2018年最新 济源四中高三数学测试(新教材函数逻辑数列

数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，） 1．已知αββαtan ,31
tan ,1)sin(则==+的值为 （ ）]
A ．－3
B ．3
1-
C ．
3
1 D ．3
2．若3=e ，5-=e ，且|||BC =，则四边形ABCD 是 （ ）
A ．平行四边形
B ．菱形
C ．等腰梯形
D ．非等腰梯形
3．已知函数1
1)(-+=
x x x f ，)()(1
x f x g -=-，那么)(x g （A ）在),(+∞-∞上是增函数（B ）在),(+∞-∞上是减函数 （C ）在)1,(--∞上是减函数（D ）在)1,(--∞上是增函数函数
4．在数列{}*),(233,15,11N n a a a a n n n ∈-==+中则该数列中相邻两项的乘积是负数的是
（ ）
A ．2221a a ⋅
B ．2322a a ⋅
C ．2423a a ⋅
D ．2524a a ⋅
5．已知函数)(x f y =满足)4()(x f x f -=（R x ∈），且)(x f 在2>x 时为增函数，记
)53(f a =，)5
6
(f b =，)4(f c =，则a ，b ，c 之间的大小关系是
（A ）b a c >>（B ）a b c >>（C ）c a b >>（D ）b c a >>
6．将函数y=sin x 按向量a =（－4
π
，3）平移后的函数的解析式为 （ ）
A ．y=sin(x －
4π
)+3 B ．y=sin(x －4π
)－3
C ．y=sin(x +4
π
)+3
D ．y=sin(x +4
π
)－3
7．已知)1(,)
1()(1-+--=-x f a x x
a x f 且函数的图象的对称中心是（0，3），则a 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．－2
D ．－3
8．二次函数),1()0()(),2()2()(f f a f x f x f x f <≤-=+且满足则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．a ≥0
B ．a ≤0
C ．0≤a ≤4
D ．a ≤0或a ≥4 9．已知,2sin 2xtgx y -=则
（ ）
A ．函数最小值为－2，最大值为0
B ．函数的最小值为－4
C ．函数无最小值，最大值为0
D ．函数最小值为－4，最大值为4
10．函数x x x x f cos sin cos )(2+=的最大值是
（A ）2（B ）
23（C ）212+（D ）2
221+ 11．已知函数)(x f y =的反函数是)2
,0(),2003(
log )(2sec 1
2π
θθθ∈+=-tg x x f
，则方程f （x ）=2018
的解集为 （ ） A ．{－1} B ．{－1，1} C ．{1} D ．φ
12．ABCD 为四边形，动点p 沿折线BCDA 由点B 向A 点运动，设p 点移动的路程为x ，
△ABP 的面积为S ，函数S=f （x ）的图象如图，给出以下命题： ①ABCD 是梯形；
②ABCD 是平行四边形；
③若Q 为AD 的中点时，那么△ABQ 面积为10； ④当9≤x ≤14时，函数S=f （x ）的解析式为56－4x. 其中正确命题为 A ．①② B ．②③ C ．②④ D ．①③④
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填写在题中横线上。

）
13．已知ααsin 2sin -=（)),2
(
ππ
α∈，则cot α= 。

14．．
)]2
3
(sin[arccos 70sin 210sin 21-+︒-︒的值为
15．对任意的函数),(),(x g x f 在公共定义域内，规定)},(),(min{)()(x g x f x g x f =*若 )()(,32)(,3)(x g x f x x g x x f *-=
-=则的最大值为
16．若等差数列{n a }和等比数列}{n b 的首项均为
1，且公差1≠d ，公比
1,0≠>q q ，则集合}|{n n b a n =的元素个数最多有 个
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤.） 17．（本小题满分12分）
已知函数)0(2
3
5cos 35cos sin 5)(2
>+
-=ωωωωx x x x f 的最小正周期是π （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f(x)的递增区间. 18．（本小题满分12分）
已知函数)cos()sin()(θθ-++=x x x f 的定义域为R （1） 当0=θ时，求)(x f 的单调增区间
（2） 若),,0(πθ∈且,0sin ≠x 当θ为何值时，)(x f 为偶函数.
19.已知向量a ＝(cos 23x ，sin 23x )，b ＝(2
sin 2cos x
x -，)，且x ∈[0，2π]．若f (x )＝a ·
b －2λ｜a ＋b ｜的最小值是2
3
－，求λ的值．
20．（本小题满分12分）
已知函数)(x f 的定义域为R ，对任意1x 、2x 都满足
)()()(2121x f x f x x f +=+，当0>x 时，)(x f 0>，又
0)cos 24()32(cos >-+-θθm m f f 对所有]2
,0[π
θ∈均成立，求实数m 的取
值范围.
21．（本小题满分12分）
数列{n a }的前n 项和p S n n +=2),(R p ∈数列}{n b 满足n n a b 2lo g =，若
{n a }为等比数列
（1） 求p 的值及通项n a （2） 求1122lim
(1)2n n
n
n a b a b a b n →∞
++++
求和)(,)()1(...)()()(21232221N n b b b b T n n n ∈-+++-=+
22．（本小题满分14分）
已知数列{}n a 的通项公式为),0(>+=a a na a n n ，数列{}n a 中是否存在最大的项？若存在，指出是第几项最大；若不存在，请说明理由.
已知函数)(t f 对任意实数x 、y 都有++=+)()()(y f x f y x f .1)1(,3)2(3=+++f y x xy
（1）若t 为自然数，试求f(t)的表达式；
（2）满足条件f(t)= t 的所有整数t 能否成等差数列？若能构成等差数列，求出此数列；
若不能构成等差数列，请说明理由； （3）若t 为自然数，且t ≥4时，m t m mt t f 3)14()(2
+++≥恒成立，求m 的最大值. 17．解：a · b x x x x x 2cos 2
1
sin 23sin 21cos 23cos
=-= 2分
| a ＋b ||cos |22cos 22)2
1
sin 23(sin )21cos 23(cos
22x x x x x x =+=-++= 4
分
]2
0[π
，∈x ∴cos x ≥0，因此| a ＋b |＝2 cos x
∴f (x )＝a · b －2λ｜a ＋b ｜即2221)(cos 2)(λλ---=x x f 6分
]2
0[π
，∈x ∴0≤cos x ≤1
①若λ＜0，则当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾； 8
分
②若0≤λ≤1，则当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值221λ--， 由已知得23212-
=--λ，解得：2
1=λ 10分
③若λ＞1，则当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值λ41-， 由已知得2341-=-λ，解得：8
5
=λ，这与1>λ相矛盾． 综上所述，2
1
=
λ为所求． 17.(1)4
32[ππ-k ,]4
2ππ+k Z k ∈;(2)4
3π
θ=
20.解：令021==x x 得0)0(=f ，令R x x x x x ∈-==,,21得)()()0(x f x f f -+=
)()(x f x f --=∴，所以
)(x f 是奇函数，当21x x >时，
)()()()()(212121x f x f x f x f x x f -=-+=-由021>-x x 得0)(21>-x x f ，故 )()(21x f x f >，由此可知)(x f 是增函数
于是由0)cos 24()32(cos >-+-θθm m f f 得)4cos 2()32(cos m m f f ->-θθ
]2
,0[,4cos 232cos πθθθ∈->-∴m m ，θθcos 2cos 22
-->
∴m 令=t θθcos 2cos 22--有max t m >，2244]cos 220cos 2[(-≤+-+--=θ
θt 当且仅当22cos -=θ时，等号成立，则24->m 21.（1）12,1-=-=n n a p (2) –1
解：（1）393)1()()1(3)2(3)()()(2++++=+∴+++++=
+t t f t f t f y x xy y f x f y x f
……1分 当t 为自然数时，让t 从1，2，3，……t －1取值有
3
31)1(42
)
1(96)12()1(3)(1)1(4]1)2()1[(9]1)2()1[(3)1()]1()2([)]2()1([)]1()([)(2322-+=+-+-⋅+--⋅=∴+-+++-+-+++-+-=+-++---+--=t t t t t t t t t f t t t t t f f f t f t f t f t f t f
当t 为自然数时，f(t)的解析式为
N t t t t f ∈-+=,33)(23……5分 （2）当,时N t ∈
33)(23-+=t t t f 当t=0时，在3)2(3)()()(+++++=+y x xy y f x f y x f 中，令
由
时当得知,,3)0(3)0()0()0(0N t Z t f f f f y x ∈-∈-=++===-
3)2(3)()()(+++++=+y x xy y f x f y x f 知 得3)0(36)()()(2-==+--+=-f t t f t f t t f
3366]3)(3)[(66)()(232232-+=-+--+--=-+--=t t t t t t t f t f 综上所述，当,时Z t ∈
33)(23-+=t t t f ……8分 3,1,133,)(32123-=-==∴=-+∴=∴t t t t t t t t f
0)1(2312231=---=-+t t t 321,,t t t ∴成等差数列，此数列为1，－1，－3或－3，－1，1 (10)
分
（3）当N t ∈时，33)(23-+=t t t f ，由m t m mt t f 3)14()(2+++≥恒成立知
)
34(33223++≥--+t t m t t t m t t t t t t m t t t ≥-∴>++∴≥∴++≥++-∴10
)3)(1(4)3)(1()3)(1)(1(恒成立
3≤∴m
∴m 的最大值是3 ……14分
唐山市2018 ~ 2018学年度高三年级摸底考试
数学参考答案及评分标准
一、1.D 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D 7.A 8.D 9.B 10.B 11.A 12.C 二、13．4
1 14．α⊂l 15．80（文√） 16．
b a
m b m a >++ 三、
17．（文科）解：（Ⅰ）2
3
5cos 35cos sin 5)(2
+
-=x x x x f )3
sin 2cos 3cos 2(sin 52cos 352sin 25
23522cos 1352sin 25π
π
x x x x x x -=-=++-=
)3
2sin(5π
-
=x …………………………4分
∴最小正周期T=
ππ
=2
2 ……………………………………6分
（Ⅱ）由题意，解不等式ππ
π
ππ
k x k 22
3
222
+≤
-
≤+-
……………………8分
得 )(12
512
Z k k x k ∈+≤
≤+-
ππ
ππ
)(x f ∴的递增区间是)](12
5,
12
[Z k k k ∈++-
ππ
ππ
………………12分 （理科）
（Ⅰ）)32sin(5)(πω-==x x f …………4分
)(x f 的最小正周期πω
π
==
22T ， ∴ω=1……………………6分 （Ⅱ）同文科 18．（Ⅰ）证明：正方形ABCD AB CB ⊥⇒ ∵面ABCD ⊥面ABEF 且交于AB ，
∴CB ⊥面ABEF ∵AG ，GB ⊂面ABEF ， ∴CB ⊥AG ，CB ⊥BG 又AD=2a ，AF= a ，ABEF 是矩形，G 是EF 的中点， ∴AG=BG=a 2，AB=2a ， AB 2=AG 2+BG 2，∴AG ⊥BG ∵CG ∩BG=B ∴AG ⊥平面CBG 而AG ⊂面AGC ， 故平面AGC ⊥平面BGC …………文科6分，理科4分
（Ⅱ）解：如图，由（Ⅰ）知面AGC ⊥面BGC ，且交于GC ，在平面BGC 内作BH ⊥
GC ，垂足为H ，则BH ⊥平面AGC ， ∴∠BGH 是GB 与平面AGC 所成的角
∴在Rt △CBG 中a BG BC BG BC CG
BG
BC BH 3
3
22
2=
+⋅=⋅=
又BG=a 2， ∴3
6
sin =
=
∠BG BH BGH ……………………文科12分，理科8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，BH ⊥面AGC 作BO ⊥AC ，垂足为O ，连结HO ，则HO ⊥AC ，
∴BOH ∠为二面角B —AC —G 的平面角 在a BO ABC Rt 2,=∆中
在Rt △BOH 中， 3
6arcsin
3
6
sin =∠==∠BOH BO BH BOH
即二面角B —AC —G 的大小为36arcsin ………………理科12分
19．解：（Ⅰ）,23)(2
c bx ax x f ++='由已知有,1)1(,0)1()1(-==-'='f f f
即⎪⎩
⎪⎨⎧-=++=+-=++10230
23c b a c b a c b a …………4分 解得23,0,21-===c b a …………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，,2
321)(3x x x f -= )1)(1(23
2323)(2+-=-='x x x x f
当x <－1时，或x >1时，0)(,11,0)(<'<<->'x f x x f 时当…………9分
),1()1,()(+∞--∞∴和在x f 内分别为增函数；在（－1，1）内是减函数.
因此，当x =－1时，函数f(x)取得极大值f(－1)=1；当x =1时，
函数f(x)取得极小值f(1)=－1……………………12分
20．（文科）
解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A 、B 、C ，则P （A ）=0.9
P （B ）=0.8，P （C ）=0.85 …………………………2分
（Ⅰ）)()()()(C P B P A P C B A P ⋅⋅=⋅⋅
=[1－P （A ）]·[1－P （B ）]·[1－P （C ）]
=（1－0.9）×（1－0.8）×（1－0.85）
=0.018
答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.018………………6分
（Ⅱ）P （C B A C B A C B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅）
= P （)()()C B A p C B A P C B A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
=)()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
=[1－P （A ）]·P （B ）·P （C ）+P （A ）·[1－P （B ）]·P （C ）+P （A ）·P （B ）·[1
－P （C ）]
=（1－0.9）×0.8×0.85+0.9×（1－0.8）×0.85+0.9×0.8×（1－0.85）
=0.329
答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329……………………12分
（理科）
设此次摇奖的奖金数额为ξ元，当摇出的3个小球均标有数字2时，ξ=6；当摇出的3 个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，ξ=9；当摇出的3个小球有1个标有 数字2，2个标有数字5时，ξ=12。

所以，157)6(31038===C C P ξ 157)9(310
1228===C C C P ξ 151)12(3102218===C C C P ξ………9分
E ξ=6×5
39151121579157=⨯+⨯+（元）
答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是5
39元 ……………………12分 21．解：（Ⅰ）依题意，,0,1=--=-+ab ay bx b
y a x l 即方程 由原点O 到l 的距离 为23，得
2322==
+c ab b a ab 又332==a c e 3,1==∴a b 故所求双曲线方程为13
22=-y x ………………4分
（Ⅱ）显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y=k x －1，则点M 、N 坐标（11,y x ）、
（22,y x ）是方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=13
122
y x kx y 的解 消去y ，得066)31(22=-+-kx x k ①…………………………………6分 依设，,0312≠-k 由根与系数关系，知1
36,136221221-=-=+k x x k k x x )1)(1(),(),(212121212211--+=+=⋅=⋅kx kx x x y y x x y x y x
=1)()1(21212++-+x x k x x k =11
3613)1(62222+---+k k k k =1136
2+-k ……………………………………9分
23-=⋅ ∴1136
2+-k =－23，k=±2
1 当k=±2
1时，方程①有两个不等的实数根 故直线l 方程为121,121--=-=x y x y 或……………………12分
22．解：])1([)1(11a a n a a n na a a n n n n n --=+-=-++
（1）当1≥a 时，易见 <<<<<-+43211,0a a a a a a n n 即
所以数列{}n a 中不存在最大项 …………………………4分（文5分）
（2）当10<<a 时， 易见)1()1(1a
a n a a a a n n n ---=-+ （i ）当2
10,110<<<-<a a a 即是，易见 43211,0a a a a a a n n >>>>-+即 所以数列{}n a 中的第1项最大…………………………7分（文10分） （ii ）当2
1,11>=-a a a 即时 01≥-+n n a a （仅在n=1时，等式成立） 即 4321a a a a >>= 所以数列{}n a 中的第1项和第2项最大………10分（文14分） （iii ）当21,11>>-a a a 即时 若a a -1且为整数，记a
a -1=N ，易见 >>=<<++211N N N a a a a 所以数列{}n a 中的第N 项和第N+1项最大 若a a -1不是整数，记N 为不超过a
a -1的最大整数，易见
>>=<<++211N N N a a a a 所以数列{}n a 中的第N+1项最大………………………………14分。