Minitab两因素方差分析
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▪脱离管理线那么有影响
▪用两个因子的交互作用效果 ▪Main Effect:主要因 ▪Minutes 的 3水平(值=18)时有影响 ▪Strength 的 3水平(值=3)时有影响
第十九页，共七十一页。
Balanced ANOVA〔平衡设计方差分析〕
Minitab
➢ 所有单元(dānyuán)的观察个数相同时使用
第五页，共七十一页。
注解3：等方差(fānɡ chà)检 验
• Bonferroni 置信区间
• Bonferroni 置信区间使用全族误差率。假设 该过程的全族置信水平为 95%。全族误差 率等于 1 - 置信水平 = 1 - 0.95 = 0.05。
• Bonferroni 法通过将全族误差率分割(fēngē)在 各个区间之中。假设有六个区间。将每个区 间的单个误差给定为 0.05 / 6 = 0.00833， 计算单个置信水平 1 - 0.0083 = 0.9917。由 于置信水平较大 (0.9917)，因此单个区间通 常相当宽。这种方法使得一个或多个置信区 间不能覆盖其相关总体标准差的概率最多为 0.05。
• 2 1 4 1.98261 4.16333 28.6371
• 3 0 4 2.88359 6.05530 41.6509
• 3 1 4 2.42820 5.09902 35.0732
第八页，共七十一页。
例如注解：
标准差的 Bonferroni 置信区间显示以下内容： 公路类型：第一个因子。 经验：第二个因子。
Analysis of Means〔均数分析〕
Minitab
➢用 Graph 来显示因子的平均值，检讨因子的哪个(nǎ ge)水准有影响
<方差分析与平均分析的差异> ->方差分析是对水平(shuǐpíng)间有无差异的分析
->平均分析是对全体平均与各水平平均间有无差 别的分析
EXH_AOV.MTW
•检定方差的同一性 •区间 Plot
•主效果 Plot
•交互效果 Plot
第十四页，共七十一页。
One Way ANOVA(单因素(yīn sù)方差分析)
➢因子为一个, 反复数为对所有水准不相同也可, Radom实验(shíyàn)。 ➢在数据为一个 Col中以 Stack 形态保存时使用。
Minitab
(先需要检定 RESPONSE值的正态性)
EXH_AOV.MTW
▪▪▪CFRoaemcsptpaororin:s指soen定s::指说检定定明多变反重量响比((要较f因ǎn)xiǎng)变量▪▪▪DSMFSS:::自乘 不由方 偏图的 分(De和 散gr((eeSMueomafnForfoefeSdoqSmuq)auraer)e)
注解(zhùjiě)1：关于平衡两因素和平衡设计方差分析的区别
使用双因子方差分析 (ANOVA) 过程可在存在两个固定因 子时检验总体平均值的相等性。此过程要求因子水平 (shuǐpíng)每一组合的观测值数必须相同〔平衡〕。
仅当需要拟合可加性模型〔Fit additive model〕 〔无交互作用项的模型〕时，其中一个或这两个因 子才可以为随机值。
7.145 6.222 5.300
3
平均值
第三页，共七十一页。
• 图例分析 • 使用平均值分析的主效应图可检验“每个因子的水平平
均值等于指定 a 水平时的总体平均值〞这一假设。 Minitab 为双因子设计中的每个因子显示一个主效应图。 主效应图显示：
• 标绘点 － 每个因子水平中的样本平均值。
• 中心线〔绿色〕－ 总体平均值。
Minutes 10
Density 的双因子正态平均值分析
Alpha = 0.05
交互效应
2
3
1
2
3
1
2
15
18
1.578 0 -1.578 3
7
6
5 10
Minutes 的主效应
7.145
6.222
15 Minutes
5.300 18
平均值
Strength 的主效应
8
6 4
2 1
2 Strength
•Lake与 Interaction 的 p值 大于 0.05，故不会 引起效果。 •Suppleme的 p值 小于 0.05，故 Suppleme 的 水准(shuǐzhǔn)间有差。 •看左图可知道 Suppleme 的平均间有差。
•看左图可知道 Lake 的平均间没有差。
第十八页，共七十一页。
▪Store residuals:保存残差
▪F:F-概率值
▪Store fits:保存水准平均值
▪P:P-value(留意概率)
▪留意水准比 p-value 大那么有影响。 即水准间有差。
▪ (级区间有变动)
▪ -> 上面的 p值大于 0.05，故没有影响。
第十五页，共七十一页。
One Way ANOVA(单因素方差分析)
双因子方差分析过程不支持多重比较。
注：如果数据平衡，且您需要检查涉及随机因子的交 互作用，那么可以使用统计 > 方差分析 > 平衡方差分 析。如果需要使用多重比较对平均值进行比较，或者 如果数据不平衡，那么可以使用统计 > 方差分析 > 一 般线性模型。
第一页，共七十一页。
注解2：关于(guānyú)平均值分 析
• Minitab 通过绘制每个因子水平的平均响应值创立主 效应图。以线连接每个因子水平的各个点。
• Minitab 还在总体平均值处绘制了一条参考线。查看 此线可以确定对某个因子是否存在主效应。
第十二页，共七十一页。
• 当线为水平时〔与 x 轴平行〕，那么不存在 (cúnzài)主效应。因子的每个水平以相同的方式 影响响应，响应平均值在所有因子水平中相 同。
• 决策的上限和下限〔红色〕－ 用来检验此假设。Minitab 查找(chá zhǎo)位于决策限之外的样本平均值，并用红色符号 对其进行标记。
第四页，共七十一页。
• 如果样本平均值超出决策(juécè)限，那么可以 否认“平均值等于总体平均值〞这一假设。
• 如果样本平均值未超出决策限，那么不能否 认“平均值等于总体平均值〞这一假设。
第六页，共七十一页。
• 与单元〔配对因素〕对应的总体标准差的点 估计值是指该单元中观测(guāncè)值的样本标准 差。一个单元至少要有两个观测(guāncè)值来计 算样本标准差。如果没有，那么该单元的点 估计值在输出中为空白。
• 标准差的置信区间以卡方分布为根底。此分 布为非对称，因此，置信区间也是非对称的。
Minitab
➢ 因子(yīnzǐ)为 2个，把因子各水准的组合全部Radom实施的实验。 ➢ 数据应为 Stack 形态。
EXH_AOV.MTW
▪Response:实验结果数据 ▪Row factor:B因子
▪Column factor:A因子 ▪Store residuals:保存残差
▪Fit additive model:选择(xuǎnzé)交互作用的有无
• 检验的选项取决于分布属性：
• 当数据来自正态分布时使用 Bartlett 检验。对于(duìyú)偏离 正态性的情况，Bartlett 检验的功能并不强大。
• 当数据来自连续但不一定正态的分布时，请使用 Levene 检验。
第十页，共七十一页。
注解(zhùjiě)5：主效应图
• 将主效应图与方差分析一起关联使用。当平 均响应值跨因子(yīnzǐ)水平而更改时，主效应 随即出现。使用此图
• 通过方差分析，如果可以假定响应大致按正态分布，那么 可以使用平均值分析。另外，当响应由比率〔二项数据〕 和计数〔Poisson 数据〕组成时，可以使用特殊的平均值 分析版本。使用二项数据时，样本数量 (n) 必须为常数。
第二页，共七十一页。
均值(jūn zhí)分析图例如效应20源自-2 Strength 1
EXH_AOV.MTW
▪Response:反响变量数据
▪Model:指定需分析(fēnxī)的因子 ▪Random factors:指定变量因子 ▪Probtype|Calculat的标记为考虑交互作用
▪ 效果的计算实施.
▪Probtype, Calculat, Probtype*Calculat
等比留意水准(0.05) 小，故判断为 各因子的水准间存在散布的差。
▪Response:反响(结果)值 ▪Distribution of Data:资料的分布形态
▪ -Normal:正态分布, Factor 1:因子水准(shuǐzhǔn) Col
▪ (单因素) ▪ Factor 2:因子水准第二 Col ▪ (两因素)
▪ -Binomial:二项分布
▪ -Poisson:Poisson分布 ▪Alpha level:留意水准
第十六页，共七十一页。
One Way ANOVA(Unstacked))
➢当数据按水准类别指定(zhǐdìng)在 Col 时使用(Unstack 形态)
➢剩余事项与 Stack 情况相同
Minitab
•Responses:指定(zhǐdìng)按各水准别
•
有反响值的Col
第十七页，共七十一页。
Two-way ANOVA〔两因素方差分析〕
Graphs...
Minitab
•Dotplots / Boxplots 图象输出 option •Residual Plots:对残差提供多样的 plot -> 残差只有随正态性时，它的结果值才能
判断(pànduàn)为正确。
•存在各范围(fànwéi)间的重叠区间
•各点呈现直线(zhíxiàn)状态时，意味着正态性
第九页，共七十一页。
注解(zhùjiě)4：minitab方差齐性检验
• Minitab 显示了用于判断方差是否相等的两种检验的结果： Bartlett 检验和 Levene 检验。在两种检验中，原假设 (Ho) 是考虑的总体方差〔或等效的总体标准差〕相等，备择假 设 (H1) 指并非所有的方差都相等。
• 当线不水平时〔与 x 轴不平行〕，那么存在 主效应。不同因子水平对响应的影响不同。 标绘点之间垂直位置的差异越大〔线与 X 轴不平行的程度越大〕，主效应的量值就越 大。
第十三页，共七十一页。
方差分析根底(gēndǐ)
➢寻找因素与反响(fǎnxiǎng)变量关系式的方法论
Minitab
•一元(yī yuán)配置分散分析(DATA形态为 Stack 的时候) •一元配置分散分析(DATA形态为 Unstack 的时候) •二元配置分散分析 •平均分析 •平衡方差分析(在各水准反复相同的时候) •一般线型模型 •支份分散分析
• 检查每个因子的水平平均值 • 比较多个因子的水平平均值
第十一页，共七十一页。
• 具有多个因子时，主效应图将是最正确选择。可以将水平 平均值中的更改进行比较，以查看哪些因子对响应〔反响 变量〕的效应最大。某一因子的不同水平对响应具有不同 效应时，便会出现主效应。对于有两个水平的因子，可能 会发现(fāxiàn)一个水平会提高平均值，而另一个水平那么不 然。这种差异就是主效应。
N：单元中的观测值数。例如，在六个因子水平组合的每一单元中有四个观 测值。
下限和上限：为每个 sigma给定的 95.0% 置信区间(qū jiān)时的下端点 值和上端点值。每个区间(qū jiān)提供对应单元的总体标准差的一个估 计值。例如，区间(qū jiān) (2.80384, 40.4990) 为公路类型 = 1 和经验 = 0 估计总体标准差。根据此区间(qū jiān)， sigma介于 2.80384 与 40.4990 之间。
第七页，共七十一页。
例如(lìrú)
• 95% 标准差 Bonferroni 置信区间
• 方法
• 类型 经验(jīngyàn) N 限
下限
标准差 上
• 1 0 4 2.80384 5.88784 40.4990
• 1 1 4 1.84435 3.87298 26.6400
• 2 0 4 2.26721 4.76095 32.7478
• 平均值分析的英文缩写 ANOM 是看上去像方差分析的英 文缩写 ANOVA，平均值分析可检验总体平均值的相等性。
• Minitab 显示(xiǎnshì)的图形类似于控制图，该图显示(xiǎnshì)因 子的每个水平的平均值如何与总体平均值〔也称为总均值〕 进行比较。Minitab 对与总体平均值显著不同的平均值进 行标记。因此，平均值分析可以说明水平平均值何时不同 以及差异是什么。
▪用两个因子的交互作用效果 ▪Main Effect:主要因 ▪Minutes 的 3水平(值=18)时有影响 ▪Strength 的 3水平(值=3)时有影响
第十九页，共七十一页。
Balanced ANOVA〔平衡设计方差分析〕
Minitab
➢ 所有单元(dānyuán)的观察个数相同时使用
第五页，共七十一页。
注解3：等方差(fānɡ chà)检 验
• Bonferroni 置信区间
• Bonferroni 置信区间使用全族误差率。假设 该过程的全族置信水平为 95%。全族误差 率等于 1 - 置信水平 = 1 - 0.95 = 0.05。
• Bonferroni 法通过将全族误差率分割(fēngē)在 各个区间之中。假设有六个区间。将每个区 间的单个误差给定为 0.05 / 6 = 0.00833， 计算单个置信水平 1 - 0.0083 = 0.9917。由 于置信水平较大 (0.9917)，因此单个区间通 常相当宽。这种方法使得一个或多个置信区 间不能覆盖其相关总体标准差的概率最多为 0.05。
• 2 1 4 1.98261 4.16333 28.6371
• 3 0 4 2.88359 6.05530 41.6509
• 3 1 4 2.42820 5.09902 35.0732
第八页，共七十一页。
例如注解：
标准差的 Bonferroni 置信区间显示以下内容： 公路类型：第一个因子。 经验：第二个因子。
Analysis of Means〔均数分析〕
Minitab
➢用 Graph 来显示因子的平均值，检讨因子的哪个(nǎ ge)水准有影响
<方差分析与平均分析的差异> ->方差分析是对水平(shuǐpíng)间有无差异的分析
->平均分析是对全体平均与各水平平均间有无差 别的分析
EXH_AOV.MTW
•检定方差的同一性 •区间 Plot
•主效果 Plot
•交互效果 Plot
第十四页，共七十一页。
One Way ANOVA(单因素(yīn sù)方差分析)
➢因子为一个, 反复数为对所有水准不相同也可, Radom实验(shíyàn)。 ➢在数据为一个 Col中以 Stack 形态保存时使用。
Minitab
(先需要检定 RESPONSE值的正态性)
EXH_AOV.MTW
▪▪▪CFRoaemcsptpaororin:s指soen定s::指说检定定明多变反重量响比((要较f因ǎn)xiǎng)变量▪▪▪DSMFSS:::自乘 不由方 偏图的 分(De和 散gr((eeSMueomafnForfoefeSdoqSmuq)auraer)e)
注解(zhùjiě)1：关于平衡两因素和平衡设计方差分析的区别
使用双因子方差分析 (ANOVA) 过程可在存在两个固定因 子时检验总体平均值的相等性。此过程要求因子水平 (shuǐpíng)每一组合的观测值数必须相同〔平衡〕。
仅当需要拟合可加性模型〔Fit additive model〕 〔无交互作用项的模型〕时，其中一个或这两个因 子才可以为随机值。
7.145 6.222 5.300
3
平均值
第三页，共七十一页。
• 图例分析 • 使用平均值分析的主效应图可检验“每个因子的水平平
均值等于指定 a 水平时的总体平均值〞这一假设。 Minitab 为双因子设计中的每个因子显示一个主效应图。 主效应图显示：
• 标绘点 － 每个因子水平中的样本平均值。
• 中心线〔绿色〕－ 总体平均值。
Minutes 10
Density 的双因子正态平均值分析
Alpha = 0.05
交互效应
2
3
1
2
3
1
2
15
18
1.578 0 -1.578 3
7
6
5 10
Minutes 的主效应
7.145
6.222
15 Minutes
5.300 18
平均值
Strength 的主效应
8
6 4
2 1
2 Strength
•Lake与 Interaction 的 p值 大于 0.05，故不会 引起效果。 •Suppleme的 p值 小于 0.05，故 Suppleme 的 水准(shuǐzhǔn)间有差。 •看左图可知道 Suppleme 的平均间有差。
•看左图可知道 Lake 的平均间没有差。
第十八页，共七十一页。
▪Store residuals:保存残差
▪F:F-概率值
▪Store fits:保存水准平均值
▪P:P-value(留意概率)
▪留意水准比 p-value 大那么有影响。 即水准间有差。
▪ (级区间有变动)
▪ -> 上面的 p值大于 0.05，故没有影响。
第十五页，共七十一页。
One Way ANOVA(单因素方差分析)
双因子方差分析过程不支持多重比较。
注：如果数据平衡，且您需要检查涉及随机因子的交 互作用，那么可以使用统计 > 方差分析 > 平衡方差分 析。如果需要使用多重比较对平均值进行比较，或者 如果数据不平衡，那么可以使用统计 > 方差分析 > 一 般线性模型。
第一页，共七十一页。
注解2：关于(guānyú)平均值分 析
• Minitab 通过绘制每个因子水平的平均响应值创立主 效应图。以线连接每个因子水平的各个点。
• Minitab 还在总体平均值处绘制了一条参考线。查看 此线可以确定对某个因子是否存在主效应。
第十二页，共七十一页。
• 当线为水平时〔与 x 轴平行〕，那么不存在 (cúnzài)主效应。因子的每个水平以相同的方式 影响响应，响应平均值在所有因子水平中相 同。
• 决策的上限和下限〔红色〕－ 用来检验此假设。Minitab 查找(chá zhǎo)位于决策限之外的样本平均值，并用红色符号 对其进行标记。
第四页，共七十一页。
• 如果样本平均值超出决策(juécè)限，那么可以 否认“平均值等于总体平均值〞这一假设。
• 如果样本平均值未超出决策限，那么不能否 认“平均值等于总体平均值〞这一假设。
第六页，共七十一页。
• 与单元〔配对因素〕对应的总体标准差的点 估计值是指该单元中观测(guāncè)值的样本标准 差。一个单元至少要有两个观测(guāncè)值来计 算样本标准差。如果没有，那么该单元的点 估计值在输出中为空白。
• 标准差的置信区间以卡方分布为根底。此分 布为非对称，因此，置信区间也是非对称的。
Minitab
➢ 因子(yīnzǐ)为 2个，把因子各水准的组合全部Radom实施的实验。 ➢ 数据应为 Stack 形态。
EXH_AOV.MTW
▪Response:实验结果数据 ▪Row factor:B因子
▪Column factor:A因子 ▪Store residuals:保存残差
▪Fit additive model:选择(xuǎnzé)交互作用的有无
• 检验的选项取决于分布属性：
• 当数据来自正态分布时使用 Bartlett 检验。对于(duìyú)偏离 正态性的情况，Bartlett 检验的功能并不强大。
• 当数据来自连续但不一定正态的分布时，请使用 Levene 检验。
第十页，共七十一页。
注解(zhùjiě)5：主效应图
• 将主效应图与方差分析一起关联使用。当平 均响应值跨因子(yīnzǐ)水平而更改时，主效应 随即出现。使用此图
• 通过方差分析，如果可以假定响应大致按正态分布，那么 可以使用平均值分析。另外，当响应由比率〔二项数据〕 和计数〔Poisson 数据〕组成时，可以使用特殊的平均值 分析版本。使用二项数据时，样本数量 (n) 必须为常数。
第二页，共七十一页。
均值(jūn zhí)分析图例如效应20源自-2 Strength 1
EXH_AOV.MTW
▪Response:反响变量数据
▪Model:指定需分析(fēnxī)的因子 ▪Random factors:指定变量因子 ▪Probtype|Calculat的标记为考虑交互作用
▪ 效果的计算实施.
▪Probtype, Calculat, Probtype*Calculat
等比留意水准(0.05) 小，故判断为 各因子的水准间存在散布的差。
▪Response:反响(结果)值 ▪Distribution of Data:资料的分布形态
▪ -Normal:正态分布, Factor 1:因子水准(shuǐzhǔn) Col
▪ (单因素) ▪ Factor 2:因子水准第二 Col ▪ (两因素)
▪ -Binomial:二项分布
▪ -Poisson:Poisson分布 ▪Alpha level:留意水准
第十六页，共七十一页。
One Way ANOVA(Unstacked))
➢当数据按水准类别指定(zhǐdìng)在 Col 时使用(Unstack 形态)
➢剩余事项与 Stack 情况相同
Minitab
•Responses:指定(zhǐdìng)按各水准别
•
有反响值的Col
第十七页，共七十一页。
Two-way ANOVA〔两因素方差分析〕
Graphs...
Minitab
•Dotplots / Boxplots 图象输出 option •Residual Plots:对残差提供多样的 plot -> 残差只有随正态性时，它的结果值才能
判断(pànduàn)为正确。
•存在各范围(fànwéi)间的重叠区间
•各点呈现直线(zhíxiàn)状态时，意味着正态性
第九页，共七十一页。
注解(zhùjiě)4：minitab方差齐性检验
• Minitab 显示了用于判断方差是否相等的两种检验的结果： Bartlett 检验和 Levene 检验。在两种检验中，原假设 (Ho) 是考虑的总体方差〔或等效的总体标准差〕相等，备择假 设 (H1) 指并非所有的方差都相等。
• 当线不水平时〔与 x 轴不平行〕，那么存在 主效应。不同因子水平对响应的影响不同。 标绘点之间垂直位置的差异越大〔线与 X 轴不平行的程度越大〕，主效应的量值就越 大。
第十三页，共七十一页。
方差分析根底(gēndǐ)
➢寻找因素与反响(fǎnxiǎng)变量关系式的方法论
Minitab
•一元(yī yuán)配置分散分析(DATA形态为 Stack 的时候) •一元配置分散分析(DATA形态为 Unstack 的时候) •二元配置分散分析 •平均分析 •平衡方差分析(在各水准反复相同的时候) •一般线型模型 •支份分散分析
• 检查每个因子的水平平均值 • 比较多个因子的水平平均值
第十一页，共七十一页。
• 具有多个因子时，主效应图将是最正确选择。可以将水平 平均值中的更改进行比较，以查看哪些因子对响应〔反响 变量〕的效应最大。某一因子的不同水平对响应具有不同 效应时，便会出现主效应。对于有两个水平的因子，可能 会发现(fāxiàn)一个水平会提高平均值，而另一个水平那么不 然。这种差异就是主效应。
N：单元中的观测值数。例如，在六个因子水平组合的每一单元中有四个观 测值。
下限和上限：为每个 sigma给定的 95.0% 置信区间(qū jiān)时的下端点 值和上端点值。每个区间(qū jiān)提供对应单元的总体标准差的一个估 计值。例如，区间(qū jiān) (2.80384, 40.4990) 为公路类型 = 1 和经验 = 0 估计总体标准差。根据此区间(qū jiān)， sigma介于 2.80384 与 40.4990 之间。
第七页，共七十一页。
例如(lìrú)
• 95% 标准差 Bonferroni 置信区间
• 方法
• 类型 经验(jīngyàn) N 限
下限
标准差 上
• 1 0 4 2.80384 5.88784 40.4990
• 1 1 4 1.84435 3.87298 26.6400
• 2 0 4 2.26721 4.76095 32.7478
• 平均值分析的英文缩写 ANOM 是看上去像方差分析的英 文缩写 ANOVA，平均值分析可检验总体平均值的相等性。
• Minitab 显示(xiǎnshì)的图形类似于控制图，该图显示(xiǎnshì)因 子的每个水平的平均值如何与总体平均值〔也称为总均值〕 进行比较。Minitab 对与总体平均值显著不同的平均值进 行标记。因此，平均值分析可以说明水平平均值何时不同 以及差异是什么。