【精品提分练习】高考数学总复习优编增分练：中档大题规范练(二)数列理

(二)数 列
1．(2018·三明质检)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2
n ＋3a n ＋2(t ∈R )．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若数列{b n }满足b 1＝1，b n ＋1－b n ＝a n ＋1，求数列⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫
12b n ＋7n 的前n 项和T n .
解 (1)因为a 1＝1，且(t ＋1)S n ＝a 2
n ＋3a n ＋2， 所以(t ＋1)S 1＝a 2
1＋3a 1＋2，所以t ＝5. 所以6S n ＝a 2
n ＋3a n ＋2.①
当n ≥2时，有6S n －1＝a 2
n －1＋3a n －1＋2，② ①－②得6a n ＝a 2
n ＋3a n －a 2n －1－3a n －1， 所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0， 因为a n >0，所以a n －a n －1＝3， 又因为a 1＝1，
所以{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列， 所以a n ＝3n －2(n ∈N *
)． (2)因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1，b 1＝1， 所以b n －b n －1＝a n (n ≥2，n ∈N *
)， 所以当n ≥2时，
b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1
＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋b 1＝3n 2
－n
2
.
又b 1＝1也适合上式，所以b n ＝3n 2
－n 2(n ∈N *
)．
所以12b n ＋7n ＝1
3n 2－n ＋7n
＝13·1n (n ＋2)＝16·⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋2， 所以T n ＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－1
4＋…＋1n －1n ＋2
＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2－1n ＋1－1n ＋2，
＝3n 2
＋5n 12(n ＋1)(n ＋2)
.
2．(2018·葫芦岛模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3，S 5
2，S 4成等差数列，a 5＝3a 2
＋2a 1－2.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝2
n －1
，求数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n
b n 的前n 项和T n .
解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由S 3，S 5
2，S 4成等差数列，
可知S 3＋S 4＝S 5，得2a 1－d ＝0，① 由a 5＝3a 2＋2a 1－2，② 得4a 1－d －2＝0，
由①②，解得a 1＝1，d ＝2， 因此，a n ＝2n －1(n ∈N *
)．
(2)令c n ＝a n b n ＝(2n －1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1
，
则T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ，
∴T n ＝1·1＋3·12＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1
，③
12T n ＝1·12＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，④
③－④，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 －(2n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
＝ 3－2n ＋32n ，
∴T n ＝6－2n ＋32
n －1(n ∈N *
)．
3．(2018·厦门质检)已知等差数列{a n }满足(n ＋1)a n ＝2n 2
＋n ＋k ，k ∈R . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
4n
2
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和S n .
解 (1)方法一 由(n ＋1)a n ＝2n 2
＋n ＋k ， 令n ＝1,2,3，
得到a 1＝3＋k 2，a 2＝10＋k 3，a 3＝21＋k
4，
∵{a n }是等差数列，∴2a 2＝a 1＋a 3，
即
20＋2k 3＝3＋k 2＋21＋k
4
， 解得k ＝－1.
由于(n ＋1)a n ＝2n 2
＋n －1＝(2n －1)(n ＋1)， 又∵n ＋1≠0，∴a n ＝2n －1(n ∈N *
)． 方法二 ∵{a n }是等差数列，设公差为d ， 则a n ＝a 1＋d (n －1)＝dn ＋(a 1－d )， ∴(n ＋1)a n ＝(n ＋1)(dn ＋a 1－d ) ＝dn 2
＋a 1n ＋a 1－d ，
∴dn 2
＋a 1n ＋a 1－d ＝2n 2
＋n ＋k 对于∀n ∈N *
均成立，
则⎩⎪⎨⎪
⎧
d ＝2，a 1＝1，a 1－d ＝k ，
解得k ＝－1，∴a n ＝2n －1(n ∈N *
)．
(2)由b n ＝4n
2
a n a n ＋1＝4n 2
(2n －1)(2n ＋1)
＝4n 2
4n 2－1＝1＋14n 2－1
＝1＋1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2n －1－12n ＋1＋1，
得S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋1＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－1
7＋…＋12n －1－12n ＋1＋n
＝12⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1－12n ＋1＋n
＝n 2n ＋1＋n ＝2n 2＋2n 2n ＋1
(n ∈N *
)． 4．(2018·天津河东区模拟)已知等比数列{a n }满足条件a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 2n ＝3a 2n ，n ∈N *
. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)数列{b n }满足b 1a 1＋b 2
a 2＋…＋
b n a n
＝n 2，n ∈N *
，求{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1
(n ∈N *
)，
由已知a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，
得a 1q ＋a 1q 3
＝3(a 1＋a 1q 2
)，所以q ＝3. 又由已知a 2n ＝3a 2
n ，
得a 1q
2n －1
＝3a 21q
2n －2
，所以q ＝3a 1，
所以a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1
(n ∈N *
)．
(2)当n ＝1时，b 1a 1
＝1，b 1＝1， 当n ≥2时，b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n
＝n 2
，① 所以b 1a 1＋b 2a 2＋…＋
b n －1a n －1
＝(n －1)2
，② 由①－②得b n a n
＝2n －1， 所以b n ＝(2n －1)3
n －1
，b 1＝1也符合， 综上，b n ＝(2n －1)3
n －1
(n ∈N *
)．
所以T n ＝1×30
＋3×31
＋…＋(2n －3)3n －2
＋(2n －1)·3
n －1
，①
3T n ＝1×31
＋3×32
＋…＋(2n －3)3n －1
＋(2n －1)3n
，②
由①－②得
－2T n ＝1×30
＋2(31
＋32
＋…＋3n －1
)－(2n －1)·3n
＝1×30
＋2×3×
3
n －1
－13－1
－(2n －1)·3n
＝1＋3n
－3－(2n －1)3n
＝(2－2n )3n
－2， 所以T n ＝1＋(n －1)3n (n ∈N *
)．
5．(2018·宿州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2
.
(1)证明数列{a n ＋2}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和K n . 解 (1)由T n ＝2S n －n 2
，得a 1＝S 1＝T 1＝2S 1－1， 解得a 1＝S 1＝1，
由S 1＋S 2＝2S 2－4，解得a 2＝4.
当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1 ＝2S n －n 2
－2S n －1＋(n －1)2
， 即S n ＝2S n －1＋2n －1，①
S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，②
由②－①得a n ＋1＝2a n ＋2， ∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)， 又a 2＋2＝2(a 1＋2)，
∴数列{a n ＋2}是以a 1＋2＝3为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋2＝3·2
n －1
，
即a n＝3·2n－1－2(n∈N*)．
(2)∵b n＝3n·2n－1－2n，
∴K n＝3(1·20＋2·21＋…＋n·2n－1)－2(1＋2＋…＋n) ＝3(1·20＋2·21＋…＋n·2n－1)－n2－n.
记R n＝1·20＋2·21＋…＋n·2n－1，③
2R n＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，④
由③－④，得
－R n＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝1－2n
1－2
－n·2n＝(1－n)·2n－1，
∴R n＝(n－1)·2n＋1.
∴K n＝3(n－1)2n－n2－n＋3(n∈N*)．。