湖北省黄石市富池镇中学2018-2019学年高三数学文月考试题含解析

湖北省黄石市富池镇中学2018-2019学年高三数学文月
考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知满足，若z的最小值为，则的值为A．B．C．D．
参考答案：
A
2. 执行如图2程序框图，若输入的值为6，则输出的值
为
A． B． C． D．
参考答案：
C
3. 已知，，，则a、b、c的大小关系是（）
A. B.
C. D. 以上选项都不对
参考答案：
B
【分析】
利用指数对数函数的图像和性质确定的范围即得它们的大小关系.
【详解】由题得，
所以.
,
,
所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4. 在△ABC中，点P在BC上，且，点Q是AC的中点，若，
B
略
5. 若点P是函数f（x）=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为（）
A．B．C．D．3
参考答案：
A
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；点到直线的距离公式．
【专题】转化思想；导数的综合应用．
【分析】由题意知，当曲线上过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小，求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线x﹣y﹣2=0的距离即为所求．
【解答】解：点P是曲线f（x）=x2﹣lnx上任意一点，
当过点P的切线和直线x﹣y﹣2=0平行时，
点P到直线x﹣y﹣2=0的距离最小．
直线x﹣y﹣2=0的斜率等于1，
由f（x）=x2﹣lnx，得f′（x）=2x﹣=1，解得：x=1，或 x=﹣（舍去），
故曲线f（x）=x2﹣lnx上和直线x﹣y﹣2=0平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线x﹣y﹣2=0的距离等于，
故点P到直线x﹣y﹣2=0的最小距离为．
故选：A．
【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，体现了转化的数学思想，是中档题．
6. 有下列四种变换方式：
①向左平移,再将横坐标变为原来的; ②横坐标变为原来的,再向左平移
;
③横坐标变为原来的,再向左平移; ④向左平移,再将横坐标变为原来的;
其中能将正弦曲线的图像变为的图像的是（）
A.①③
B.①②
C.②④
D.①②④
参考答案：
B
7. 已知函数f（x）=kx﹣1，其中实数k随机选自区间[﹣2，2]，?x∈[0，1]，f（x）≤0的概率是（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】几何概型．
【分析】由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，根据题目中所给的条件可求k的范围，区间的长度之比等于要求的概率．
【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值对应长度之比，
∵﹣2≤k≤2，其区间长度是4，
又∵对?x∈[0，1]，f（x）≥0且f（x）是关于x的一次型函数，在[0，1]上单调，
∴，
∴﹣2≤k≤1，其区间长度为3，
∴P=，
故选：D．
8. 若直线与直线的倾斜角相等，则实数
A．B．1 C．D．2
参考答案：
B
由题意可得两直线平行，.
9. 若O为△ABC所在平面内一点，且满足，则
△ABC的形状为
A、正三角形
B、直角三角形
C、等腰三角形
D、以上都不对
参考答案：
答案：C
10. 已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为椭圆
上一点，，连接AF2交y轴于M点，若，则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知不等式的解集为，则，且
的值为 .
参考答案：
4，4.
12. 若圆的半径为1，则F=______。

参考答案：
1
【分析】
根据圆的半径计算公式列方程，解方程求得的值.
【详解】圆的半径为，解得.
【点睛】本小题主要考查圆的半径计算公式，属于基础题.
13. 已知地球的半径为，在北纬东经有一座城市，在北纬西经
有一座城市，则坐飞机从城市飞到的最短距离是．(飞机的飞行高度忽略不计)
参考答案：
14. 已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），若对任意实数x有f
（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1的图象过原点，则不等式的解集为．参考答案：
（0，+∞）
【考点】导数的运算．
【分析】构造函数g（x）=，研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解
【解答】解：设g（x）=（x∈R），
则g′（x）=，
∵f′（x）＜f（x），
∴f′（x）﹣f（x）＜0
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定义域上单调递减
∵f（x）＜e x
∴g（x）＜1
∵y=f（x）﹣1的图象过原点，
∴f（0）=1
又∵g（0）==1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故答案为（0，+∞）
【点评】本题考查函数单调性，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．
15. 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测. 若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为件.
参考答案：
1800
16. 如图，A，B是半径为1的圆O上两点，且∠AOB＝．若点C是圆O上任意一点，则的取值范围为▲．
参考答案：
17. 在中，角所对的边分别为，且满足：
，则的面积
为.
参考答案：
由及正弦定理得即
,即得即A=.由正弦定理及
，得故
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）由于雾霾日趋严重，政府号召市民乘公交出行.但公交车的数量太多会造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求.为此，某市公交公司在某站台的名候车乘客中进行随机抽样，共抽取10人进行调查反馈，所选乘客情况如下表所示：
(Ⅰ)估计这名乘客中候车时间少于分钟的人数；
(Ⅱ)现从这10人中随机取3人，求至少有一人来自第二组的概率；
(Ⅲ)现从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自个组，求的分布列及数学期望.
参考答案：
(Ⅰ)候车时间少于分钟的人数为人；………3分(Ⅱ)设“至少有一人来自第二组为事件A”
…………7分
(Ⅲ)的可能值为1，2，3
…………10分
所以的分布列为
…………11分
…………13分
19. 已知：函数f（x）=2sin2x+sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）把函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把
得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g()的值．
参考答案：
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【分析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式为f（x）
=，进而利用周期公式即可计算得解．
（Ⅱ）由（k∈Z），即可解得f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的规律可求，进而利用特殊角的三角函数值即可计算得解．
【解答】（本题满分为13分）
解：=
==，…
（Ⅰ）
；
…
（Ⅱ）由（k∈Z），得
（k∈Z），
则f（x）的单调递增区间是
（k∈Z）；…
（Ⅲ）函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，
再把得到的图象向左平移个单位得到函数的图象，即，则．…
20. 已知函数．
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
参考答案：
（1）见解析；（2）．
（1），
若，，在上单调递减；
若，当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增．
（2）若，在上单调递减，至多一个零点，不符合题意；若，由（1）可知，的最小值为，
令，，所以在上单调递增，
又，当时，，至多一个零点，不符合题意，
当时，，
又因为，结合单调性可知在有一个零点，令，，
当时，单调递减；当时，单调递增，的最小值为，所以，
当时，
，结合单调性可知在有一个零点，
综上所述，若有两个零点，的范围是．
21. 一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁和外壁都是半径为1m的四分之一圆弧，分别与圆弧相切于两点，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.
（1）若水平放置的木棒的两个端点分别在外壁和上，且木棒与内壁圆
弧相切于点设试用表示木棒的长度
（2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值。

参考答案：
解：（1）如图，设圆弧FG所在的圆的圆心为Q，过Q点作CD垂线，垂足为点T，且交MN或其延长线与于S，并连接PQ，再过N点作TQ的垂线，垂足为W．
在Rt△NWS中，因为NW=2，∠SNW=θ，
所以．
因为MN与圆弧FG切于点P，所以PQ⊥MN，
在Rt△QPS，因为PQ=1，∠PQS=θ，
所以，，
①若M在线段TD上，即S在线段TG上，则TS=QT﹣QS，
在Rt△STM中，，
因此MN=NS+MS=．
②若M在线段CT上，即若S在线段GT的延长线上，则TS=QS﹣QT，
在Rt△STM中，，
因此MN=NS﹣MS==．
f（θ）=MN==
（2）设，则，
因此．因为，又，
所以g′（t）＜0恒成立，
因此函数在是减函数，
所以，
即．
所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为．
略
22. 若函数f（x）在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）当定义域为[﹣1，1]，试判断f（x）=x4+x3+x2+x﹣1是否为“局部奇函数”；（2）若g（x）=4x﹣m?2x+1+m2﹣3为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的范围；
（3）已知a＞1，对于任意的，函数h（x）=ln（x+1+a）+x2+x﹣b都是定义域为[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】函数与方程的综合运用．
【分析】（1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；
（2）根据f（x）为定义域R上的“局部奇函数，得到f（﹣x）=﹣f（x），恒成立，建立条件关系即可求实数m的取值范围；
（3）根据f（x）为定义域[﹣1，1]上的“局部奇函数，得到f（﹣x）=﹣f（x），恒成立，建立条件关系即可求实数a的取值范围；
【解答】解：（1）因为f（x）=x4+x3+x2+x﹣1，
所以f（﹣x）=x4﹣x3+x2﹣x﹣1，
由f（﹣x）=﹣f（x）得x4+x2﹣1=0，
令x2=t∈[0，1]，而t2+t﹣1=0存在一根，
即存在x∈[﹣1，1]，使得f（﹣x）=﹣f（x），
所以f（x）为“局部奇函数”．
（2）由题意知，g（﹣x）=﹣g（x）在R上有解，即4﹣x﹣2m?2﹣x+m2﹣3=﹣4x+2m?2x﹣m2+3在R上有解，
所以4x+4﹣x﹣2m（2x+2﹣x）+2（m2﹣3）=0在R上有解，
令2x+2﹣x=u∈[2，+∞），
所以u2﹣2mu+2m2﹣8=0在u∈[2，+∞）上有解，
令F（u）=u2﹣2mu+2m2﹣8，
①当F（2）≤0时，即2m2﹣4m﹣4≤0，解得，
此时F（u）在[2，+∞）上必有零点，所以；
②当F（2）＞0时，F（u）在[2，+∞）上有零点必须满足
综上：．
（3）由题意知，，﹣h（x）=h（﹣x）在x∈[﹣1，1]上都有解，
即，ln（﹣x+1+a）+x2﹣x﹣b=﹣ln（x+1+a）﹣x2﹣x+b在x∈[﹣1，1]上都有解，
即，ln[（a+1）2﹣x2]+2x2=2b在x∈[﹣1，1]上都有解，
令x2=s∈[0，1]，令φ（s）=ln[（a+1）2﹣s]+2s，
由题意知φ（s）在s∈[0，1]上的值域包含[2，3]，
因为，又因为s∈[0，1]，a∈（1，+∞），所以（a+1）2﹣s＞3，
所以φ′（s）＞0，所以φ（s）在s∈[0，1]上单调递增，
所以
综上：1＜a≤e﹣1．。