3.1.1、3.1.2变化率导数概念

思考
f ( x2 ) f ( x1 ) 观察函数f(x)的图象平均变化率 x2 x1
表示什么?
y
f (x2)
y=f (x)
B
直线AB的斜率
f (x2)-f (x1)
f (x1)
A
x 2 -x 1
o
x1
x2
x
思考
y
y f x
f x 2 f x 1
A B
思考 观察函数 f x 的图象图1.1.1, 平均 y f x2 f x1 x x2 x1 表示什么?
瞬时速度
思考： ⑴如何求瞬时速度？ ⑵lim是什么意思？
h(2 t ) h(2) lim 13.1 t 0 t
在局部以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度 的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
在其下面的条件下求右面的极限值。
⑶运动员在某一时刻ｔ0的瞬时速度如何表示?
65 h( ) h(0) 49 v 0( s / m) 65 0 49
65 0t 49
O t 65 65
98 49
t
虽然运动员在 这段时间里的平均 速度为 0(s / m) ，但实际情况是运动员仍然 运动，并非静止，可以说明用平均速度不 能精确描述运动员的运动状态．
在例1中：对于函数
类似的，用y表示f ( x2 ) f ( x1 )，即y f ( x2 ) f ( x1 )
所以，平均变化率可以表示为：
y f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x x2 x1 x
理解
y f ( x2 ) f ( x1 ) x x2 x1
当△t = – 0.01时,
当△t = – 0.001时, 当△t = –0.0001时,
v 4.9t 13.1
当△t = 0.01时, 当△t =0.001时, 当△t =0.0001时,
v 13.051 v 13.0951 v 13.09951 v 13.099951 v 13.0999951
平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋
势.
如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?
2
当Δt趋近于0时,平均速度有 什么变化趋势?
h(t ) 4.9t 6.5t 10
△t<0时, 在[ 2+△t, 2 ]这段时间内 △t>0时, 在[2, 2 +△t ]这段时内
v 4.9t 13.1
如果把半径r表示为体积V的函数, 那么 3V r V 3 . 4
当空气容积V从0增加到1 L时, 气球半径增加了 r 1 r 0 0.62cm , r 1 r 0 气球的平均膨胀率为 0.62 dm / L . 1 0 类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了r 2 r 1 0.16dm , r 2 r 1 气球的平均膨胀率为 0.16 dm / L . 2 1 可以看出, 随着气球体积逐渐变大, 它的平均膨 胀率逐渐变小了.
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对 于另一个变量变化的快慢程度．
问题1 气球膨胀率
在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢?
我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是V r r , 3
一差、二比、三极限
典例分析
题型二：求函数在某处的导数
例2. (1)求函数y=3x2在x=1处的导数. (2)求函数f(x)=-x2+x在x=-1附近的平均 变化率，并求出在该点处的导数． (3)质点运动规律为s=t2+3，求 质点在t=3的瞬时速度.
计算区间 2 t , 2 和区间 2, 2 t 内平均速度v, 可以得到如下表格.
我们先考察ｔ＝2附近的情况。 任取一个时刻2＋△ｔ，△ｔ是 时间改变量，可以是正值，也 可以是负值，但不为0. 当△ｔ＜0时，在2之前； 当△ｔ＞0时，在2之后。
o △ｔ＜0时 2＋△ｔ
2
t △ｔ＞0时 2＋△ｔ
3.1.1变化率问题
高二数学 选修1-1
第三章
导数及其应用
创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在 数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分， 微积分的创立与自然科学中四类问题的处理直接相关： 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体 在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变 化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
……
v 13.149 v 13.1049 v 13.10049 v 13.100049
△t = – 0.00001, △t = – 0.000001,
△t = 0.00001,
△t =0.000001,
v 13.1000049
……
思考：当趋近于0时，平均速度又怎样的变化势？
ｔ ｈ ０ ｔ－ｈ ０ ｔ＋ lim t 0 ｔ
ｘ ２、函数ｆ 在ｘ＝ｘ处的瞬时变化率怎么表示？ ０
０ ０ ｆｘ＋ｘ－ｆｘ lim x 0 ｘ
我们称它为函数 y＝f x 在x＝x 0 处的导数， 记作： f x 0 或y x＝x 0
f x０＋x －f x０ y 即：f x 0 ＝ lim ＝ lim x 0 x x 0 x
(1)解： △y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2 (2)解： △y=f (x+△x)- f (x) =2△x · x+(△x )2
y 4 2 x 2
y 2x x (x) 2 x x 2 x x
练习
1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临 近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( A.3 B . 3Δx-(Δx)2
1、x是一个整体符号, 而不是与x相乘.
y 2、式子中△x 、△ y 的值可正、可负，但 x 的△x值不能为0， △ y 的值可以为0
3、若函数f (x)为常函数时， △ y =0
4、变式:
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x2 x1 x
在例2中，高度h关于时间t的导数是运动员的 瞬时速度； 在例1中，我们用的是平均膨胀率，那么半径r 关于体积v的导数是气球的瞬时膨胀率
由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:
(1)求函数的增量 y f ( x0 x ) f ( x0 );
f ( x 0 x ) f ( x0 ) y ( 2)求平均变化率 ; x x y ( 3)取极限，得导数 ( x0 ) lim f . x 0 x 注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负 . 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.
f (x0 Δx) f ( x0 ) f ( x0 ) lim . x 0 x
1. f ( x0 )与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同。 2. f ( x0 )与x的具体取值无关。
3.瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称。
导数的作用：
导数可以描绘任何事物的瞬时变化率
结论：当趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从 大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定 的值-13.1.
从物理的角度看, 时间间隔 | t | 无限变小时, 平均 速度v就无限趋近于t 2时的瞬时速度因此, 运动员在 . t 2时的瞬时速度是 13.1m / s. h2 t h2 为了表述方便 我们用lim , 13.1 t 0 t 表示"当t 2, t 趋势近于0时, 平均速度v 趋近于确 定值 13.1". h2 t h2 我们称确定值 13.1是 当t趋近于0时的极限. t
０ ０ ｆｘ＋ｘ－ｆｘ １、函数的平均变化率怎么表示？ ｘ
思考：
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
或 y | x x , 即
0
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x 0 x x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )
思考 当空气的容量从 1增加到V2时, 气球的平 V r r V2 r V1 均膨胀率是多少 ? V V2 V1
问题2 高台跳水 人们发现 , 在高台跳水运动中 运动员相对于水 , 面的高度 h 单位 : m 与起跳后的时间t 单位 : s t 4.9t 2 6.5t 10. 存在函数关系 h 如果我们用运动员某段 时间内的平均速度描 v 述其运动状态 那么 ,
2
)D D . 3-Δx
C . 3-(Δx)2
2.质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+t)中 相应的平均速度为( A ) A. 6+t B. 9 6+t+ t C.3+t D.9+t
3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率. △x+2x0
问题 3 在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不
1 运动员在这段时间里是静止的吗 ? 2 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
状态有什么问题吗 ?
h t2 h t1 h v t t2 t1
探究过程：如图是函数h(t)= 4.9t2+6.5t+10 65 的图像，结合图形可知， h( ) h(0) 49 所以， h
在0 t 0.5这段时间里, h0.5 h0 v 4.05 m / s ; 0. 5 0 在1 t 2这段时间里, h2 h1 v 8.2 m / s . 21
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65 探究 计算运动员在0 t 这段时间 49 里的平均速度, 并思考下面的问题 :
直线AB的斜率
f x2 f x1
x 2 x1
变化率
O
x1
x2
x
图1.1 1
由上面的讨论可知：函数 f x在区间 x1 , x2 上的平均变化率的几何 意义是 曲线上两点连线（就是曲线的割线）的斜率。
题型一：求函数的平均变化率
例 1 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1]上的平均变化率 ； (2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化膨胀率为：
r ( v2 ) r ( v1 ) ( dm / l ) v2 v1
3v 4
当空气容量从 V1 增加到 V2 时,
在例2中：对于函数h=-4.9t2+6.5t+10计算运动员在0s到0.5s
内的 平均速度为：
h(0.5) h(0) v 4.05(m / s) 0.5 0
一般地，函数f（x）在区间
1 2
x () f f((x12 ) f f( x1x2 ) x , x 上的平均变化率为： x2 xx x1 1 2
习惯上用x表示x2 x1，即x x2 x1， （这里x看做是相对于x1的一个增量， 可用x1 x代替x2
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
同的。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的 平均速度不一定能反映他在某一时刻的瞬时速度。那么，如何 求运动员的瞬时速度呢？ 比如，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度为h（单 位：m）与起跳后的时间t(单位：s )存在函数关系h=h 4.9t2+6.5t+10 求ｔ＝2时的瞬时速度？