高考数学(理)二轮复习练习：专题限时集训6 随机变量及其分布 Word版含答案

专题限时集训(六) 随机变量及其分布
(对应学生用书第89页)
(限时：40分钟)
1．(2017·长春三模)将一枚硬币连续抛掷n 次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于15
16
，
则n 的最小值为( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
A [由题意，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥15
16
，∴n ≥4，
∴n 的最小值为4，故选A.]
2．(2017·绍兴一模)已知p ＞0，q ＞0，随机变量ξ的分布列如下：
若E (ξ)＝9
，则p 2＋q 2
＝( )
【导学号：07804045】
A.49 B ．12 C.5
9 D ．1 C [∵p ＞0，q ＞0，E (ξ)＝49.
∴由随机变量ξ的分布列的性质得：
⎩
⎪⎨⎪⎧
q ＋p ＝1pq ＋qp ＝49，
∴p 2＋q 2＝(q ＋p )2
－2pq ＝1－49＝59
.故选C.]
3．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概
率均为2
3，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为
( )
A.13 B ．25 C.23 D ．45
B [由题意，甲获得冠军的概率为23×23＋23×13×23＋13×23×23＝20
27，
其中比赛进行了3局的概率为23×13×23＋13×23×23＝8
27，
∴所求概率为827÷2027＝2
5
，故选B.]
4．(2017·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开
关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为1
5，则在第一次闭合后
出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.
110 B ．15 C.25 D ．1
2
C [设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则由题意可得P (A )＝12，P (AB )＝1
5，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现
红灯的概率是P (B |A )＝P AB
P A ＝1
512
＝25
.故选C.]
5．设随机变量η服从正态分布N (1，σ2)，若P (η＜－1)＝0.2，则函数f (x )＝13
x 3＋x 2＋η2
x
没有极值点的概率是( )
A ．0.2
B ．0.3
C ．0.7
D ．0.8 C [∵函数f (x )＝13x 3＋x 2＋η2
x 没有极值点，
∴f ′(x )＝x 2
＋2x ＋η2
＝0无解， ∴Δ＝4－4η2＜0， ∴η＜－1或η＞1，
∵随机变量η服从正态分布N (1，σ2
)，P (η＜－1)＝0.2， ∴P (η＜－1或η＞1)＝0.2＋0.5＝0.7，故选C.]
6．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中
目标得0分，若甲、乙两人射击的命中率分别为3
5和P ，且甲、乙两人各射击一次得分之和为
2的概率为9
20
.假设甲、乙两人射击互不影响，则P 值为( )
【导学号：07804046】
A.35 B ．45 C.34 D ．14
C [设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，则“甲射击一次，未击中目标”为事件A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件B ，则P (A )＝3
5
，
P (A )＝1－35＝2
5
，P (B )＝P ，P (B )＝1－P ，
依题意得：35×(1－P )＋25×P ＝9
20，
解得，P ＝3
4
，故选C.]
7．(2016·厦门模拟)某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，
每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( ) A ．100 B ．200 C ．300
D ．400
B [将“没有发芽的种子数”记为ξ，则ξ＝1,2,3，…，1 000，由题意可知ξ～B (1 000,0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，又因为X ＝2ξ，所以E (X )＝2E (ξ)＝200，故选B.]
8．(2017·合肥二模)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记
检测的次数为ξ，则E (ξ)＝( ) A ．3 B ．72 C.18
5
D ．4
B [由题意知，ξ
的所有可能取值为2,3,4.P (ξ＝2)＝A 2
2A 25＝1
10
，P (ξ＝3)＝
3×2×1＋2×3×1＋3×2×1A 35＝310，P (ξ＝4)＝C 23C 12A 33C 1
2A 4
5＝35，所以E (ξ)＝2×110＋3×3
10＋4×35＝7
2，故选B.] 二、填空题
9．(2017·临汾三模)2017年高考考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行统
计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N (95,82
)的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是________． 38 [由题意，英语成绩超过95分的概率是1
2
， ∴在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是C 24·⎝ ⎛⎭
⎪
⎫12
2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122
＝38
.] 10．(2017·江门一模)某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正
常工作，则该部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限(单位：年)服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为________．
0．488 [∵使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，
∴P (0＜ξ＜3)＝P (ξ＞9)＝0.2， ∴正态分布的对称轴为ξ＝6，
∴9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2， ∴9年内部件不能正常工作的概率为0.83
＝0.512，
∴该部件能正常工作的时间超过9年的概率为1－0.512＝0.488.]
11．(2017·蚌埠二模)某种游戏每局的规则是：参与者现在从标有5、6、7、8、9的相同小球中
随机摸取一个，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其资金(单位：元)．若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局游戏中的赌金与资金，则E (ξ)－E (η)＝________(元)． 3 [由题意可得：P (ξ＝k )＝1
5(k ＝5,6,7,8,9)．
可得E (ξ)＝5＋6＋7＋8＋9
5＝7.
η的取值为：2,4,6,8. 其中P (η＝2)＝4C 25＝2
5
，
P (η＝4)＝3C 25＝310，P (η＝6)＝2C 25＝15，P (η＝8)＝1C 25＝110
，
其分布列为：
∴E (η)＝2×5＋4×10＋6×5＋8×10＝4.
∴E (ξ)－E (η)＝7－4＝3(元)．]
12．(2017·嵊州市二模)一个盒子中有大小，形状完全相同，且编号分别为1,2的两个小球，从
中有放回地先后摸两次，每次摸一球，设摸到的小球编号之和为ξ，则P (ξ＝2)＝________，
D (ξ)＝________.
1412
[①从这个盒子中有放回地先后摸出两个小球，总的取法有22
＝4种，设取出两球的编号分别为x ，y ，则这4种情况是(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)共4种； 则摸到的小球编号之和为ξ，ξ＝x ＋y ； 当ξ＝2时只有(1,1)1种情况； 所以P (ξ＝2)＝1
4
；
②由题意，ξ的所有可能取值为2,3,4； 且P (ξ＝3)＝24＝1
2
，
P (ξ＝4)＝14
；
∴随机变量ξ的分布列为，
ξ的数学期望为E (ξ)＝2×4＋3×2＋4×4
＝3，
方差为D (ξ)＝(2－3)2×14＋(3－3)2×12＋(4－3)2
×14＝12.]
三、解答题
13．(2017·广州一模)某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题中一次性
随机抽取3道题，按照题目要求独立完成．规定：至少正确完成其中2道题的便可通过．已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是2
3
，且每题正确完成与否互不影响．
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望； (2)请分析比较甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
[解] (1)设甲正确完成面试的题数为ξ，则ξ的可能取值为1,2,3. P (ξ＝1)＝C 14C 2
2C 36＝15；P (ξ＝2)＝C 24C 1
2C 36＝35；P (ξ＝3)＝C 34C 0
2C 36＝1
5.
应聘者甲正确完成题数ξ的分布列为
E (ξ)＝1×5
＋2×5
＋3×5
＝2.
设乙正确完成面试的题数为η，则η的可能取值为0,1,2,3.
P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫133
＝
1
27；P (η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231
·⎝ ⎛⎭⎪⎫132
＝6
27；P (η＝2)＝C 2
3⎝ ⎛⎭⎪⎫
232
·13＝12
27
；P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233
＝827
. 应聘者乙正确完成题数η的分布列为
E (η)＝0×27
＋1×27
＋2×27
＋3×27
＝2.(或因为η～B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
3，3
，所以E (η)＝3×3
＝2)
(2)因为D (ξ)＝(1－2)2×15＋
(2－2)2×35＋(3－2)2
×15＝25
，
D (η)＝3×23×1
3＝23
.
所以D (ξ)＜D (η)．
综上所述，从做对题数的数学期望考查，两人水平相当； 从做对题数的方差考查，甲较稳定；
从至少完成2道题的概率考查，甲面试通过的可能性大．
14．(2017·厦门二模)2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年，有关部门为宣传垃
圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1 000人的得分数据，其频率分布直方图如图6­6所示：
图6­6
(1)由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z 服从正态分布N (μ，210)，μ近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表)，利用该正态分布，
求P (50.5＜Z ＜94)．
(2)在(1)的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ①得分不低于μ可获赠2次随机话费，得分低于μ则只有1次； ②每次赠送的随机话费和对应概率如下：
求X 的分布列． 附：210≈14.5
若Z ～N (μ，δ2
)，则P (μ－δ＜Z ＜μ＋δ)＝0.682 6，P (μ－2δ＜Z ＜μ＋2δ)＝0.954 4.
[解] (1)E (Z )＝35×0.025＋45×0.15＋55×0.2＋65×0.25＋75×0.225＋85×0.1＋95×0.05＝65，
∴μ＝65，δ＝210≈14.5，
∴P (50.5＜Z ＜79.5)＝0.682 6，P (36＜Z ＜94)＝0.954 4， ∴P (79.5＜Z ＜94)＝0.954 4－0.682 62
＝0.135 9，
∴P (50.5＜Z ＜94)＝P (50.5＜Z ＜79.5)＋P (79.5＜Z ＜94)＝0.682 6＋0.135 9＝0.818 5. (2)P (Z ＜μ)＝P (Z ≥μ)＝1
2
，
X 的可能取值为{10,20,30,40}，
P (X ＝10)＝12×23
＝13
，P (X ＝20)＝12
×13＋12
×23×23
＝718
， P (X ＝30)＝12×23
×13＋12
×13×23＝29
，P (X ＝40)＝12
×13×13
＝118
.
∴X 的分布列为：。