高考第二次模拟考试数学(文)试题含答案试卷分析详解

高三模拟考试
文科数学
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合2{|20}A x x x =--≥，则R C A =（ ）
A ．(1,2)-
B ．[1,2]-
C ．(2,1)-
D ．[2,1]-
2.已知复数1i z i
=+（i 是虚数单位），则z =（ ）
A ．1
B ．
12 C ．2 D 3.已知1
23a -=，31log 2
b =，2log 3
c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．c a b >> C ．a b c >> D ．c b a >>
4.下图给出的是计算
11112462018
+++⋅⋅⋅+值的程序框图，其中判断框内可填入的条件是（ ）
A ．2016?i >
B ．2018?i >
C ．2016?i ≤
D ．2018?i ≤
5.已知2()log (41)x f x ax =-+是偶函数，则a =（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
6.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()(sin sin )
a b A B +-
()sin c b C =-，则A =（ ）
A ．6π
B ．3
π C ．56π D ．23π 7.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形，在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
316 B ．38 C ．14 D ．18
8.已知1sin()43
πα-=，则sin 2α=（ ） A ．79- B ．79 C ．19- D ．19 9.函数()ln(1)f x x x =-+的大致图象为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A ．32
B ．643
C ．163
D ．323
11.设1F 、2F 是椭圆C ：22
12
x y m +=的两个焦点，若C 上存在点M 满足12120F MF ∠=，则m 的取值范围是（ ）
A ．1
(0,][8,)2+∞ B ．(0,1][8,)+∞
C ．1(0,][4,)2+∞
D ．(0,1][4,)+∞ 12.已知函数2
()(12)()f x x x ax b =+++(,)a b R ∈的图象关于点(1,0)对称，则()f x 在[1,1]-上的最大值为（ ）
A
B
．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13 已知实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩
的最大值为 ．
14.在平行四边形ABCD 中，1AB =，2AD =，则AC BD ⋅= ．
15.已知圆M 与直线0x y -=及40x y -+=都相切，圆心在直线2y x =-+上，则圆M 的标准方程为 ．
16.已知()sin cos f x x x ωω=-2()3
ω>，若函数()f x 图象的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(,2)ππ，则ω的取值范围是 ．（结果用区间表示） 三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17.已知数列{}n a 的前n 项和2352
n n n S +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
3n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和. 18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD ，且23SA AD AB ==.
（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；
（Ⅱ）若E 为SC 的中点，三棱锥E BCD -的体积为
89，求四棱锥S ABCD -外接球的表面积.
19.随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(0,10]、(10,20]、(20,30]、(30,40]、(40,50]、(50,60]，整理得到如下频率分布直方图：
根据一周内平均每天学习数学的时间t ，将学生对于数学的喜好程度分为三个等级：
（Ⅰ）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数m 甲（精确到0.01）； （Ⅱ）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值X 甲与X 乙及方差2S 甲与2S 乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的X 甲、2
S 甲
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）从甲高中与乙高中随机抽取的80名同学中数学喜好程度为“痴迷”的学生中随机抽取2人，求选出的2人中甲高中与乙高中各有1人的概率.
20.已知抛物线C ：22(01)y px p =<<上的点(,1)P m 到其焦点F 的距离为
54. （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）已知直线l 不过点P 且与C 相交于A ，B 两点，且直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：l 过定点.
21.已知曲线2()1ln ()y f x x a x a R ==--∈与x 轴有唯一公共点A .
（Ⅰ）求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为27a a --.若两个不相等的正实数1x ，2x 满足12()()f x f x =，求证：121x x <.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θθ
=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为
121
x t y t a =-⎧⎨=--⎩（t 为参数）. （Ⅰ）若1a =，求直线l 被曲线C 截得的线段的长度；
（Ⅱ）若11a =，在曲线C 上求一点M ，使得点M 到直线l 的距离最小，并求出最小距离.
23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()3f x x a =-.
（Ⅰ）当4a =时，求不等式()3f x <的解集； （Ⅱ）设函数()1g x x =+.当x R ∈时，()()1f x g x +>恒成立，求实数a 的取值范围.
高三模拟考试
数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5: ACBDA 6-10: BCBAD 11、12：AD
二、填空题
13. 2 14. 3 15. 22(2)2x y +-= 16. 37
[,]48
三、解答题
17.（Ⅰ）解：114a S ==.
当2n ≥时，1n n n a S S -=-22353(1)5(1)22
n n n n +-+-=-. 又14a =符合2n ≥时n a 的形式，所以{}n a 的通项公式为31n a n =+. （Ⅱ）由（Ⅰ）知3(31)(34)n b n n =++113134
n n =-++. 数列{}n b 的前n 项和为
121111()()47710n b b b ++⋅⋅⋅+=-+-1111()()32313134
n n n n +⋅⋅⋅+-+--+++ 11434
n =-+. 18.（Ⅰ）证明：由底面ABCD 为矩形，得BC AB ⊥.
又平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAB
平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面SAB .所以BC SA ⊥.
同理可得CD SA ⊥.
又BC CD C =，BC ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，
所以SA ⊥平面ABCD .
（Ⅱ）解：设6SA a =，则2AB a =，3AD a =.
13
E BCD BCD V S h -∆=⨯⨯ 111()()322
BC CD SA =⨯⨯⨯⨯ 311(23)(3)332
a a a a =⨯⨯⨯⨯=.
又89E BCD V -=，所以3839a =.解得23
a =. 四棱锥S ABCD -的外接球是以AB 、AD 、AS 为棱的长方体的外接球，设半径为R .
则2R 1473a ==，即73
R =. 所以，四棱锥S ABCD -的外接球的表面积为219649R ππ=
.
19. 解：（Ⅰ）由样本估计总体的思想，甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数0.5(0.10.2)200.3
m -+=+甲1026.67⨯≈； （Ⅱ）X X <甲乙；22S S >甲乙；
50.1150.2250.3X =⨯+⨯+⨯甲350.2450.15550.0527.5+⨯+⨯+⨯=；
221[(527.5)(400.1)40
S =⨯-⨯⨯甲2(1527.5)(400.2)+-⨯⨯2(2527.5)(400.3)+-⨯⨯ 2(3527.5)(400.2)+-⨯⨯2(4527.5)(400.15)+-⨯⨯2(5527.5)(400.05)]+-⨯⨯ 178.75=.
（Ⅲ）甲高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40(0.00510)2⨯⨯=人，记为1A ，2A ；乙高中随机选取的40名学生中“痴迷”的学生有40(0.01510)6⨯⨯=人，记为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B .
随机选出2人有以下28种可能：
12(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，15(,)A B ，16(,)A B ，
21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，25(,)A B ，26(,)A B ，12(,)B B ，
13(,)B B ，14(,)B B ，15(,)B B ，16(,)B B ，23(,)B B ，24(,)B B ，25(,)B B ，
26(,)B B ，34(,)B B ，35(,)B B ，36(,)B B ，45(,)B B ，46(,)B B ，56(,)B B ，
甲、乙两所高中各有1人，有以下12种可能：
11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，15(,)A B ，16(,)A B ，
21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，25(,)A B ，26(,)A B .
所以，从甲、乙两所高中数学喜好程度为“痴迷”的同学中随机选出2人，选出的2人中甲、乙两所高中各有1人的概率为123287
=. 20.解：（Ⅰ）由题意，得21pm =，即12m p
=. 由抛物线的定义，得1()222
p p PF m p =--=+. 由题意，15224p p +=.解得12
p =，或2p =（舍去）. 所以C 的方程为2y x =.
（Ⅱ）证法一：设直线PA 的斜率为k （显然0k ≠），则直线PA 的方程为
1(1)y k x -=-，则1y kx k =+-.
由21y kx k y x
=+-⎧⎨=⎩消去y 并整理得22[2(1)1]k x k k x +--2(1)0k +-=.
设11(,)A x y ，由韦达定理，得212(1)1k x k -⨯=，即2
12
(1)k x k -=. 2112(1)11k y kx k k k k -=+-=⋅+-11k
=-+.所以22(1)1(,1)k A k k --+. 由题意，直线PB 的斜率为1k
. 同理可得2
2
1(1)1(,1)11()k B k k
--+，即22((1),1)B k k --. 若直线l 的斜率不存在，则2
22(1)(1)k k k
-=-.解得1k =，或1k =-. 当1k =时，直线PA 与直线PB 的斜率均为1，A ，B 两点重合，与题意不符； 当1k =-时，直线PA 与直线PB 的斜率均为1-，A ，B 两点重合，与题意不符.
所以，直线l 的斜率必存在.
直线l 的方程为2(1)(1)k y k k --=-2[(1)]x k --，即21(1)k y x k =--. 所以直线l 过定点(0,1)-.
证法二：由（1），得(1,1)P .
若l 的斜率不存在，则l 与x 轴垂直.
设11(,)A x y ，则11(,)B x y -，211y x =. 则11111111PA PB y y k k x x ---=⋅--211221111(1)(1)y x x x --==--111x =-. （110x -≠，否则，11x =，则(1,1)A ，或(1,1)B ，直线l 过点P ，与题设条件矛盾） 由题意，1
111x =-，所以10x =.这时A ，B 两点重合，与题意不符. 所以l 的斜率必存在.
设l 的斜率为k ，显然0k ≠，设l ：y kx t =+，
由直线l 不过点(1,1)P ，所以1k t +≠.
由2y x y kx t
⎧=⎨=+⎩消去y 并整理得222(21)0k x kt x t +-+=. 由判别式140kt ∆=->，得14
kt <. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12212kt x x k
-+=①，2122t x x k =②， 则12121111PA PB y y k k x x --=⋅--12121111kx t kx t x x +-+-=⋅--2212121212(1)()(1)()1
k x x k t x x t x x x x +-++-=-++. 由题意，22
12121212(1)()(1)1()1
k x x k t x x t x x x x +-++-=-++. 故212(1)(1)k x x kt k -+-+212()20x x t t ++-=③ 将①②代入③式并化简整理得2210t kt k k
---=，即210t kt k ---=.
即(1)(1)(1)0t t k t +--+=，即(1)(1)0t t k +--=. 又1k t +≠，即10t k --≠，所以10t +=，即1t =-. 所以l ：1y kx =-.显然l 过定点(0,1)-.
证法三：由（1），得(1,1)P .
设l ：x ny t =+，由直线l 不过点(1,1)P ，所以1n t +≠. 由2y x x ny t
⎧=⎨=+⎩消去x 并整理得20y ny t --=.
由题意，判别式240n t ∆=+>.
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12y y n +=①，12y y t =-② 则12121111PA PB y y k k x x --=⋅--1222121111y y y y --=⋅--12121()1y y y y =+++. 由题意，1212()11y y y y +++=，即1212()0y y y y ++=③ 将①②代入③式得0t n -+=，即t n =.
所以l ：(1)x n y =+.显然l 过定点(0,1)-.
21.（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞.(1)0f =. 由题意，函数()f x 有唯一零点1.'()2a f x x x
=-
. （1）若0a ≤，则0a -≥.
显然'()0f x >恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数. 又(1)0f =，所以0a ≤符合题意. （2）若0a >，22'()x a f x x
-=
.'()0f x x >⇔>
'()00f x x <⇔<<. 所以()f x
在
上是减函数，在)+∞上是增函数.
所以min ()f x f =1ln 222a a a =--.
由题意，必有0f ≤
（若0f >，则()0f x >恒成立，()f x 无零点，不符合题意）
①若0f <，则1ln 0222a a a --<. 令()1ln (0)222a a a g a a =-->，则11'()ln 222a g a =-111ln 2222
2
a a a -⨯⨯=-. '()002g a a >⇔<<；'()02g a a <⇔>.
所以函数()g a 在(0,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数.
所以max ()(2)0g a g ==.所以()0g a ≤，当且仅当2a =时取等号.
所以，00f a <⇔>，且2a ≠.
取正数1}a b e -<，则2()1ln 1ln f b b a b a b =-->--11()0a a
>--⨯-=； 取正数1c a >+
，显然c >>
.而2()1ln f c c a x =--， 令()ln h x x x =-，则1'()1h x x =-.当1x >时，显然1'()10h x x
=-<. 所以()h x 在[1,)+∞上是减函数.
所以，当1x >时，()ln h x x x =-(1)10h <=-<，所以ln x x <.
因为1c >，所以2()1ln f c c a c =--21()1c ac c c a >--=--110c >⨯->. 又()f x
在
上是减函数，在)+∞上是增函数， 则由零点存在性定理，()f x
在
、)+∞上各有一个零点. 可见，02a <<，或2a >不符合题意.
注：0a >时，若利用00lim ()x f x →+=+∞
，0f <，lim ()x f x →+∞=+∞，说明()f x 在
、)+∞上各有一个零点.
②若0f =
1=，即2a =.符合题意. 综上，实数a 的取值范围为{|0,2}a a a ≤=或.
（Ⅱ）由题意，2
'(1)27f a a a =-=--.所以29a =，即3a =±.
由（Ⅰ）的结论，得3a =-. 2()13ln f x x x =-+，()f x 在(0,)+∞上是增函数.
()001f x x <⇔<<；()01f x x >⇔>. 由12()()f x f x =，不妨设12x x <，则1201x x <<<.
从而有12()()f x f x -=，即221122(13ln )13ln x x x x --+=-+.
所以2212123ln 20x x x x ++-=121223ln 2x x x x >+-.
令()23ln 2p t t t =+-，显然()p t 在(0,)+∞上是增函数，且(1)0p =.
所以()001p t t <⇔<<.
从而由121223ln 20x x x x +-<，得121x x <.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
解：（1）曲线C 的普通方程为22
194
x y +=. 当1a =时，直线l 的普通方程为2y x =. 由222194y x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩.
解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 直线l 被曲线C
=. （2）解法一：11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.
由点到直线的距离公式，椭圆3cos 2sin x y θθ
=⎧⎨=⎩上的点(3cos ,2sin )M θθ到直线l ：
2100x y --=的距离为
d =
=
= 其中0θ
满足0cos θ=
，0sin θ=. 由三角函数性质知，当00θθ+=时，d
取最小值
此时，03cos 3cos()θθ=-=
，02sin 2sin()θθ=-=. 因此，当点M
位于(105
-时，点M 到l
的距离取最小值解法二：当11a =时，直线l 的普通方程为2100x y --=.
设与l 平行，且与椭圆22
194
x y +=相切的直线m 的方程为20x y t -+=. 由222019
4x y t x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得2240369360x tx t ++-=. 由判别式22(36)440(936)0t t ∆=-⨯⨯-=
，解得t =±所以，直线m
的方程为20x y -+=
，或20x y --=.
要使两平行直线l 与m 间的距离最小，则直线m
的方程为20x y --=. 这时，l 与m
间的距离d
==.
此时点M
的坐标为方程组2220194x y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩
的解10x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
因此，当点M
位于时，点M 到直线l
的距离取最小值. 23.选修4-5：不等式选讲
解：（1）当4a =时，()34f x x =-. 由343x -<，解得1733
x <<. 所以，不等式()3f x <的解集为17{|}33
x x <<. （2）()()31f x g x x a x +=-++3()13a
x x =-++
2133
a a x x x =-+-++ 13a x x ≥-++（当且仅当3
a x =时取等号） ()(1)3a x x ≥--+（当且仅当()(1)03
a x x -+≤时取等号） 13
a =+. 综上，当3a x =
时，()()f x g x +有最小值13a +. 故由题意得113
a +>，解得6a <-，或0a >. 所以，实数a 的取值范围为(,6)
(0,)-∞-+∞.。