四川省广元市高考数学二模试卷(理科).docx

高中数学学习材料
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2016年四川省广元市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}，则A∩B=（）
A．（﹣3，1] B．（﹣3，1）C．[1，2）D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）
2．若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则z2=﹣1的θ值可能是（）
A．B．C．D．
3．已知向量=（2x+1，3），=（2﹣x.1），若∥，则实数x的值等于（）
A．﹣B．C．1 D．﹣1
4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）
A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛
5．有四个关于三角函数的命题：
P1：∃x∈R，sin2+cos2=；
P2：∃x、y∈R，sin（x﹣y）=sinx﹣siny；
P3：∀x∈[0，π]，=sinx；
P4：sinx=cosy⇒x+y=．
其中假命题的是（）
A．P1，P4B．P2，P4C．P1，P3D．P2，P3
6．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）
A． B．C．D．
7．若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则+的最小值为（）
A．B．C．3D．
8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+m的最小值是0，最大值是4，最小正周期是，其图
象的一条对称轴是x=，则函数f（x）的解析式应为（）
A．f（x）=Asin（4x+）B．f（x）=2sin（2x+）+2
C．f（x）=sin（4x+）+2 D．f（x）=2sin（4x+）+2
9．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线x2=y﹣1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）
A．5 B．C．D．
10．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）
A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.
11．若（1﹣2x）2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016（x∈R），则+++…+=______．
12．3名医生和6名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有______种．
13．执行如图程序框图，若输入n的值为9，则输出的S值为______．
14．对于n∈N*，将n表示为n=a0×2k+a1×2k﹣1+a2×2k﹣2+…+a k
×21+a k×20，当i=0时，
﹣1
a1=1，当1≤i≤k时，a1为0或1，记I（n）为上述表示中，a1为0的个数，例如5=1×22+0×21+1×20，故I（5）=1，则I（65）=______．
15．某同学在研究函数f（x）=（x∈R）时，得到一下四个结论：
①f（x）的值域是（﹣1，1）；
②对任意x∈R，都有＞0；
③若规定f1（x）=f（x），f n
（x）=f（f n（x）），则对任意的n∈N*，f n（x）=；
+1
④对任意的x∈[﹣1，1]，若函数f（x）≤t2﹣2at+恒成立，则当a∈[﹣1，1]时，t≤﹣2或t≥2，
其中正确的结论是______（写出所有正确结论的序号）．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前
n项的和为S n，且．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．
17．已知函数f（x）=4sinxcos（x+）+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
=，（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=2，a=3，S
△ABC
求b2+c2的值．
18．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：
试根据图表中的信息解答下列问题：
（I）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；
（II）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70，80）分数段的人数X的分布列和数学期望．
19．如图，正方形ABCD的边长为，且对角线AC的中点为O，E为AD的中点，将△ADC沿对角线AC折起得平面ADC⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：平面EOB⊥平面AOD；
（Ⅱ）求平面EOB与平面BCD所成二面角的余弦值．
20．已知直线Ax+By+C=0的方向向量为（B，﹣A），现有常数m＞0，向量=（0，1），向
量=（m，0），经过点A（m，0）以λ+为方向向量的直线与经过点B（﹣m，0），以λ
﹣4为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．
（Ⅰ）求点P的轨迹E；
（Ⅱ）若m=2，F（4，0），问是否存在实数k使得过点F以k为斜率的直线与轨迹E交
=（O为坐标原点）？若存在，求出k的值；若不存在，于M，N两点，并且S
△OMN
试说明理由．
21．设f（x）=e x﹣a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值．
（2）设g（x）=f（x）+，且A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．
2016年四川省广元市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.
1．已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}，则A∩B=（）
A．（﹣3，1] B．（﹣3，1）C．[1，2）D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）
【考点】交集及其运算．
【分析】求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．
【解答】解：由x2﹣4x+3≥0，得：x≤1或x≥3．
所以B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}={x∈R|x≤1或x≥3}，
又A={x∈R|﹣3＜x＜2}，
所以A∩B={x∈R|﹣3＜x＜2}∩{x∈R|x≤1或x≥3}={x|﹣3＜x≤1}．
故选A．
2．若z=cosθ+isinθ（i为虚数单位），则z2=﹣1的θ值可能是（）
A．B．C．D．
【考点】复数相等的充要条件．
【分析】先求出Z2，再利用复数相等的概念得到三角函数的等式，将答案代入验证即可．【解答】解：z=cosθ+isinθ，所以Z2=cos2θ+2icosθsinθ﹣sin2θ=﹣1．
所以，将答案选项中的数值代入验证知
D符合．
故选D
3．已知向量=（2x+1，3），=（2﹣x.1），若∥，则实数x的值等于（）
A．﹣B．C．1 D．﹣1
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】根据向量平行的坐标表示，列出方程，求出x的值．
【解答】解：∵向量=（2x+1，3），=（2﹣x.1），且∥，
∴2x+1﹣3（2﹣x）=0
解得x=1．
故选：C．
4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r ，则r=8，
解得r=
，
故米堆的体积为××π×（）2×5≈
， ∵1斛米的体积约为1.62立方，
∴
÷1.62≈22，
故选：B ．
5．有四个关于三角函数的命题：
P 1：∃x ∈R ，sin 2+cos 2=；
P 2：∃x 、y ∈R ，sin （x ﹣y ）=sinx ﹣siny ；
P 3：∀x ∈[0，π]， =sinx ；
P 4：sinx=cosy ⇒x +y=
．
其中假命题的是（ ）
A ．P 1，P 4
B ．P 2，P 4
C ．P 1，P 3
D ．P 2，P 3
【考点】四种命题的真假关系；三角函数中的恒等变换应用． 【分析】P 1：同角正余弦的平方和为1，显然错误； P 2：取特值满足即可；
P 3将根号中的式子利用二倍角公式化为平方形式，再注意正弦函数的符号即可． P 4由三角函数的周期性可判命题错误．
【解答】解：P 1：∀x ∈R 都有sin 2+cos 2=1，故P 1错误； P 2：x=y=0时满足式子，故P 2正确；
P 3：∀x ∈[0，π]，sinx ＞0，且1﹣cos2x=2sin 2x ，所以
=sinx ，故P 3正确；
P4：x=0，，sinx=cosy=0，故P4错误．
故选A．
6．函数f（x）=（x﹣）cosx（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）
A． B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】先根据函数的奇偶性排除AB，再取x=π，得到f（π）＜0，排除C．
【解答】解：f（﹣x）=（﹣x+）cos（﹣x）=﹣（x﹣）cosx=﹣f（x），
∴函数f（x）为奇函数，
∴函数f（x）的图象关于原点对称，故排除A，B，
当x=π时，f（π）=（π﹣）cosπ=﹣π＜0，故排除C，
故选：D．
7．若直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，则+的最小值为（）
A．B．C．3D．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由已知直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）经过圆心（2，1），从而a+b=1，由此利用基
本不等式性质能求出+的最小值．
【解答】解：∵直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣4x﹣2y﹣8=0的周长，∴直线ax+2by﹣2=0（a，b＞0）经过圆心（2，1），
∴2a+2b﹣2=0，即a+b=1，
∵a＞0，b＞0，
∴+=（a+b）（+）=++1
=
≥
==．
∴+的最小值为．
故选：B．
8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+m的最小值是0，最大值是4，最小正周期是，其图
象的一条对称轴是x=，则函数f（x）的解析式应为（）
A．f（x）=Asin（4x+）B．f（x）=2sin（2x+）+2
C．f（x）=sin（4x+）+2 D．f（x）=2sin（4x+）+2
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由图象的对称性求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）+m的最小值是0，最大值是4，
∴A==2，m=2．
∵函数的最小正周期是=，∴ω=4．
∵其图象的一条对称轴是x=，∴4•+φ=kπ+，求得φ=kπ﹣，k∈Z，
∴可取φ=，f（x）=2sin（4x+）+2，
故选：D．
9．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线x2=y﹣1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）
A．5 B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】可设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=x，由题意可得x2﹣
x+1=0有两个相等的实数解，运用判别式为0，可得b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．
【解答】解：可设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y=x，
由渐近线与抛物线x2=y﹣1只有一个公共点，
可得x2﹣x+1=0有两个相等的实数解，
即有△=﹣4=0，
即b=2a，可得c==a，
即有e==．
故选：C．
10．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）
A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 【考点】函数的值；不等关系与不等式．
【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．
【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R 上单调递增，
分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a ＜1．
同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）
=，g（b）=0，∴．
∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，
f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．
∴g（a）＜0＜f（b）．
故选A．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.
11．若（1﹣2x）2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016（x∈R），则+++…+=﹣1．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】在所给的等式中，令x=0，可得a0=1；再令x=，可得a0++++…+=0，
从而求得要求式子的值．
【解答】解：在（1﹣2x）2016=a0+a1x+a2x2+…+a2016x2016（x∈R）中，
令x=0，可得a0=1，
令x=，可得a0++++…+=0，故， +++…+=﹣1，
故答案为：﹣1．
12．3名医生和6名护士被分配到三所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有540种．
【考点】组合及组合数公式．
【分析】根据分步计数原理知首先为第一个学校安排医生和护士，再为第二个学校安排医生和护士，为第三个学校安排医生和护士，根据分步计数原理得到结果．
【解答】解：为第一个学校安排医生和护士有C31C62种结果，
为第二个学校安排医生和护士有C21C42种结果，
为第三个学校安排医生和护士有C11C22，
根据分步计数原理知共有C31C62C21C42C11C22=540，
故答案为：540．
13．执行如图程序框图，若输入n的值为9，则输出的S值为1067．
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=10时不满足条件k≤n，退出循环，输出S的值为1067．
【解答】解：模拟执行程序，可得n=9，k=1，S=0
满足条件k ≤n ，S=3，k=2 满足条件k ≤n ，S=9，k=3 满足条件k ≤n ，S=20，k=4 满足条件k ≤n ，S=40，k=5 满足条件k ≤n ，S=77，k=6 满足条件k ≤n ，S=147，k=7 满足条件k ≤n ，S=282，k=8 满足条件k ≤n ，S=546，k=9 满足条件k ≤n ，S=1067，k=10
不满足条件k ≤n ，退出循环，输出S 的值为1067． 故答案为：1067．
14．对于n ∈N *，将n 表示为n=a 0×2k +a 1×2k ﹣1+a 2×2k ﹣2+…+a k ﹣1×21+a k ×20，当i=0时，a 1=1，当1≤i ≤k 时，a 1为0或1，记I （n ）为上述表示中，a 1为0的个数，例如5=1×22+0×21+1×20，故I （5）=1，则I （65）= 5 ． 【考点】进行简单的合情推理．
【分析】由题分析可知将n 表示成a 0×2k +a 1×2k ﹣1+a 2×2k ﹣2+…+a k ﹣1×21+a k ×20，实际是将十进制的数转化为二进制的数，易得65=1×26+0×25+0×24+0×23+0×22+0×21+1×20，通过I （n ）的意义即得结论．
【解答】解：根据题意，65=1×26+0×25+0×24+0×23+0×22+0×21+1×20， ∴I （65）=5， 故答案为：5．
15．某同学在研究函数f （x ）=（x ∈R ）时，得到一下四个结论：
①f （x ）的值域是（﹣1，1）；
②对任意x ∈R ，都有
＞0；
③若规定f 1（x ）=f （x ），f n +1（x ）=f （f n （x ）），则对任意的n ∈N *，f n （x ）
=；
④对任意的x ∈[﹣1，1]，若函数f （x ）≤t 2﹣2at +恒成立，则当a ∈[﹣1，1]时，t ≤﹣2或t ≥2，
其中正确的结论是 ①②③ （写出所有正确结论的序号）．
【考点】命题的真假判断与应用；函数的值域；函数单调性的性质． 【分析】①分x ＞0与x ≤0讨论，可得函数f （x ）的值域是（﹣1，1），从而可判断①； ②由①的分析可知，函数在每一分段上单调递增，从而可判断②；
③依题意，可求得f 2（x ）=f （f 1（x ））=
，f 3（x ）=f （f 2（x ））=
…，利用
归纳法可判断③；
④利用表达式恒成立转化函数最值恒成立，利用变量转化法进行i 区就即可．
【解答】解：∵，∴函数f （x ）是奇函数，当x ＞0时，f （x ）
==∈（0，1）
知当x ＜0时，f （x ）∈（﹣1，0）x=0时，f （x ）=0 ∴f （x ）∈（﹣1，1），即函数的值域为（﹣1，1）故①正确；
②若对任意x ∈R ，都有
＞0，则等价为函数f （x ）为增函数，
∵当x ＞0时，f （x ）=，则y=为减函数，y=1+为减函数，则f （x ）=，
∵f （x ）是奇函数，∴f （x ）在（﹣∞，+∞）上为增函数，故②正确， ③∵f 1（x ）=f （x ），f n （x ）=f （f n ﹣1（x ）），
∴f 2（x ）=f （f 1（x ））
==
，f 3（x ）=f （f 2（x ））
==
…
∴f n （x ）=
对任意的n ∈N *恒成立，即③正确；
④对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）为增函数，∴函数的最大值为f （1）=，
要使函数f （x ）≤t 2﹣2at +恒成立，
即t 2﹣2at +≥，即t 2﹣2at ≥0， 设h （a ）=﹣2ta +t 2， 若a ∈[﹣1，1]时，
则
，
即，即
h （1）=﹣2ta +t 2，t ≤﹣2或t=0，故④错误， 故答案为：①②③
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3，a 5是方程x 2﹣14x +45=0的两根，数列{b n }的前
n 项的和为S n ，且
．
（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（Ⅱ）记c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．
【分析】（Ⅰ）由已知可得，且a5＞a3，联立方程解得a5，a3，进一步求出数列{a n}通项，数列{b n}中，利用递推公式
（Ⅱ）用错位相减求数列{c n}的前n和
【解答】解：（Ⅰ）∵a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，且数列{a n}的公差d＞0，
∴a3=5，a5=9，公差．
∴a n=a5+（n﹣5）d=2n﹣1．
又当n=1时，有
∴
当，∴．
∴数列{b n}是首项，公比等比数列，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则（1）
∴=（2）
（1）﹣（2）得：=
化简得：
17．已知函数f（x）=4sinxcos（x+）+1．
（1）求f（x）的最小正周期；
=，（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=2，a=3，S
△ABC
求b2+c2的值．
【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．
【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（2x+），由周期公式可得；
（2）由已知条件和（1）的结果可得A=，再由面积公式整体可得bc，代入a2=b2+c2﹣2bccosA整体可得．
【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=4sinxcos（x+）+1
=4sinx（cosx﹣sinx）+1=2sinxcosx﹣2sin2x+1
=sin2x+cos2x=2sin（2x+）
∴f（x）的最小正周期T==π；
（2）∵f（A）=2sin（2A+）=2，
∴sin（2A+）=1，2A+=，解得A=，
=bcsinA=bc=，∴bc=4
又S
△ABC
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，
代入数据可得32=b2+c2﹣2×4×，
解得b2+c2=21．
18．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：
试根据图表中的信息解答下列问题：
（I）求全班的学生人数及分数在[70，80）之间的频数；
（II）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70，80），[80，90）和[90，100]分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于[70，80）分数段的人数X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；茎叶图．
【分析】（I）由茎叶图可知，分数在[50，60）上的频数为4人，频率，参赛人数，从而可得结论；
（II）确定被抽中的成绩位于[70，80）分数段的学生人数X所有取值，求出相应概率，即可求分布列与期望．
【解答】解：（I）由茎叶图可知，分数在[50，60）上的频数为4人，频率为0.008×10=0.08，
参赛人数为=50人，分数在[70，80）上的频数等于50﹣（4+14+8+4）=20人．
（II）按分层抽样的原理，三个分数段抽样数之比等于相应频率之比．
又[70，80），[80，90）和[90，100]分数段频率之比等于5：2：1，由此可抽出样本中分数在[70，80）的有5人，分数在[80，90）的有2人，分数在[90，100]的有1人．
从中任取3人，共有种不同的结果．
被抽中的成绩位于[70，80）分数段的学生人数X所有取值为0，1，2，3．
它们的概率分别是：P（X=0）==，P（X=1）==，
P（X=2）==，P（x=3）==．
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∵EX=0×+1×+2×+3×=．
19．如图，正方形ABCD的边长为，且对角线AC的中点为O，E为AD的中点，将△ADC沿对角线AC折起得平面ADC⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：平面EOB⊥平面AOD；
（Ⅱ）求平面EOB与平面BCD所成二面角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）推导出DO⊥AC，DO⊥BO，BO⊥平面ADC，由此能证明平面EOB⊥平面AOD．
（Ⅱ）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面EOB与平面BCD所成二面角的余弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）因为平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，
又AC的中点为O，所以DO⊥AC，
∴DO⊥平面ABC，又BO⊂平面ABC，∴DO⊥BO，
又BO⊥AC，DO∩AC=O，∴BO⊥平面ADC，
又BO⊂平面EOB，∴平面EOB⊥平面AOD．
解：（Ⅱ）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（0，﹣1，0），D（0，0，1），E（0，﹣，），B（1，0，0），
C（0，1，0），
=（0，﹣），=（1，0，0），=（1，0，﹣1），=（0，1，﹣1），
设平面EOB的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（0，1，1），
设平面BDC的法向量=（a，b，c），
则，取a=1，得=（1，1，1），
设平面EOB与平面BCD所成二面角的平面角为θ，
则cosθ===，
∴平面EOB与平面BCD所成二面角的余弦值为．
20．已知直线Ax+By+C=0的方向向量为（B，﹣A），现有常数m＞0，向量=（0，1），向
量=（m，0），经过点A（m，0）以λ+为方向向量的直线与经过点B（﹣m，0），以λ
﹣4为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．
（Ⅰ）求点P的轨迹E；
（Ⅱ）若m=2，F（4，0），问是否存在实数k使得过点F以k为斜率的直线与轨迹E交
=（O为坐标原点）？若存在，求出k的值；若不存在，于M，N两点，并且S
△OMN
试说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）推导出直线AP的方程为y=（x﹣m），直线NP的方程为y=﹣（x+m），
联立方程组得+=1，由此能求出点P的轨迹E．
（2）轨迹E的方程为，过点F（4，0）以k为斜率的直线的方程为y=k（x﹣4），联立，得（1+5k2）x2﹣40k2x+80k2﹣20=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式能求出不存在实数k使得过点F以k为斜率的直线与轨迹E
=（O为坐标原点）．
交于M，N两点，并且S
△OMN
【解答】解：（Ⅰ）∵常数m＞0，向量=（0，1），向量=（m，0），
经过点A（m，0）以λ+为方向向量的直线与经过点B（﹣m，0），以λ﹣4为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R．
∴λ+=（m，λ），λ﹣4=（λm，﹣4），
∴直线AP的方程为y=（x﹣m），①，直线NP的方程为y=﹣（x+m），
联立①②，消去λ，得：，即+=1，
故当m=2时，轨迹E是以（0，0）为圆心，以2为半径的圆，其方程为：x2+y2=4．
当m＞2时，轨迹E是以原点为中心，以（，0）为焦点的椭圆．
当0＜m＜2时，轨迹E是以原点为中心，以（0，）为焦点的椭圆．
（2）∵m=2，F（4，0），
∴轨迹E是以原点为原心，以（±4，0）为焦点，长半轴为2的椭圆，
∴轨迹E的方程为，
过点F（4，0）以k为斜率的直线的方程为y=k（x﹣4），
联立，得（1+5k2）x2﹣40k2x+80k2﹣20=0，
△＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，
|MN|==，
O到直线y=k（x﹣4）的距离d=，
=（O为坐标原点），
∵S
△OMN
===，
∴S
△OMN
整理，得22k4+7k2+1=0，
△=49﹣88＜0，∴22k4+7k2+1=0无解，
=
∴不存在实数k使得过点F以k为斜率的直线与轨迹E交于M，N两点，并且S
△OMN
（O为坐标原点）．
21．设f（x）=e x﹣a（x+1）．
（1）若a＞0，f（x）≥0对一切x∈R恒成立，求a的最大值．
（2）设g（x）=f（x）+，且A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2）是曲线y=g（x）上任意两点，若对任意的a≤﹣1，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围；
（3）求证：1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．
【分析】（1）f（x）≥0对一切x∈R恒成立，等价于f（x）min≥0，利用导数可得最小值；（2）设x1，x2是任意的两实数，且x1g（x1）﹣mx1，令函数F（x）=g（x）﹣mx，则F（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，
F′（x）=g′（x）﹣m≥0恒成立，分离出参数m后转化为求函数最值即可；
（3）由（1）知e x≥x+1，取x=，i=1，3，…，2n﹣1，得1﹣，即
，累加后再进行适当放缩，可证明；
【解答】解：（1）∵f（x）=e x﹣a（x+1），∴f′（x）=e x﹣a，
∵a＞0，f′（x）=e x﹣a=0的解为x=lna，
∴f（x）min=f（lna）=a﹣a（lna+1）=﹣alna，
∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立，
∴﹣alna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，即a max=1．
（2）设x1，x2是任意的两实数，且x1＜x2，
则＞m，故g（x2）﹣mx2＞g（x1）﹣mx1，
∴不妨令函数F（x）=g（x）﹣mx，则F（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，
∴F′（x）=g′（x）﹣m≥0恒成立，
∴对任意的a≤﹣1，x∈R，m≤g′（x）恒成立，
﹣a=
﹣a+2=，
故m≤3；
（3）由（1）知e x≥x+1，取x=，i=1，3，…，2n﹣1，得1﹣，
即，
累加得：
=
，
∴，
故存在正整数a=1．使得1n+3n+…+（2n﹣1）n＜．
2016年10月4日。