2020届高三数学上学期限时训练试题21理高补班

广东省廉江市实验学校2020届高三数学上学期限时训练试题（21）理
（高补班）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,3,5}P =，{1,2,4}Q =，则()=⋃Q P C U （ ） A ．{1}
B ．{3,5}
C ．{1,2,4,6}
D ．{1,2,3,4,5}
2．在复平面内，复数12i
i
z +=对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>
的焦距为且两条渐近线互相垂直，则该双曲线
的实轴长为（ ） A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
4．已知变量x ，y 满足约束条件236133x y y x x y +≤⎧⎪
≤+⎨⎪-≤⎩
，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）
A ．9-
B ．7-
C ．5-
D ．3-
5．将函数2sin(2)6πy x
的图像向左平移π
6
个单位，得到函数()y f x 的图像，则下列
关于函数()y
f x 的说法正确的是（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．()f x 的周期是
π
2
C ．()f x 的图像关于直线12
π
x
对称 D ．()f x 的图像关于点π
(
),04
对称 6．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如右图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．
22π
3
B ．
42π
3
C ．22π
D ．42π
8．德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》，在其年幼时，对123100
+++
+的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数2()(0)36057
x
f x m m =
>+，则
(1)(2)(3)(2018)f f f f m +++++等于（ ） A ．
2018
3m + B ．
24036
3
m +
C ．
4036
6
m + D ．
24037
6
m +
9．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，
b ，
c ，若ABC △的面积138
cos S C =-，且2a =，3b =，则c =（ ）
A ．2
B ．
5
C ．
6
D ．
7
10．函数2
()22
x
x
f x x -=--的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2
2(0)y px p 上任意一点，M 是线段PF
上的点，且||
2||PM MF ，则直线OM 的斜率的最大值为（ ）
A ．
2
2
B ．
23
C ．
33
D ．1
12．已知1
1,10(1)(),01x f x f x x x ⎧--<<⎪
+=⎨⎪≤<⎩
，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的
取值范围是（ ）
A ．2
(,)3
+∞
B ．2
[,)3+∞
C ．2
{8}[,)3-+∞
D ．2
{8}(,)3
-+∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知平面向量(2,1)=-a ，(1,)x =b ，若∥a b ，则x =________． 14．5(3)(2)x y x y -+的展开式中，含24
x y 项的系数为_______．（用数字作答）
15．若圆084:2
2
=+-+y x y x C 直线1l 过点(1,0)-且与直线2:20l x y -=垂直，则直线1l 截圆C 所得的弦长为_______．
16．瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，ABC △的三个欧拉点顶点与垂
心连线的中点构成的三角形称为ABC △的欧拉三角形
如图，111A B C △是ABC △的欧拉
三角形（H 为ABC △的垂心）．已知3AC =，2BC =，tan 22ACB ∠=ABC △内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为_______．
高补理科数学限时训练（21）答题卡
班级_________姓名____________ 得分_________ 题
题号
11
22
33
44
55
66
77
88
99
110
111
1
12
答
答案
13._________________ 14. ______ 15. 16._________________
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足2n
n S a n ，记1n n b a ．
（1）求1b ，2b ，3b ；
（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求数列{}n a 的通项公式．
18．（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，4AC AB ==，16AA =，点E ，F 分别为1CA 和AB 的中点． （1）证明：EF ∥平面11BCC B ；
（2）求1B F 与平面AEF 所成角的正弦值．
19．（12分）已知点00(,)M x y 为椭圆2
2:12
x C y +=上任意一点，直线00:22l x x y y +=与圆2
2
(1)6x y -+=交于A ，B 两点，点F 为椭圆C 的左焦点． （1）求椭圆C 的离心率及左焦点F 的坐标； （2）求证：直线l 与椭圆C 相切；
（3）判断AFB ∠是否为定值，并说明理由．
20．（12分）已知函数3
21()ln 2
f x x x ax ax =+
-，a ∈R ． （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；
（2）若函数()
()f x g x x
=存在两个极值点1x ，2x ，求12()()g x g x +的取值范围．
21．（12分）有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）：②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表．
若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0．2．若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取．（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取） （1）求该学生参加自主招生考试的概率；
（2）求该学生参加考试的次数X 的分布列及数学期望； （3）求该学生被该校录取的概率．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为126126x m m
y m m ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(m 为参数)，以坐标原点为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为π
cos()13
ρθ+=．
（1）求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；
（2）已知点()2,0M ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求11
MP MQ
+的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 函数21
()(1)4
f x x =
+． （1）证明：()|()2|2f x f x +-≥； （2）若存在x ∈R ，1x ≠-，使得21
[()]|1|4()
f x m m f x +≤--成立，求m 的取值范围．
数学（理科）参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C
【解答】根据补集的运算得{2,4,6}U
P =，
∴{2,4,6}{1,2,4}{1,2,6)
4(,}U P Q ==，故选C ．
2．【答案】D
【解答】由题意可得
2
2
12i i2i i2
2
i
i i1
z
++-
====-
-
，
则复数z对应的点为(2,1)
-，位于第四象限．
3．【答案】B
【解答】因为双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的两条渐近线为b
y x
a
=±，因为两条渐近线互相垂直，所以2
()1
b
a
-=-，得a b
=，
因为双曲线焦距为42，所以22
c=，
由222
c a b
=+，可知2
28
a=，所以2
a=，所以实轴长为24
a=．4．【答案】B
【解答】根据约束条件
236
1
33
x y
y x
x y
+≤
⎧
⎪
≤+
⎨
⎪-≤
⎩
画出可行域，如图所示，ABC
△内部（含边界）为可行域，2
z x y
=+，化为11
22
y x
=-+，
为斜率是
1
2
-的一簇平行线，
1
2
z是其在y轴上的截距，
当经过B点时，截距最小，即z最小，
解
1
33
y x
x y
=+
⎧
⎨
-=
⎩
，得
3
2
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，即(3,2)
B--，
此时
min
32(2)7
z=-+⨯-=-．
5．【答案】D
【解答】函数2sin(2)6πy x
的图象向左平移π
6个单位， 得到函数π
π()sin(2())sin(2)cos 26
6
2
πy f x x
x
x 的图象，
可得函数()y
f x 是偶函数且周期为π，所以选项A 、B 错误，
又(
)0π4
f ．
6．【答案】B
【解答】根据算筹横式与纵式的区别，56846可以表示为B ． 7．【答案】B
【解答】如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体，
2
211
42π
2
π2
π(2)2
3
3
V R h ．
8．【答案】A 【
解
答
】
2122
2(2017)
(1)(2)(3)(2018)3605736057
36057
m f f f f m m m m ⨯⨯+++++=
++
+
+++
2(2018)
36057
m m ++
+，
又2(2018)2(2017)
22
(1)(2)(3)(2018)3605736057
36057
m m f f f f m m m m ++⨯++++=
++
+
+++
21
36057
m ⨯+
+，
两式相加可得240362018
(1)(2)(3)(2018)63
m m f f f f m ++++++=
=
． 9．【答案】C 【解答】由16138
sin 2S ab C C C =
==，
所以tan C =
，即
sin cos C
C
= 由22
sin cos 1C C +=，且(π)π,2
C ∈
，∴cos 12C =-，
由余弦定理得222
2cos 6c a b ab C =+-=
，∴c =
10．【答案】B 【解答】2
()22()x
x f x x f x --=--=，则()f x 是偶函数，排除C ，17
(3)98088
f =--=>，
排除A ，
11
(5)2532703232
f =--
=--<，排除D ， 故选B ． 11．【答案】A
【解答】由题意可得(,0)2
p
F ，设2
00(,)2y P y p ，0(0)y ，
则
1
1
12()3
333
OM OF FM OF
FP OF
OP OF OP OF 200
(,)633
y y p p
， 可得020000
12
32
2
263
y k
y p y p y p p
y p
，当且仅当0
2y p
p y 时取得等号． 12．【答案】D
【解答】∵11,10(1)(),01x f x f x x x ⎧--<<⎪+=⎨⎪≤<⎩
，∴11,10()1,01x f x x x x ⎧--<<⎪=+⎨⎪≤<⎩，
方程()21f x ax a -=-进行整理得1
()2()12
f x a x =+-，
作出函数1
1,10()1,
01x y f x x x x ⎧--<<⎪
==+⎨⎪≤<⎩的图像，如图所示．
直线21y ax a =+-恒过(1,12)-
-，即直线绕点(1
,12
)--旋转， 当直线过点(1,1)时，23
a =
； 当直线21y ax a =+-与曲线1
1(10)1
y x x =
--<<+相切时， 设切点00(,)x y ，2
1()(1)f x x '=-
+，则切线斜率为201)1
(k x =-+，
切线方程为0
20011
()(1)11
()y x x x x =-
-+-++， 代入过点(1,12
)-
-，得0
200111
1()(1)12)1(x x x -=---+-++， 解得03
4
x =-
，此时斜率为16k =-，可求得8a =-． 根据图像可知当2
3
a >或8a =-时，方程()21f x ax a -=-有唯一解．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1
2
-
【解答】由向量平行的充分必要条件可得21(1)0x ⨯-⨯-=，解得12
x =-． 14．【答案】110-
【解答】依题意可知，所求系数为122
551C 23C 2110⋅⋅-⋅=-．
15．【答案】215
【解答】依题意，由084:
2
2=+-+y x y x C ，得圆心坐标为(2,4)-，半径为25，设直线
1:20l x y m ++=，将点(1,0)-的坐标代入，解得1m =，
故直线1:210l x y ++=，圆心到直线1l 的距离5d =，
故弦长为2205215-=．
16．【答案】
7
64
【解答】因为tan 22ACB ∠=，所以1cos 3
ACB ∠=
， 又因为3AC =，2BC =，由余弦定理可得3AB =，
取BC 的中点O ，则OA BC ⊥，以O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，
则(1,0)B -，(1,0)C ，(0,22)A ，设(0,)H y ，
因为BH AC ⊥，所以
22111y ⨯=--，所以24
y =， 从而11111272(22222432
A B H S =
⨯⨯⨯=△， 故所求概率为
727
32
1
642222
=
⨯⨯，故答案为764
．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）12b ，24b ，38b ；（2）是等比数列，见解析；（3）21n
n
a ．
【解答】（1）令1n ，则1
121S a ，故1
1a ， ∵2n n S a n ，∴1
1
2(1)(2)n n
S a n n
，
∴1
1
1
22(1)
221(2)n n
n
n
n
n n
S S a a n
a n a a n ，
∴1
21(2)n n
a a n ．
∴21213a a ， ∴1
1
12b a ，2
2
14b a ，3
3
18b a ．
（2）数列{}n b 是等比数列．证明如下： ∵1n n b a ，1
21n n
a a ， ∴1
1
11(21)
2(1)
2n n n
n n b a a a b ，
又1
2
0b ，∴数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列．
（3）由（2）知1
222n
n n b ， 又1n
n b a ，∴1
21n
n
n
a b ．
18．【答案】（1）证明见解析；（2 【解答】（1）证明：∵直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥， ∴可以以1A 为顶点建立空间坐标系如图，
∵4AC AB ==，16AA =，点E ，F 分别为1CA 和AB 的中点， 取11B C 中点D ，∴1(0,0,0)A ，(2,2,0)D ，(2,0,3)E ，(0,2,6)F ， 在111A B C Rt △中，111A D B C ⊥，∴1A D ⊥平面11BCC B ，
∴1A D 为平面11BCC B 的一个法向量，而(2,2,3)EF =-，1(2,2,0)A D =， ∴1440EF A D ⋅=-+=，∴1EF A D ⊥， 又EF ⊄平面11BCC B ，∴EF ∥平面11BCC B ．
（2）易知(0,0,6)A ，1(0,4,0)B ，∴(0,2,0)AF =，1(0,2,6)B F =-， 设(,,)x y z =n 是平面AEF 的一个法向量， 则20AF y ⋅==n ，2230EF x y z ⋅=-++=n ， 取1x =，则0y =，23z =
，即2
(1,0,)3
=n ， 设1B F 与平面AEF 所成角为θ， 则111130
sin |cos ,||
|65||||13
403
B F B F B F θ⋅=<>===⨯n n n ，
故1B F 与平面AEF 所成角的正弦值为
130
65
． 19．【答案】（1）2
2
e =
，(1,0)F -；（2）证明见解析；（3）是为定值，见解析． 【解答】（1）由题意2a =
1b =，221c a b -=，
所以离心率2
c e a =
=，左焦点(1,0)F -． （2）由题知，22
0012
x y +=，即220
022x y +=， 当00y =时，直线l
方程为x =
x =l 与椭圆C 相切，
当00y ≠时，由22
01222
x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得2222
0000(2)4440y x x x x y +-+-=，
即22
002220x x x y -+-=，所以22220000(2)4(22)4880Δx y x y =---=+-=，
故直线l 与椭圆C 相切． （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，
当00y =时，12x x =，12y y =-
，1x =
2222211111(1)(1)6(1)240FA FB x y x x x ⋅=+-=+-+-=-=，
所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=︒，
当00y ≠时，由2200(1)622
x y x x y y ⎧-+=⎨+=⎩，得2222
0000(1)2(2)2100y x y x x y +-++-=，
则20012202(2)1y x x x y ++=+，2
122
2101y x x y -=+， 22
000
01212122222
0000
5441()4222x x x x y y x x x x y y y y --+=-++=+， 因为1122121212(1,)(1,)1FA FB x y x y x x x x y y ⋅=+⋅+=++++
222222
00000000222
000
42084225445(2)100222222y y x y x x x y y y y -++++--+-++=+==+++． 所以FA FB ⊥，即90AFB ∠=︒，故AFB ∠为定值90︒．
20．【答案】（1）函数()f x 在1
(0,)e 递减，在1(,)e
+∞递增；（2）(,3ln 4)-∞--． 【解答】（1）当0a =时，()ln f x x x =，()ln 1f x x '=+，
令()0f x '<，解得10x e <<
；令()0f x '>，解得1x e
>， 故函数()f x 在1(0,)e
递减，在1
(,)e
+∞递增．
（2）2()1()ln 2
f x
g x x ax ax x ==+-(0)x >，21
()ax ax g x x -+'=，
由题意知：1x ，2x 是方程()0g x '=的两个不相等的正实根， 即1x ，2x 是方程2
10ax ax -+=的两个不相等的正实根，
故21212401010
Δa a x x x x a ⎧
⎪=->⎪
+->⎨⎪⎪=>⎩
，解得4a >， ∵22
1211122211()()()ln ln 22
t a g x g x ax ax x ax ax x =+=
-++-+ 21212121211
[2]()ln(())ln 122
a x x x x a x x x x a a =+--++=---， 是关于a 的减函数，
故()(4)3ln 4t a t <=--，故12()()g x g x +的范围是(,3ln 4)-∞--． 21．【答案】（1）0．9．（2）分布列见解析；数学期望3．3；（3）0．838．
【解答】（1）设该学生参加省数学竞赛获一等奖、参加国家集训队的事件分别为A ，B ， 则()0.5P A =，()0.2P B =，1()()P P A P AB =+10.50.5(10.2)0.9=-+⨯-=． 即该学生参加自主招生考试的概率为0．9．
（2）该该学生参加考试的次数X 的可能取值为2，3，4，
(2)()()0.50.20.1P X P A P B ===⨯=； (3)()10.50.5P X P A ===-=； (4)()()0.50.80.4P X P A P B ===⨯=．
所以X 的分布列为
()20.130.540.4 3.3E X =⨯+⨯+⨯=．
（3）设该学生自主招生通过并且高考达到重点分数线录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件分别为C ，D ．
()0.1P AB =，()0.90.60.90.486P C =⨯⨯=，
()0.90.40.70.252P D =⨯⨯=，
所以该学生被该校录取的概率为2()
()()0.838P P AB P C P D =++=．
22．【答案】（1）
2233144
x y -=，20x --=；（2
【解答】（1）将126126x m m
y m m ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
两式相加，可得
4x y m +=，
两式相减，可得13x y m -=
，整理可得
22
33144x y -=， 故曲线C 的普通方程为
22
3
3144
x y -=， 依题意，得直线l
：1(cos )12
2
ρθθ-
=，即cos sin 2ρθθ=， 所以直线l 的直角坐标方程为20x
-=．
（2）设直线2
:12
x l y t
⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2233144x y -=
中，
得2
3160t ++=，(2
43162400Δ=-⨯⨯=>，
设P ，Q 对应的参数分别为1t ，2t ，则12t t +=-1216
3
t t =
，
所以
121211
4
MP MQ t t MP MQ MP MQ t t +++===
⋅． 23．【答案】（1）证明见解析；（2
）1m ≤-02m ≤≤
或1m ≥ 【解答】（1）∵21
()(1)04
f x x =
+≥， ∴()|()2||()||2()||()[2()]||2|2f x f x f x f x f x f x +-=+-≥+-==． （2）当1x ≠-时，21
()(1)04
f x x =+>，
所以1[()]14()y f x f x =
+≥=，
当且仅当
1
()4()
f x f x =
，1x =
因为存在x R ∈，1x ≠-，使得
21
[()]|1|4()
f x m m f x +≤--成立，
所以2
|1|1m m --≥，
所以1m ≤02m ≤≤
或1m ≥+。