广东省汕头市金山中学2011-2012学年高二数学12月月考 文

某某省某某市金山中学2011-2012学年高二12月月考（数学文）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 若,a b R ∈，下列命题中正确的是（ ）
A. 若2
2
,a b a b >>则 B. 若2
2
,a b b ≠≠则a
C. 若2
2
||,a b b >>则a
D. 若22
||,a b a b >>则
2. “α为锐角”是“sin 0α＞”的（ ）
A. 充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件 D ．充要条件
3. 设{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且354a a +=，则7S 等于（ ）
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
4. 设1>a ，2
log (1)a m a =+，log (1)a n a =+，log (2)a p a =，则,,m n p 的大小关系是
（ ）
A.n m p >> B ．m p n >> C ．m n p >> D ．p m n >> 5. 在ABC ∆中，︒===60,10,15A b a ，则B sin =（ ）
A ．
33 B.33±
3
6± 6. 命题“2
0,10x R x ax ∃∈++<使”的否定是（ ）
A ．2
0,10x R x ax ∃∈++>使
B ．2
0,10x R x ax ∃∈++≥使
C ．2
,10x R x ax ∀∈++>成立
D ．2
,10x R x ax ∀∈++≥成立
7. 已知ab b a b a =+>>2,0,0且，则ab 的最小值是（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32
8. 下列结论错误的．．．是（ ） A ．命题“若p ，则q ”与命题“若,q ⌝则p ⌝”互为逆否命题
B ．命题12]1,0[:≥∈∀x x p ，
，命题2
:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为真 C ．“若2
2
,am bm <则a b <”的逆命题为真命题
D ．若q p ∨为假命题，则p 、q 均为假命题
9. 已知点P (x ，y )满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤-+≤-02063202y x y x x ，点Q (x ，y )在圆2)2()2(22=+++y x 上，则|PQ |
的最小值为（ ） A ．22B ．23 C ．32D ．52
10. 设数列{a n }的前n 项和为n S ，令12n
n S S S T n
++
+=
，称n T 为数列n a a a ,,,21 的“理
想数”.已知50021,,,a a a 的“理想数”为1002，那么数列：50021,,,,3a a a 的“理想数”为 ( )
A ．1001
B ．1003
C ．1004
D ．1005
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

请把答案填写答题纸相应位置上。

11. 函数32)(2-+=
x x x f 的定义域为_________
12. 在ABC ∆中，已知0
60A =，4AC =，3ABC S ∆=，则BC =
13. 已知等比数列{}n a 的前三项依次为1,1,4a a a -++，则数列的前n 项和=n S 14. 在等差数列{}n a 中，若)(,n m n
m
a m n a m n ≠==，则m n a +的取值X 围是
高二文科数学月考答题卷(2011.12)
班级某某学号得分__________
一．选择题（本大题共10道小题，每小题5分，满分50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分. ） 11、； 12、；
13、 ______； 14、__________；
三．解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15（12分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°。

（1）求∠ACB 的大小。

（2）求AD 的长度。

x O y
16（12分）已知命题有实根的方程关于01)1(:2
=+-+x a x x p ，命题12
1:<-a
q 。

若q ⌝是真命题，p q ∨是真命题，某某数a 的取值X 围。

17（14分）本地一公司计划2011年在省、市两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，省、市电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定省、市两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元。

问该公司如何分配在省、市两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
18（14分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，
决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *
)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为⎪⎭
⎫
⎝⎛-
500310x a 万元)0(>a ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高%2.0x 。

（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值X 围是多少？
19（14分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S , 4224+=S S ；等比数列
{}n b 的前n 项和为n T ，219b =
，249
T =。

（1）求{}n a 的公差d 的值和{}n b 的前n 项和n T 的表达式； （2）当8=n 时，n S 取得最小值，求1a 的取值X 围； （3）若2
11=a ,判别方程20122=+n n
n T S 是否有解？说明理由。

20（14分）设奇函数)(x f 对任意R x ∈都有1()(1).2
f x f x =-+ （1）求)21(f 和()(
)(0,1,2,,)k n k
f f k n n
n
-+=⋯的值； （2）数列{}n a 满足：n a =)0(f +)1()1()2()1(f n n f n f n f +-+++ 1
()2
f -，
数列}{n a 是等差数列吗？请给予证明；
（3）设m 与k 为两个给定的不同的正整数，{}n a 是满足（2）中条件的数列， 证
明：
2
11
1|(1)(1)|(
)||2
s
n n n s m na kn n k a m k +=++-+++<-∑(1,2,)s =…
（注：
∑
用于多项数的求和，如
n n
i i
a a a a
+++=∑= 211
）
高二文科数学月考答案(2011.12)
一．选择题（本大题共10道小题，每小题5分，满分50分）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分. ）
三．解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15（12分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°。

（1）求∠ACB 的大小。

（2）求AD 的长度。

解：在△ABC 中，由余弦定理，有
（1）cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝232
2×2×23＝3
2
，则∠ACB ＝30°.…………………………6分
16（12分）已知命题有实根的方程关于01)1(:2
=+-+x a x x p ，命题12
1:<-
a
q 。

若q ⌝
是真命题，p q ∨是真命题，某某数a 的取值X 围。

解：若p 是真命题，则032,04)1(2
2
≥--⇒≥--a a a ，解得31≥-≤a a 或……3分
若q 是真命题，则有121<-
a ，得12
11<-<-a
，解得40<<a ………………6分
17（14分）本地一公司计划2011年在省、市两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，省、市电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定省、市两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元。

问该公司如何分配在省、市两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解：设公司在省电视台和市电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元。

目标函数为y x z 20003000+=………………………6分
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图。

……………………8分 作直线020003000:=+y x l 即023=+y x
平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值。

…………10分
联立⎩⎨⎧=+=+.90025,300y x y x 解得⎩
⎨⎧==200100y x
答：省电视台100分钟、市电视台200分钟的时间，公司的总收益最大。

………14分
18（14分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，
决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *
)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为⎪⎭
⎫
⎝⎛-
500310x a 万元)0(>a ，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高%2.0x 。

解：(1)由题意得10(1000－x )(1＋0.2x %)≥10×1000，……………………………………3分
即x 2
－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500.
即最多调整出500名员工从事第三产业．………………………………………………5分
(2)第三产业的员工创造的年总利润为10⎝ ⎛⎭
⎪⎫a －3x 500x 万元，原来产业的员工创造的年总利润
所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值X 围为(0,5]．……………………14分 19（14分）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S , 4224+=S S ；等比数列
{}n b 的前n 项和为n T ，219b =
，249
T =。

（1）求{}n a 的公差d 的值和{}n b 的前n 项和n T 的表达式； 解：（1）∵4224S S =+，∴1134
42(2)42
a d a d ⨯+
=++………………………………2分 解得1d =………………………………………………………………………………3分
1111949b q b b q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
11133b q ==…………………………………………………5分 ])31(1[213
11]
)31
(1[31n n n T -=--=………………………………………………………6分
（3）])3
1(1[21n n T -= ，2111(1)22n S na n n d n =+-=…………………………………11分
则方程20122=+n n
n T S 转化为：402431122=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n
n
令：n n
n n f )3
2(2)(2-+=，知()f n 单调递增
（2）数列{}n a 满足：n a =)0(f +)1()1(
)2()1
(f n n f n f n f +-+++ 1
()2
f -，
数列}{n a 是等差数列吗？请给予证明；
（3）设m 与k 为两个给定的不同的正整数，{}n a 是满足（2）中条件的数列， 证明：
2
11
1|(1)(1)|(
)||2
s
n n n s m na kn n k a m k +=++-+++<-∑(1,2,)s =… 解：（1）
1
()(1)2
f x f x =-+，且)(x f 是奇函数
（2）设11(0)()(
)(1)n n s f f f f n
n -=++
++又11
(1)()()(0)n n s f f f f n n
-=++++ 两式相加111
2[(0)(1)][()()][(1)(0)]2
n n n s f f f f f f n n -+=++++++=
． 所以1
,4
n n s +=…………………………………………………………………………6分
故*111(),2444n n n n
a s f n N +=-=-=∈……………………………………………7分
又111
444
n n n n a a ++-=-=．故数列}{n a 是等差数列．……………………………8分
要证：
2
11
1|(1)(1)(
)|2
s
n n n s m na kn n k a m k +=+++++<∑(1,2,)s =… 即 2
1
1111(1)(
)|22s
n s m k n n m k =++++……………………10分 ∵121
(1)22
n n n n n +++⨯+<= 22(321)
35212(1)21223...(1) (222222)
s s s s s s s s +++++⨯⨯+⨯++++==<。