【成才之路】2021学年高中数学 2.2.1综合法与分析法同步测试 新人教A版选修2-2(1)

【成才之路】2021-2021学年高中数学 综合法与分析法同步测试 新人教A 版选修
2-2
一、选择题
1．(2021·陕西理，7)设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边别离为a 、b 、c ，假设b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，那么△ABC 的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．不确定
[答案] B
[解析] 由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，因此，sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π
2
，因此△ABC 是直角三角形．
2．(2021·浙江理，3)已知x 、y 为正实数，那么( ) A ．2lg x ＋lg y ＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x ＋y )＝2lg x ·2lg y C ．2lg x ·lg y ＝2lg x ＋2lg y D ．2lg(xy )＝2lg x ·2lg y [答案] D
[解析] 2lg(xy )＝2(lg x ＋lg y )＝2lg x ·2lg y .
3．设a 、b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，那么必有( ) A ．1≤ab ≤
a 2＋
b 2
2
B ．ab <1<
a 2＋
b 2
2
C ．ab <
a 2＋
b 2
2
<1 D ．
a 2＋
b 2
2
<1<ab
[答案] B
[解析] ab <⎝ ⎛⎭
⎪⎫a ＋b 22<a 2＋b 2
2(a ≠b )．
4．设0<x <1，那么a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝1
1－x
中最大的一个是( )
A ．a
B ．b
C ．c
D ．不能确定
[答案] C
[解析] 因为b －c ＝(1＋x )－1
1－x ＝1－x 2－11－x ＝－x 2
1－x
＜0，因此b <c .又因为(1＋x )2>2x >0，因此b ＝1＋
x >2x ＝a ，因此a <b <c .
[点评] 可用特值法：取x ＝12，那么a ＝1，b ＝3
2，c ＝2.
5．已知y >x >0，且x ＋y ＝1，那么( ) A ．x <
x ＋y
2
<y <2xy B ．2xy <x <
x ＋y
2
<y
C ．x <
x ＋y
2
<2xy <y D ．x <2xy <
x ＋y
2
<y
[答案] D
[解析] ∵y >x >0，且x ＋y ＝1，∴设y ＝34，x ＝14，那么x ＋y 2＝12，2xy ＝38.因此有x <2xy <x ＋y
2<y ，故排除
A 、
B 、
C ，选D.
6．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2ab a ＋b ，那么A 、B 、C 的大小关系为( )
A ．A ≤
B ≤
C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤A
D ．C ≤B ≤A
[答案] A [解析]
a ＋b
2≥
ab ≥2ab
a ＋
b ，又函数f (x )＝(12
)x 在(－∞，＋∞)上是单调减函数，
∴f (
a ＋b
2
)≤f (
ab )≤f (2ab
a ＋b
)． 二、填空题
7．已知a >0，b >0，m ＝lg a ＋b
2
，n ＝lg
a ＋b
2
，那么m 与n 的大小关系为________．
[答案] m >n [解析] 因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2
ab >a ＋b >0，因此
a ＋b
2
>
a ＋b
2
，因此m >n .
8．设a ＝
2，b ＝7－
3，c ＝
6－
2，那么a 、b 、c 的大小关系为________．
[答案] a >c >b [解析] b ＝
47＋
3，c ＝
46＋
2
，显然b <c ， 而a 2＝2，c 2＝8－212＝8－48<8－
36＝2＝a 2，
因此a >c . 也可用a －c ＝22－
6＝8－6>0显然成立，即a >c .
9．若是a
a ＋
b b >a b ＋b a ，那么实数a 、b 应知足的条件是________．
[答案] a ≠b 且a ≥0，b ≥0 [解析] a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a ＋b b －a b －b a >0⇔a (a －b )＋b (b －a )>0⇔(a
－b )(
a －
b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0
只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 三、解答题
10．(2021·华池一中高三期中)已知n ∈N *，且n ≥2，求证：
1n
>
n －n －1.
[证明] 要证1
n
>n －n －1，
即证1>n －n n －1，
只需证
n n －1>n －1，
∵n ≥2，∴只需证n (n －1)>(n －1)2， 只需证n >n －1，只需证0>－1，
最后一个不等式显然成立，故原结论成立． 一、选择题
11．(2021·大庆实验中学高二期中)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，对任意x ∈R 都有f ′(x )>f (x )成立，那么( ) A ．3f (ln2)>2f (ln3) B ．3f (ln2)<2f (ln3)
C ．3f (ln2)＝2f (ln3)
D ．3f (ln2)与2f (ln3)的大小不确信
[答案] B [解析] 令F (x )＝
f ln x
x
(x >0)，那么F ′(x )＝
f ′ln x －f ln x
x 2
，∵x >0，∴ln x ∈R ，∵对任意x ∈R 都有
f ′(x )>f (x )，∴f ′(ln x )>f (ln x )，∴F ′(x )>0，∴F (x )为增函数，∵3>2>0，∴F (3)>f (2)，即
f ln3
3
>
f ln2
2
，∴
3f (ln2)<2f (ln3)．
12．要使3
a －3
b <3
a －
b 成立，a 、b 应知足的条件是( )
A ．ab <0且a >b
B ．ab >0且a >b
C ．ab <0且a <b
D ．ab >0且a >b 或ab <0且a <b
[答案] D
[解析] 3
a －3
b <
3
a －
b ⇔a －b ＋3
3
ab 2－3
3
a 2
b <a －b .∴
3
ab 2<
3
a 2
b .
∴当ab >0时，有
3
b <
3
a ，即
b <a ；
当ab <0时，有3
b >3
a ，即
b >a .
13．(2021·哈六中期中)假设两个正实数x 、y 知足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y
4<m 2－3m 有解，那么实数m
的取值范围是( )
A ．(－1,4)
B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C ．(－4,1)
D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)
[答案] B
[解析] ∵x >0，y >0，1x ＋4y ＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4x
y ≥2＋2
y 4x ·4x
y
＝4，等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立，∴x ＋y
4
的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋
y
4
有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，应选B.
14．(2021·广东梅县东山中学期中)在f (m ，n )中，m 、n 、f (m ，n )∈N *，且对任意m 、n 都有： (1)f (1,1)＝1，(2)f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，(3)f (m ＋1,1)＝2f (m,1)；给出以下三个结论： ①f (1,5)＝9；②f (5,1)＝16；③f (5,6)＝26； 其中正确的结论个数是( )个． ( ) A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
[答案] A
[解析] ∵f (m ，n ＋1)＝f (m ，n )＋2，∴f (m ，n )组成首项为f (m,1)，公差为2的等差数列， ∴f (m ，n )＝f (m,1)＋2(n －1)．
又f (1,1)＝1，∴f (1,5)＝f (1,1)＋2×(5－1)＝9，
又∵f (m ＋1,1)＝2f (m,1)，∴f (m,1)组成首项为f (1,1)，公比为2的等比数列，∴f (m,1)＝f (1,1)·2m －1＝2m －1，∴f (5,1)＝25－1＝16，∴f (5,6)＝f (5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，应选A.
二、填空题
15．假设sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0， 那么cos(α－β)＝________. [答案] －1
2
[解析] 由题意sin α＋sin β＝－sin γ ① cos α＋cos β＝－cos γ
②
①，②两边同时平方相加得 2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝1 2cos(α－β)＝－1， cos(α－β)＝－1
2.
三、解答题
16．已知a 、b 、c 表示△ABC 的三边长，m ＞0， 求证：
a
a ＋m ＋
b
b ＋m ＞
c
c ＋m
.
[证明] 要证明
a
a ＋m ＋
b
b ＋m ＞
c
c ＋m
，
只需证明
a
a ＋m ＋
b
b ＋m －
c
c ＋m ＞0即可．
∵
a
a ＋m ＋
b
b ＋m －
c
c ＋m
＝
a b ＋m c ＋m ＋b a ＋m
c ＋m －c a ＋m
b ＋m
a ＋m
b ＋m
c ＋m
，
∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，m ＞0， ∴(a ＋m )(b ＋m )(c ＋m )＞0，
∵a (b ＋m )(c ＋m )＋b (a ＋m )(c ＋m )－c (a ＋m )(b ＋m )＝abc ＋abm ＋acm ＋am 2＋abc ＋abm ＋bcm ＋
bm 2－abc －bcm －acm －cm 2＝2abm ＋am 2＋abc ＋bm 2－cm 2
＝2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2， ∵△ABC 中任意两边之和大于第三边， ∴a ＋b －c ＞0，∴(a ＋b －c )m 2＞0， ∴2abm ＋abc ＋(a ＋b －c )m 2＞0， ∴
a
a ＋m ＋
b
b ＋m ＞
c
c ＋m
.
17．求证：sin 2α＋βsin α－2cos(α＋β)＝sin β
sin α.
[证明] 要证明原等式成立．
即证明sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)＝sin β， 又因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β) ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin[(α＋β)－α]＝sin β. 因此原命题成立．。