扎赉诺尔区实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

扎赉诺尔区实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． （）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷
的值为（
）
A ．﹣
B ．
C ．
D ．
2． 现要完成下列3项抽样调查：
①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查．
②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈．
③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员2名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．较为合理的抽样方法是（
）
A ．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样
B ．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样
C ．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样
D ．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样
3． △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a=，c=2，cosA=，则b=（
）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
4． 双曲线的渐近线方程是（ ）A ．B ．
C ．
D ．
5． 已知双曲线，分别在其左、右焦点，点为双曲线的右支上
22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>12,F F P 的一点，圆为三角形的内切圆，所在直线与轴的交点坐标为，与双曲线的一条渐
M 12PF F PM (1,0)
，则双曲线的离心率是（ ）C A
B ．2
C
D
6． 直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．144,144ππ144,36ππ36,144
ππ36,36ππ
7． 函数f （x ）=﹣x 的图象关于（ ）
A ．y 轴对称
B ．直线y=﹣x 对称
C ．坐标原点对称
D ．直线y=x 对称
8． 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（
）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9． 已知全集U=R ，集合A={1，2，3，4，5}，B={x ∈R|x ≥3}，图中阴影部分所表示的集合为（
）
A ．{1}
B ．{1，2}
C ．{1，2，3}
D ．{0，1，2}
10．两个随机变量x ，y 的取值表为
x 0134y
2.2
4.3
4.8
6.7
若x ，y 具有线性相关关系，且＝bx ＋2.6，则下列四个结论错误的是（
）
y ^
A ．x 与y 是正相关
B ．当y 的估计值为8.3时，x ＝6
C ．随机误差e 的均值为0
D ．样本点（3，4.8）的残差为0.65
11．函数f （x ）=3x +x ﹣3的零点所在的区间是（ ）
A ．（0，1）
B ．（1，2）
C ．（2.3）
D ．（3，4）
12．sin45°sin105°+sin45°sin15°=（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．1
二、填空题
13．如图是甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环）的茎叶图，则成绩较为稳定（方差较小）的运动员是 ．
14．自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到C 22
(3)(4)4x y -++=(,)P x y Q P 原点的长，则的最小值为（ ）
O PQ A ．
B ．3
C ．4
D ．131021
10
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．
15．满足关系式{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ．
16．设抛物线C ：y 2=3px （p ＞0）的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为 ．
17．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．
18．如果椭圆+
=1弦被点A （1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程是 ．
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，.|1||2|)(+--=x x x f x x g -=)(（1）解不等式；
)()(x g x f >（2）对任意的实数，不等式恒成立，求实数的最小值.111]
)()(22)(R m m x g x x f ∈+≤-m 20．已知向量=（，1），=（cos ，），记f （x ）=．
（1）求函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数y=f （x ）的图象向右平移个单位得到y=g （x ）的图象，讨论函数y=g （x ）﹣k 在
的零点个数．
21．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f （x ）满足f （）=f （x 1）﹣f （x 2）．
（1）求f （1）的值；
（2）若当x ＞1时，有f （x ）＜0．求证：f （x ）为单调递减函数；（3）在（2）的条件下，若f （5）=﹣1，求f （x ）在[3，25]上的最小值．　
22．已知f （x ）=log 3（1+x ）﹣log 3（1﹣x ）．（1）判断函数f （x ）的奇偶性，并加以证明；（2）已知函数g （x ）=log
，当x ∈[
，
]时，不等式 f （x ）≥g （x ）有解，求k 的取值范围．
23．（本题满分15分）
设点是椭圆上任意一点，
过点作椭圆的切线，与椭圆交于，P 14:2
21=+y x C P )1(14:22222>=+t t
y t x C A 两点．
B
（1）求证：；
PB PA =（2）的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
OAB ∆【命题意图】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．
24．（本小题满分13分）
在四棱锥中，底面是直角梯形，，，
．
P ABCD -ABCD //AB DC 2
ABC π
∠=AD =33AB DC =
=（Ⅰ）在棱上确定一点，使得平面；PB E //CE PAD （Ⅱ）若，，求直线与平面所成角的大小．
PA PD ==
PB PC =PA PBC A
B
C
D
P
扎赉诺尔区实验中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：原式=1﹣（1﹣）÷
=1﹣（1﹣）÷
=1﹣（1﹣4）×
=1﹣（﹣3）×
=1+
=．
故选：D．
【点评】本题考查了根式与分数指数幂的运算问题，解题时应细心计算，是易错题．
2．【答案】A
【解析】解；观察所给的四组数据，
①个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，简单随机抽样，
②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，
在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，
在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号，系统抽样，
③个体有了明显了差异，所以选用分层抽样法，分层抽样，
故选A．
3．【答案】D
【解析】解：∵a=，c=2，cosA=，
∴由余弦定理可得：cosA===，整理可得：3b2﹣8b﹣3=0，
∴解得：b=3或﹣（舍去）．
故选：D．
4．【答案】B
【解析】解：∵双曲线标准方程为，
其渐近线方程是=0，
整理得y=±x ．故选：B ．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．属于基础题．　
5． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意知到直线，得，则为等轴双曲()1,00bx ay -=
=
a b =
.故本题答案选C. 1考点：双曲线的标准方程与几何性质．
【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同.求双曲,,a b c ,,a b c ,,a b c 线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出的值,可得；（2）建立的齐次关系式,,a c ,,a b c 将用表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.
,a c 2
a 6． 【答案】D 【解析】
考点：球的表面积和体积．7． 【答案】C
【解析】解：∵f （﹣x ）=﹣+x=﹣f （x ）∴
是奇函数，所以f （x ）的图象关于原点对称
故选C ．
8． 【答案】B
【解析】解：∵b ⊥m ，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a ⊥b 成立，若a ⊥b ，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件，故选：B ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．　
9． 【答案】B
【解析】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A 中，但不在集合B 中．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U B ）∩A ，
又A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}，
∵C U B={x|x＜3}，
∴（C U B）∩A={1，2}．
则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}．
故选B．
【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．
10．【答案】
^
【解析】选D.由数据表知A是正确的，其样本中心为（2，4.5），代入＝bx＋2.6得b＝0.95，即＝0.95x＋
y^y
2.6，当＝8.3时，则有8.3＝0.95x＋2.6，∴x＝6，∴B正确．根据性质，随机误差的均值为0，∴C正确．样
y^e
本点（3，4.8）的残差＝4.8－（0.95×3＋2.6）＝－0.65，∴D错误，故选D.
e^
11．【答案】A
【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，
∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．
故选A
【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．
12．【答案】C
【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°
=cos45°cos15°+sin45°sin15°
=cos（45°﹣15°）
=cos30°
=．
故选：C．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】　甲　．
【解析】解：【解法一】甲的平均数是=（87+89+90+91+93）=90，
方差是=[（87﹣90）2+（89﹣90）2+（90﹣90）2+（91﹣90）2+（93﹣90）2]=4；
乙的平均数是=（78+88+89+96+99）=90，
方差是=[（78﹣90）2+（88﹣90）2+（89﹣90）2+（96﹣90）2+（99﹣90）2]=53.2；
∵＜，∴成绩较为稳定的是甲．
【解法二】根据茎叶图中的数据知，
甲的5个数据分布在87～93之间，分布相对集中些，方差小些；
乙的5个数据分布在78～99之间，分布相对分散些，方差大些；
所以甲的成绩相对稳定些．
故答案为：甲．
【点评】本题考查了平均数与方差的计算与应用问题，是基础题目．
14．【答案】D
【解析】
15．【答案】　4　．
【解析】解：由题意知，
满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A有：
{2，3}，{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，1，4}，
故共有4个，
故答案为：4．
16．【答案】　y2=4x或y2=16x　．
【解析】解：因为抛物线C方程为y2=3px（p＞0）所以焦点F坐标为（，0），可得|OF|=
因为以MF为直径的圆过点（0，2），所以设A（0，2），可得AF⊥AM
Rt△AOF中，|AF|=，
所以sin∠OAF==
因为根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，
所以∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF==，
因为|MF|=5，|AF|=，
所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=
因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x．
故答案为：y2=4x或y2=16x．
【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题．
17．【答案】　3+　．
【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．
前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，
即个，
因此第n行第3个数是全体正整数中第3+个，
即为3+．
故答案为：3+．
18．【答案】　x+4y﹣5=0　．
【解析】解：设这条弦与椭圆+=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2），
由中点坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，
把P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）代入x 2+4y 2=36，得
，
①﹣②，得2（x 1﹣x 2）+8（y 1﹣y 2）=0，∴k=
=﹣，
∴这条弦所在的直线的方程y ﹣1=﹣（x ﹣1），即为x+4y ﹣5=0，
由（1，1）在椭圆内，则所求直线方程为x+4y ﹣5=0．故答案为：x+4y ﹣5=0．
【点评】本题考查椭圆的方程的运用，运用点差法和中点坐标和直线的斜率公式是解题的关键．　
三、解答题
19．【答案】（1）或；（2）.13|{<<-x x }3>x 【
解
析
】
试
题解析：（1）由题意不等式可化为，)()(x g x f >|1||2|+>+-x x x 当时，，解得，即；1-<x )1()2(+->+--x x x 3->x 13-<<-x 当时，，解得，即；21≤≤-x 1)2(+>+--x x x 1<x 11<≤-x 当时，，解得，即
（4分）
2>x 12+>+-x x x 3>x 3>x 综上所述，不等式的解集为或.
（5分）
)()(x g x f >13|{<<-x x }3>x （2）由不等式可得，m x g x x f +≤-)(22)(m x x ++≤-|1||2|分离参数，得，∴m |1||2|+--≥x x m max
|)1||2(|+--≥x x m ∵，∴，故实数的最小值是. （10分）
3|)1(2||1||2|=+--≤+--x x x x 3≥m m 考点：绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．120．【答案】
【解析】解：（1）∵向量=（，1），=（cos ，），记f （x ）=．
∴f （x ）=
cos +
=
sin +cos +=sin （+
）+，
∴最小正周期T==4π，
2kπ﹣≤+≤2kπ+，
则4kπ﹣≤x≤4kπ+，k∈Z．
故函数f（x）的单调递增区间是[4kπ﹣，4kπ+]，k∈Z；
（2））∵将函数y=f（x）=sin（+）+的图象向右平移个单位得到函数解析式为
：y=g（x）=sin[（x﹣+）]+=sin（﹣）+，
∴则y=g（x）﹣k=sin（x﹣）+﹣k，
∵x∈[0，]，可得：﹣≤x﹣≤π，
∴﹣≤sin（x﹣）≤1，
∴0≤sin（x﹣）+≤，
∴若函数y=g（x）﹣k在[0，]上有零点，则函数y=g（x）的图象与直线y=k在[0，]上有交点，
∴实数k的取值范围是[0，]．
∴当k＜0或k＞时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是0；
当0≤k＜1时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是2；
当k=0或k=时，函数y=g（x）﹣k在的零点个数是1．
【点评】本题是中档题，考查向量的数量积的应用，三角函数的化简求值，函数的单调增区间的求法，函数零点的判断方法，考查计算能力．
21．【答案】
【解析】解：（1）令x1=x2＞0，
代入得f（1）=f（x1）﹣f（x1）=0，
故f（1）=0．…（4分）
（2）证明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，则＞1，
由于当x＞1时，f（x）＜0，所以f（）＜0，
即f（x1）﹣f（x2）＜0，因此f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．…（8分）
（3）因为f（x）在（0，+∞）上是单调递减函数，
所以f（x）在[3，25]上的最小值为f（25）．
由f（）=f（x1）﹣f（x2）得，
f（5）=f（）=f（25）﹣f（5），而f（5）=﹣1，
所以f（25）=﹣2．
即f（x）在[3，25]上的最小值为﹣2．…（12分）
【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法以及函数单调性的定义是解决本题的关键．
22．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）为奇函数．
理由：1+x＞0且1﹣x＞0，得定义域为（﹣1，1），（2分）
又f（﹣x）=log3（1﹣x）﹣log3（1+x）=﹣f（x），
则f（x）是奇函数.
（2）g（x）=log=2log3，（5分）
又﹣1＜x＜1，k＞0，（6分）
由f（x）≥g（x）得log3≥log3，
即≥，（8分）
即k2≥1﹣x2，（9分）
x∈[，]时，1﹣x2最小值为，（10分）
则k2≥，（11分）
又k＞0，则k≥，
即k的取值范围是（﹣∞，].
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明，考查不等式有解的条件，注意运用对数函数的单调性，考查运算化简能力，属于中档题．
23．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
∴点为线段中点，；…………7分
P AB PB PA =（2）若直线斜率不存在，则，与椭圆方程联立可得，，
AB 2:±=x AB 2C )1,2(2
--±t A ，故，…………9分
1,2(2-±t B 122-=∆t S OAB 若直线斜率存在，由（1）可得
AB ，，，…………11分1482
21+-=+k km x x 144422221+-=k t m x x 141141222212
+-+=-+=k t k x x k AB 点到直线的距离，…………13分O AB 2
2211
41k
k k m d ++=
+=∴，综上，的面积为定值．…………15分
122
12
-=⋅=∆t d AB S OAB OAB ∆122-t 24．【答案】
【解析】解： （Ⅰ）当时，平面.1
3PE PB =
//CE PAD 设为上一点，且，连结、、，
F PA 1
3PF PA =EF DF EC 那么,.
//EF AB 1
3EF AB =∵，，∴，，∴．
//DC AB 1
3
DC AB =//EF DC EF DC =//EC FD 又∵平面， 平面，∴平面． （5分）
CE ⊄PAD FD ⊂PAD //CE PAD （Ⅱ）设、分别为、的中点，连结、、，
O G AD BC OP OG PG ∵，∴，易知，∴平面，∴．PB PC =PG BC ⊥OG BC ⊥BC ⊥POG BC OP
⊥又∵，∴，∴平面． （8分）
PA PD =OP AD
⊥OP ⊥ABCD 建立空间直角坐标系（如图），其中轴，轴，则有,,
O xyz -x //BC y //AB (1,1,0)A -(1,2,0)B ．由知． （9分）
(1,2,0)C -2PO ===(0,0,2)P
设平面的法向量为，,PBC (,,)n x y z =r (1,2,2)PB =-u u u r
(2,0,0)
CB =u u r 则 即，取.0
n PB n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r
r u u u r
22020x y z x +-=⎧⎨=⎩(0,1,1)n =r 设直线与平面所成角为，，则，PA PBC θ(1,1,2)AP =-u u u
r ||sin |cos ,|||||AP n AP n AP n θ⋅=<>==⋅u u u r r
u u u r r u u u r r ∴，∴直线与平面所成角为
. （13分）
3
π
θ=
PB PAD 3
π。