湖南省永州市2020届高三上学期第二次模拟考试数学(文)答案

永州市2020年高考第二次模拟考试试卷
数学（文科）参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
B
C
B
D
B
D
B
A
C
C
A
D
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13．2
14．19
-
15．
4141
6
16．
2020
2021
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 解：（1）Q 1
sin 2
BCD S BD BC B ∆=
⋅⋅ ∴4BC = …………………………………………………………………… 3分 在BCD ∆中，由余弦定理可得 2222cos CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅⋅
∴ 23CD = ………………………………………………………………… 6分 （2）Q BCD BCA DCA ∠=∠-∠
∴sin sin cos cos sin BCD BCA DCA BCA DCA ∠=∠∠-∠∠ ……………… 8分 Q 5cos BCA ∠=
310cos DCA ∠∴25sin BCA ∠=10sin DCA ∠=，………………………………………9分 ∴ 2
sin 2
BCD ∠=
………………………………………………………… 10分 在BCD ∆中，由正弦定理可得
sin sin CD BD
B BCD
=
∠， ∴ sin 6sin BD B
CD BCD
⋅=
=∠………………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）消费不低于1000元的共有0.0252100=5⨯⨯ 人， ……………………………1分
其中女职工3人设为,,A B C ，男职工2人，设为,a b .从5名职工中选取3名职工的可能情况如下：
（,,A B C ），（,,A B a ），（,,A B b ），（,,A C a ），（,,A C b ），（,,B C a ），（,,B C b ）（,,A a b ），（,,B a b ），（,,C a b ）共10种情况.………………3分
其中至少有两名女职工包括7种情况. …………………………………………4分 所以抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率7
10
P = . …………6分 （2）应抽取男职工：1201000=602000⨯
人，抽取女职工：800
100=402000
⨯人， 理性购物者 购物狂 合计 男 48 12 60 女
22
18 40 合计 70
30
100
8分
（注：按表格前两行，一行数据全对时得1分）
2(48182212)100
7.14360407030
k ⨯-⨯⨯=≈⨯⨯⨯， …………………………………………10分
因为7.143 6.635>
所以有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关. ………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1）Q DC ⊥平面ABC ，AM ⊂平面ABC ，
∴AM DC ⊥ ………………………………………………………………………1分
Θ在ABC ∆中，AC AB ⊥，4AB =，3AC =，
∴5BC =
由2223cos 25
AC CM AM ACM AC CM +-∠=
=⋅得2
2
1293565CM CM ⎛⎫
+- ⎪⎝⎭= ∴9
5
CM =……………………………………………………………………………3分
∴222
AM CM AC +=
AM CM ∴⊥，即AM BC ⊥………………………………………………………5分
ΘBC DC C =I ，BC ⊂平面BCD ，CD ⊂平面BCD
∴AM ⊥平面BCD …………………………………………………………………6分
（2）取AB 的中点N ，BM 的中点P ,连接FN ，PN ,
∴AM PN //，16
25
PN AM ==， ……………………………………………7分
Θ点F 为线段BE 中点，
∴//FN EA . ………………………………………………………………………8分 ΘDC ⊥平面ABC ， EA ⊥平面ABC ，
∴//DC EA ，DC BC ⊥，…………………………………………………………9分 ∴//FN DC .
ΘFN ⊄平面BCD ，DC ⊂平面BCD ∴//FN 平面BCD
∴点F 到平面BCD 的距离等于点N 到平面BCD 的距离 …………………10分
ΘAM ⊥平面BCD ， ∴PN ⊥平面BCD .
设CD a =，则116
51325
F BCD V a -=
⨯⨯⨯=三棱锥 ∴1a =，即CD 长为1. …………………………………………………………12分
20.（本小题满分12分）
解：（1）显然直线l 的斜率存在，设直线l ：2y kx =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y
联立222y kx x y
=+⎧⎨=⎩得2
240x kx --=，……………………………………………2分
∴ 2
4160k ∆=+>，122x x k +=，124x x =- ………………………………3分
∴ 2121212121()04
OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+=u u u r u u u r ，……………………………4分
∴ OA OB ⊥ …………………………………………………………………5分 （2）Q 1k =
∴ 122x x +=，124x x =-
Q y x '= ∴切线1l ：111()y y x x x -=-即21112
y x x x =-
同理可得切线2l ：2
2212
y x x x =-
……………………………………………6分 令0y =，则11(,0)2M x ，21
(,0)2
N x
联立2112
22
12
12
y x x x y x x x ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得，点(1,2)P - ……………………………………………8分
设MNP ∆的外接圆的方程为：220x y Dx Ey F ++++= 令0y =，则20x Dx F ++=
∴ 由韦达定理可得1211+22x x D =-，121
4
x x F =， ………………………10分
∴ 1D =-，1F =-且520D E F +-+= ∴ 3
2
E =
，………………………………………………………………………11分 则圆的方程为：2
2
3102x y x y +-+-=即2
2
13292416x y ⎛
⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， …12分
21．（本小题满分12分） 解：（1）定义域：(0,)+∞
由题意知211
()1+=
0ax x f x ax x x
-+'=-≥在(0,)x ∈+∞时恒成立，………1分 即210ax x -+≥在(0,)x ∈+∞时恒成立，………………………………………2分 所以(0,)x ∈+∞时，2max
1x a x -⎛⎫
≥
⎪⎝⎭ ……………………………………………3分 由于222
1111111()244x y x x x x -=
=-=--+≤，所以1
4
a ≥……………………5分 （2）设()()2a g x f x ax =-+
=2+ln 22
a a
x ax x x --+ 21(1)1(1)(1)
()1ax a x ax x g x ax a x x x
-++--'=--+==，…………………6分
①当1a =时，()0g x '≥，()g x 在()0,+∞是单调递增，
()110g =-<Q ，()1
4ln 402
g =+
>， 所以存在唯一的()01,4x ∈使()00g x =,即方程()2
a
f x ax =-只有一个根. ……8分 ②当(1,)a e ∈时，则101a <
<，令()0g x '=，有1
x a
=或1x =. 所以()g x 在1
(0,)a
上是增函数，在1
(1)a
，上是减函数，在(1+)∞，
上是增函数
()g x 的极大值为1111
()1ln ln 12222a a g a a a a a a
=---+=---.……………9分
设1
()ln 122a h a a a
=
---，其中(1,)a e ∈ 则2
22
111(1)()+0222a h a a a a -'=-=>
所以()h a 在(1,)a e ∈上是增函数， 所以1()()2022e h a h e e <=
--<，即1
()0g a
<， 所以()g x 在()0,1上无零点.………………………………………………………10分 又(1)=1<0g -，991
(4)=4ln 44+ln 4ln 40222
a g -+>-=+>， 所以(1)(4)0g g ⋅<，
又()y g x =在(1,+)∞单调递增，所以存在唯一的()01,4x ∈使()00g x =. 即方程()2
a
f x ax =-
只有一个根.…………………………………………………11分 综上所述，当[1,)a e ∈时，方程()2
a
f x ax =-
有且只有一个根. ……………12分 22.（本小题满分10分）
解：（1）直线1C 的直角坐标方程为20x y +-=， ……………………………………2分
将cos x ρθ=,sin y ρθ=代入方程得
sin cos 2ρθρθ+= ，即sin()24
π
ρθ+= ……………………………5分
（2）依题意可设直线l 的极坐标方程为=0<<)2
π
θαα（，
设12(,),(,)M N ραρα， …………………………………………………………6分
则212sin sin()214=)422
ON OM π
ααρπαρ+-+， ……………………8分 由02
π
α<<
,有324
4
4
π
π
π
α-
<-
<
,……………………………………………9分 当sin(2)=14
π
α-
时，
ON OM 2+1
. ……………………………10分 23.（本小题满分10分）
解：（1）当2x ≥时，原不等式即225x x -≤+，解得2x ≥； …………………………2分
当2x <时，原不等式即225x x -≤+，解得12x -≤<， ……………………4分
∴不等式52)(+≤x x f 的解集为[)+∞-,1. ……………………………………5分
（2）Q ()(1)(5)13132g x f x f x x x x x =+--+=---+≤--+=………………7分
（当且仅当3≥x 时等号成立）
∴2=M
∴32222
1111233Ma a a a a a a a a a +
=+=++≥⋅⋅. ……………………………9分 当且仅当2
1
a a =
，即1=a 时等号成立.…………………………………………10分。