2019-2020高中数学人教A版必修四课时跟踪训练5 同角三角函数的基本关系 Word版含解析

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课时跟踪训练(五)
(时间45分钟)
题型对点练（时间20分钟）
题组一利用同角三角函数基本关系式求值
1．若α是第二象限的角，则下列各式中成立的是( )
A．tanα＝－错误!B．cosα＝－错误!
C．sinα＝－错误!D．tanα＝错误!
［解析] 由同角三角函数的基本关系式,知tanα＝错误!,故A,D错误;又因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,故C错误，B正确．[答案］B
2．已知sinα＝错误!，则sin4α－cos4α的值为( ）
A．－错误!B．－错误!
C。

错误! D.错误!
[解析] sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1
＝错误!－1＝－错误!。

［答案] B
3．若tanα＝2,则错误!＋cos2α＝________.
［解析］原式＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!。

[答案］16 5
题组二三角函数式的化简
4．化简：（1＋tan2α）·cos2α＝( ）A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析］原式＝错误!·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.
［答案] C
5．化简：错误!（1－cosα)＝________。

［解析］错误!（1－cosα)
＝错误!＝错误!
＝错误!＝sinα.
［答案] sinα
6．化简:错误!＝________.
[解析］分子＝(1－cos4α)－sin4α
＝（1－cos2α）（1＋cos2α)－sin4α
＝sin2α（1＋cos2α）－sin4α
＝（1＋cos2α－sin2α)sin2α
＝2cos2α·sin2α
分母＝1－（cos2α＋sin2α)（cos4α＋sin4α－cos2α·sin2α）＝1－［cos2α＋sin2α)2－3cos2α·sin2α］
＝1－1＋3cos2α·sin2α
＝3cos2α·sin2α
∴原式＝错误!
[答案］错误!
题组三证明简单的三角恒等式
7．求证:sin4x＋cos4x＝1－2sin2x cos2x.
[证明] 因为左边＝(sin2x）2＋（cos2x)2
＝（sin2x＋cos2x)2－2·sin2x cos2x
＝1－2sin2x cos2x＝右边
所以原式成立．
8．求证：tan2α－sin2α＝tan2α·sin2α。

[证明］因为左边＝错误!－sin2α＝错误!
＝错误!＝tan2α·sin2α＝右边
所以原式成立．
综合提升练(时间25分钟)
一、选择题
1．已知cosα－sinα＝－错误!，则sinαcosα的值为( ）
A.错误!B．±错误!
C。

错误!D．±错误!
［解析] 由已知得（cosα－sinα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－2sinα·cosα＝错误!
解得sinα·cosα＝3 8 .
[答案］A
2．已知α是锐角，且tanα是方程4x2＋x－3＝0的根，则sinα＝( ）
A。

错误!B。

错误!
C。

错误! D.错误!
［解析] 由4x2＋x－3＝0得x＝－1或x＝3
4。

又∵α是锐角,∴tanα〉
0，sinα>0，∴tanα＝错误!.又∵tanα＝错误!＝错误!，且sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋错误!2＝1，解得sinα＝错误!。

［答案］B
3．β∈[0,2π),且错误!＋错误!＝sinβ－cosβ，则β的取值范围是（）
A.错误!B。

错误!
C.错误!
D.错误!
［解析］错误!＋错误!＝｜sinβ|＋｜cosβ｜＝sinβ－cosβ，∴sinβ≥0且cosβ≤0。

又∵β∈[0,2π），∴β∈错误!.故选B.
［答案］B
二、填空题
4．已知sinβ＋cosβ＝错误!,且0〈β<π，则sinβ－cosβ＝________.
［解析] 由sinβ＋cosβ＝错误!，得sin2β＋cos2β＋2sinβ·cosβ＝错误!，∴sinβcosβ＝－错误!，
∴(sinβ－cosβ)2＝1－2sinβcosβ＝错误!，
∵sinβ·cosβ〈0，且0<β<π，∴sinβ>0，cosβ〈0，
∴sinβ－cosβ＝错误!。

[答案］错误!
5．已知cos错误!＝错误!,0<α<错误!，则sin错误!＝________。

[解析] ∵0<α<错误!，∴错误!〈α＋错误!<错误!，
∴sin错误!＝错误!＝错误!。

［答案］错误!
三、解答题
6．已知tanα＝3，求下列各式的值．
(1）错误!;（2)2sin2α－3sinαcosα.
［解] 因为已知tanα＝3,所以逆用公式把弦函数化为切函数．
（1）原式＝错误!＝错误!
＝错误!＝－2＋错误!。

（2)原式＝错误!
＝错误!
＝错误!
＝错误!＝错误!.
7．求证：错误!＝错误!.
［证明] 证法一：∵左边＝错误!
＝－sin2x－2sin x cos x＋cos2x
cos2x－sin2x
＝错误!
＝错误!
＝错误!＝错误!＝右边．
∴原式成立．
证法二：∵右边＝错误!
＝错误!;
左边＝错误!＝错误!
＝错误!
＝错误!.
∴左边＝右边，原式成立.。