高三数学第一轮总复习课件 第十四讲 函数与方程

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变式2: 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则 ( ) A.b∈(-∞,0) B.b∈(0,1) C.b∈(1,2) D.b∈(2,+∞)
答案:A
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解析:由f(0)=0得d=0, 又∵f(1)=0,∴a+b+c=0.① 又f(-1)<0,∴-a+b-c<0.② ①+②得2b<0,即b<0,选A.
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(2)由x2+ -3=0, x
得x2-3x+2=0, 即(x-1)(x-2)=0, 得x=1或x=2. ∴函数f(x)的零点为1,2.
点评:求函数f(x)的零点是通过转化求方程f(x)=0的根来实 现的.
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变式1:函数f(x)=x2+(m2+2)x+m在(-1,1)上的零点的个数为
由bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+1)=0,得x=0或x=-1 . 2
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4.函数y=lnx-6+2x的零点一定位于哪个区间 ( )
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.(5,6)
答案:B
解析:当x∈(2,3),lnx∈(ln2,ln3),
∵ln2<1,ln3>1,6-2x∈(0,2),
答案:A
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解析 :当m 0时,方程可化为2x 1 0, 得x 1 ; 2
当m
0时,
4
4m
0, 此时x1
x2
2 m
0,
x1 x2
1 m
0, 知方程有一个负根;
当m 0时,由题意得 4 4m 0,得0 m 1,
此时x1
x2
2 m
0,
x1 x2
1 m
0, 方程有两根,
一正一负.故m的取值范围是m 1.
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(3)零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲 线,并且f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零 点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根.
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2.用二分法求方程的近似解 (1)二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x), 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间 的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做 二分法.求方程f(x)=0的近似解就是求函数f(x)零点的近似 值.
即方程3x-x2=0只有一个负实数根.
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(2)①设x<0,则-x>0,∵f(x)为偶函数,
∴f(x)=f(-x)=ln(-x)+ax,
②∵f(x)为偶函数,∴f(x)=0的根关于x=0对称,
又f(x)=0恰有5个根,故有两正根两负根(分别互为相反数)一
个零根. 又当x>0时,f′(x1)= -a,
当x=2时,y<0,当x=3时,y>0,故x∈(2,3).
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5.
2010
山东模拟
若关于x的方程
3 2
x
2 3a 5a
有负数根,
则实数a的取值范围是 ________ .
答案 : ( 2 , 3) 34
解析:由0 2 3a 1,得 2 a 3 .
5a
3
4
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f x在1,1上必有一个零点.
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题型二 方程根的个数问题 例2 (1)判断方程3x-x2=0的负实数根的个数; (2)已知定义域为R的偶函数f(x),当x>0时, f(x)=lnx-ax(a∈R),方程f(x)=0在R上恰有5个不同的实数解. ①求x<0时,函数f(x)的解析式; ②求a的取值范围.
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(2)一元二次方程根的分布问题 ①此题型为方程的实根分布问题,解决此类问题一定要注意 结合图象,从各个方面去考虑结论成立的所有条件,考虑的方 面有:判别式、韦达定理、对称轴、函数值的大小、开口方 向等. ②一元二次方程根的分布情况需满足的条件的常见情况(下 面只讨论a>0的情况,a<0时可类比a>0的情况.)
答案:D
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解析:令y1=3x,y2=-x2-2x+1=2-(x+1)2,则方程的根即为两函 数的交点的横坐标,在同一坐标系下,作出两函数的图象如下:
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笑对高考第三关 技巧关
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(1)函数f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,也就是函数的图象 与x轴交点的横坐标,对于: ①判断二次函数f(x)的零点个数,可转化为判断一元二次方 程f(x)=0的实根个数,然后借助判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0来判 断. ②对于二次函数在某个区间上零点的个数,要结合二次函数 的图象,利用判别式、对称轴及区间端点处的函数值来判断.
x ∴当a≤0时,f(x)=lnx-ax在(0,+∞)上单调递增,f(x)=0在
(0,+∞)不可能有两个实根,
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当a>0时,令f′(x)=0,x1= ,
当0<x1<
a 时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当1x>a 时,f′(x)<0,f(x)递减,
a
∴f(x)在x=1a处取得极大值lna-1,
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2.下图的函数图象与x轴均有交点,但不宜用二分法求交点横 坐标的是 ( )
答案:B
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3.若函数f(x)=ax+b有一个零点为2,那么g(x)=bx2-ax的零点
是( )
A.0, 2
答案:C
B.0, 1 2
C.0, 1 2
D.2, 1 2
解析:由题意得2a+b=0得b=-2a,
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题型三 利用二分法求方程的近似解 例3 求方程2x3+3x-3=0的一个近似解(精确度0.1).
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解:设f(x)=2x3+3x-3. 经计算,f(0)=-3<0,f(1)=2>0, 所以函数在(0,1)内存在零点, 即方程2x3+3x-3=0在(0,1)内有解. 取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)<0, 又f(1)>0,所以方程2x3+3x-3=0在(0.5,1)内有解,如此继续 下去,得到方程的一个实数解所在的区间,
解读高考第二关 热点关
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题型一 求函数的零点 例1 求下列函数的零点. (1)f(x)=x3-2x2-x+2;
2 (2)f(x)=xx+ -3. 解:(1)由x3-2x2-x+2=0, 得x2(x-2)-(x-2)=0, 即(x-1)(x+1)(x-2)=0, 得x=2或x=1或x=-1, 故函数f(x)的零点是2,1,-1.
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至此,可以看出方程的根落在区间长度小于0.1的区间 (0.6875,0.75)内,可以将区间端点0.6875作为函数f(x)零点 的近似值.因此0.7是方程2x3+3x-3=0精确到0.1的一个近似 解.
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点评: ①用二分法求函数的零点时,最好是利用表格,将计算过程所 得到各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中, 可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程,有时也可利 用数轴来表示这一过程; ②在确定方程近似解所在的区间时,转化为求方程对应函数 的零点所在的区间,找出的区间[a,b]长度尽可能小,且满足 f(a)5f(b)<0;
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(2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε; 第二步,求区间(a,b)的中点x1; 第三步,计算f(x1): ①若f(x1)=0,则x1就是函数f(x)的零点; ②若f(a)·f(x1)<0,则b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); ③若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b));
又当x→-∞时,f(x)→-∞,x→+∞时,f(x)→-∞,
∴要使f(x)=0在(0,+∞)上有两根, 1
当且仅当-lna-1>0,得0<a< . e
由偶函数的对称性可知, 1
当0<ae< 时,f(x)在R上恰有5个不同的解.
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点评: ①方程的根或函数零点的存在性问题,可以依据区间端点处 的函数值的正负来确定,但是要确定函数零点的个数还需进 一步研究函数在这个区间上的单调性,在给定区间上如果是 单调的,它至多有一个零点,如果不是单调的,可继续分出小 的区间,再类似作出判断; ②如果y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线,且x0是函 数y=f(x)在(a,b)上的一个零点,却不一定有f(a)·f(b)<0.
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典例 若二次函数y=-x2+mx-1的图象与两端点为A(0,3),B(3,0)的 线段AB有两个不同的交点,求m的取值范围.
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解:线段AB的方程为x+y=3(0≤x≤3),
由题意得方程组
x y 30 x 3
第十四讲 函数与方程
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走进高考第一关 考点关
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回归教材 1.函数的零点 (1)对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零 点. (2)方程的根与函数零点的关系. 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函 数y=f(x)有零点.
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解:(1)设f(x)=3x-x2, ∵f(-1)2=- <0,f(0)=1>0,
3
又∵f(x)的图象在[-1,0]上是连续不断的.
∴函数f(x)在(-1,0)内有零点.
又∵在(-∞,0)上,函数y=3x递增,y=x2递、、
∴f(x)在(-∞,0)上单调递增.
故f(x)在(-1,0)内只有一个零点.
①,
y
x2
mx
1
②.
有两组实数解,
①代入②得x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3)有两个实根,
令f(x)=x2-(m+1)x+4,因此问题转化为二次函数f(x)=x2-
(m+1)x+4在x∈[0,3]上有两个实根,故:
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m 12 16 0,
0 m1 3
2
f 0 4 0,
2
答案:A
解析:g(0)=-2,g( 1 )=2+1-2=1,
2
∴g(x)的零点介于(0,
1
)之间,故选A.
2
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2.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一个解,则a∈_________. 答案:(1,+∞) 解析:令f(x)=2ax2-x-1,由f(0)-f(1)<0,得a>1.
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③求方程的近似解,所要求的精确度不同得到的结果也不同, 精确度ε,是指在计算过程中得到某个区间(a,b)后,直到|ab|<ε时,可停止计算,其结果可以是满足精确度的最后小区 间的端点或区间内的任一实数,结果不唯一.
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变式3:关于方程3x+x2+2x-1=0,下列说法正确的是 ( ) A.方程有两个不相等的负实根 B.方程有两个不相等的正实根 C.方程有一正实根,一零根 D.方程有一负实根,一零根
f 3 9 3m 1 4 0.
解得3<m≤ 10 .
3
故m的取值范围是(3,
10
].
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考向精测
1.若函数f(x)的零点与g(x)=4x+2x-2的零点之差的绝对值不
超过0.25,则f(x)可以是 ( )
A.f(x)=4x-1
B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=ex-1 D.f(x)=ln(1x- )
()
A.0
B.1
C.2
D.不确定
答案:B
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解析 :由于对称轴x m2 2 1, 2
故f x x2 (m2 2)x m在1,1上单调递增,
又f 1 1 (m2 2) m m2 m 1 (m 1)2 3 0,
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而f 1 1 (m2 2) m (m 1)2 9 0,
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如下表.
(a,b)
(0,1) (0.5,1) (0.5,0.75) (0.625,0.75) (0.6875,0.75)
(a,b)的中点 0.5
f
a
b 2
f(0.5)<0
0.75
f(0.75)>0
0.625
f(0.625)<0
0.6875
f(0.6875)<0
|0.6875-0.75|=0.0625<0.1
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第四步,判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则函数零点 的近似值为a(或b);否则重复第二步到第四步. 用二分法求方程的近似解的计算量较大,因此往往借助计算 器或计算机来完成.
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考点训练 1.关于x的方程mx2+2x+1=0至少有一个负根,则 ( ) A.m≤1 B.0<m<1 C.m<1 D.0<m≤1或m<0