2018一轮北师大版理数学训练：第2章 第3节 课时分层训

课时分层训练(六) 函数的奇偶性与周期性
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2016·广东肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
B [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数，故选B.]
2．函数y ＝log 2
1＋x
1－x
的图像( ) 【导学号：57962037】
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝－x 对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y ＝x 对称
A [由1＋x
1－x ＞0得－1＜x ＜1，
即函数定义域为(－1,1)， 又f (－x )＝log 2
1－x 1＋x ＝－log 21＋x
1－x
＝－f (x )， ∴函数y ＝log 21＋x
1－x
为奇函数，故选A.]
3．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －12，则f (6)＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．2
D [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －12，
则f (x ＋1)＝f (x )．
又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．
又当x<0时，f(x)＝x3－1，
∴f(－1)＝－2，∴f(6)＝2.故选D.]
4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝()
A．－2 B．2 C．－98 D．98
A[∵f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是以4为周期的周期函数，
∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．
又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，
即f(2 019)＝－2.]
5．对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数．下列函数中是准偶函数的是() A．f(x)＝x B．f(x)＝x2
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
D[由f(x)为准偶函数的定义可知，若f(x)的图像关于x＝a(a≠0)对称，则f(x)为准偶函数，A，C中两函数的图像无对称轴，B中函数图像的对称轴只有x ＝0，而D中f(x)＝cos(x＋1)的图像关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．]
二、填空题
6．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
【导学号：57962038】－－x－1[∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，
∴当x＜0时，－x＞0，
f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，
即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.]
7．(2017·安徽蚌埠二模)函数f(x)＝(x＋2)(x＋a)
x是奇函数，则实数a＝
________.
【导学号：57962039】－2[由题意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)为偶函数，
∴a ＝－2.]
8．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________．
1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.
∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.] 三、解答题
9．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝
1
x 2－x ＋1
，求f (x )的表达式.
【导学号：57962040】
[解] 在f (x )＋g (x )＝1
x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝
1
(－x )2
－(－x )＋1
，
3分
又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， 所以－f (x )＋g (x )＝
1
x 2
＋x ＋1
，
6分
联立方程⎩⎪⎨⎪⎧
f (x )＋
g (x )＝1
x 2－x ＋1
，－f (x )＋g (x )＝1
x 2＋x ＋1
， 9分
两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1
.
12分
10．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x
4x ＋1
. (1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式． [解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)，
3分
∴f (1)＝0，f (－1)＝0.
5分
(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，
∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x
4x ＋1
，
9分
综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x
4x ＋1
，x ∈(0，1)，－2
x 4x
＋1，x ∈(－1，0)，
0，x ∈{－1，0，1}.
12分
B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)
1．定义运算a b ＝a 2－b 2，a ⊗b ＝(a －b )2，则f (x )＝
2x
(x ⊗2)－2
为( )
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．常函数
D ．非奇非偶函数
A [由定义得f (x )＝4－x 2
(x －2)2
－2. ∵4－x 2≥0，且(x －2)2－2≠0， 即x ∈[－2,0)∪(0,2]．
∴f (x )＝4－x 22－x －2＝－4－x 2
x (x ∈[－2,0)∪(0,2])，
∴f (－x )＝4－x 2
x ，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．]
2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝
⎩⎨⎧
ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1
，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，则a ＋3b 的值为________．
－10 [因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，
且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，
从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，
即3a ＋2b ＝－2.
①
由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋2
2， 即b ＝－2a .
②
由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.]
3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
－x 2＋2x ，x ＞0，
0，x ＝0，
x 2＋mx ，x ＜0
是奇函数，
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上递增，求实数a 的取值范围.
【导学号：57962041】
[解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，
所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 2分
又f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 于是x ＜0时， f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.
5分
(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数， 要使f (x )在[－1，a －2]上递增． 结合f (x )的图像知⎩⎨⎧
a －2＞－1，
a －2≤1，
9分
所以1＜a ≤3，
故实数a 的取值范围是(1,3]. 12分。