高考数学复习点拨：离散型随机变量及其分布列错例剖析

离散型随机变量及其分布列错例剖析
离散型随机变量是最重要的随机变量之一，广泛存在于我们身边的具体生活中，蕴含其中的思想方法及具体知识是进一步学习高等数学概率论和数理统计的基础。

正确的把握离散型随机变量及其分布列具有长远的战略意义。

现将初学者容易出现的问题归类例析如下。

一 概念领会有偏差
例1 下列所描述的5个变量中，属于离散型随机变量的有 。

⑴在2008张已编号的卡片（从1号到2008号）中任取一张，被取出的号数ξ； ⑵连续不断地射击，首次命中目标需要的射击次数η；
⑶从2008张已编号的卡片（从1号到2008号）中任取3张，被取出的卡片的号数和1ξ； ⑷某工厂加工的某种钢管，外径与规定的外径尺寸之差1η；
⑸投掷一颗骰子，六面都刻上数字6所得的点数2η。

错解：根据离散型随机变量的概念知答案为 ⑴，⑵，⑶，⑷。

剖析：看一个变量是否是随机的，即分析变量的某些值的出现是否确定，若结果不确定，则是随机的，否则不是，其中⑸中的2η为常值6而被唯一确定了；看一个随机变量是否是离散型的，主要看此变量的取值是否是有限的或虽无限但可以按一定顺序列举出来，而⑷中的1η的取值为某一范围内的实数，因而无法将其一一列出，故为连续型随机变量。

正解：由上述剖析得正确答案为 ⑴，⑵，⑶。

点评：离散型随机变量所满足的两个条件可简单概括为：⑴离散的，⑵随机的，二者一体，缺一即不可。

二 性质把握欠准确
㈠ 性质1辨析（非负性）：0,(1,2,,)i p i n ≥=……。

例2 已知离散型随机变量X 的分布列如右图所示，
据此求出常数c 。

错解：由离散型随机变量分布列的基本性质可得方程29381c c c -+-=，整理为29920c c -+=，解之得所求常数13
c =或23c =。

剖析：可以验证，当23c =时，167383039
c -=-=-<，作为概率数值这显然是不被允许的，其错误的根源在于没有考虑变量的概率值为非负数这一特定条件；而另一结果13
c =则不出现这一问题。

正解：根据离散型随机变量分布列的两条基本性质可得如下方程组
2209103819381c c c c c c ⎧≤-≤⎪≤-≤⎨⎪-+-=⎩，解得13c =。

进而知X 的分布列具体为 点评：各变量所对应的概率为非负值，是此类问题的基本特征，是分析问题的先决条件。

㈡ 性质2辨析（必然性）：全部试验结果之和为必然事件：=∑=n i i p
1121n p p p +++=…….
例3 设X 是一个离散型随机变量，则下列不能够成为X 的概率分布列的是 。

0,1,0,0,0..A 4.0,3.0,2.0,1.0..B
()R p p p C ∈-1,.. ()()
*1,11,,321,211..N n n n n D ∈-⨯⨯Λ 错解：选项B A ,显然满足两条基本性质，适合；而选项C 中，由于p 是实数，不妨取,3=p 显然021<-=-p 不符合非负性；至于选项D ，由于存在变量n ，因而各项和受n 的变化所影响，不合性质2.故答案为C 、D 两个选项。

剖析：错解对选项,,A B C 的分析是正确的；而对选项D ，裂项则有
()11111111111122312231n n n n n n
++++=-+-++-+⨯⨯--L L 1=， 又()()()1,01,1,011∈∈-n
n n ，满足分布列两个性质，因此也是适合的。

正解：通过上述分析知答案为C 。

点评：处理随机变量分布列问题时，在充分利用分布列的两条基本性质的基础上，注意清晰慎重，不可轻率武断。