线性体系随机振动反应分析

故 h(0 + ) = 1（8）作用一个单位脉冲，产生初速度 作用一个单位脉冲，
• •• 2 h + 2ξω0 h+ ω0 h = 0 ~ 齐次化（ ） 9 相当于 • 及h(0) = 0, h(0) = 1 （ ） 10 1 t ≥0 exp(−ξω0t ) sin ωd t 从而 h(t ) = ωd 0 t <0
T1 Ti
T
单自由度弹性体系在给定地震作用下某种反应 量的最大值与体系自振周期之间的关系曲线 • 问题——反应谱到底反映了结构的特性还是地 震动的特性？
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反应谱的性质
结构反应特点 低频（长周期）系统 （<=0.1Hz） <=0.1Hz）
Sd PGD（有效峰值位移） PGD（有效峰值位移）
动力放大系数 Ba=Sa/PGA Bv=Sv/PGV Bd=Sd/PGD
2 0
••
•
（23） ）
大写字母
X,F
为随机变量
•
初始条件：
X ( 0) = X ( 0) = 0
（24） ）
反应谱
单自由度弹性体系的地震反应 反应谱的定义 反应谱的性质 反应谱的影响因素及规律
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单自由度弹性体系的地震反应
单自由度弹性体系
m
• 运动微分方程
– 受力分析
• 恢复力——虎克定律 • 阻尼力——瑞雷阻尼 • 惯性力——牛顿第二定律 • x’’g(t) x’’g(t) m(x’’+x’’g) cx’ kx kc
反应谱的性质反应谱的性质结构反应特点结构反应特点低频长周期系统低频长周期系统01hz01hzssddpgdpgd有效峰值位移有效峰值位移中频中等周期系统中频中等周期系统放大作用放大作用高频短周期系统高频短周期系统10hz10hzssaapgapga有效峰值加速度有效峰值加速度反应谱性质反应谱性质反应谱由中频段的放大区反应谱由中频段的放大区和两端的极限区三部分构和两端的极限区三部分构伪谱的性质伪谱的性质高频中频低频动力放大系数pgdbackback反应谱的影响因素及规律反应谱的影响因素及规律地震动方面地震动方面震级震级震级越大长周期成分越丰富反应谱峰点周震级越大长周期成分越丰富反应谱峰点周期越后移期越后移震中距震中距震级越大长周期成分越丰富反应谱峰点周震级越大长周期成分越丰富反应谱峰点周期越后移期越后移场地场地场地越软峰值越大反应谱峰点周期越后移场地越软峰值越大反应谱峰点周期越后移结构方面结构方面阻尼比阻尼比阻尼比越大反应越小曲线越平滑阻尼比越大反应越小曲线越平滑结构周期结构周期三段特性三段特性backback持时特性持时特性一般特征一般特征多种定义多种定义简要评价简要评价25150505152510152025303540backback设计地震动反应谱设计地震动反应谱backbackback水平地震影响系数水平地震影响系数pgapgamax045max特征周期30max02max场地类别场地类别iiiiiiiiiiiiiviv020020030030040040065065025025040040055055085085烈度烈度66778899多遇地震多遇地震181836367272144144罕遇地震罕遇地震225225405405630630烈度烈度66778899多遇地震多遇地震004004008008016016032032罕遇地震罕遇地震050050090090140140设计近远震场地类别场地类别的划分场地类别的划分backback场地覆盖层厚度m场地土类型80坚硬软弱iiiiiiiv
s
dx(t ) = h(t − s ) f ( s )ds
（3） ）
总反应为
x(t ) = ∫0 h(t − s ) f ( s )ds
t
（4） ）
也称为脉响函数。 h(t − s ) 也称为脉响函数。 → t < s 时 h(t − s) = 0 （脉冲发生前无响应） 脉冲发生前无响应） 考虑
max
S a = ω SV = ω S d
2
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反应谱的定义
s(t)= f(x’’g, ς, T1) Sa(ς, T1)
Max
ς T1 x’’g(t) ς Ti
Duhamel 积分
Sv(ς, T1) Sd(ς, T1)
Sy
s(t)= f(x’’g, ς, Ti)
Duhamel 积分 Max
Sa(ς, Ti) Sv(ς, Ti) Sd(ς, Ti)
中频（中等周期）系统
放大作用
高频（短周期）系统 （>=10Hz） >=10Hz）
Sa PGA （有效峰值加速度） 反应谱性质 高频 中频 低频
反应谱由中频段的放大区 和两端的极限区三部分构 成 伪谱的性质 2
S a = ω SV = ω S d
back
T
反应谱的影响因素及规律
地震动方面
震级 震级越大，长周期成分越丰富，反应谱峰点周 期越后移 震中距 震级越大，长周期成分越丰富，反应谱峰点周 期越后移 场地 场地越软，峰值越大，反应谱峰点周期越后移
• 水平地震影响系数曲线
– 水平地震影响系数曲线 – 水平地震影响系数最大值
烈度 多遇地震 罕遇地震 6 0.04 ---7 0.08 0.50 8 0.16 0.90
0.30 0.40 0.65 0.40 0.55 0.85
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场地类别的划分
场地土类型
坚硬
中硬
中软
III III
0 3 9 80
2 0
••
•
（7） ）
利用（ ），得 利用（6），得
• • 0 +•• 0+ • 0+ ∫0− h dt = ∫0− d h = h 0− = h(0+ ) • 0+ 0+ 2ξω0 h(t ) = ∫ 2ξω0 dh = 2ξω0 h 0+ = 0 ∫ 0− 0− 0− 0+ ω02 h(t )dt = 0 ∫0−
软弱
IV
场地覆盖 层厚度(m)
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3）脉动函数和频响函数的关系 设 f (t ) = δ (t ) 是单位脉冲时，它的Fourier变换 是单位脉冲时，它的Fourier变换 由式（17）， ），可求得为 由式（17），可求得为 1 +∞ 1 −iωt ˆ (ω) = ） f ∫−∞ δ (t)e dt = 2π （20） 2π 代入式（ ）， ），则得单位脉冲作用下得反应函数为 代入式（19），则得单位脉冲作用下得反应函数为
结构方面
阻尼比 阻尼比越大，反应越小，曲线越平滑 结构周期 三段特性
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持时特性
2.5
一般特征 多种定义 简要评价
1.5 a (t) (m /s 2 ) 0.5
-0.5 -1.5 -2.5 0 5 10 15 20 t (s) 25 30 35 40
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设计地震动反应谱
水平地震影响系数
S a PGA F = mS a = m ⋅ g ⋅ ⋅ = G ⋅ β ⋅ k = αG PGA g
1 h (t ) = 2π
∫
+∞
−∞
H (ω ) e iω t d ω
（21） ）
即： 变换时
1 除 2π 处，脉响函数h(t ) 和频响函数 H (ω) 是Fourier
H (ω ) = ∫ h (t )e
−∞
+∞
− iω t
dt
（22） ）
2．平稳随机干扰下的反应
X + 2ξω0 X + ω X = Fs (t )
•
的解
(11)
式中
ωd = ω0 1 − ξ
2
2）频域分析法
••
x + 2ξ x + ω 02 x = f 0 e iω t
•
•
（12） ）
初始条件： 初始条件： x(0) = x(0) = 0 设 x(t ) = Aeiωt 则
[(iω )
2
+ 2ξω 0 i ω + ω 02 Ae iω t = f 0 e iω t
1）时域分析 Duhamel积分法 Duhamel积分法：将整个荷载时程看作是由 积分法： 一体系连续的短持续时间脉冲组成。 一体系连续的短持续时间脉冲组成。先求短 脉冲作用下的反应， 脉冲作用下的反应，然后用叠加原理求得总 反应 微冲量 f ( s ) ds
设 时刻的单位脉冲δ (t − s ) 的反应 h(t − s ) 则 在微冲量作用下的反应为
& x(t ) = ∫ &&g (τ )e x
0 t −ξω ( t −τ )
ξω sin ωd (t − τ ) dτ cos ωd (t − τ ) − ωd
绝对加速度
ξ 2ω 2 &&(t ) + &&g (t ) = ωd ∫ &&g (τ )e−ξω(t −τ ) (1 − 2 ) sinω d (t −τ )dτ x x x 0 ωd
线性体系随机振动反应分析
研究线性体系在平稳或非平稳随机干扰下的反应，初 研究线性体系在平稳或非平稳随机干扰下的反应， 始条件可以确定的，也可以是随机的。 始条件可以确定的，也可以是随机的。 1、单自由度线性体系的随机反应分析 基本方程： 基本方程： 2 (1) && + 2ξω0 x + ω0 x = f (t ) & x
− 1
ωd
∫
t
0
&&g (τ ) e −ξω ( t −τ ) sin ω d (t − τ ) d τ x
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运动微分方程的解答
设初始位移和初始速度为零，则有
x (t ) = − 1
ωd
∫
t
0
&& g (τ ) e − ξω ( t −τ ) sin ω d ( t − τ ) d τ x
速度
式中
x(t )
是描述质点运动的位移；
c k ξ= 和 ω0 = m 分别为结构体系的阻尼比和固有圆频率； 2 mk
f (t ) = f1 (t ) / m ； m, k , c 为体系的质量，弹簧刚度和粘滞阻尼系数。 为体系的质量，弹簧刚度和粘滞阻尼系数。
初始条件
x(0) = 2ξω ∫ && g (τ ) e − ξω ( t −τ ) cos ω d ( t − τ ) d τ x
0
t
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运动微分方程的解答
最大反应及简化
S d = x (t )
max
& S V = x (t ) max
S a = &&( t ) + &&g ( t ) x x
三点近似关系：
– 方程建立——达朗贝尔原理
& m(&& + &&g ) + cx + kx = 0 x x
&& + 2ξωx + ω 2 x = − &&g & x x
• 运动微分方程的解答
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运动微分方程的解答
通解（自由振动）
& x(0) + ξωx(0) x(t ) = e −ξωt x(0) cos ωd t + sin ωd t ωd
ˆ (ω ) = 1 f 2π
逆变换
∫
+∞
−∞
f ( t ) e − i ω t dt
（17） ）
f (t ) =
+∞
∫
+∞
−∞
ˆ (ω ) e iω t dt f
（18） ）
在任意荷载作用下， 即 在任意荷载作用下，
x (t ) =
∫
−∞
H (ω ) fˆ (ω ) e iω t dt
（19） ）
ω d = 1 − ξ 2ω
特解（强迫振动）——Duhamel 特解（强迫振动）——Duhamel 积分
x (t ) = − 1
ωd
∫
t
0
&&g (τ ) e − ξω ( t −τ ) sin ω d ( t − τ ) d τ x
全解=通解+特解~ ~特解 全解=通解+特解~ ~特解 & 位移 x(0) + ξωx(0) −ξωt x(t ) = e x(0) cos ωd t + sin ωd t ωd
s=0
的情况，故当 的情况，
时，
f (t ) = δ (t )
• 2 0
••
0+
h+ 2ξω0 h+ ω h = δ (t )
( h + 2ξω 0 h + ω02 h) dt = 1
•• •
（5） ）
∫
0−
（6） ）
两端作跨零积分， 两端作跨零积分，有
∫
0+
0−
(h+ 2ξω0 h+ ω h)dt = 1
α αmax 0.45αmax 9 0.32 1.40 场地类别 烈度 多遇地震 罕遇地震 6 18 ---7 36 225 8 72 405 9 144 630 场地类别 近震 远震 I 0.20 0.25 II 设计近远震 III IV T(s) 0 0.1 Tg（特征周期） 3.0 α=(Tg/T)0.9 αmax >=0.2 αmax
x(t ) = H (ω ) f 0 eiωt
1 H (ω ) = 2 ω 0 − ω 2 + i 2ξω 0ω
]
（14） ）
故 式中
（15） ）
（16） ）
H (ω) 称为体系的频响函数或传递函数，它表 称为体系的频响函数或传递函数， 的振幅放大率， 示在干扰 f (t )下反应 x(t ) 的振幅放大率，是线性体系 的固有频率特性。 的固有频率特性。 可用Fourier变换表示成 对任意函数 f (t ) ，可用Fourier变换表示成