），7
非负数： 0，13
9
， 25，0.21• ，⋅⋅⋅1010010001.0（相邻两个1之间0的个数依次加1），7，
3.1415926
教法指导：为了避免漏填，应先将第一个数字完成，再进行第二个数字
【试一试】
下列说法中：①无限小数是无理数；②无理数是无限小数；③无理数的平方一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的。

正确的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 教法指导：重点理解概念
解析：本题答案是B ，其中 ②无理数是无限小数；④实数与数轴上的点是一一对应的。

是正确的． 对于 ①无限小数是无理数；这句话说得不全面，无限小数只不过是无理数的特征之一，还有一个最主要的就是，只有无限不循环的小数才是无理数，所以这句话不正确．
对于 ③无理数的平方一定是无理数；这句话说得也是错的，对于某些无理数，它的平方就是有理数，例如2，
7……等，所以这句话是错的． 那么正确的就是只有两个，所以选B ．
知识二、实数的运算
【知识梳理2】 实数运算的常用公式：
第一组：)0()(2≥=a a a ，a a =2 第二组：)0,0(≥≥⋅=b a b a ab ，)0,0(>≥=b a b
a b a 【例题精讲】 例2：计算：])2()2(3[)1.08(81
16232132
4
-+---⨯-÷--
解：2211
(410)(982)()3369
=-÷-⨯-++=-⨯-=原式
教法指导：实数的运算要提高准确率，必须按照运算顺序、运算律来做． 【试一试】 计算下列各题：
（1）228.21.2+ （2）
)4
3
3(12+
（3）222430-- （4）)13)(618(+-
教法指导：利用数字之间的特征，运用公式可化简运算，对于第（1）题可先提出20.7；对于第（2）题可将12先乘入算式；对于第（3）（4）可运用平方差公式化简运算． 解：（1）22222.1 2.80.734 3.5+=+=
（2）
312(3)36934
+
=+=
（3）223024(3024)(3024)54618--=-+-=-⨯=- （4）(186)(31)6(31)(31)26-+=-+= 例3：（1）223- （2）347+ 教法指导：本题根据学生情况选讲。

解：（1）222322122(2)(12)1221-=-+=-=-=- （2）222743(3)2232(32)32+=+⨯+=+=+ 【知识梳理3】
准确数、近似数以及精确度的定义
（1）准确数的定义：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数
（2）近似数的定义：与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）
（3）精确度的定义：近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求叫做精确度 有效数字以及近似数的计算
（1）有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数
字，叫做这个近似数的有效数字
（2）近似数的计算：在进行近似数计算时，中间过程中的近似数一般比指定的精确度要求多一
位，对最后所得结果按指定精确度要求取近似值 【例题精讲】
例4：下列近似数各精确到哪一个数位？各有几个有效数字？ （1）2000 （2）0.6180 （3）7.20万 （4）51010.5⨯ 教法指导：把握概念，重视差别
解：（1）精确到个位，有4个有效数字：2、0、0、0；
（2）精确到万分位，有4个有效数字：6、1、8、0； （3）精确到百位，有3个有效数字：7、2、0； （4）精确到千位，有3个有效数字：5、1、0． 【试一试】填空题：
（1）将320541保留三个有效数字得____________________； （2）410423.1⨯按四舍五入精确到千位是____________________； （3）=-0000512.0____________________． 解：（1）53.2110⨯；（2）31.410⨯；（3）55.1210--⨯
知识三、分数指数幂
【知识梳理4】
1.概念：11
(0),(0,,1 m m n
m
n
n
m n
m
n
a a a a
a m n n a
a
-=≥=
=
>>均为正整数,）
2.n
m a 与n m a
-
叫做分数指数幂，a 叫做底数
注意：当m 和n 互素时，n 为奇数时，底数a 可为负数 3.整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂 4.运算性质
有理数指数幂的运算性质：
()(),,s t s t s t s t
t
s st
t
t t
t t t
a a a a a a a a a a a
b a b b b
+-⋅=÷==⎛⎫
== ⎪⎝⎭（其中,,0,0s t a b >>为有理数）
注意：利用幂的运算性质进行运算，结果是分数指数幂，一般化成方根的形式 【例题精讲】
例5：计算：（1）4
181； （2）31
)8
1
(； （3）31)278(⨯； (4) 21
2182⨯ ；
教法指导：灵活运用一些特殊数（比如81,27,16,25等）的特点进行转化，进一步运用有理数幂的运算性质进行计算
解题方法：11144444
81(3)(3)
3⨯===；
1
1
1
333331111
()[()]()8222
⨯=== ；
11133
33
3
3
(827)(23)(23)
236⨯
⨯=⨯=⨯=⨯= ；
12
1111
22
2
2
2
28(28)(16)(4)4⨯=⨯===
例6：已知m 、n 是有理数，且07)523()25(=+-++n m ，求m 、n 的值． 解：∵07)523()25(=+-++n m
∴07325)2(=+++-n m n m ∵m 、n 是有理数 ∴⎩
⎨⎧=++=-073202n m n m
解得⎩
⎨⎧-=-=12n m
【试一试】1
设2的整数部分为a ，小数部分为b ，求2816b ab --的立方根． 解：由已知得1=a ，12-=b
则8)21)(12(8)2(88162-=+--=+-=--b a b b ab ∴2816b ab --的立方根是2- 【试一试】2
已知21a b =-，求1222+++b ab a 的值． 解：由已知得21=+b a
则221211)(12222=+=++=+++b a b ab a
知识四、相交线
【知识梳理4】
例7：如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A 、点
B 到A
C 的垂线段是线段AB ； B 、点C 到AB 的垂线段是线段AC C 、线段A
D 是点D 到BC 的垂线段； D 、线段BD 是点B 到AD 的垂线段
（2） 下列说法正确的有( )
①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
教法指导（1）垂线段的定义；线段AD 是点A 到BC 的垂线段
（2）垂线性质；在平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。

答案：（1）C （2）B
【试一试】已知：如图，在一条公路l 的两侧有A 、B 两个村庄.
<1>现在乡政府为民服务，沿公路开通公交汽车，并在路边修建一个公共汽车站P ，同时修建车站P 到A 、B 两个村庄的道路，并要求修建的道路之和最短，请你设计出车站的位置，在图中画出点P 的位置，(保留作图的痕迹)．并在后面的横线上用一句话说明道理． .
<2>为方便机动车出行，A 村计划自己出资修建一条由本村直达公路l 的机动车专用道路，你能帮助A 村节省资
D
C
B
A
金，设计出最短的道路吗？，请在图中画出你设计修建的最短道路，并在后面的横线上用一句话说明道理． .
教法指导：（1）两点之间，线段最短；
（2）联结直线外一点到直线上一点的所有线段中，垂线段最短。

例8：已知如图：（1）若ED，BC被AB所截，则∠1与是同位角。

（2）若ED，BC被AF所截，则∠3与是内错角。

（3）∠1 与∠3是AB和AF被所截构成的角。

（4）∠2与∠4是和被BC所截构成的角。

（5）∠1 与∠A是______和________被所截构成的角。

教法指导：注意三线八角的特征。

答案：（1）∠2 （2）∠4 （3）ED 内错角（4）AB AF 同位角（5）ED AF AB 同旁内角【试一试】
（1）如左图：直线AB、CD 被直线 AC 所截，所产生的内错角是 .
直线AD、BC 被直线 DC 所截，产生了角，它们是。

（2）如右图，∠1与∠3是直线_____与直线____被直线______所截形成的__________。

∠1与∠4是直线_____与直线____被直线______所截形成的_________。

答案：（1）∠2与∠4 内错角∠D与∠DCB （2）AB AD BD 同旁内角 AB CD BD 内错角知识五、平行线
【知识梳理5】
例9：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，交CD于点G，∠1=40°，求∠2的度数。

请完成下列解题过程。

解：因为EG平分∠AEF（已知），
所以∠AEF=2∠（），因为AB∥CD（已知），
2
E
A B
所以∠1=∠，（），
因为∠1=40°（已知），
所以∠AEG= （），
所以∠AEF= （），
因为∠AEF+∠2= （），
所以∠2= （）。

教法指导：注意应用判定两直线平行的各种方法，①平行线定义；②平行公理的推论；③平行线的判定公理和方法．
解：因为EG平分∠AEF（已知），
所以∠AEF=2∠AEG（角平分线的意义）
因为AB∥CD（已知），
所以∠1= ∠AEG（两直线平行，内错角相等）
因为∠1=40°（已知），
所以∠AEG=40°（等量代换）
所以∠AEF= 80 °（等式的性质）
因为∠AEF+∠2= 180°（平角的意义）
所以∠2= 100°（等式性质）。

【试一试】某驾驶员驾驶汽车在公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，这两次拐弯的角度可能是（）
（A）第一次向左拐300，第二次向右拐300
（B）第一次向右拐500，第二次向左拐1300
（C）第一次向右拐500，第二次向右拐1300
（D）第一次向左拐500，第二次向左拐1300
解析：根据题意以及各个选项的内容，画出示意图，如图：从图中的角度，由平行线的判定方法，可以看出，A、C、D三个选项中的前后行驶的方向线是平行的，但，C、D中后来的方向线中的方向是相反的，并不相同．故，只有A正确．
教法指导：单纯从文字方面去分析，很难判断出结果．若画出上述图形来分析，结果是显然的．例10：如下图所示，AB//CD
（1）若点E在图①中的位置，试探究∠BED与∠CDE、∠ABE三者之间的关系，并尝试解释；（2）若点E在图②位置，以上三角之间又有何关系？表示出来并解释；
（3）尝试探索点E除（1）（2）两种位置之外的一种情况，画出图形，并写出此种情况∠BED 与∠CDE∠ABE三者之间的关系。

（不需要解释）
教法指导：本题中图①②利用辅助线得以轻松解决，添加GF是平行线性质应用的一个体现，对于图①，由AB//GF//CD可知∠B=∠1，∠D=∠2，而∠BDE=∠1+∠2，即∠BDE=∠ABE+∠CDE；对于图②，由AB//GF//CD知，∠ABE+∠1=180°，从而∠ABE+∠BED+∠CDE=360°。

对于图°①②点E在直线AB和直线CD之间，除此之外，点E可以在AB上方，从而得到第（3）题的结果，同样运用平行线的性质不难得出
解：（1）如图①所示，过点E作FG//AB
FG//AB，AB//CD
∴AB//CD//FG
∵∠1=∠ABE，∠2=∠CDE
又∵∠1+∠2=∠BDE，故∠BED=∠ABE+∠CDE
（2）如图②所示，过点E作FG//AB
∵FG//AB，AB//CD
∴AB//CD//FG
∵∠1+∠ABE=180°，∠2+∠CDE=180°
∴∠1+∠2=360°-（∠ABE+∠CDE），即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE）
（3）点E在如图③所示的位置，其中∠ABE=∠CDE-∠BED
【试一试】如图所示，已知AB//CD，
（1）如图①∠B+∠E与∠BED相等吗？为什么？
（2）将图①改为图②，∠B、∠D、∠E间的关系如何？为什么？
（3）将图①改为图③，∠B、∠D、∠E、∠F间的关系如何？为什么？
（4）将图①改为图④，猜想∠B+∠E1+∠E2+……+∠E n-1 +∠D等于多少度？（不必证明）
教法指导：本题是开放性探索题，体现了由特殊到一般的归纳思想：第（1）（2）用了推理所谓方法作了严密论证，第（3）用同理即可得到结论，这样既简洁明了，又达到解题目的，第（4）则用归纳猜想得出结论即可。

解：（1）过点E作EP//AB
因为AB//CD，所以EP//CD，
所以∠B=∠BEP，∠D=∠DEP，
所以∠B+∠D=∠BED
（2）过点E作EP//AB，
由已知AB//CD，
所以EP//CD，
所以∠B+∠BEP=180°，∠D+∠DEP=180°
所以∠B+∠D+∠E=360°
（3）过点E作EP//AB，过点F作FQ//AB，
同理：∠B+∠BEF+∠EFD+∠D+ =3×180°=540°
（4）猜想：∠B+∠E1+∠E2+……+∠En-1+∠D =n×180°
1．若,0≤b 则2b b ---= ；
2．已知073=-++y x ,则y x +2的4次方根是 . 3．已知a 的整数部分为3，则正数a 的取值范围是 ； 4．如果0a <，那么2a -的正的平方根为（ ）
A 、a 的相反数
B 、a 的倒数
C 、是a 的倒数的相反数
D 、没有意义
5．如果实数a 、b 所对应的点的位置如图所示，那么c b b ab a -+++222可化简为___________。

6．试比较4
131215,3,2的大小，按从小到大顺序排列为____________________
7．已知1122
2
21
6,x x
x x
-
-=+
求的值为________ 8．如图，正方形ABCD 的面积为5，正方形CEFG 面积为3，那么GDE ∆的面积
是__________。

9．如图，在四边形ABCD 中，∠C ＋∠D ＝1800，∠A －∠B ＝400，则∠B ＝
10．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角
度是（ ）
（A ）第一次右拐50°，第二次左拐130° （B ）第一次左拐50°，第二次右拐50° （C ）第一次左拐50°，第二次左拐130° （D ）第一次右拐50°，第二次右拐50°
11．下列说法正确的是（ ）
（A ）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角； （B ）经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
E
F
D A
C
B G
B
D
A
C
（C ）如果两条直线被第三条直线所截，那么内错角相等； （D ）联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 12．下列说法正确的是（ ） A . 相等的角是对顶角
B . 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C ．平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行
D . 如果两个角的一边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角相等。

13．利用幂的性质计算：633282⨯⨯
14．计算：20221(12)(21)(12)()2--+-÷-⨯
15．计算：1
23
22131)3(27)23(-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+÷--
16．观察下列各式，
(1) 817120593.163≈ (2) 817120593.163-≈- (3) 17120593.1860003≈ (4) 1817120593.0006.03≈ 根据你发现的规律进行填空
（1）≈36000000_________________
（2）已知414.12≈，20 4.472≈，那么≈2.0________， ≈20000__________ （3）已知246.135≈，那么≈5300000_____ __，1246.05≈x ，则x =___ ___ 17．已知：∠AED =∠C ，∠DEF =∠B ，1(3-20)2(540)x x ∠=︒∠=+︒，，
求∠1和∠2的度数。

18．已知：21∠=∠⊥⊥，，BC EF BC AD ，判断DG 与BA 的位置关系，并说明理由。

1、2b ；
2、2±；
3、916a ≤<；
4、C ；
5、a c --；
6、1113
2
4
235<<；7、62； 8、153
2
-； 9、70°；10、B ； 11、D ； 12、C ； 13、7
3
2； 14、
1
2
； 15、2-；16、（1）181.7120593， （2）0.4472，141.4， （3）12.46，0.00003；17、∠1=40°，∠2=140°； 18、DG ∥BA ，证明略。

【巩固练习】
1．下列各式中, x 的取值范围是x ≥0的是 ( )
(A ) 3x
(B ) 02=+x x (C ) 1=x
x
(D ) 21
x
2．当a _______时，a -有意义．
3．计算：()()0
4
33
23
1121165.02278⎪⎭
⎫
⎝⎛-+÷-+--
⎪⎭
⎫
⎝⎛-
4．如图，实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示，试化简：2()||||a b c b a c +---+
2
1
A
B
C
D E
G
F
21
G F
D
A B
C
E c
b
a
O
5．如图，点A 、D 、C 、F 四个点同在一条直线上，∠F =∠1，∠B =∠E ，且AB ⊥AF ，试说明DE ⊥AF
6.阅读下列解题过程，回答下列问题： ()(
)()()
2
2
18787
===87
8+78+78+787
----(
)(
)()()
2
2
1
76
76
==
=767+6
7+6
7+6
76----
（1） 观察上面解题过程，请直接写出
1
1
n n ++的结果：___________
（2） 利用上述解法化简下列式子：
11111
......122334989999100++++++++++
7．如图，若DH ∥EG ∥BC ，且DC ∥EF ，则该图中与1∠相等的角（不包括1∠）的个数是（ ）
A . 3个
B . 4个
C . 5个
D . 6个
8．如图，正方形ABCD 和正方形BEFG 两个正方形的面积分别为10和3，那么阴影部分的
面积是_________.
9．如图，AB ∥CD ，FN ⊥AB ，垂足为点O ，EF 与CD 交于点G ， 若∠1=30°， 则∠2= ；
12
H
C
D E
F
A B 1
A
C F
B G
E
H
D
（第11题）
E
A
B
D C
F G
2
1O B
A
D
C N
F
E
F C D E B A F E D C B A F C D E B A 10．在直线AB 上任取一点O ，过点O 作射线,OC OD 、使OC OD ⊥，若30AOC ︒∠=，则BOD ∠的
度数为 ；
11．如图①是长方形纸带，将纸带沿EF 折叠成图②，再沿BF 折叠成图③，若20DEF ︒∠=，求图
③中CFE ∠的度数；
图① 图② 图③ 参考答案： 1、D ； 2、0a ≤； 3、4
3
-
；4、0； 5、略；6、（1）1n n +-； （2）9
7、C ； 8、30；9、120；10、60°或120°；11、120o ；。