chap7.3-3斯托克斯公式与旋度简介

定义：
u称为势函数.
一维单连通域(线单连域) : 为一空间区域，对 内任一闭曲线L，总可以作一块以L为边界 曲线而且完全在内的曲面。
二维单连通域: 为一空间区域，对内任一闭曲 面，它所包围的区域完全在内。
定理5 设函数P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) 在空间线单连通域(一维单连域)上有一阶 连续偏导 数,则以下四个命题等价: (1) rot F 0在内恒成立; (2) 对内任意光滑或逐段光滑闭曲线L, 有
斯托克斯公式的实质：
表 达 了 有 向 曲 面 上 的 第二 型 曲 面 积 分 与 曲 面 的 定 向 边 界 曲 线 上 的 第 二型 曲 线 积 分 之 间 的 关 系, 是 格 林 公 式 在 三 维 空 间 的推 广.
若R( x, y,z)0, 位于xOy面上, 取上侧, 则得
C
Pdx
Qdy
u u u
x y z
(
2u
2u
)i (
2u
2u
) j (
2u
2u
)k 0.
zy yz zx xz xy yx
例4
设 F xyz( i j k), M (1,3, 2),
求 divF (M ), rot F (M ).
解
divF yz xz xy,
divF (M ) 6 2 3 11
1 d (x3 y3 z3 ) d (2xyz) ， 3
∴ u 1 (x3 y3 z3 ) 2xyz C. 3
作业
习 题7.3( P174) 13(1)(3); 14(1); 15(1); 16(1); 18
其中 C 为平面 x y z 3 截立方体 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1 2
的表面所得的截线，若从 ox轴正向看去，取逆时针方向。
z
y
1
x y 3
1
2
O 1
x
1
2
1y
x
O
y
1
1
1
x
22
解:取 为平面x y z 3 的上侧被 C 所围成的部分 ，
2
的单位法向量
n
1 {1, 1, 1} ，即cos cos cos
Dxy
2
y x
例 2．计算曲线积分 (z y)dx ( x z)dy ( x y)dz ， C
其
中C
是
曲线
x
2
y
2
1
，
从
z
轴
正
向往z
轴
负向
看
x y z2
C 的方向是顺时针的.
解：设 表示 平面x y z 2上以C为边界曲线的曲面， 且取下侧， 在xoy面上的投影区域Dxy 为x2 y2 1， 由 Stokes 公式得
是 闭 曲 线C 的 正 向.
斯托克斯定理
设分片光滑曲面 的边界是分段光滑闭曲线C .空间
向量场
F
{P( x,
y,
z),Q(
x,
y,
z),
R( x,
y,
z )} 在某一包含曲
面 的 空间域内具有 一阶连续偏导数，则有
Pdx Qdy Rdz C
(R Q )dy dz (P R)dz dx (Q P )dx dy
1
，
3
3
由 Stokes 公式得
I ( y2 z2 )dx (z2 x2 )dy (x2 y2 )dz C
1
1
1
3
x
y2 z2
3
y z2 x2
3
4
dS
3
(
x
y
z
)dS
z
9
x2 y2
2
1二.环.量环43量 23与d环S量面2 密3D度xy 3dxdy
定义设6 有d向xd量y场6A(1{P2(x1, )y, z),9Q.(x, y, z), R(x, y, z)} ，
82
称 A 沿D有xy向闭曲线 C 的 曲线积分
C Ads C Pdx Qdy Rdz
为向量场 A 沿有向闭曲线 C 的 环量。
环量表示了向量场 A 沿有向闭曲线 C 旋转的整体
性态，但它不能表示向量场 A 在一点处的旋转性态。
2.环量面密度
定义 设 M 为向量场 A中的一点 ，在点 M 处取定一个 方向n ，作一小曲面 ，使其在点 M 的法向量为n 。
( x, y,z )
u(x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
(x ,y ,z )
x
y
z
x
P(x,
y
,
z
)dx
z
y Q(x, y,z)dy
R(x, y,z)dz.
z
M (x, y,z)
M(x, y,z)
O
y
x
M1(x, y,z) M2(x, y,z)
PdxQdy Rdz
C( AB)
y
0
y
2dy
z
0
(z
2
2xy)dz
1(x3 y3 z3)2xyz, 3
∴ u 1 (x3 y3 z3 ) 2xyz C. 3
另解：∵ du (x2 2 yz)dx ( y 2 2xz)dy (z 2 2xy)dz
(x2dx y2dy z2dz) (2yzdx 2xzdy 2xydz)
x2 2 yz y 2 2xz z 2 2xy
∴ 存在函数 u u(x, y, z) ，使得
du (x2 2yz)dx(y2 2xz)dy(z2 2xy)dz.
∵曲线积分与路径无关，
∴取(x , y , z ) (0, 0, 0) ，(x, y,z)R3 ，有
u(x,
y,
z)
x
0
x
2
dx
是环量面密度所取得的最大值，则称此向量为向量场 A
在点 M 处的旋度，记为rotA 。
设 A {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} ，其中 P, Q, R
具有一阶连续偏导数，
记
{R
Q
,
P
R
,
Q
P}
，则有
y z z x x y
A ds
Stokes公式
ndS
l
积分中值定理
(n)
M
S
(M , S 为 的面积).
1
rotn
A
lim
M
S
A ds
l
lim
M M
(n)M
(n ) M
，
即
rotn
A (n ) M
.
rotn
A
n
cos(,n)
cos(,n)
( )n
,
这表明rotn
A
等于向量
在
n
方向
上的投影，
显然，当
(,n)
0
d
2 3
x
3
3x
2
y
1 3
y3
势函数
u
2 3
x3
3x 2 y
1 3
y3
C
w
1,1, 0
1, 0 , 0
F
d
s
u1,1,0 u1,0,0 8
3
例 6．验证 (x2 2yz)dx (y2 2xz)dy (z2 2xy)dz
为某函数的全微分，并求其原函数。
i
j
k
证：∵
0 ，
x
y
z
小曲面的面积记为S ，其边界为分段光滑闭曲线 l ，
l
与
n
的关系按右手法则确定，向量场A
环量 与 曲面面积S 之比
沿
n
l
正向的
S
1 S
l
Ads
M
称为 A 在点 M 沿曲线 l 绕
向量
n
的平均环量面密度。
l
如果当
在保持
n
为其法向量
而任意收缩到点
M
时，
Байду номын сангаас
的
极限存在，则称此极限为向量场A
时,
cos(,n)
有最大值，即
n
的方向
与
的
方向相同时，rotn
A
有最大值，其值为
。
由此得旋度 rotA的表达式 ：
rotA
{ R
Q
,
P R ,
Q P}
y z z x x y
i jk
或 rotA
.
x y z
PQR
Stokes公式可写成向量形式 C A ds rotA dS 。
旋度的运算法则
（1） rot(A B) rotA rotB ( ,为常数 ) ；
（2） rot(A) rotA grad A ( 为数量场 ) ；
（3） rot(grad) 0 (u u(x, y, z) 具有二阶连续偏导数)。
i jk 证（3）： rot(grad)
x y z 结论:梯度场无旋
Q x
P y
dxdy.
格林公式
z
n
O
y
x
C
例1.计算 zdx xdy ydz ，其中 为 Γ
平面x+y+z=1被三个坐标面所截成的三角形的 整个边界，它的正向与这三角形上侧的法向 量之间符合右手规则。
解 zdx xdy ydz
z
Γ
dy dz dz dx dx dy
3 dxdy 3
五． 斯托克斯公式与旋度
一.斯托克斯 (Stokes) 公式 有向曲面边界曲线的方向
设 光 滑 有 向 曲 面的 边 界 是 空 间 闭 曲 线C . 规 定 闭 曲 线C
n
C
的 正 向 按 右 手 法 则, 即 如 果 右 手 拇 指 的 方 向指
向 曲 面 法 线 的 正 向, 则 其 余 四 指 所 指 的 方 向就
在点
M
S
沿向量
n
的
环量面密度，记为
rotn
A
，即
rot
n
A
lim
M
1 S
l
Ads .
注意: 环量面密度是一个数量，它是环量对曲面
面积的变化率，且在点 M 沿不同方向可能有不 同的环量面密度。
三．旋度
旋度的定义
设 M 为向量场 A中的一点 。若存在一个向量，其方向 是 A 在点 M 处 ，环量面密度取最大值的方向，其模恰好
y z
z x
x y
其中曲线 C 的正向与曲面 的侧向符合右手法则.
上式称为斯托克斯公式.
Stok e s公式可记为：
dy dz dz dx dx dy
Pdx Qdy Rdz
C
x
y
z
P
Q
R
cos cos cos
或 Pdx Qdy Rdz C
dA x y z
P Q R
z
C(z y)dx(x z)dy (x y)dz
dy dz dz dx dx dy
C
x
y
z
zy xz xy
2dx dy 2 dxdy 2. Dxy o
Dxy
x1
1y
例 3．计算 I ( y 2 z 2 )dx (z 2 x2 )dy (x2 y 2 )dz ， C
du u(x, y,z)
C( AB)
B A
u(B)
u(
A).
例5 证明力场 F 2x2 6xy,3x2 y2 ,0 是
有势场，求其势函数。并计算质点从
移动到
1,1,0
时，力
F
所做的功。
1,0,0
解
rotF
i
jk
0
x
y z
2x2 6xy 3x2 y2 0
F 为有势场。
du 2x2 6xydx 3x2 y2 dy
i jk rot F {x(z y), y(x z), z( y x)}
x y z xyz xyz xyz
rot F (M ) {1, 3, 4}
四. 空间曲线积分与路径无关的条件
F 为保守场： F 为无旋场：
若空间曲线积分
F
d
s
与路径无关
L
若 rot F 0
F 为有势场： 若存在函数u, 使 F gradu
Pdx Qdy Rdz 0 L
(3) Pdx Qdy Rdz 在内与路径无关; LAB (4) Pdx Qdy Rdz 是某个函数u( x, y, z) 的全微分,即
du Pdx Qdy Rdz,
( x, y,z)
且 u( x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )