2021-2022学年广东省广州大学附中九年级(上)期中数学试卷(附详解)

2021-2022学年广东省广州大学附中九年级（上）期中数
学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
1.下列方程是一元二次方程的是()
=1
A. 2xy+1=0
B. x−1
x
C. x2=2
D. ax2+bx+c=0
2.将二次函数y=x2−2x−2化成y=a(x−ℎ)2+k的形式为()
A. y=(x−2)2−2
B. y=(x−1)2−3
C. y=(x−1)2−2
D. y=(x−2)2−3
3.将抛物线y=3x2向右平移两个单位，所得抛物线是()
A. y=3(x+2)2
B. y=3(x−2)2
C. y=3x2−2
D. y=3x2+2
4.若m是方程2x2−3x−1=0的一个根，则6m2−9m+2018的值为()
A. 2018
B. 2019
C. 2020
D. 2021
5.摩拜共享单车计划2017年10、11、12月连续3月对深圳投放新型摩拜单车，计划10
月投放深圳3000台，12月投放6000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程()
A. 3000(1+x)2=6000
B. 3000(1+x)+3000(1+x)2=6000
C. 3000(1−x)2=6000
D. 3000+3000(1+x)+3000(1+x)2=6000
6.在抛物线y=x2−2x−3a上有A(−0.5,y1)，B(2,y2)和C(3,y3)三点，则y1、y2和y3
的大小关系为()
A. y3<y1<y2
B. y3<y2<y1
C. y2<y1<y3
D. y1<y2<y3
7.下列选项中，能描述函数y=ax2与y=ax+b(ab<0)图象的是()
A. B. C. D.
8.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方
程ax2+bx+c+2=0的根的情况是()
A. 无实数根
B. 有两个相等实数根
C. 有两个异号实数根
D. 有两个同号不等实数根
9.若x0是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根，设M=1−ac，N=(ax0+1)2，
则M与N的大小关系正确的为()
A. M>N
B. M=N
C. M<N
D. 不确定
10.二次函数y=−(x−1)2+5，当m≤x≤n且mn<0时，y的最小值为2m，最大值
为2n，则m+n的值为()
A. 5
2B. 2 C. 3
2
D. 1
2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11.二次函数y=2(x−1)2+3的图象的的对称轴是直线______．
12.已知x=1是方程x2+bx+5=0的解，则b=______．
13.若一抛物线开口方向、形状与y=−5x2+2相同，顶点坐标是(4,−2)，则其解析式
是______．
14.如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园
中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植
花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口
的宽度为x m，根据条件，可列出方程：______ ．
15.若函数y=mx2−6x+1(m是常数)的图象与x轴只有一个交点，m的值为______．
16.抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a<0)经过A(0,3)，B(4,3)．
下列四个结论：
①4a+b=0；
②点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)在抛物线上，当|x1−2|−|x2−2|>0时，y1>y2；
③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a≤−3
5
；
④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则−1<a≤−2
3
．
其中正确的结论是______ (填写序号)．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17.解下列方程：
(1)x2−16=0；
(2)2(x−1)2=3x−3．
18.已知关于x的一元二次方程(a−3)x2−4x+3=0，若方程有实数根，求满足条件
的正整数a的值．
19.已知二次函数的图象经过(−1,0)，(0,3)，(2,3)三点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)列表描点画出这个二次函数的图象．
20.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池
方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问
水深、葭长各几何．(1丈=10尺)
大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在
水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉
向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？
将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形(如图所示)，其中水面宽AB= 10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．
(1)图中DE=______尺，EB=______尺；
(2)求水的深度与这根芦苇的长度．
21.已知m和n是方程2x2−5x−3=0的两根，求：
(1)1
m +1
n
的值；
(2)m2−mn+n2的值．
22.如图，抛物线经过点A(1,0)，B(5,0)，C(0,10
3
)三点，设点E(x,y)是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点E(x,y)运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求
出面积S的最大值？
(3)是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐
标；若不存在，请说明理由．
23.疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接
受体温检测.某校统计了学生早晨到校情况，发现学
生到校的累计人数y(单位：人)随时间x(单位：分钟)
的变化情况如图所示，y可看作是x的二次函数，其
图象经过原点，且顶点坐标为(30,900)，其中0≤x≤
30.校门口有一个体温检测棚，每分钟可检测40人．
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？
(3)检测体温到第4分钟时，为减少排队等候时间，在校门口临时增设一个人工体温
检测点.已知人工每分钟可检测12人，人工检测多长时间后，校门口不再出现排队等待的情况(直接写出结果)．
24.已知y是关于x的函数，若存在x=p时，函数值y=−p，则称函数y是关于x的倩影
函数，此时点(p,−p)叫该倩影函数的影像点．例如对于函数y=2x−1，若存在x= p时，函数值y=−p，则2p−1=−p，解得p=1
3
，则函数y=2x−1是倩影函数，
点(1
3,−1
3
)是函数y=2x−1的影像点．
(1)判断函数y=−4
x
是否为倩影函数．如果是，请求出影像点；如果不是，请说明理由；
(2)已知函数y=−k
x−2
+2x−k(k≠0)．
①求证：该函数总有两个不同的影像点；
②是否存在一个k值，使得函数y=−k
x−2
+2x−k(k≠0)的影像点的横坐标x1，x2都为整数，如果存在，请求出k的值，如果不存在，请说明理由．
25.在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(0,3)，(2,0)，顶点
为M的抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，且与x轴交于点D，E(点D在点E的左侧)．
(1)求点B的坐标，抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)点P是(1)中抛物线对称轴上一动点，求△PAD的周长最小时点P的坐标；
(3)平移抛物线y=−x2+bx+c，使抛物线的顶点始终在直线AM上移动，在平移
的过程中，当抛物线与线段BM有公共点时，求抛物线顶点的横坐标a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
B、是分式方程，故此选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故此选项符合题意；
D、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意．
故选：C．
利用一元二次方程定义进行解答即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
2.【答案】B
【解析】解：y=x2−2x−2=x2−2x+1−3=(x−1)2−3，
所以，y=(x−1)2−3．
故选：B．
利用配方法整理即可得解．
本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；
(2)顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；
(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).
3.【答案】B
【解析】解：y=3x2向右平移两个单位，得y=3(x−2)2．
故选：B．
按照“左加右减，上加下减”的规律．
考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
4.【答案】D
【解析】解：∵m是方程2x2−3x−1=0的一个根，
∴2m2−3m−1=0，
∴2m2−3m=1，
∴6m2−9m+2018
=3(2m2−3m)+2018
=3×1+2018
=3+2018
=2021，
故选：D．
由已知可得2m2−3m−1=0，再化简所求代数为6m2−9m+2018=3(2m2−3m)+ 2018，即可求解．
本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：设增长率为x，由题意得
3000(1+x)2=6000．
故选：A．
设增长率为x，11月投放3000(1+x)台，12月投放3000(1+x)2台，由此即可列出方程求解．
此题考查从实际问题抽象出一元二次方程，解决变化类问题，可利用公式a(1+x)2=b，其中a是变化前的原始量，b是两次变化后的量，x表示平均每次的增长率是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=x2−2x−3a=(x−1)2−1−3a，
∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x=1，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，
∴点A(−0.5,y1)关于直线x=1的对称点的坐标是(2.5,y1)
∵图象过点(2.5,y1)、B(2,y2)和C(3,y3)，
又∵2<2.5<3，
∴y2<y1<y3，
故选：C．
先求出对称轴是直线x=1，根据二次函数的性质得出当x>1时，y随x的增大而增大，再根据点的坐标和二次函数的性质比较即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的图象函数性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：当a>0，b<0时，y=ax+b的图象不经过第二象限，y=ax2的图象开口向上，D选项符合，
当a<0，b>0时，y=ax+b的图象不经过第三象限，y=ax2的图象开口向下，无选项符合，
故选：D．
根据ab<0，可以分为a>0，b<0时，或a<0，b>0时，两种情况讨论即可解答．本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，顶点坐标的纵坐标是−3，
∵方程ax2+bx+c+2=0，
∴ax2+bx+c=−2时，即是y=−2求x的值，
由图象可知：有两个同号不等实数根．
故选D．
根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为−3，判断方程ax2+bx+c+2=0的根的情况即是判断y=−2时x的值．
考查方程ax2+bx+c+2=0的根的情况，先看函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标纵坐标，再通过图象可得到答案．
9.【答案】B
【解析】解：∵x0是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根，
∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=−c，
则N−M=(ax0+1)2−(1−ac)
=a2x02+2ax0+1−1+ac
=a(ax02+2x0)+ac
=−ac+ac
=0，
∴M=N，
故选：B．
把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=−c，作差法比较可得．
本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：二次函数y=−(x−1)2+5的大致图象如下：
．
①当m≤0≤x≤n<1时，当x=m时y取最小值，即2m=−(m−1)2+5，
解得：m=−2．
当x=n时y取最大值，即2n=−(n−1)2+5，
解得：n=2或n=−2(均不合题意，舍去)；
②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=−(m−1)2+5，
解得：m=−2．
当x=1时y取最大值，即2n=−(1−1)2+5，
解得：n=5
2
，
或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，
2m=−(n−1)2+5，n=5
2
，
∴m=11
8
，
∵m<0，
∴此种情形不合题意，
所以m+n=−2+5
2=1
2
．
故选：D．
条件m≤x≤n和mn<0可得m<0，n>0
所以y的最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．
最大值为2n分两种情况，
(1)结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，求出n=2.5，结合图象最小值只能由x=m时求出．
(2)结合抛物线顶点纵坐标的取值范围，图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x= m求出．
本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，根据函数解析式求出对称轴解析式是解题的关键．
11.【答案】x=1
【解析】解：∵y=2(x−1)2+3，
∴抛物线对称轴为x=1，
故答案为：x=1．
由抛物线解析式可求得其对称轴．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．
12.【答案】−6
【解析】解：把x=1代入方程x2+bx+5=0，得1+b+5=0，
解得：b=−6，
故答案为：−6．
根据方程的解的意义，把x=1代入方程得到一个关于b的方程，求出方程的解即可．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
13.【答案】y=−5(x−4)2−2
【解析】解：依题意，所求解析式的二次项系数为−5，
又抛物线顶点坐标是(4,−2)，
∴所求抛物线解析式为：
y=−5(x−4)2−2．
故答案为：y=−5(x−4)2−2．
由抛物线开口方向、形状与y=−5x2+2相同，可知其解析式的二次项系数为−5，由顶点坐标是(4,−2)，根据顶点式写出抛物线解析式．
本题考查了二次函数的性质．关键是明确抛物线的形状与二次项系数的关系，利用顶点式求抛物线解析式．
14.【答案】x2−35x+34=0
【解析】解：设小道进出口的宽度为xm，
根据题意，得：30×20−20×2x−30x+2x⋅x=532，
整理，得：x2−35x+34=0．
故答案为：x2−35x+34=0．
设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】0或9
【解析】解：当m=0时，直线y=−6x+1与x轴只有一个交点；
当m≠0时，∵二次函数y=mx2−6x+1(m是常数)的图象与x轴只有一个交点，
∴二元一次方程mx 2−6x +1=0有两个相同的根， ∴△=(−6)2−4m =36−4m =0， 解得：m =9．
综上所述：m 的值为0或9． 故答案为：0或9．
分m =0和m ≠0两种情况考虑，当m =0时，一次函数与x 轴只有一个交点；当m ≠0时，由二次函数图象与x 轴只有一个交点结合根的判别式即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值．综上即可得出结论．
本题考查了抛物线与x 轴的交点以及根的判别式，分m =0和m ≠0两种情况考虑是解题的关键．
16.【答案】①③④
【解析】解：①将A 、B 两点坐标代入抛物线y =ax 2+bx +c 中， 则：{3=c 3=16a +4b +c ，
解得：{c =3
4a +b =0，
故①正确；
②∵|x 1−2|−|x 2−2|>0，即|x 1−2|>|x 2−2|， ∴x 1距离x =2比x 2距离x =2更远， 如图：
从图中可以看出x 距离x =2越远对应的函数值越小， 故y 1<y 2， 故②错误； ③∵a <0，
设C(x 3,0)、D(x 4,0)，
则由根与系数的关系得：x 3+x 4=4，x 3⋅x 4=3
a ，
∴|x3−x4|=√(x3+x4)2−4x3x4=√42−4×3
a =√16−12
a
≤6，
解得：a≤−3
5
，
故③正确；
④由题意知：x=4时，y=3，
∵3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，
∴y对应得整数值为：3，4，5，
则x=3时对应的函数值y的取值范围为：5≤9a−12a+3<6，
解得：−1<a≤−2
3
，
故④正确．
故答案为：①③④．
把AB两点的坐标代入函数解析式即可判断①正确；由平行于坐标轴直线上两点之间的距离的几何意义即可判断②；由于C、D是抛物线与x轴的交点，有根与系数的关系和CD≤6，可以判断③；x=4时，y=3，3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，y对应得整数值为：3，4，5，结合图象，可以判断④．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是对二次函数图象和性质的掌握和运用．17.【答案】解：(1)x2−16=0，
x2=16，
x=±4，
∴x1=4，x2=−4；
(2)方程整理得：2(x−1)2−3(x−1)=0，
分解因式得：(x−1)[2(x−1)−3]=0，
所以，x−1=0或2(x−1)−3=0，
解得：x1=1，x2=5
2
．
【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；
(2)方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．18.【答案】解：关于x的一元二次方程(a−3)x2−4x+3=0有实数根，
∴Δ≥0，且a≠3，
∴16−12(a−3)≥0，
解得a≤13
3
，
∵a是正整数，
∴a=1或2或4．
【解析】由根的判别式和一元二次方程的定义求出a的取值范围即可得出答案．
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)Δ<0⇔方程没有实数根；也考查了一元二次方程的解法．
19.【答案】−1012303430
【解析】解：(1)设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，
将(−1,0)，(0,3)，(2,3)代入解析式得{0=a−b+c
3=c
3=4a+2b+c
，
解得{a=−1 b=2
c=3
，
∴y=−x2+2x+3．(2)列表如下：
作图如下：
故答案为：
x…−10123…
y…03430…
(1)通过待定系数法求解．
(2)通过列表，描点，连线作图．
本题考查用待定系数法求函数解析式，解题关键是掌握画函数图象的方法．20.【答案】15
AB=5尺；
【解析】解：(1)由题意可得：DE=1尺，BE=1
2
故答案为：1，5；
(2)设芦苇长DC=BC=x尺，
则水深EC=(x−1)尺，
在Rt△ECB中，
52+(x−1)2=x2，
解得：x=13，
则EC=13−1=12(尺)，
答：芦苇长13尺，水深为12尺．
(1)直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，且边长为10尺的正方形，E 为AB 中点，即可得出答案；
(2)根据题意，可知AB 的长为10尺，则EB =5尺，设芦苇长DC =BC =x 尺，表示出水深EC ，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深． 此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长．
21.【答案】解：(1)∵m 和n 是方程2x 2−5x −3=0的两根，
∴m +n =5
2，mn =−3
2， ∴1
m +1
n =n+m mn =
5
2−32
=−5
3；
(2)m 2−mn +n 2 =(m +n)2−3mn =(5
2
)2−3×(−3
2
)
=
254
+
184
=103
4
．
【解析】(1)根据m 和n 是方程2x 2−5x −3=0的两根，由根与系数的关系得出m +n 和mn 的值，再把要求的式子进行变形，再把m +n 和mn 的值代入即可；
(2)先把m 2−mn +n 2变形为(m +n)2−3mn ，再根据(1)得出的m +n 和mn 的值，代入进行计算即可．
此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是本题的关键，用到的知识点是若方程的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=−b
a ，x 1⋅x 2=c
a ．
22.【答案】解：(1)设所求抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c ，
∵抛物线经过点A(1,0)，B(5,0)，C(0,10
3)三点，则由题意可得： {a +b +c =025a +5b +c =0c =10
3，解得{a =2
3
b =−4
c =
103． ∴所求抛物线的解析式为：y =23x 2−4x +
103
．
(2)∵点E(x,y)是抛物线上一动点，且在x轴下方，∴y<0，
即−y>0，−y表示点E到OA的距离．
∵OB是平行四边形OEBF的对角线，
∴S=2S△OBE=2×1
2×OB⋅|y|=−5y=−5(2
3
x2−4x+10
3
)=−10
3
x2+20x−50
3
，∵S=−
10
3
(x−3)2+
40
3
∴S与x之间的函数关系式为：S=−10
3x2+20x−50
3
(1<x<5)，S的最大值为40
3
．
(3)∵当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，
∴此时点E坐标只能(5
2,−5
2
)，而坐标为(5
2
,−5
2
)点在抛物线上，
∴存在点E(5
2,−5
2
)，使平行四边形OEBF为正方形，
此时点F坐标为(5
2,5 2 ).
【解析】(1)由抛物线经过点A(1,0)，B(5,0)，C(0,10
3
)三点，利用待定系数法求二次函
数的解析式；
(2)由点E(x,y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，可得y<0，即−y>0，−y表示
点E到OA的距离，又由S=2S△OBE=2×1
2
×OB⋅|y|，即可求得平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，结合图象，求得自变量x的取值范围；
(3)由当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，可得此时点E坐标只能(2.5,−2.5)，而坐标为(2.5,−2.5)点在抛物线上，故可判定存在点E，使平行四边形OEBF 为正方形．
此题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式、配方法、平行四边形的性质以及正方形的判定等知识．此题综合性很强，难度较大，注意数形结合思想、方程思想与函数思想的应用．
23.【答案】解：(1)∵顶点坐标为(30,900)，
∴设y=a(x−30)2+900，
将(0,0)代入，得：900a+900=0，
解得a=−1，
∴y=−(x−30)2+900；
(2)设第x分钟时的排队等待人数为w人，
由题意可得：w=y−40x
=−(x−30)2+900−40x
=−x2+60x−900+900−40x
=−x2+20x
=−(x−10)2+100，
∴当x=10时，w的最大值为100，
答：排队等待人数最多时是100人；
(3)设人工检测m分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况，由题意得：
−(4+m)2+60(4+m)−40×4−(40+12)m=0，
整理得：−m2+64=0，
解得：m1=8，m2=−8(舍)．
答：人工检测8分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况．
【解析】(1)由顶点坐标为(30,900)，可设y=a(x−30)2+900，再将(0,0)代入，求得a的值，则可得y与x之间的函数解析式；
(2)设第x分钟时的排队等待人数为w人，根据w=y−40x及(1)中所得的y与x之间的函数解析式，可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案；
(3)设人工检测m分钟时间后，校门口不再出现排队等待的情况，由于检测体温到第4分钟时，在校门口临时增设一个人工体温检测点，则体温检测棚的检测时间为(m+4)分钟，则学生到校的累计人数与人工检测m分钟后两种检测方式的检测人数之和相等时，校门口不再出现排队等待的情况，据此可列出关于m的方程，求解并根据问题的实际意义作出取舍即可．
本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的性质是解题的关键．
24.【答案】(1)解：函数y=−4
是倩影函数，
x
由题意得：把点(p,−p)代入y=−4
得：−p=−4p
x
解得：p1=2，p2=−2，
∴函数y =−4x 是倩影函数，影像点为(2,−2)，(−2,2)；
(2)①证明：把点(p,−p)代入y =−k x−2+2x −k(k ≠0)得：−p =−k p−2+2p −k ， 化简得：3p 2+(−6−k)p +k =0，
∴Δ=(−6−k)2−4×3×k =k 2+36>0，
∴该函数总有两个不同的影像点．
②解：由①得，方程3p 2+(−6−k)p +k =0的解为：p =6+k±√k 2+366=1+k±√k 2+366，
∵影像点的横坐标x 1，x 2都为整数，
∴k ±√k 2+36是6的整数倍，且k 为整数，
设k ±√k 2+36=6n(n 为整数)，
化简得：3n 2−nk −3=0，
解得：k =3n −3n ，
∴n =1或3，
当n =1时，k =0(舍)，
当n =3时，k =8，
此时，x 1=4，x 2=73，不符合题意，
综上所述：不存在k 的值，使得影像点的横坐标x 1，x 2都为整数．
【解析】(1)把点(p,−p)代入，有解则是倩影函数，求出影像点；
(2)①把点(p,−p)代入，得到关于p 的二次方程，用根式判别式证明；
②在①的条件下，求出x 的值，结合x 为整数求出k 的值．
本题以新定义为背景，考查了反比例函数和一元二次方程的解相关知识点，解题的关键是把(p,−p)代入函数解析式后，结合根式判别式Δ判断一元二次方程的根情况．
25.【答案】解：(1)∵A ，C 点的坐标分别为(0,3)，(2,0)，并且四边形ABCD 是矩形， ∴B 点的坐标是(2,3)，
把A 、B 代入抛物线解析式，则
{c =3−4+2b +c =3
， 解得{c =3b =2
， ∴抛物线的解析式为y =−x 2+2x +3，
∴y =−(x −1)2+4，
即顶点M 为(1,4)；
(2)在对称轴上取一点P ，连接PA ，PB ，PD ，
由抛物线及矩形的轴对称性可知点A ，B 关于抛物线的对称轴对称，
∴PA =PB ，
∴当点P ，B ，D 在一条直线上时△PAD 的周长最小，
当−x 2+2x +3=0时，
解得x 1=−1，x 3=3，
∴点D(−1,0)，
设直线BD 的解析式为y =kx +q ，
代入B 点、D 点坐标得({2k +q =3−k +q =0
, 解得{k =1q =1
， ∴直线BD 的解析式为y =x +1，
当x =1时，y =2，
∴P 点的坐标为(1,2)；
(3)设直线AM 的解析式为：y AM =mx +n ，
代入点A 和点M 的坐标得{n =3m +n =4
， 解得{m =1n =3
， ∴直线AM 的解析式为y AM =x +3，
同理得直线BM 的解析式为y BM =−x +5，
∵抛物线y =−x 2+bx +c 的顶点在直线y AM =x +3上，
∴设平移中的抛物线的解析式为y =−(x −a)2+a +3，
当a =1时，抛物线y =−(x −a)2+a +3即y =−x 2+2x +3，
此时抛物线y =−(x −a)2+a +3与线段AB 有两个交点，
当a>1时，
①抛物线y=−(x−a)2+a+3经过点M时，有−(1−a)2+a+3=4，
解得：a1=1(舍去)，a2=2，
②当抛物线y=−(x−a)2+a+3经过点B时，有−(2−a)2+a+3=3，
解得：a1=1(舍去)，a2=4，
综上可得2≤a≤4，
当a<1，抛物线y=−(x−a)2+a+3与直线y BA=−x+5有公共点时，
则方程−(x−a)2+a+3=−x+5即x2−(2a+1)x+a2−a+2=0有实数根，
∴(2a+1)2−4(a2−a+2)≥0，
即a≥7
，
8
∴1>a≥7
，
8
或2≤a≤4时，平移后的抛物线与线段BA有公共点．
综上可得1>a≥7
8
【解析】(1)用待定系数法求解析式，变形成顶点式即可求出顶点坐标；
(2)根据对称性得出当点P，B，D在一条直线上时△PAD的周长最小，求出D点坐标，用待定系数法求出BD的解析式，即可确定P点坐标；
(3)用待定系数法求出直线AM和BM的解析式，设平移中的抛物线的解析式为y=−(x−
a)2+a+3，分情况讨论a的取值即可．
本题主要考查二次函数的图象和性质，熟练掌握待定系数法求解析式及二次函数的性质是解题的关键．。