模糊集的基本运算讲解
模糊数学基本知识
一．模糊数学的基础知识1．模糊集、隶属函数及模糊集的运算。
普通集合A ，对x ∀，有A x ∈或A x ∉。
如果要进一步描述一个人属于年轻人的程度大小时，仅用特征函数就不够了。
模糊集理论将普通集合的特征函数的值域推广到[0，1]闭区间内，取值的函数以度量这种程度的大小，这个函数（记为)(x E ）称为集合E 的隶属函数。
即对于每一个元素x ，有[0,1]内的一个数)(x E 与之对应。
（1）模糊子集的定义：射给定论域U ，U 到[0，1]上的任一映射：))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→都确定了U 上的一个模糊集合，简称为模糊子集。
)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度。
映射所表示的函数称为隶属函数。
例如：设论域U=[0，100]，U 上的老年人这个集合就是模糊集合：⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+≤=--10050,))550(1(50,0)(12u u u u A若在集合U 上定义了一个隶属函数，则称E 为模糊集。
（2）模糊集合的表示：},.....,,{21n u u u U =，)(u A 称为元素u 属于模糊集A 的隶属度；则模糊集可以表示为：nn u u A u u A u u A A )(....)()(2211+++=。
或 )}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，))}(,()),.....,(,()),(,{(2211n n u A u u A u u A u A =， （3）模糊集合的运算：)}(),.....,(),({21n u A u A u A A =，)}(),.....,(),({21n u B u B u B B =，并集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∨∨∨=⋃，交集：)}()(),.....,()(),()({2211n n u B u A u B u A u B u A B A ∧∧∧=⋂， 补集：)}(1),.....,(1),(1{21n cu A u A u A A ---=，包含：B A u B u A U u ⊂≤∈∀，则有有若)()(,， 2．模糊集的截集已知U 上模糊子集))((],1,0[:U u u A u U A ∈∀→→对]1,0[∈λ，则称})(,{λλ≥∈=u A U u u A 为模糊集A 的λ-截集；称})(,{λλ>∈=u A U u u A s为模糊集A 的λ-强截集；λ称为λA 、sA λ的置信水平或阀值。
模糊集合及其运算讲解
1、模糊子集
定义：设U是论域，称映射
A : U [0,1],
U
~
x A( x) [0,1]
A
~
~
确定了一个U上的模糊子集 A 。映射 A 称为 A 隶属函
~
~
~
数，A( x)
~
称为 x
对
A 的隶属程度，简称隶属度。
~
模糊子集 A 由隶属函数 A 唯一确定，故认为二者
~
~
是等同的。为简单见，通常用A来表示
模糊集合及其运算
确定性
—— 经典数学
量
随机性 —— 随机数学
不确定性
模糊性 —— 模糊数学
随机性：事件本身的状态是清楚的，但是否发生
不确定 。 （事件是否发生不确定）
明天有雨，掷一枚骰子出现6点
模糊性：事件本身的状态不很分明，不在于事件
发生与否。（事件本身的状态不确定）
青年人，高个子
模糊数学也是由于实践的需要而产生的，模糊概念 （或现象）处处存在。 有时使用模糊性比使用精确性还要好 。 例如，“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年 男人” 模糊数学决不是把数学变成模模糊糊的东西，它也 具有数学的共性：条理分明、一丝不苟。即使描述模 糊概念（或现象），也会描述得清清楚楚。 一般来说，随机性是一种外在因果的不确定性，
模糊矩阵的幂 A2 A A
例：
设A 0.4 0.1
0.5 0.2
0.6 , 0.3
B
0.1 0.3 0.5
0.2 0.4
, 则
0.6
A B 0.5 0.6 0.3 0.3
0.1 0.2 0.2 B A 0.3 0.3 0.3
模糊集合论及其应用
模糊集合论及其应用模糊集合论是一种重要的数学工具，它能够处理现实世界中的模糊、不确定和不精确的信息，具有广泛的应用前景。
本文首先介绍模糊集合论的基本概念和运算，然后探讨其在决策分析、控制理论、人工智能等领域的应用，并最后展望其未来发展方向。
一、模糊集合论的基本概念和运算1.1 模糊集合的定义在传统的集合论中，一个元素只能属于集合或不属于集合，不存在中间状态。
而在模糊集合论中，一个元素可以同时属于多个集合，并且对于不同的元素，其属于集合的程度也不同。
因此，模糊集合论将集合的概念进行了扩展，使其能够更好地描述现实世界中的不确定性和模糊性。
设X为一个非空的集合，称为全集，一个模糊集A是一个从X到[0,1]的函数，即：$$A(x):Xrightarrow[0,1]$$其中，A(x)表示元素x属于模糊集A的隶属度，取值范围为[0,1]。
当A(x)=1时，表示x完全属于A；当A(x)=0时，表示x完全不属于A；当0<A(x)<1时，表示x部分属于A。
1.2 模糊集合的运算模糊集合的运算包括模糊集合的交、并、补和乘积等。
模糊集合的交：对于两个模糊集合A和B，其交集为：$$(Acap B)(x)=min{A(x),B(x)}$$模糊集合的并：对于两个模糊集合A和B，其并集为：$$(Acup B)(x)=max{A(x),B(x)}$$模糊集合的补：对于一个模糊集合A，其补集为：$$(eg A)(x)=1-A(x)$$模糊集合的乘积：对于两个模糊集合A和B，其乘积为：$$(Atimes B)(x,y)=min{A(x),B(y)}$$其中，(A×B)(x,y)表示元素(x,y)属于模糊集合A×B的隶属度。
1.3 模糊关系和模糊逻辑在模糊集合论中，还有两个重要的概念，即模糊关系和模糊逻辑。
模糊关系是指一个元素对另一个元素的隶属度，可以用矩阵表示。
例如，设A和B是两个模糊集合，它们之间的模糊关系R可以表示为： $$R=begin{bmatrix} R_{11} & R_{12} R_{21} & R_{22}end{bmatrix}$$其中，Rij表示元素i与元素j之间的隶属度。
模糊集合之运算
0 ≤ A c ( x) ≤ 1
(4.2)
認 Fuzzy
一般常用的模糊集合之補集定義除 (4.1a) 外尚有： (1) 門檻式：
1, 當 z ≤ l c( z ) = 0, 當 z > l
(4.3)
其中 z ∈[0, 1] 及 l ∈[0, 1) ， l 稱為門檻 (Threshold)
c(z) 1
(4.1b) 只是 t-基準之一種。其它之 t-基準運算定義仍有許 多。在此用 t ( p, q ) 代表 p 與 q 之 t-基準或 p ∩ q，其中 p
及 q 為某個模糊集合之歸屬函 (如 A(x),B(x) )，因此
0 ≤ p, q ≤ 1 是必然的。
10
認 Fuzzy
常用的模糊交集運算定義： 標準交集 (Standard Intersection)：
p, 當 q = 1 t ( p , q ) = q , 當 p = 1 0, 其 他
(4.10)
其中 (4.7)～(4.10) 之大小關係：
( 4.10) ≤ ( 4.9) ≤ ( 4.8) ≤ ( 4.7)
其他學者提出的交集公式 page 4-7 and 4.3.
12
認 Fuzzy
4.4 模糊集 (t-反基，s-norms 或 t-conorms)
認 Fuzzy
第 四 章
模 糊 集 合 之 運 算
1
認 Fuzzy
4.1 模糊集合運算之種
三種模糊集合運算：集 (Union)、補集 (Complement)、 及交集 (Intersection)。 標準運算: A ( x ) = 1 A( x )
( A ∩ B )( x ) = min( A( x ), B ( x ))
模糊集合运算法则
模糊集合运算法则模糊集合运算法则是一种建立在模糊集合理论基础上的数学模型，它允许从集合中提取成员元素，以及使用模糊函数对多个集合之间进行运算，而且能够考虑运算结果的不确定性。
模糊集合运算法则也是一种测量数据归纳和推理的重要手段。
它的应用在很大程度上可以用于解决实际问题。
本文将介绍模糊集合运算法则的定义，以及它的几种应用。
一、模糊集合运算法则的定义模糊集合运算法则是一种建立在模糊集合理论基础上的数学模型。
它研究的是具有特定元素的及其概率的模糊集合，以及它们之间的运算关系。
模糊集合运算法则是用来描述微妙的数学关系，给出了一种以概率定义的一组模糊集合的方法，并根据这组模糊集合的特征，构造一组运算关系，以便可以进行复杂的数学运算。
模糊集合运算法则的基本思想是：在模糊集合中，不同的元素有可能出现同一概率的元素，而不同的概率可以由不同的运算关系来表示，比如可以使用集合交、并、补和差运算表示。
使用模糊集合运算法则，就可以形成概率模型，以实现集合之间的运算，其中最重要的是模糊函数。
二、模糊集合运算法则的应用（1）多属性决策分析多属性决策分析是指利用多个指标分析决策问题。
使用模糊集合运算法则可以在模糊环境下进行多属性决策分析。
利用模糊函数可以得出多个指标之间的关系，以此来帮助做出合理的决策。
（2）模糊推理模糊推理是一种以概率推断的知识表示形式，是从特定假设及概率模型中推断出结论的过程。
模糊集合运算法则可以帮助计算各种概率，并利用模糊函数计算不同概率的结果，来帮助做出合理的推断。
（3）数据归纳模糊集合运算法则还可以用于数据归纳，即通过对模糊集合中的元素进行运算，来推断出新的信息。
这种方法可以用于统计抽样，计算概率等方面，可以很好地帮助收集和分析数据，以便更好地确定最优策略。
综上所以，模糊集合运算法则是一种有效的处理模糊环境下数据的工具，可以有效地解决实际问题。
模糊集合运算法则通过模糊函数来描述和处理模糊环境，分析数据归纳和推理，以及多属性决策分析等。
模糊控制02-模糊集合及其基本运算
中心 如果一个模糊集的隶属度函数达到最大值的 有点的均值是一个有限值，则该均值就是模 有点的均值是一个有限值 集的中心； µ(x) 1 如果均值是正（负） 穷大，则将中心定义 所有最大隶属度值的 中最小（最大）点。
模糊集合的一些基本概念
交叉点 论域U中模糊集A的隶属度值等于0.5 论域U中模糊集A的隶属度值等于0.5的点。 0.5的点。 模糊集的高度 µ(x) 指模糊集内任意点所达到的 1 大隶属度值。 a 模糊集高度为1 模糊集高度为1时，该模糊 该模糊 称为标准模糊集。
1
supp( A) = {x ∈ U | µ A ( x) > 0}
0
模糊集合的一些基本概念
空模糊集 如果一个模糊集的支撑集为空集，则该模糊 如果一个模糊集的支撑集为空集 为空模糊集。 模糊单值 µ(x) 1 如果模糊集的支撑集仅包 则该模糊集 U中的一个点，则该模糊集 模糊单值。
模糊集合的一些基本概念
x
z
模糊集合的运算
模糊集合A 模糊集合A 和B等价 对于任意 x∈U，当且仅当µA(x)=µB(x)， 当且仅当µ 当且仅当 (x)， 称A和B是等价的。 模糊集合A 模糊集合A被B包含 对于任意 x∈U，当且仅当 µA(x)≤µB(x) ， 当且仅当 称B包含A。 包含A
模糊集合的运算
糊集合A 糊集合A 的补集 模糊集合A 模糊集合A的补集记作 ，A ，隶属度函数为 µ A (x) = 1 − µ A (x) 糊集合A 糊集合A和B的并集 AU B 模糊集合A 模糊集合A和B的并集记作 ，隶属度函数为 µ A∪ B (x) = max[µ A ( x), µ B ( x)] 糊集合A 糊集合A和B的交集 AI B 模糊集合A 模糊集合A和B的交集记作 ，隶属度函数为
模糊集合的运算与运用
模糊集合的运算与运用随着信息技术的飞速发展，模糊集合理论逐渐在各个领域得到广泛的应用。
模糊集合是一种用来处理不确定性和模糊性的数学工具，它的运算和应用可以帮助我们更好地理解和解决复杂问题。
本文将探讨模糊集合的基本概念、运算方法以及在不同领域的实际运用。
## 模糊集合的基本概念模糊集合是一种集合论的扩展，它允许元素具有不同程度的隶属度。
在传统的集合中，一个元素要么属于这个集合，要么不属于；但在模糊集合中，一个元素可以以一个0到1之间的值来表示其隶属度，0表示不属于，1表示完全属于，而在这两个极端之间的值表示不确定的隶属度。
例如，考虑一个集合“高矮”的情况，传统集合只能用“高”或“矮”来描述一个人的身高，而模糊集合可以使用0.7来表示某人的身高在“高矮”这个集合中的隶属度，这意味着这个人的身高在高和矮之间有一定的不确定性。
## 模糊集合的运算模糊集合的运算包括交集、并集、补集和差集等操作，与传统集合运算类似，但隶属度的考虑使得这些运算更加灵活和适用于处理模糊信息。
以下是一些基本的模糊集合运算：### 1. 交集模糊集合A和B的交集是一个新的模糊集合，其中元素的隶属度等于A和B对应元素的隶属度的最小值。
这可以用来表示两个模糊集合的共同特征。
### 2. 并集模糊集合A和B的并集是一个新的模糊集合，其中元素的隶属度等于A和B对应元素的隶属度的最大值。
这用于表示两个模糊集合的综合特征。
### 3. 补集模糊集合A的补集是一个新的模糊集合，其中元素的隶属度等于1减去A中对应元素的隶属度。
这可以用于表示与A相反的特征。
### 4. 差集模糊集合A和B的差集是一个新的模糊集合，其中元素的隶属度等于A中对应元素的隶属度减去B中对应元素的隶属度。
这可以用于表示A相对于B的特征。
## 模糊集合的应用模糊集合理论在各种领域有着广泛的应用，包括人工智能、控制系统、决策分析、模式识别等。
以下是一些具体的应用示例：### 1. 模糊逻辑控制模糊逻辑控制是一种基于模糊集合的控制方法，它允许系统根据模糊规则来进行决策和控制，特别适用于那些难以用传统逻辑方法精确描述的系统，如温度控制、汽车驾驶等。
第二章：二、模糊集合的运算
µ
模糊集的代数运算仍然满足结合律、交换律、德•摩根律、同一律和零一律。 但不满足幂等律、分配律和吸收律。当然也不满足互补律。 ⊕ 定义2－9 称 aΘ、 为有界算子，对 ∀a , b ∈ [ 0 , 1 ] ，有
A+ B
∧
( u ) = µ A ( u ) + µ B ( u ) − µ A ( u ) µ B (u )
g v 2 (v1 ) (2 − 27) max( g v 2 (v1 ) , g v1 (v 2 ) ) 这里, v1 、v 2 ∈ U 。 若以 g (vi / v j )(i , j = 1, 2) 为元素，且定义 时，则可构造出矩阵G，并称G为相及矩阵。 g (v i / v j ) = 1 , 当 i = j
重叠鲁棒性＝10 / 20 = 0.5
µ
A1
A2
重叠率＝5 / 35 = 0.143
0.25
0 20
重叠鲁棒性＝2.5 / 10 = 0.25
35
5
35
40
55
速度 /( km ⋅ h −1 )
图2－6 隶属度函数重叠的范例 隶属度函数是模糊控制的应用基础，正确构造隶属度函数是能 否用好模糊控制的关键之一。 1）模糊统计法
计算相及矩阵G。因为 g (vi / v j ) = g v j (vi ) / max( g v j (vi ) , g v i (v j ) ) ，所以，相及矩 阵为
模糊集合的运算以及合成
模糊集合的运算以及合成
模糊集合的运算与合成
模糊集合是一种用来描述模糊概念的数学工具。
它与传统的集合论不同，可以处理那些不完全确定或难以精确划定的概念。
模糊集合的运算与合成是模糊集合理论中的重要内容，它们可以用来对现实世界中的模糊问题进行建模和求解。
模糊集合的运算主要包括交集、并集和补集。
交集运算可以用来求两个模糊集合的共同部分，它反映了两个模糊概念之间的相似程度。
并集运算可以用来求两个模糊集合的整体部分，它反映了两个模糊概念之间的包容关系。
补集运算可以用来求一个模糊集合的相反部分，它反映了一个模糊概念的否定关系。
模糊集合的合成是指将多个模糊集合进行组合，得到一个新的模糊集合。
合成的方法有很多种，常用的方法包括最小值合成、最大值合成和平均值合成。
最小值合成将多个模糊集合的对应元素取最小值，反映了多个模糊概念的最弱关系。
最大值合成将多个模糊集合的对应元素取最大值，反映了多个模糊概念的最强关系。
平均值合成将多个模糊集合的对应元素取平均值，反映了多个模糊概念的平衡关系。
模糊集合的运算与合成在各个领域都有广泛的应用。
在工程领域，模糊集合的运算与合成可以用来对模糊逻辑进行建模和求解。
在经
济领域，模糊集合的运算与合成可以用来对模糊需求和模糊供给进行分析和决策。
在医学领域，模糊集合的运算与合成可以用来对模糊诊断和模糊治疗进行评估和优化。
模糊集合的运算与合成是模糊集合理论中的重要内容，它们可以用来对现实世界中的模糊问题进行建模和求解。
通过运算和合成，可以得到模糊概念之间的相似程度、包容关系和否定关系，从而更好地理解和处理模糊问题。
模糊数学第二讲--模糊集合及其运算
A(u)
[1
(
u
50 5
)2
]1
, 50 u 100
1
0 u 25
B(u)
[1
(
u
25 5
)2
]1
25 u 100
A
B A(u) B(u)
1
[1 (u 25)2 ]1
5
[1 (u 50)2 ]1 5
uU
u
u 0u25
25u u*
u
u* u100
u
A
B A(u) B(u)
2024/7/20
20
五、模糊截集
1. -截集(-cut)
引例：
奴隶社会 1/ 夏 1/ 商 0.9 / 西周 0.7 / 春秋 0.5/战国 0.4 / 秦 0.3/ 西汉 0.1/东汉
若要求至少应达到0.5 水平，则有夏、商、西 周、春秋、战国
若要求至少应达到0.7 水平，则有夏、商、西周、 春秋
(A B) C (A C) (B C)
5、吸收律： (A B) A A, (A B) A A 6、复原律： (Ac )c A 7、对偶律： ( A B)c Ac Bc , ( A B)c Ac Bc 8、0 –1律： A U U , A A
AU A, A
k 1
uk
k 1
uk
u k 1
k
(2) 设论域U为无限集且A A(u), B B(u),
uU u
uU u
则A B A(u) B(u)，A B A(u) B(u)，AC 1 A(u)
uU
u
uU
u
uU
u
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16
例2 设模糊集A和B的隶属函数为
从入门到精通模糊逻辑算法原理详解
从入门到精通模糊逻辑算法原理详解模糊逻辑是一种基于模糊集的推理方法，在人工智能领域应用广泛。
本文旨在从入门到精通地详细解释模糊逻辑算法原理。
一、什么是模糊逻辑在传统逻辑中，一个命题只能是真或假。
然而，在现实生活中，很多概念存在模糊性，比如“高矮胖瘦”等。
模糊逻辑就是一种能够处理这些模糊性的逻辑。
模糊逻辑的基础是模糊集理论，即一种介于绝对真和绝对假之间的数学符号。
模糊集把命题的真实性定义为一个0到1之间的实数，表示命题成立的程度。
例如，“这个苹果是红色的”这个命题是部分正确和部分错误的，可以用0.8表示。
二、模糊逻辑的算法原理模糊逻辑的算法原理主要包括模糊集的表示、模糊逻辑运算和模糊推理三个部分。
1. 模糊集的表示模糊集可以用数学函数形式来表示，常用的有三角形、梯形、高斯等函数形式。
以三角形为例，其函数形式如下：$$\mu _{A}(x)=\left\{\begin{matrix}0& \ x<x_0 \\\frac{x-x_0}{x_1-x_0} & \ x_0≤x<x_1\\1&\ x_1≤x≤x_2\\\frac{x_3-x}{x_3-x_2} &\ x_2<x≤x_3\\0& \ x>x_3\end{matrix}\right.$$其中，$x_0$ 和 $x_3$ 表示集合 $A$ 的边界，$x_1$ 和 $x_2$ 表示集合 $A$ 的顶点。
2. 模糊逻辑运算模糊逻辑运算包括交、并、补、差等。
设 $A$ 和 $B$ 为模糊集，其模糊逻辑运算如下：交运算：$A\cap B$，表示两个模糊集的交集。
通常用 $T$ 表示其高峰值。
并运算：$A\cup B$，表示两个模糊集的并集。
通常用 $S$ 表示其面积。
补运算：$\bar{A}$，表示模糊集 A 的补集。
通常用 $1-A$ 表示。
差运算：$A-B$，表示模糊集 A 减去模糊集 B 后的剩余部分。
模糊集合及其运算
模糊集合的基本运算
1、模糊集合相等 若两个模糊集合A和B，对于所有的 ，均有 则称模糊集合A与B相等，记作 。 2、模糊集合的包含关系 若两个模糊集合A和B，对于所有的 ，均有 则称模糊集合A包含于B，记作 。
模糊集合的基本运算
3、模糊空集
若对所有 ，均有 ，则称A为模糊空集，记
作。
4、模糊集合的并集
B 1 0.9 1 0.4 1 0 1 0.7 0.1 0.6 1 0.3
x1
x2
x3
x4
x1 x2 x3 x4
模糊集合运算的基本性质B C) (A B) (A C)
2、结合律 (A B) C A (B C) (A B) C A (B C)
8、双重否定律
A A
模糊集合运算的基本性质
提问： 为什么在模糊集合里排中律不成立？
9、其它运算类型 见板书
模糊关系
定义：n元模糊关系R是定义在直积X1×X2×... ×Xn上的模糊集合，它可以表示为
R X1X2 Xn
R (x1, x2 , , xn ) /(x1, x2 , , xn )
X1X 2 X n
6,1)
,(7,0.7),(8,0.3),(9,0),(10,0)}
或者A＝
＝
模糊集合的其它表示方式
例2.2 若以年龄为论域，并设X＝[0,200]。设O表 示模糊集合“年老”，Y表示模糊集合“年轻”。 已知“年老”和“年轻”的隶属度函数分别表示 为
模糊集合的其它表示方式
O
(x,0)
0
x
50
x,
模糊集合的定义及表示方法
概念：如果将篮子里的所有“大苹果”看作是一个集合，那么 “大苹果”就是一个模糊集合，因为我们没有确切的定义什 么样的苹果叫做大苹果。另一方面，如果我们认为3两以上 的苹果算是绝对的大苹果，也就是说3两以上的苹果属于 “大苹果”的程度为1，那么2.9两的苹果属于“大苹果”的 程度大概就可以是0.9左右，2.8两的苹果大概就是0.8。这种 属于程度就称为隶属度函数，其值在0～1之间连续变化。
第七章 模糊控制技术第三节模糊集合中的基本定义和运算
2.模糊集合的基本运算
• 设A和B是U中的模糊子集，隶属函数分别为μA和μB，则模 糊集合中的并、交、补等运算可以定义如下： 并运算：并（A∪B）的隶属函数μA∪B，对所有μ∈U被逐 点定义为取极大值运算即：（式中“∨”为取极大值运算 ）
交运算：交பைடு நூலகம்A∩B)的隶属函数μA∩B，对所有μ∈U被逐点 定义为取极小值运算即：（式中“∧”为取极小值运算）
第七章 模糊控制技术
主要内容
一、模糊集合 二、隶属函数及其确定 三、模糊集合中的基本定义和运算 四、模糊关系 五、模糊推理 六、模糊控制器的设计 七、模糊控制器设计实例
三、模糊集合中的基本定义和运算
1.基本定义
• 与经典集合论一样，模糊集合也定义了基本运算如并、交、 补等。以下定义模糊集合的幂集、空集、全集、集合的包含 和相等。 论域U中模糊集合的全体称为U中的模糊幂集，记做F(U)：
补运算：模糊集合A的补隶属函数μA ，对所有被逐点定义 为
三、模糊集合中的基本定义和运算
3.模糊集合运算的基本定律
模糊集合的运算满足以下的基本定律：
设U为论域。A、B、C为U中的任意模糊子集，则下列等式成立：
幂等律：
结合律： 交换律：
分配律：
同一律：
零一律：
吸收律：
双重否认律：
德·摩根律：
➢ 可以看出，模糊集与经典集的集合运算的基本性质完全相同，但是 模糊集运算不满足互补律，即：
对于任一u∈U，若μG(x)=0，称A为空集φ；若μG(x)=1，则 称为全集，A=U。
设A和B是U的模糊集，即A、B∈F(U)，若对任一u∈U都有 B(U)≤B(U)，则称B包含于A，或称B是A的子集，记做 。若对于任一u∈U都有B(U)=A(U)，则称B等于A，记做B=A 。
模糊集合的基本运算-Read
第六章 模糊数学基础
§6.1 概述 §6.2 模糊集合与隶属度函数 §6.3 模糊逻辑与模糊推理
§6.1 概述
§6.1.1 传统数学与模糊数学 §6.1.2 不相容原理
§6.1.2 不相容原理
1965年，美国自动化控制专家扎德（L. A. Zadeh） 教授首先提出用隶属度函数(membership function)来描 述模糊概念，创立了模糊集合论，为模糊数学奠定了 基础。 不相容原理:“随着系统复杂性的增加，我们对其特 性作出精确而有意义的描述的能力会随之降低，直到 达到一个阈值，一旦超过它，精确和有意义二者将会 相互排斥”。这就是说，事物越复杂，人们对它的认 识也就越模糊，也就越需要模糊数学。不相容原理深 刻的阐明了模糊数学产生和发展的必然性，也为三十 多年来模糊数学的发展历史所证实。
F ( x) min(F (a), F (b)) ， a, b U , x [a, b]
语言变量用一个有五个元素的集合(Ｎ,T(N),U,G,M) 来表征，其中 (1)Ｎ是语言变量的名称，如年龄、数的大小等； (2)U为语言变量N的论域； (3)T(Ｎ)为语言变量的值Ｘ的集合，其中每个Ｘ都是 论域U上的模糊集合，如 T( Ｎ ) ＝ T( 年 龄 )=“ 很 年 轻 ” +“ 年 轻 ” +“ 中 年”+“较老”+“很老” ＝Ｘ1+Ｘ2+Ｘ3+X4+X5
x 50 0， 1 ， x 50 老 ( x) 2 x 50 1 5 其中修饰词的隶属度函数为：极A= A4 ， 非常A = A2 ， 相当A= A1.25 ， 比较A= A0.75 ， 略A= A0.5 ， 稍微A=
二、模糊计算
§2.3 模糊集合的运算 2.3.1 模糊集合的基本运算 一、模糊集合并、交、补运算定义2.3.1 模糊集合的包含、相等设A ~、B ~为论域X 上的两个模糊集合，对于X 中每一个元素x ，都有)()(~~x x BAμμ≥，则称A ~包含B ~，记作B A ~~⊇。
如果B A ~~⊇，且A B ~~⊇，则说A ~与B ~相等，记作B A ~~=。
由于模糊集合是通过隶属函数来表征的，模糊集合相等也可用隶属函数来定义。
若对于X 上的所有元素x ，都有)()(~~x x BAμμ=，模糊集合A ~与B ~相等。
定义2.3.2 模糊空集设A ~为论域X 上的模糊集合，对于X 中每一个元素x ，都有0)(~=x Aμ，则称A ~为模糊空集，记作φ=A ~。
定义2.3.3 模糊集合并、交、补基本运算设A ~、B ~为论域X 上的两个模糊集合，令B A ~~ 、B A ~~ 、C A ~分别表示模糊集合A ~与B ~的并集、交集、补集，对应的隶属函数分别为B A~~ μ、B A ~~ μ、C A~μ，对于X 的任一元素x ，定义： )(V )()(B ~A ~B ~A~x x x μμμ∆ (2.3.1) )()()(B ~A~B ~A~x x x μμμΛ∆ (2.3.2)补算子 (2.3.3) 式中“V ”表示取大运算，“Λ”表示取小运算，称其为Zadeh 算子。
在此定义下，两个模糊集合的并、交实质是在做下面的运算①)](,)(max[B ~A ~B ~A~x x μμμ= 并算子 (2.3.4) )](,)(min[B ~A~B ~A~x x μμμ= 交算子 (2.3.5) 为了加深对模糊集合并、交、补基本运算的理解，现在给出模糊集合A ~和B ~，见图2.3.1(a)。
其中A ~为高斯分布，B ~为三角分布，二者的并、交运算结果如图2.3.1(b)的图2.3.1(c)所示，当然模糊集合的并、交运算可以推广到任意个模糊集合。
模糊集的基本概念
模糊子集与隶属函数 设U是论域，称映射 μA ：U→[0,1] x → μA(x)
确定了一个U上的模糊子集A， μA 称 为 模 糊 集 A 的 隶 属 函 数 （ membership function），μA(x)表示 x 对A的隶属程度 （grade of membership）。常记 μA = A 。
也可用Zadeh表示法
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 A
x1 x2 x3 x4 x5 x6
A 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 x1 x2 x3 x4 x5 x6
设 A FU ,记
sup pA u u U , A(u) 0 ker A u u U , A(u) 1
t
At
,
At
t
t
At
.
(5) A A .
证：
x At t
t0 , x At0
t0 , At0 ( x)
At(x)
x1
x2
xn
（级数表示法）。
若U是无限集
，
则 A A( x) （积分表示法）。
Ux
注1：级数表示法中，隶属度为0的项 0 可以
略去不写。
xi
4、向量表示法
若U是有限集 U x1, x2 , , xn ，
则 A A( x1), A( x2 ), , A( xn )
5、图示法
At (x)
t
x At t
定义1
设 0,1, A F(U), 定义 A F(U ), 其隶
模糊集合的基本概念与模糊关系
( A B)k Ak Bk
同样地
0.4 0.3 B A 0.6 0.6
由此可知，一般来说 在特殊情况下当 若A、B可换，有： (7)转置模糊矩阵 模糊矩阵 转置模糊矩阵 例6 若设 转置模糊矩阵
A BB A
A BB A
称A与B可换。
( A B)k Ak Bk
A a ij
, bij aij bij
模糊矩阵C称为A与B的和的表示:
C cij A B
（4）模糊矩阵的直积
A aij
B bij
cij min aij
, bij aij bij
模糊矩阵A与B的直积C表示为：
C cij A B
R ( x, y)
中的模糊关系称为X上的模糊关系.
更一般地在直积空间 就是用n元隶属度函数 其中：
X X1 X 2 X n
中的n元模糊集R
R ( x1, x2 , xn )
i 1,2, n
来表示的模糊集R
xi X i
例1 设x,y为汽车，则“x比y好”这种关系就是模糊关系 例2 设x,y指人，则“x和y 相象”这种关系也是模糊关系 设:
CA B
， ： 则其隶属度函数可表示为
C ( x) min A ( x), B ( x), x X
C A B C ( x) min A , B
图6.3 补集
A
_
图6.4 模糊集的并集、交集与代数集
6.2 模糊集运算的基本性质
（1）
（2） （3） （4）
1 1 1 E 1 1 1 1 1 1
7.3模糊矩阵的基本公式 （1）对于一切模糊矩阵A，有 （2） （3）若 （4）若 （5） （6）
模糊集算术运算
模糊集算术运算模糊集算术运算是一种基于模糊集理论的数学运算方法，它可以用来处理模糊信息和不确定性问题。
模糊集算术运算可以对模糊集合进行求交、求并、求补、模糊集合的数乘等操作，从而实现对模糊集合的运算和推理。
模糊集是一种将模糊性和不确定性引入到集合论中的数学工具。
与传统的集合论不同，模糊集中的元素可以具有不同的隶属度，即一个元素可以同时属于多个集合，并且属于某个集合的程度可以用一个介于0和1之间的数值来表示。
这种数值表示了元素与集合的隶属度，越接近1表示元素越属于该集合，越接近0表示元素越不属于该集合。
在模糊集算术运算中，我们可以对模糊集合进行求交运算。
求交运算可以理解为将两个模糊集合的隶属度进行逐个比较，然后取较小值作为交集中的隶属度。
这样，我们就可以得到一个新的模糊集合，其中的元素属于原始模糊集合的交集的程度更高。
除了求交运算，我们还可以对模糊集合进行求并运算。
求并运算可以理解为将两个模糊集合的隶属度进行逐个比较，然后取较大值作为并集中的隶属度。
这样，我们就可以得到一个新的模糊集合，其中的元素属于原始模糊集合的并集的程度更高。
在模糊集算术运算中，我们还可以对模糊集合进行求补运算。
求补运算可以理解为将一个模糊集合中元素的隶属度取反，即将原始集合中元素的隶属度与1相减。
这样，我们就可以得到一个新的模糊集合，其中的元素属于原始模糊集合的补集的程度更高。
在模糊集算术运算中，我们还可以对模糊集合进行数乘运算。
数乘运算可以理解为将一个模糊集合中元素的隶属度与一个实数相乘。
这样，我们就可以得到一个新的模糊集合，其中的元素的隶属度是原始模糊集合中元素的隶属度与实数的乘积。
模糊集算术运算是一种基于模糊集理论的数学运算方法，它可以用来处理模糊信息和不确定性问题。
通过模糊集算术运算，我们可以对模糊集合进行求交、求并、求补、数乘等操作，从而实现对模糊集合的运算和推理。
模糊集算术运算在人工智能、模糊控制、模式识别等领域有着广泛的应用。
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0 A(x) 1
0
x a b ab xab x ab
A(x) ek(xa)2 , k 0
A( x)
ek (xa) ek (xa)
xa xa
A(x) 1
b 0 (c为正偶数)
2 a x a
1
1
sin
[x ab]
axb
2 2 ba 2
0
xb
三. 模糊集上的运算 1. 几点说明
经典集合可用特征函数完全刻画, 因而经典集合可看成 模糊集的特例(即隶属函数只取0, 1两个值的模糊集)。
设 X 为 非 空 论 域 , X 上 的 全 体 模 糊 集 记 作 F(X). 于 是 , P(X)F(X), 这里P(X)为X的幂集(即X的全体子集构成的集合).
例如, 论域X为1到10的所有正整数, 模糊集“近似于 5”A可表示为：
A 0 /1 0 / 2 0.3 / 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3 / 8 0 / 9 0 /10
或 A 0.3 / 3 0.7 / 4 1/ 5 1/ 6 0.7 / 7 0.3 / 8 或 A (0, 0, 0.3, 0.7,1,1, 0.7, 0.3, 0, 0)
1 2
1 2
sin
b
a
[x
a
2
b
]
1
xb
a xb
xa a xb xb
“年轻”模糊集合的隶属函数为降半柯西分布, 其中取 a =1/5 , b =25 , c =2. “年老”模糊集合的隶属函数为升半柯 西分布, 其中取a=1/5 , b=50, c=2. 3. 中间型(对称型)
1 b(x a)c
0
c
x
a
A(x) 1 c b
c
x
a
cb
0
x ac ac xab ab xab ab xac xac
0
x b
1
1
sin
[x ab]
b x a
A(x) 12 2 b a
A(x)
1 0
xa xa
1
xa
A(x) ek(xa) x a, k 0
A(
x)
1 e
k
(
xa)2
xa x a, k 0
1
A( x)
1
1 b(x a)c
xa x a (b, c 0)
1
xa
A(x)
A={(x1, 0.55), (x2, 0.78), (x3, 0.91), (x4, 0.56)}.
2) 向量表示法 当论域X={x1, x2, …, xn}时, X上的模糊集A可表示为向量 A=(A(x1), A(x2), …,A(xn)). 模糊集“帅哥”A可记为:
A=(0.55, 0.78, 0.91, 0.56).
向量的每个分量都在0与1之间,称之为模糊向量。
3） Zadeh表示法 当论域为有限集{x1, x2, …, xn}时, 模糊集合可表示为 A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+ …+A(xn)/xn. 注意, 这里仅仅是借用了算术符号+和/, 并不表示分数 和运算, 而只是描述A中有哪些元素,以及各个元素的隶属
1 2
1 2
sin
b
a
[x
a
2
b
]
0
xb
a xb
1
A(
x)
b b
x a
0
xa a xb xb
2. 偏大型
升半矩形分布，升半Γ形分布，升半正态分布，升半柯
西分布，升半梯形分布，升岭形分布。
A(x)
0 1
xa xa
A( x)
0 1
特别地, 空集的隶属函数恒为0, 全集X的隶属函数恒为1, 即、X都是X上的模糊集。
2. 模糊集的包含关系 设X为非空论域, A, B为X上的两个经典集合。 AB
当且仅当属于A的元素都属于B. 易证AB当且仅当对任意xX有CA(x) CB(x).
11
X
定义 设X为非空论域, A, B为X上的两个模糊集合。 称A包含于B(记作AB), 如果对任意xX有A(x) B(x). 这时也称A为B的子集。
二. 典型的隶属函数
构造恰当的隶属函数是模糊集理论应用的基础。一 种基本的构造隶属函数的方法是“参考函数法”, 即参 考一些典型的隶属函数, 通过选择适当的参数, 或通过拟 合、整合、实验等手段得到需要的隶属函数。
下面介绍典型隶属函数。 1. 偏小型
降半矩形分布, 降半Γ形分布, 降半正态分布, 降半柯 西分布, 降半梯形分布, 降岭形分布。
度值。 对于任意论域X中的模糊集合A可记为:
A A(x) / x xX
A A(x)
xX x
模糊集“年轻”A可表示为
A
1
x x[ 0 , 25 ]
[1 ( x 25)2 ]1
x( 25,100 )
5 x
0
x x[100,200]
注意：当论域明确的情况下, 在序偶和Zadeh表示法 中, 隶属度为0的项可以不写出。而在向量表示法中, 应 该写出全部分量。
第二章 模糊集的基本运算
一. 模糊集的表示方法
模糊集合是论域X 到[0,1]的映射, 因此用隶属函 数来表示模糊集合是最基本的方法。除此以外, 还有 以下的表示方法： 1)序偶表示法
A={(x, A(x)|xX}. 例如: 用集合X={x1, x2, x3, x4}表示某学生宿舍中的四 位男同学, “帅哥”是一个模糊的概念。经某种方法 对这四位学生属于帅哥的程度(“帅度”)做的评价依 次为: 0.55, 0.78, 0.91, 0.56, 则以此评价构成的模糊集 合A记为:
ek
( xa )2
xa x a, k 0
0
xa
A(x) 1 ek(xa) x a, k 0
0
A( x)
1
1 b(x a)c
xa x a (b, c 0)
0
A( x)
x b
a a
1
0
xa
A(x)