江苏省扬州市仪征电大(教师进修学校)附属中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析

江苏省扬州市仪征电大(教师进修学校)附属中学2021-2022学年高三数学文测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知，，则下列不等式一定成立的是（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
构造函数，原不等式等价于两次求导可证明在上递减，从而可得结论.
【详解】由题意，，，
设，
，
设，
，
在单调递减，且，
,
所以在递减，
，故选C.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于难题.利用导数判断函数单调性的步骤：（1）求出；（2）令求出的范围，可得增区间；（3）令求出的范围，可得减区间.
2. 若函数的最大值为，则正实数的值为（）
A、1
B、2
C、
D、或2
参考答案：
B
3. 设全集，集合，，则（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
4. （5分）若函数f（x）=，则f（f（e））（其中e为自然对数的底数）=（）
A．0 B． 1 C． 2 D．eln2
参考答案：
C
考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据分段函数的解析式，求出函数值即可．
解答：解：∵函数f（x）=，
∴f（e）=lne=1，
∴f（f（e））=f（1）=21=2．
故选：C．
点评：本题考查了分段函数的求值问题，是基础题目．
5. 已知集合，，则（）
A．{1} B．{－2,1} C．{x︱－1≤x≤1} D．{x︱x=－2或－1≤x≤1}
参考答案：
A
，，，故选A.
6. 某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望．
参考答案：
解：（1）众数：8.6；中位数：8.75
（2）设表示所取3人中有个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件，则
（3）的可能取值为0、1、2、3.高…考.资.源+
网高.考.资.源+网
；
；的分布列为
高考资源网
所以.
另解：的可能取值为0、1、2、3.高..考.资.,则，
.
的分布列为
所以=.
略
7. 设为定义在上的奇函数，当时，(为常数)，则（▲ ）
A． B． C． D．
参考答案：
【知识点】函数的奇偶性 B4
D因为为定义在上的奇函数，所以，因为时，所以解得，而.故选择D.
【思路点拨】根据函数为上的奇函数，可得求得，再利用奇函数性质可得，即可求得.
8. 若奇函数在上是
增函数那么的大致图像是（）.
参考答案：
C
略
9. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
A．
B．
C． D．
参考答案：
D
略
10. 已知的面积为，则的周长等于参考答案：
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若满足且的最大值为4，则
的值为
;.参考答案：
考点：线性规划
因为可行域如图，当时，不合题意，当时，在取得最大值
故答案为：
12. 已知
，则
的展开式中，常数项为
参考答案：
，所以，所以
，由得，因此常数项为
.
13. 已知实数、满足，则的最大值是
．
参考答案：
4 略 14. 已知点
和向量=（2, 3），若
，则点
的坐标为 .
参考答案：
试题分析：设点，，因此，得，得点.
考点：平面向量的坐标表示.
15. 计算定积分________．
参考答案：
14. 15. 16.
16. 若
是上的奇函数，则函数的图象必过定点 ．
参考答案： (-1，-2)
略
17. 已知：f （x ）＝
，若方程[f （x ）]2－
f （x ）＋a ＝0有四个不等的实根，则a 的取值范围是
____________．
参考答案：
由f （x ）＝
f （x ）为偶函数.
当x≥0时，由f （x ）=，得f′（x ）=
，
当x ∈[0，1）时，f′（x ）＞0，f （x ）单调递增，当x ∈（1，+∞）时，f′（x ）＜0，f （x ）单调递
减，
作出函数f （x ）＝的图象如图：
令f （x ）=t ，
若方程[f （x ）]2－f （x ）＋a ＝0有四个不等的实根，
则关于m 得方程
一个根在（0，）内而另一个根大于．
记
，∴
，解得：
故答案为：．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
1
2.5
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％. （Ⅰ）确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.（将频率视为概率） 参考答案：
（Ⅰ）由已知得，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:
(分钟).
（Ⅱ）记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得
.
是互斥事件，
.
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为
.
19. 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAB⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA=PB ，O 为AB 的中点，OD⊥PC．
（1）求证：OC⊥PD；
（2）若PD 与平面PAB 所成的角为300，求二面角D ﹣PC ﹣B 的余弦值．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（1）连结OP ，推导出OP⊥AB，从而OP⊥平面ABCD ，由OP⊥OD，OP⊥OC，得OD⊥OC，再由OP⊥OC，能证明OC⊥PD．
（2）设AD=1，则AB=2，推导出∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角，设PC的中点为M，连接DM，则DM⊥PC在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，则∠DMN为二面角D﹣PC﹣B的一个平面角，由此能求出二面角D﹣PC﹣B的余弦值．
【解答】证明：（1）连结OP，∵PA=PB，O为AB的中点，∴OP⊥AB．
∵侧面PAB⊥底面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，
∴OP⊥OD，OP⊥OC，
∵OD⊥PC，∴OD⊥平面OPC，
∴OD⊥OC，…
又∵OP⊥OC，∴OC⊥平面OPD，
∴OC⊥PD．…
解：（2）在矩形ABCD中，由（1）得OD⊥OC，∴AB=2AD，不妨设AD=1，则AB=2．
∵侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，
∴DA⊥平面PAB，CB⊥平面PAB，△DPA≌△DPA，
∴∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角
∴∠DPA=30°，∠CPB=30°，，
∴DP=CP=2，∴△PDC为等边三角形，…
设PC的中点为M，连接DM，则DM⊥PC
在Rt△CBP中，过M作NM⊥PC，交PB于点N，则∠DMN为二面角D﹣PC﹣B的一个平面角．
由于∠CPB=30°，PM=1，∴在Rt△PMN中，，，
∵，
∴，∴ND2=3+1=4，
∴，
即二面角D﹣PC﹣B的余弦值﹣．…
20. 已知函数。

（I）当a=－3时，求的解集；
（Ⅱ）当f（x）定义域为R时，求实数a的取值范围
参考答案：
（Ⅰ）时，
①当时
②当时，不成立
③当时
综上，不等式的解集为……5分（Ⅱ）即恒成立，，
当且仅当时取等，，即的取值范围是．……10分略
21. 已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n}满足b1=1，且b n+1=b n+a n（n≥1），求b n．
参考答案：
考点：等差数列的性质．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）再写一式，两式相减，即可求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）b n+1﹣b n=4n，由累加法得结论．
解答：解：（Ⅰ）由于a1=S1=4
当n≥2时，；n=1也适合上式，
∴a n=4n；
…
（Ⅱ）b n+1﹣b n=4n，由累加法得b n=2n2﹣2n+1…
点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查累加法，是基础题．
22. 已知向量，，.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
参考答案：
（1）（2）
【分析】（1）先由条件得再利用向量的坐标公式计算代入得解；
（2）先计算和的三角函数值，再由展开结合条件的三角函数可得解. 【详解】（1），
又，，
，，
（2），
由（1）得，，
又，，
【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和的展开公式，属于基础题，第二问属于典型的给值求值问题，解题的关键是将未知角通过配凑用已知角表示，进而由三角函数的两角和的展开公式求解即可.。