叶双曲面与双曲抛物面

2021/4/22
12
2021/4/22
13
定理 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面。它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
y b
,
w2 u2
0
u
x a
z c
w 1
y b
,
（4.7-1）
与
t
x a
z c
v
1
y b
,
t2 v2
0
,
v
x 3
z 4
t
1
y 2
.
将（6，2，8）代入上述直母线族方程，求得 w , u , t , v.
2021/4/22
17
例题
例2
试证明双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
上2z 的a 两b直母线直交时，其交点必
在一双曲线上.
例3 已知空间两异面直线间的距离为 2，a夹角为 ，2过这两直线
分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样的两平面交线的轨
迹.
2021/4/22
18
y b
（4.7-1）
与
t
x a
z c
v
1
y b
,
t2 v2
0
v
x a
z c
t
1
y b
.
（4.7-2）
推论1 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通
过这点.
8
Back
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
v
x a
z c
t
1
y b
,
（4.7-2）
对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点.
14
定理 双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
2z ，
是直纹曲面.它有两族直母线：
a,b 0
x a
y b
2u,
u
x a
y b
z,
u
R
（4.7-3）
与
x a
y b
2v,
v
x a
y b
(1) 曲面 S 上的每个点必定在这个族 中的某一条直线上;
(2) 直线族中的每条直线都在曲面 S 上.
2021/4/22
7
定理 单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1 ， a,b, c
0
是直纹曲面.它有两族直母线：
w
x a
z c
u
1
y b
,
w2 u2
0
u
x a
z c
w 1
成曲面的那族直线叫做该曲面的一族直母线. 平面、柱面、
锥面有什么共
平面是直纹曲面；
有没有更同复的杂特的征直呢?
柱面和锥面都是直纹曲面；
纹曲面呢？有哪些 二次曲面可能是直
椭球面不是直纹曲面；
纹曲面呢?
双叶双曲面不是直纹曲面；
椭圆抛物面不是直纹曲面.
2021/4/22
3
例(教材P153) 求直线 程.
2021/4/22
16
例题
例1 求过单叶双曲面 x2 y2 上z2的点1 的直6母,2,8线 的方程.
9 4 16
分析: 单叶双曲面 x2 y2 z2 1 的两族直母线方程为：
9 4 16
w
x 3
z 4
u 1
y 2
,
与
u
x 3
z 4
w 1
y 2
t
x 3
z 4
v 1
y 2
：绕x 直y 线 z 1
21 0
旋转所l :得x 的y旋转z 曲面的方
单叶旋转双曲面
2021/4/22
B4 ack
直纹曲面模型
2021/4/22
5
2021/4/22
直纹曲面模型
6
二、单叶双曲面是直纹曲面
单叶双曲面
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
a,b, c 0
分析:
如果曲面 S 上存在一族直线，
《解析几何》
－Chapter 4
§7 单叶双曲面与双曲抛物面 的直母线
2021/4/22
1
Contents
一、直纹曲面的概念 二、单叶双曲面是直纹曲面 三、双曲抛物面是直纹曲面 四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质
2021/4/22
2
一、直纹曲面的概念
定义 由一族直线所生成的曲面叫做直纹曲面(ruled surface)，生
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很z
O x
y
10
三、双曲抛物面是直纹曲面
双曲抛物面
x2 a2
y2 b2
2z
a,b 0
2021/4/22
11
悉尼歌剧院
z,
v
R
.
（4.7-4）
对于双曲抛物面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过该点.
15
四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质
定理4.7.1 单叶双曲面上异族的任意两直母线必共面，而双曲抛物 面上异族的任意两直母线必相交. 定理4.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上同族的任意两直母线总是 异面直线，而且双曲抛物面同族的全体直母线平行于同一平面.