离散完整ppt课件7.2-3
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10
有向图的连通性
设有向图D=<V,E> u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. 可达具有自反性和传递性
D弱连通(连通): 基图为无向连通图 D单向连通: u,vV，u可达v 或v可达u D强连通: u,vV，u与v相互可达
强连通单向连通弱连通
11
有向图的连通性(续)
定理(强连通判别法) D强连通当且仅当D中存在经过 每个顶点至少一次的回路
点割集(续)
例 {v1,v4}, {v6}是点割集, v6是割点. {v2,v5}是点割集吗？
9
边割集
定义 设无向图G=<V,E>, E E, 若p(GE )>p(G)且E E , p(GE )=p(G), 则称E 为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e 为割边或桥. 在上一页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集， e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？ 几点说明： Kn无点割集 n阶零图既无点割集，也无边割集. 若G连通，E 为边割集，则p(GE )=2 若G连通，V 为点割集，则p(GV )2
性质： d<u,v>0, 且d<u,v>=0 u=v d<u,v>+d<v,w> d<u,w>
注意: 没有对称性
13
7.3 图的矩阵表示
▪ 无向图的关联矩阵 ▪ 有向图的关联矩阵 ▪ 有向图的邻接矩阵 ▪ 有向图的可达矩阵
14
无向图的关联矩阵
定义 设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)nm为G 的关联矩阵，记为M(G).
( ii
l
)
为D中长度小于或等于l
的回路数.
i1
例 有向图D如图所示, 求A, A2, A3, A4, 并回答诸问题：
(1) D中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多 少条？其中回路分别为多少条？
(2) D中长度小于或等于4的通路为多 少条？其中有多少条回路？
20
例(续)
1 0 0 0
1 0 0 0
(2)
a n (1)
i1 ij
d(vj ),
j 1,2,...,n
(3)
a(1) ij
m
D中长度为1的通路数
i, j
(4)
a n (1)
i1 ii
D中长度为1的回路数
18
D中的通路及回路数
定理 设A为n阶有向图D的邻接矩阵, 则Al(l1)中
元素
a
( ij
l
)
为D中vi到vj长度为
l
的通路数，
性质
(1) 每一列恰好有两个1或一个2
(2)
m m
j1 ij
d(vi
)
(i 1,2,...,n)
(3) mij 2m
i, j
(4) 平 行 边 的 列 相 同
15
有向图的关联矩阵
定义 设无环有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令
1 , mij 0，
记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV : 从G中删除V 中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边
定义 设无向图G=<V,E>, V V, 若p(GV )>p(G)且
V V , p(GV )=p(G), 则称V 为G的点割集.
若{v}为点割集, 则称v为割点.
8
a
( ii
l
)为vi到自身长度为
l
的回路数，
nna(l)Βιβλιοθήκη ij为D中长度为l
的通路总数，
i1 j1
n
a
(l ii
)
为D中长度为
l
的回路总数.
i1
19
D中的通路及回路数(续)
推论 设Bl=A+A2+…+Al(l1), 则Bl中元素 nn
b
( ij
l
)
为D中长度小于或等于l
的通路数，
i1 j1
n
b
6
短程线与距离
u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路 (u与v连通) u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.
性质：
d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v
d(u,v)=d(v,u) d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
7
点割集
定理(单向连通判别法) D单向连通当且仅当D中存在 经过每个顶点至少一次的通路
例 下图(1)强连通, (2)单连通, (3) 弱连通
(1)
(2)
(3)
12
有向图的短程线与距离
u到v的短程线: u到v长度最短的通路 (u可达v) u与v之间的距离d<u,v>: u到v的短程线的长度 若u不可达v, 规定d<u,v>=∞.
离散完整ppt课件7.2-3
无向图的连通性
设无向图G=<V,E>, u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通. 连通关系 R={<u,v>| u,v V且uv}是V上的等价关系 连通图:任意两点都连通的图. 平凡图是连通图. 连通分支: V关于连通关系R的等价类的导出子图
设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的 连通分支, 其个数记作p(G)=k. G是连通图 p(G)=1
vi为ej的 始 点 vi与ej不 关 联
1， vi为ej的 终 点
则称(mij)nm为D的关联矩阵，记为M(D).
16
有向图的关联矩阵(续)
性质 (1) 每一列恰好有一个1和一个-1 (2) 第i行1 的个数等于d+(vi), -1 的个数等于d-(vi) (3) 1的总个数等于-1的总个数, 且都等于m (4) 平行边对应的列相同
0, pij 1,
vi可 达 vj 否则
称(pij)nn为D的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P.
性质: P(D)主对角线上的元素全为1. D强连通当且仅当P(D)的元素全为1.
22
Education and teaching
感谢观赏 Thanks
I felt lucky for myself because I had never felt any sense of security, so I was forced to move on, and
17
有向图的邻接矩阵
定义 设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1,
e2,
…,
em},
令
a
(1 ij
)
为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，
称(
a
(1) ij
)mn为D的邻接矩阵,
记作A(D),
简记为A.
性质
(1)
a n (1)
j1 ij
d(vi ),
i 1,2,...,n
There was no turning back, and when I realized that
A
2
1
0 0
1 0
0
1
A2
3
2
0 0
0 1
1
0
长度 通路 回路 1 81
1
0
1
0
2
0
0
1
2 3
11 3 14 1
1
A3
4
0 0
0 1
0
0
1
A4
5
0 0
0 0
0
1
4 合计
17 50
3 8
3 0 0 1
4 0 1 0
3
0
1
0
4
0
0
1
21
有向图的可达矩阵
定义 设D=<V,E>为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令
有向图的连通性
设有向图D=<V,E> u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. 可达具有自反性和传递性
D弱连通(连通): 基图为无向连通图 D单向连通: u,vV，u可达v 或v可达u D强连通: u,vV，u与v相互可达
强连通单向连通弱连通
11
有向图的连通性(续)
定理(强连通判别法) D强连通当且仅当D中存在经过 每个顶点至少一次的回路
点割集(续)
例 {v1,v4}, {v6}是点割集, v6是割点. {v2,v5}是点割集吗？
9
边割集
定义 设无向图G=<V,E>, E E, 若p(GE )>p(G)且E E , p(GE )=p(G), 则称E 为G的边割集. 若{e}为边割集, 则称e 为割边或桥. 在上一页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集， e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？ 几点说明： Kn无点割集 n阶零图既无点割集，也无边割集. 若G连通，E 为边割集，则p(GE )=2 若G连通，V 为点割集，则p(GV )2
性质： d<u,v>0, 且d<u,v>=0 u=v d<u,v>+d<v,w> d<u,w>
注意: 没有对称性
13
7.3 图的矩阵表示
▪ 无向图的关联矩阵 ▪ 有向图的关联矩阵 ▪ 有向图的邻接矩阵 ▪ 有向图的可达矩阵
14
无向图的关联矩阵
定义 设无向图G=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令mij为vi与ej的关联次数，称(mij)nm为G 的关联矩阵，记为M(G).
( ii
l
)
为D中长度小于或等于l
的回路数.
i1
例 有向图D如图所示, 求A, A2, A3, A4, 并回答诸问题：
(1) D中长度为1, 2, 3, 4的通路各有多 少条？其中回路分别为多少条？
(2) D中长度小于或等于4的通路为多 少条？其中有多少条回路？
20
例(续)
1 0 0 0
1 0 0 0
(2)
a n (1)
i1 ij
d(vj ),
j 1,2,...,n
(3)
a(1) ij
m
D中长度为1的通路数
i, j
(4)
a n (1)
i1 ii
D中长度为1的回路数
18
D中的通路及回路数
定理 设A为n阶有向图D的邻接矩阵, 则Al(l1)中
元素
a
( ij
l
)
为D中vi到vj长度为
l
的通路数，
性质
(1) 每一列恰好有两个1或一个2
(2)
m m
j1 ij
d(vi
)
(i 1,2,...,n)
(3) mij 2m
i, j
(4) 平 行 边 的 列 相 同
15
有向图的关联矩阵
定义 设无环有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1, e2, …, em}, 令
1 , mij 0，
记 Gv: 从G中删除v及关联的边 GV : 从G中删除V 中所有的顶点及关联的边 Ge : 从G中删除e GE: 从G中删除E中所有边
定义 设无向图G=<V,E>, V V, 若p(GV )>p(G)且
V V , p(GV )=p(G), 则称V 为G的点割集.
若{v}为点割集, 则称v为割点.
8
a
( ii
l
)为vi到自身长度为
l
的回路数，
nna(l)Βιβλιοθήκη ij为D中长度为l
的通路总数，
i1 j1
n
a
(l ii
)
为D中长度为
l
的回路总数.
i1
19
D中的通路及回路数(续)
推论 设Bl=A+A2+…+Al(l1), 则Bl中元素 nn
b
( ij
l
)
为D中长度小于或等于l
的通路数，
i1 j1
n
b
6
短程线与距离
u与v之间的短程线: u与v之间长度最短的通路 (u与v连通) u与v之间的距离d(u,v): u与v之间短程线的长度 若u与v不连通, 规定d(u,v)=∞.
性质：
d(u,v)0, 且d(u,v)=0 u=v
d(u,v)=d(v,u) d(u,v)+d(v,w)d(u,w)
7
点割集
定理(单向连通判别法) D单向连通当且仅当D中存在 经过每个顶点至少一次的通路
例 下图(1)强连通, (2)单连通, (3) 弱连通
(1)
(2)
(3)
12
有向图的短程线与距离
u到v的短程线: u到v长度最短的通路 (u可达v) u与v之间的距离d<u,v>: u到v的短程线的长度 若u不可达v, 规定d<u,v>=∞.
离散完整ppt课件7.2-3
无向图的连通性
设无向图G=<V,E>, u与v连通: 若u与v之间有通路. 规定u与自身总连通. 连通关系 R={<u,v>| u,v V且uv}是V上的等价关系 连通图:任意两点都连通的图. 平凡图是连通图. 连通分支: V关于连通关系R的等价类的导出子图
设V/R={V1,V2,…,Vk}, G[V1], G[V2], …,G[Vk]是G的 连通分支, 其个数记作p(G)=k. G是连通图 p(G)=1
vi为ej的 始 点 vi与ej不 关 联
1， vi为ej的 终 点
则称(mij)nm为D的关联矩阵，记为M(D).
16
有向图的关联矩阵(续)
性质 (1) 每一列恰好有一个1和一个-1 (2) 第i行1 的个数等于d+(vi), -1 的个数等于d-(vi) (3) 1的总个数等于-1的总个数, 且都等于m (4) 平行边对应的列相同
0, pij 1,
vi可 达 vj 否则
称(pij)nn为D的可达矩阵, 记作P(D), 简记为P.
性质: P(D)主对角线上的元素全为1. D强连通当且仅当P(D)的元素全为1.
22
Education and teaching
感谢观赏 Thanks
I felt lucky for myself because I had never felt any sense of security, so I was forced to move on, and
17
有向图的邻接矩阵
定义 设有向图D=<V,E>, V={v1, v2, …, vn}, E={e1,
e2,
…,
em},
令
a
(1 ij
)
为顶点vi邻接到顶点vj边的条数，
称(
a
(1) ij
)mn为D的邻接矩阵,
记作A(D),
简记为A.
性质
(1)
a n (1)
j1 ij
d(vi ),
i 1,2,...,n
There was no turning back, and when I realized that
A
2
1
0 0
1 0
0
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A2
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2
0 0
0 1
1
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长度 通路 回路 1 81
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0 1
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17 50
3 8
3 0 0 1
4 0 1 0
3
0
1
0
4
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0
1
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有向图的可达矩阵
定义 设D=<V,E>为有向图, V={v1, v2, …, vn}, 令